10.1随机事件与概率（一）（讲义）高一数学人教A版必修第二册

第十章 概率 10.1.1 有限样本空间与随机事件 10.1.2 事件的关系和运算 知识点一 随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示. 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验: (1)试验可以在相同条件下重复进行; (2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个; (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果. 知识点二 样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的 样本空间,一般地,用Ω表示样本空间,用ω表示样本点,如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间. 知识点三 随机事件、必然事件与不可能事件 (1)一般地,随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示,为了叙述方便,我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生. (2)Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件. (3)空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为⌀为不可能事件. 知识点四 事件的关系 项目 定义 符号 图示 包含 关系 一般地,若事件A发生,则事件B一定发生,称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A (或A⊆B) 相等 关系 如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B⊇A且A⊇B,则称事件A与事件B相等 A=B 知识点五 交事件与并事件 项目 定义 符号 图示 并事件 (或和 事件) 一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A+B) 交事件 (或积 事件) 一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 知识点六 互斥事件和对立事件 项目 定义 符号 图示 互斥 事件 一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即A∩B=⌀,则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B=⌀ 对立 事件 一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且A∩B=⌀,那么称事件A与事件B互为对立,事件A的对立事件记为 A∪B=Ω A∩B=⌀ 即学即练 1．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（ ） A． B．表示向上的点数是1或3或5 C．表示向上的点数是1或3 D．表示向上的点数是1或5 2．（多选）下列现象中，是随机现象的有（ ） A．在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆 B．若a为整数，则a＋1为整数 C．发射一颗炮弹，命中目标 D．检查流水线上一件产品是合格品还是次品 3．（多选）从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出两人参加数学竞赛，则下列选项中的两个事件的关系是互斥但不对立的是（ ） A．“甲被选中”和“乙被选中” B．“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” C．“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” D．“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 题型01 随机事件的判断 / 判断方法：满足三个条件即为随机试验，一是可在相同条件下重复进行；二是试验所有可能结果明确且有限；三是每次试验前无法预知具体结果。 易错点：混淆随机事件与必然、不可能事件；误把不可重复、结果不确定的偶然现象当作随机试验；忽略 “相同条件可重复” 核心前提；错将单次唯一结果的判定事件归为随机实验，审题时需重点核对三大条件。 典｜例｜精｜析 例1．（多选）给出下列四个命题，其中正确的命题有（ ） A．“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 B．“当为某一实数时可使”是不可能事件 C．“明天竹山要下雨”是必然事件 D．“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件. 变｜式｜巩｜固 1．（多选）下列是随机事件的是（ ） A．小明上学路上通过的5个路口都碰到绿灯 B．地球每天都在自转 C．太阳从西边升起 D．明天会下雨 2．（多选）下列说法错误的是（ ） A．如果一事件发生的概率为0，说明此事件不可能发生 B．如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件 C．概率的大小与不确定事件有关 D．如果一事件发生的概率为99.999%，说明此事件必然发生 题型02 事件的包含关系 / 做题方法：若事件 A 发生必导致事件 B 发生，则；集合视角理解事件，小范围事件包含于大范围事件。结合题意梳理事件发生范围，对比条件限制，快速判断包含、相等关系。 易错点：颠倒包含顺序，混淆谁是谁的子集；混淆包含与互斥概念；忽略特殊情况，相等事件互为包含；凭主观经验判断，不用集合逻辑分析，导致范围判断出错。 典｜例｜精｜析 例2．在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：出现1点；出现2点；出现3点；出现4点；出现5点；出现6点；出现的点数不大于1；出现的点数小于；出现奇数点；出现偶数点.请根据这些事件，判断下列事件的关系：（1）____________；（2）____________；（3）____________；（4）____________. 变｜式｜巩｜固 1．抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件，“向上的面的点数是2或3”为事件，则（ ） A． B． C．表示向上的面的点数是1或2或3 D．表示向上的面的点数是1或2或3 2．包含关系 定义 一般地，若事件发生，则事件__________，我们就称事件包含事件（或事件包含于事件） 含义 发生导致B发生 符号表示 __________（或__________） 图形表示 特殊情形相等 如果事件包含事件，事件也包含事件，即__________且__________，则称事件与事件__________，记作__________ 题型03 事件的运算及其含义 / 解题可借助集合逻辑理解：并事件是至少一个发生，交事件是同时发生，对立事件非此即彼，差事件为 A 发生且 B 不发生。结合韦恩图辅助分析，转化集合运算解题。 易错点：混淆并事件与交事件概念；误将互斥事件等同于对立事件；忽略对立一定互斥、互斥未必对立；运算符号混用，遗漏事件前提，凭字面意思误解事件运算含义。 典｜例｜精｜析 例3．（多选）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．事件的和与积 定义 表示法 图示 和 由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和（或并） _________（或_________） 积 由事件A，B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积（或交） _________（或_________） 2．（多选）某家商场举行抽奖活动，小聪､小明两人共同前去抽奖，设事件“两人都中奖”；“两人都没中奖”；“恰有一人中奖”；“至少一人没中奖”.下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 题型04 互斥事件 / 解题方法：利用定义判断，若事件 A、B 不可能同时发生，则两事件互斥，交集为空集。可用集合思想、韦恩图辅助辨析，互斥事件概率满足加法公式。 易错点：混淆互斥与对立事件，对立必互斥，互斥不一定对立；误判多个事件两两互斥；随意套用互斥概率加法公式；忽略实际情境中事件可同时发生的情况，造成判断失误。 典｜例｜精｜析 例4．不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（ ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片至多一张为红色. A．1 B．2 C．3 D．4 变｜式｜巩｜固 1．至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是（ ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 2．一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（ ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B与事件C对立 题型05 对立事件 / 解题方法：依据定义判断，两事件不能同时发生且必有一个发生。集合中交集为空、并集为全集，概率满足，复杂概率可正难则反，用对立事件求解。 易错点：将对立与互斥混淆，对立是特殊的互斥；误认为互斥事件就是对立事件；忽略两事件需覆盖全部结果；计算时忘记用 1 减去对立事件概率，导致结果出错。 典｜例｜精｜析 例5．一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球．从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为对立事件的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 变｜式｜巩｜固 1．（多选）某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有8个大小形状相同的小球，并标注这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件A表示“取出球的编号为奇数”，事件B表示“取出球的编号为偶数”，事件C表示“取出球的编号大于5”，事件D表示“取出球的编号小于5”，则（ ） A．事件A与事件C不互斥 B．事件A与事件B互为对立事件 C．事件B与事件C互斥 D．事件C与事件D互为对立事件 2．（多选）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球、2个黄球，从中不放回依次摸出2个球，记“恰有一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到黄球”，“至少有一次摸到红球”，“至多一次摸到红球”．则下列说法正确的是（ ） A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件B与事件C是对立事件 C．事件C与事件D是对立事件 D．事件D与事件E是互斥事件 题型06 互斥和对立事件的概率关系（基础） / 解题方法：互斥事件不能同时发生，满足加法公式。对立事件是特殊互斥事件，满足。复杂概率优先利用对立事件间接求解。 易错点：混淆二者范围关系，对立一定互斥，互斥未必对立；随意对非互斥事件套用概率加法；忽略多事件互斥条件；计算对立概率时计算失误，遗漏整体概率为 1 的核心条件。 典｜例｜精｜析 例6．（多选）下列说法不正确的是（ ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件 B．若A，B为两个事件，则 C．若事件A，B，C两两互斥，则 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 变｜式｜巩｜固 1．给出下列命题，其中说法正确的是（ ） A．若A，B为两个随机事件，则 B．若事件A，B，C两两互斥，则 C．若A，B为互斥事件，则 D．若，则 2．（多选）某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则（ ） A．事件A和事件B是对立事件 B．事件A和事件C是对立事件 C． D． 题型07 互斥和对立事件的概率关系（提升） / 解题方法：区分两两互斥与整体互斥，多事件互斥才可累加概率；利用对立事件正难则反，破解正面情况繁杂题型。结合全集拆分事件，结合补集运算综合计算。 易错点：默认多个互斥事件互为对立；混用两两互斥与整体完备条件；忽视含参题型中范围限制；复杂情境错判事件能否同时发生，滥用加法公式致错。 典｜例｜精｜析 例7．（多选）设、为两个互斥的事件，且，，则下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（多选）设为两个互斥的事件，且，则下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 5．已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ） A． B． C．若A与B互斥，则 D．一定有 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 概率 10.1.1 有限样本空间与随机事件 10.1.2 事件的关系和运算 知识点一 随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示. 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验: (1)试验可以在相同条件下重复进行; (2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个; (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果. 知识点二 样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的 样本空间,一般地,用Ω表示样本空间,用ω表示样本点,如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间. 知识点三 随机事件、必然事件与不可能事件 (1)一般地,随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示,为了叙述方便,我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生. (2)Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件. (3)空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为⌀为不可能事件. 知识点四 事件的关系 项目 定义 符号 图示 包含 关系 一般地,若事件A发生,则事件B一定发生,称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A (或A⊆B) 相等 关系 如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B⊇A且A⊇B,则称事件A与事件B相等 A=B 知识点五 交事件与并事件 项目 定义 符号 图示 并事件 (或和 事件) 一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A+B) 交事件 (或积 事件) 一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 知识点六 互斥事件和对立事件 项目 定义 符号 图示 互斥 事件 一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即A∩B=⌀,则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B=⌀ 对立 事件 一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且A∩B=⌀,那么称事件A与事件B互为对立,事件A的对立事件记为 A∪B=Ω A∩B=⌀ 即学即练 1．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（ ） A． B．表示向上的点数是1或3或5 C．表示向上的点数是1或3 D．表示向上的点数是1或5 【答案】B 【分析】根据事件的关系与运算的概念进行判断. 【详解】由题可知，“向上的点数是1或3”为事件，“向上的点数是1或5”为事件， 所以事件不等于事件，故A错误； 事件表示“向上的点数是1或3或5”，故B正确，C错误； 事件表示“向上的点数是1”，故D错误； 故选：B. 2．（多选）下列现象中，是随机现象的有（ ） A．在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆 B．若a为整数，则a＋1为整数 C．发射一颗炮弹，命中目标 D．检查流水线上一件产品是合格品还是次品 【答案】ACD 【分析】根据事件的分类逐项分析判断. 【详解】对于选项A：交警记录某一小时通过的汽车的数量是随机现象，故A正确； 对于选项B：当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，故B错误； 对于选项C：发射一颗炮弹，可能命中目标，也可能没有命中目标，故C正确； 对于选项D：检查流水线上一件产品，可能是合格品，也可能是次品，故D正确； 故选：ACD. 3．（多选）从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出两人参加数学竞赛，则下列选项中的两个事件的关系是互斥但不对立的是（ ） A．“甲被选中”和“乙被选中” B．“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” C．“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” D．“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 【答案】BD 【分析】根据互斥事件与对立事件的定义判断即可. 【详解】“甲被选中”和“乙被选中”可以同时发生，所以不互斥，故A不合题意； “甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中”两个事件不会同时发生，故它们互斥， 同时两事件的并集{丙丁，乙丁}不包含所有可能事件，即它们不对立，故B符合题意； “甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中”不会同时发生，即它们互斥， 且它们至少有一个发生，即两个事件相互对立，故C不合题意； “甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中”不会同时发生，故它们互斥， 例如当选出的是{甲，丁}时，该结果不属于这两个事件，即它们的并集不是全集，它们不对立，故D符合题意. 题型01 随机事件的判断 / 判断方法：满足三个条件即为随机试验，一是可在相同条件下重复进行；二是试验所有可能结果明确且有限；三是每次试验前无法预知具体结果。 易错点：混淆随机事件与必然、不可能事件；误把不可重复、结果不确定的偶然现象当作随机试验；忽略 “相同条件可重复” 核心前提；错将单次唯一结果的判定事件归为随机实验，审题时需重点核对三大条件。 典｜例｜精｜析 例1．（多选）给出下列四个命题，其中正确的命题有（ ） A．“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 B．“当为某一实数时可使”是不可能事件 C．“明天竹山要下雨”是必然事件 D．“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件. 【答案】ABD 【分析】利用随机事件的基本概念进行判断. 【详解】A，根据抽屉原理，将三个球放入两个盒子，至少有一个盒子里的球数大于等于2，即必然有一个盒子有一个以上的球，所以是必然事件，正确， B，对任意实数x，有，正确， C，下雨是随机事件，错误， D，从100个灯泡中取出5个次品是随机事件，正确. 故选：ABD 变｜式｜巩｜固 1．（多选）下列是随机事件的是（ ） A．小明上学路上通过的5个路口都碰到绿灯 B．地球每天都在自转 C．太阳从西边升起 D．明天会下雨 【答案】AD 【分析】由随机事件、不可能事件以及必然事件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，小明上学路上通过的5个路口都碰到绿灯，这件事可能发生，也可能不会发生，是随机事件，故A符合题意； 对于B，地球每天都在自转从而使得昼夜更替，这是必然事件，故B不符合题意； 对于C，客观事实是太阳从东边升起，所以太阳从西边升起是不可能事件，故C不符合题意； 对于D，明天有可能会下雨，也可能不会下雨，所以明天会下雨是随机事件，故D符合题意. 故选：AD. 2．（多选）下列说法错误的是（ ） A．如果一事件发生的概率为0，说明此事件不可能发生 B．如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件 C．概率的大小与不确定事件有关 D．如果一事件发生的概率为99.999%，说明此事件必然发生 【答案】ABD 【详解】对于A当样本空间是区间时，质点落在处的概率为0，但不意味着这个事件是不可能发生的，因为随机变量取值是连续的，所以几乎任何地方都有极小的可能发生，故A错误；对于B，C，如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件或随机事件，所以B错误，C正确；对于D，如果一事件发生的概率为99.999%，不能说明此事件必然发生，因为它不是必然事件，所以D错误． 题型02 事件的包含关系 / 做题方法：若事件 A 发生必导致事件 B 发生，则；集合视角理解事件，小范围事件包含于大范围事件。结合题意梳理事件发生范围，对比条件限制，快速判断包含、相等关系。 易错点：颠倒包含顺序，混淆谁是谁的子集；混淆包含与互斥概念；忽略特殊情况，相等事件互为包含；凭主观经验判断，不用集合逻辑分析，导致范围判断出错。 典｜例｜精｜析 例2．在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：出现1点；出现2点；出现3点；出现4点；出现5点；出现6点；出现的点数不大于1；出现的点数小于；出现奇数点；出现偶数点.请根据这些事件，判断下列事件的关系：（1）____________；（2）____________；（3）____________；（4）____________. 【答案】；；；. 【分析】根据事件的关系进行判断. 【详解】当事件发生时，必然发生，故；同理，，而事件与相等，即. 故答案为：，，， 变｜式｜巩｜固 1．抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件，“向上的面的点数是2或3”为事件，则（ ） A． B． C．表示向上的面的点数是1或2或3 D．表示向上的面的点数是1或2或3 【答案】C 【分析】由题意，得到事件，所包含的基本事件，由此分析判断即可． 【详解】解：由题意可知，，，，， 所以，，2，， 则表示向上的面的点数是1或2或3，故ABD错误，C正确． 故选：C． 2．包含关系 定义 一般地，若事件发生，则事件__________，我们就称事件包含事件（或事件包含于事件） 含义 发生导致B发生 符号表示 __________（或__________） 图形表示 特殊情形相等 如果事件包含事件，事件也包含事件，即__________且__________，则称事件与事件__________，记作__________ 【答案】一定发生；；；；；相等； 【分析】略 【详解】略 题型03 事件的运算及其含义 / 解题可借助集合逻辑理解：并事件是至少一个发生，交事件是同时发生，对立事件非此即彼，差事件为 A 发生且 B 不发生。结合韦恩图辅助分析，转化集合运算解题。 易错点：混淆并事件与交事件概念；误将互斥事件等同于对立事件；忽略对立一定互斥、互斥未必对立；运算符号混用，遗漏事件前提，凭字面意思误解事件运算含义。 典｜例｜精｜析 例3．（多选）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】记{有枚硬币正面向上}，，则，结合事件的关系和运算逐项分析判断. 【详解】记{有枚硬币正面向上}，， 则， 对于选项A：因为，故A错误； 对于选项B：因为，故B错误； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，故D正确； 故选：CD. 变｜式｜巩｜固 1．事件的和与积 定义 表示法 图示 和 由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和（或并） _________（或_________） 积 由事件A，B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积（或交） _________（或_________） 【答案】；；AB； 【分析】略 【详解】略 2．（多选）某家商场举行抽奖活动，小聪､小明两人共同前去抽奖，设事件“两人都中奖”；“两人都没中奖”；“恰有一人中奖”；“至少一人没中奖”.下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据四个事件，再结合交事件和并事件的定义和事件的包含关系逐一判断即可. 【详解】对于A，事件为“至多一人中奖”，即“至少一人没中奖”， 所以，故A正确； 对于B，事件表示两人都中奖且恰有一人中奖，没有这样的事件， 所以，故B错误； 对于C，至少一人没中奖包括恰有一人中奖和两人都没中奖两种情况， 所以，故C正确； 对于D，由C选项可知，所以，故D正确. 故选：ACD. 题型04 互斥事件 / 解题方法：利用定义判断，若事件 A、B 不可能同时发生，则两事件互斥，交集为空集。可用集合思想、韦恩图辅助辨析，互斥事件概率满足加法公式。 易错点：混淆互斥与对立事件，对立必互斥，互斥不一定对立；误判多个事件两两互斥；随意套用互斥概率加法公式；忽略实际情境中事件可同时发生的情况，造成判断失误。 典｜例｜精｜析 例4．不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（ ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片至多一张为红色. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义，结合题意分析即可. 【详解】6张卡片中一次性任意取出2张卡片的情况有：“2张都是红色”、“2张都是蓝色”、“2张都是绿色”、“1张红色和1张蓝色”、“1张红色和1张绿色”、“1张蓝色和1张绿色”. “2张卡片都不是红色”与“2张卡片都为红色”是互斥而不对立事件； “2张卡片恰有1张是红色”与“2张卡片都为红色”是互斥而不对立事件； “2张卡片至少有1张是红色”与“2张卡片都为红色”不是互斥事件； “2张卡片至多一张为红色”与“2张卡片都为红色”是对立事件. 所以事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为2. 故选：. 变｜式｜巩｜固 1．至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是（ ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 【答案】A 【分析】根据互斥事件的定义判断. 【详解】由互斥事件的定义知，“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，是互斥事件． 其他选项对应的事件均可同时发生， 故选：A 2．一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（ ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B与事件C对立 【答案】A 【分析】利用互斥事件与对立事件的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，事件A与事件B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确； 对于B，若取到的两支笔都是二等品，则事件B与事件C同时发生， 所以事件B与事件C不是互斥事件，故B错误； 对于C，若取到的两支笔是一支二等品，一支三等品，则事件A与事件C都没有发生， 所以事件A与事件C不是对立事件，故C错误； 对于D，若取到的两支笔是一支一等品，一支三等品，则事件B与事件C都没有发生， 所以事件B与事件C不是对立事件，故D错误； 故选：A. 题型05 对立事件 / 解题方法：依据定义判断，两事件不能同时发生且必有一个发生。集合中交集为空、并集为全集，概率满足，复杂概率可正难则反，用对立事件求解。 易错点：将对立与互斥混淆，对立是特殊的互斥；误认为互斥事件就是对立事件；忽略两事件需覆盖全部结果；计算时忘记用 1 减去对立事件概率，导致结果出错。 典｜例｜精｜析 例5．一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球．从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为对立事件的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由互斥事件、对立事件的概念依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能是一红球和一白球，即事件A，B都不发生， 故A，B互斥，但并集不等于样本空间，故不是对立事件，A错误； 对于B，事件“两次都摸到红球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能两个白球，即事件A，C都不发生， 故A，C互斥，但并集不等于样本空间，不是对立事件，B错误； 对于C，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能两个红球，即事件B，C都不发生， 故B，C互斥，但并集不等于样本空间，不是对立事件，C错误； 对于D，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”， 由于从袋中不放回地依次随机摸出2个小球的颜色要么是相同的，要么不同， 故，故与是对立事件， 故选：D 变｜式｜巩｜固 1．（多选）某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有8个大小形状相同的小球，并标注这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件A表示“取出球的编号为奇数”，事件B表示“取出球的编号为偶数”，事件C表示“取出球的编号大于5”，事件D表示“取出球的编号小于5”，则（ ） A．事件A与事件C不互斥 B．事件A与事件B互为对立事件 C．事件B与事件C互斥 D．事件C与事件D互为对立事件 【答案】AB 【分析】分别求出样本空间和事件、、、即可根据互斥事件和对立事件的概念去进行判断. 【详解】由题意抽奖者从中任取一个球的样本空间为， 事件表示，事件B表示，事件C表示，事件D表示， 所以，且，， 且， 所以事件A与事件C不互斥，事件A与事件B为对立事件， 事件B与事件C不互斥，事件C与事件D互斥但不对立， 故A，B正确，C，D错误. 故选：AB. 2．（多选）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球、2个黄球，从中不放回依次摸出2个球，记“恰有一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到黄球”，“至少有一次摸到红球”，“至多一次摸到红球”．则下列说法正确的是（ ） A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件B与事件C是对立事件 C．事件C与事件D是对立事件 D．事件D与事件E是互斥事件 【答案】AC 【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】对于A，由于事件A与事件B不可能同时发生，故二者是互斥事件，A正确； 对于B，，但，故二者为互斥事件，不是对立事件，B错误；， 对于C，至少有一次摸到红球包括有一次摸到红球一次摸到黄球和两次都摸到红球， 其对立事件为没有一次摸到红球，即两次都摸到黄球，故事件C与事件D是对立事件，C正确； 对于D，{有一次摸到红球，另一次摸到黄球}，故二者不互斥，D错误， 故选：AC 题型06 互斥和对立事件的概率关系（基础） / 解题方法：互斥事件不能同时发生，满足加法公式。对立事件是特殊互斥事件，满足。复杂概率优先利用对立事件间接求解。 易错点：混淆二者范围关系，对立一定互斥，互斥未必对立；随意对非互斥事件套用概率加法；忽略多事件互斥条件；计算对立概率时计算失误，遗漏整体概率为 1 的核心条件。 典｜例｜精｜析 例6．（多选）下列说法不正确的是（ ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件 B．若A，B为两个事件，则 C．若事件A，B，C两两互斥，则 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 【答案】BCD 【分析】A.“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确； B.,所以该选项错误； C.举反例说明不一定成立，所以该选项错误； D.举反例说明A与B不对立，所以该选项错误. 【详解】解：A.若A，B为两个事件，“A与B互斥”则“A与B不一定相互对立”；“A与B相互对立”则“A与B互斥”，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确； B.若A，B为两个事件，则,所以该选项错误； C.若事件A，B，C两两互斥，则不一定成立，如：掷骰子一次，记向上的点数为1，向上的点数为2，向上的点数为3，事件A，B，C两两互斥，则.所以该选项错误； D.抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，所以该选项错误. 故选：BCD 变｜式｜巩｜固 1．给出下列命题，其中说法正确的是（ ） A．若A，B为两个随机事件，则 B．若事件A，B，C两两互斥，则 C．若A，B为互斥事件，则 D．若，则 【答案】C 【分析】AB选项，可举出反例；C选项，根据得到C正确；D选项，根据概率的性质得到. 【详解】对于A：当A，B为两个互斥事件时，才有， 当A，B不互斥时，，A选项错误； 对于B：当事件A，B，C两两互斥，且时，才有，所以B错误； 对于C：当A，B为互斥事件时，，C选项正确； 对于D：由概率的性质可知，若，则，D选项错误； 故选：C. 2．（多选）某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则（ ） A．事件A和事件B是对立事件 B．事件A和事件C是对立事件 C． D． 【答案】BC 【分析】根据对立事件判断A,B选项，根据事件的包含关系判断C,D选项. 【详解】因为表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲可能获得二等奖，即事件A和事件B不是对立事件，A错误， 事件A表示“甲没有中奖”，事件C表示“甲中奖”，则事件A和事件C是互斥且和事件为全集，事件A和事件C是对立事件，B正确． 又因为，所以，C选项正确；，D选项错误； 故选：BC． 题型07 互斥和对立事件的概率关系（提升） / 解题方法：区分两两互斥与整体互斥，多事件互斥才可累加概率；利用对立事件正难则反，破解正面情况繁杂题型。结合全集拆分事件，结合补集运算综合计算。 易错点：默认多个互斥事件互为对立；混用两两互斥与整体完备条件；忽视含参题型中范围限制；复杂情境错判事件能否同时发生，滥用加法公式致错。 典｜例｜精｜析 例7．（多选）设、为两个互斥的事件，且，，则下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由互斥事件的定义可得，利用互斥事件的概率加法公式可判断A选项；利用并事件的概率公式可判断B选项；由积事件的概率公式可判断C选项；由并事件的概率公式和对立事件的概率公式可判断D选项. 【详解】因为、为两个互斥的事件，则， 则，，AC都对； ，B错； ，D对. 故选：ACD. 变｜式｜巩｜固 1．（多选）设为两个互斥的事件，且，则下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件的含义可知，判断;根据题意可知，从而，判断C;根据互斥事件的概率加法公式可判断D. 【详解】∵为两个互斥事件，, ∴，即，故A正确，B选项错误， ∵为两个互斥事件,则， ∴故C选项正确， ∵为两个互斥事件， ∴，故D选项正确． 故选∶． 5．已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ） A． B． C．若A与B互斥，则 D．一定有 【答案】AB 【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 又且，则， 所以，即，故B正确； 对于C，因为A与B互斥，所以， 则，故C错误； 对于D，记事件“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”， 则满足，，但不成立，故D错误； 故选：AB. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $