10.1随机事件与概率（二）（讲义）高一数学人教A版必修第二册

第十章 概率 10.1.3 古典概型 10.1.4 概率的基本性质 知识点一 随机事件的概率和古典概型 1.随机事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示. 2.古典概型 一般地,若试验E具有以下特征: (1)有限性:样本空间的样本点只有有限个; (2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等. 称试验E为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. 知识点二 古典概型的概率公式 一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率. 知识点三 概率的基本性质 性质1：对任意的事件A,都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0. 性质3：如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B). 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B). 性质5：如果A⊆B,那么P(A)≤P(B). 性质6：设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 即学即练 1．从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球，其样本空间中的样本点共有____________个． 2．将一枚均匀硬币随机掷2次，恰好出现2次正面向上的概率为（ ） A． B． C． D． 3．从10，11，12，13，14，15这6个正整数中任取两个数，其中恰有1个质数的概率为__________. 题型01 样本空间和样本点 / 解题以定义为核心：随机试验的每个基本结果为样本点，全体样本点构成样本空间。列举法、树状图、列表法梳理所有基本事件，规范书写集合形式。 易错点：遗漏、重复列举样本点；混淆样本点与随机事件，事件是样本点的集合；忽略试验顺序、放回与不放回条件；主观删减冷门结果，导致样本空间不完整，概率计算基数错误。 典｜例｜精｜析 例1．在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件“至少命中6次”，则下列说法正确的是（ ） A．样本空间中共有10个样本点 B．事件中有6个样本点 C．样本点6在事件内 D．事件中包含样本点11 变｜式｜巩｜固 ．先后抛均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（ ） A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上” C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币都是反面向上” 2．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，观察抽得的2张卡片上的数字，设抽得的第1张卡片上的数字大于第2张卡片上的数字为事件Q，则事件Q含有的样本点个数为（ ） A．8 B．10 C．11 D．15 题型02 古典概型的判断 / 判断核心：同时满足两大条件，试验样本空间有限、每个样本点发生等可能。解题先判定模型，再枚举总基本事件数与符合条件事件数，套用概率公式计算。 易错点：忽略等可能性直接套用公式；误将不等概率事件当作古典概型；列举事件出现重复、遗漏；混淆放回与不放回试验，错算基本事件总数，造成概率求解错误。 典｜例｜精｜析 例2．下列试验中是古典概型的是（ ） A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 变｜式｜巩｜固 1．下列试验中符合古典概型研究的试验是（ ） A．抛掷一颗六个面都是不同材质的骰子，正面向上的点数 B．抽奖箱里有4个白球和6个黑球，这10个球除颜色外完全相同，从中任取一个球 C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D．射击选手进行射击训练，结果为命中10环、命中9环、……、命中0环 2．下列关于古典概率模型的说法中正确的是（ ） ①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则． A．②④ B．③④ C．①④ D．①③④ 题型03 简单古典概型的概率 / 解题方法：先确认有限性与等可能性，确定总基本事件数，再数出符合条件的事件数，代入公式。常用列举法、列表法、树状图计数。 易错点：计数重复或遗漏；忽视顺序、放回与否的区别；错判事件等可能性；混淆目标事件范围，多算或少算有利事件；盲目套公式，未先验证古典概型成立条件。 典｜例｜精｜析 例3．（多选）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是（ ） A．取出的两个球上标号都是2的概率为 B．取出的两个球上标号为不同数字的概率为 C．取出的两个球上标号中至少有一个标号为1的概率为 D．甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为 变｜式｜巩｜固 1．某快递公司的取件码由8位数字组成，每一位置的数字随机选自，则取件码末位数字是奇数的概率是（ ） A． B． C． D． 2．将一颗质地均匀的正方体骰子，先后抛掷两次，将落地时面朝上的点数分别记为，则的概率是（ ） A． B． C． D． 题型04 已知概率求参 / 做题方法：先列举总基本事件数与含参数的符合条件事件数，代入古典概型概率公式列方程。结合参数取值范围、整数限制解方程，检验结果是否符合实际情境。 易错点：计数时漏解、重数导致列式错误；忽略参数为正整数、非负等隐含条件；解方程后未检验，出现增根；混淆有序与无序计数，使事件基数计算偏差。 典｜例｜精｜析 例4．在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 变｜式｜巩｜固 1．一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（ ） A．4 B．5 C．12 D．15 2．从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则（ ） A．28 B．14 C．10 D．8 题型05 古典概型的概率（提升） / 解题先区分有序与无序、放回与不放回，借助列表、树状图或分步计数统计事件总数与有利事件数。复杂问题合理分类、分步，规避重复计数，严格套用古典概型公式计算。 易错点：分类标准混乱造成重漏；混淆有序无序导致计数错误；忽视等可能前提；多情境组合问题遗漏特殊情况；直接主观判断事件个数，缺乏严谨计数逻辑。 典｜例｜精｜析 例5．（多选）连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，记，则下列说法正确的是（ ） A．事件“”的概率为 B．事件“m是奇数”的概率为 C．事件“”与“”互为对立事件 D．事件“m是奇数”与“”互为互斥事件 变｜式｜巩｜固 1．（多选）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（ ） A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 2．（多选）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，设事件两次掷出的点数之和是5，设事件：至少出现一个奇数点，下列说法正确的是（ ） A． B．与互斥 C． D． 题型06 古典概型的概率（拓展） / 解题需结合分类加法、分步乘法原理计数，精准区分有序无序、放回不放回、分组抽取等复杂情境。复杂题型合理拆分事件，借助组合计数简化列举，严格验证等可能性。 易错点：复合事件计数重复或遗漏；混淆排列与组合适用场景；忽略限制条件与特殊元素；默认等可能而忽视隐藏不等概率情况；多步抽取问题逻辑混乱，基数计算出错。 典｜例｜精｜析 例6．（多选）如图，圆的半径为1，六边形是圆的内接正六边形，从、、、、、六点中任意取两点，并连接成线段，则下列结论正确的是（ ） A．线段的长为1的概率是0.4 B．线段的长为2的概率是0.5 C．线段的长为的概率是0.4 D．线段的长不超过的概率是0.8 变｜式｜巩｜固 1．（多选）在一个不透明的袋子中，装有大小､材质相同的2个红球和3个绿球，从袋中依次抽取2个球，记“第次取到红球”，“第次取到绿球”，其中，则下列说法正确的是（ ） A．若有放回地抽取，则 B．若有放回地抽取，则 C．若不放回地抽取，则 D．若不放回地抽取，则 2．（多选）若从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则（ ） A．的概率是 B．的概率是 C．直线不经过第一象限的概率是 D．的概率是 3．（多选）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则下列事件发生的概率为的是（ ） A． B． C． D．方程有实数解 题型07 概率的基本性质（基础） / 解题熟记核心性质：必然事件概率为 1，不可能事件为 0，随机事件概率介于 0 到 1 之间。利用事件包含关系、互斥事件加法公式、对立事件概率和为 1 解题。 易错点：误以为概率可取负数或大于 1；混淆互斥、对立事件性质；乱用加法公式；忽略范围限制；包含事件中错判概率大小关系。 典｜例｜精｜析 例7．已知事件，互斥，且事件发生的概率，且事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是（ ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．设是一个随机试验中的两个事件，，则（ ） A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5 2．已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A． B． C． D． 题型08 概率的基本性质（提升） / 熟练运用概率单调性：事件包含则概率随之增减。掌握互斥、对立、并事件通用公式，会用补集法简化复杂运算，结合集合关系转化概率问题。多事件拆分分类求解，灵活变形公式。 易错点：随意混用并事件加法公式；忽视事件不互斥时需减交事件概率；混淆包含与互斥的概率大小；多事件叠加遗漏限制条件；滥用对立性质，导致计算偏差。 典｜例｜精｜析 例8．下列说法正确的是（ ） A．若，为两个事件，则 B．若，为互斥事件，则与一定为对立事件 C．若事件，，两两互斥，则 D．若事件，满足，则与为对立事件 变｜式｜巩｜固 1．（多选）已知A，B是一个古典概型的样本空间中的两个随机事件，其中，则（ ） A． B． C．事件与相互独立 D．事件与互斥 2．（多选）已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ） A． B． C．若A与B互斥，则 D．一定有 题型09 古典概型解答题训练 / 解答题需规范步骤：先判断为古典概型，确定是否有序、放回或不放回；用列举、列表、树状图写出全部基本事件，统计总数与符合条件事件数；代入公式列式计算。 易错点：缺少文字说明，步骤不完整扣分；计数重复、遗漏；有序无序判断错误；未写基本事件直接算数；忽视等可能条件，答题格式不规范。 典｜例｜精｜析 例9．一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中表示第一次取出的标签上的数字，表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，求的概率． 变｜式｜巩｜固 1．抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． (1)请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； (2)写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 2．某校为了调查学生的课外阅读情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均课外阅读时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图估计全校学生周平均课外阅读时间的平均数（每组数据取区间的中点值作代表）、众数与中位数， (2)用分层抽样的方法从，，三组中抽取6人，求从这6人中随机选出2人，这2人恰好在同一组的概率． 3．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 概率 10.1.3 古典概型 10.1.4 概率的基本性质 知识点一 随机事件的概率和古典概型 1.随机事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示. 2.古典概型 一般地,若试验E具有以下特征: (1)有限性:样本空间的样本点只有有限个; (2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等. 称试验E为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. 知识点二 古典概型的概率公式 一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)==. 知识点三 概率的基本性质 性质1　对任意的事件A,都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0. 性质3　如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B). 性质5　如果A⊆B,那么P(A)≤P(B). 性质6　设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 即学即练 1．从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球，其样本空间中的样本点共有____________个． 【答案】3 【分析】写出样本空间，由此确定结论. 【详解】试验的样本空间（红球，白球），（红球，黑球），（白球，黑球），样本点共有3个． 故答案为：. 2．将一枚均匀硬币随机掷2次，恰好出现2次正面向上的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，随机掷2次的所有可能情况有{正面、正面}，{反面、正面}，{正面、反面}，{反面、反面}四种情况， 所以恰好出现2次正面向上的情况有{正面、正面}一种情况， 所以随机掷2次，恰好出现2次正面向上的概率为. 3．从10，11，12，13，14，15这6个正整数中任取两个数，其中恰有1个质数的概率为__________. 【答案】 【分析】列举样本点个数，由古典概型进行计算即可得解. 【详解】10，11，12，13，14，15这6个正整数中质数有11和13两个， 则从中任取两个数，所有样本点构成的空间为，共15个样本点， 记事件“从中任取两个数，恰有1个质数”， 则共有8个样本点， 所以从中任取两个数，恰有1个质数的概率为. 故答案为： 题型01 样本空间和样本点 / 解题以定义为核心：随机试验的每个基本结果为样本点，全体样本点构成样本空间。列举法、树状图、列表法梳理所有基本事件，规范书写集合形式。 易错点：遗漏、重复列举样本点；混淆样本点与随机事件，事件是样本点的集合；忽略试验顺序、放回与不放回条件；主观删减冷门结果，导致样本空间不完整，概率计算基数错误。 典｜例｜精｜析 例1．在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件“至少命中6次”，则下列说法正确的是（ ） A．样本空间中共有10个样本点 B．事件中有6个样本点 C．样本点6在事件内 D．事件中包含样本点11 【答案】C 【详解】解析样本空间中有11个样本点，故A错；事件中有5个样本点，故B错；样本点中没有11，故D错．故选C． 变｜式｜巩｜固 ．先后抛均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（ ） A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上” C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币都是反面向上” 【答案】A 【分析】确定样本点，进而逐个判断即可. 【详解】“至少一枚硬币正面向上”包括“五角向上，一元向下”“五角向下，一元向上”“五角、一元都向上”三个样本点． 故选：A. 2．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，观察抽得的2张卡片上的数字，设抽得的第1张卡片上的数字大于第2张卡片上的数字为事件Q，则事件Q含有的样本点个数为（ ） A．8 B．10 C．11 D．15 【答案】B 【分析】由题意利用列表，列举出所以有情况，从中选出符合题目的情况，可得答案. 【详解】如表所示，表中点的横坐标表示抽得的第1张卡片上的数字，纵坐标表示抽得的第2张卡片上的数字， 1 2 3 4 5 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） 则事件． 所以事件Q中含有10个样本点． 故选：B. 题型02 古典概型的判断 / 判断核心：同时满足两大条件，试验样本空间有限、每个样本点发生等可能。解题先判定模型，再枚举总基本事件数与符合条件事件数，套用概率公式计算。 易错点：忽略等可能性直接套用公式；误将不等概率事件当作古典概型；列举事件出现重复、遗漏；混淆放回与不放回试验，错算基本事件总数，造成概率求解错误。 典｜例｜精｜析 例2．下列试验中是古典概型的是（ ） A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 【答案】B 【分析】利用古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性进行判断． 【详解】对于A，“发芽”或“不发芽”概率不同，不满足等可能性，故A错误； 对于B，任取一球的概率相同，均为，故B正确； 对于C，基本事件有无限个，不满足有限性，故C错误； 对于D，由于射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环的概率不等，不满足等可能性，故D错误. 故选：B. 变｜式｜巩｜固 1．下列试验中符合古典概型研究的试验是（ ） A．抛掷一颗六个面都是不同材质的骰子，正面向上的点数 B．抽奖箱里有4个白球和6个黑球，这10个球除颜色外完全相同，从中任取一个球 C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D．射击选手进行射击训练，结果为命中10环、命中9环、……、命中0环 【答案】B 【分析】根据古典概型的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】在选项A中，因为骰子各个面材质不一样，所以每一面出现的可能性是不均等的，故不是古典概型； 在选项B中，球的数量有限，且每次试验中，每个球被抽中的可能性相同，故B项是古典概型； 在选项C中，试验的结果是无穷的，故不是古典概型； 在选项D中，因为各环的大小不均等，不满足各个样本点出现的可能性相等，故不是古典概型. 故选：B 2．下列关于古典概率模型的说法中正确的是（ ） ①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则． A．②④ B．③④ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】利用古典概型概念及的概率计算公式直接求解． 【详解】在①中，由古典概型的概念可知：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，故①正确； 在②中，由古典概型的概念可知：每个基本事件出现的可能性相等，故②错误； 在③中，由古典概型的概念可知：每个样本点出现的可能性相等，故③正确； 在④中，样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则由古典概型及其概率计算公式知，故④正确． 故选：D． 题型03 简单古典概型的概率 / 解题方法：先确认有限性与等可能性，确定总基本事件数，再数出符合条件的事件数，代入公式。常用列举法、列表法、树状图计数。 易错点：计数重复或遗漏；忽视顺序、放回与否的区别；错判事件等可能性；混淆目标事件范围，多算或少算有利事件；盲目套公式，未先验证古典概型成立条件。 典｜例｜精｜析 例3．（多选）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是（ ） A．取出的两个球上标号都是2的概率为 B．取出的两个球上标号为不同数字的概率为 C．取出的两个球上标号中至少有一个标号为1的概率为 D．甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为 【答案】AD 【分析】利用古典概率模型，写出样本空间中的所有样本点，求各选项对应概率，逐项判断即可. 【详解】从甲、乙两个盒子中各取出1个球，其标号构成的样本空间为，共9个样本点. 取出的两个球上标号都是2的概率为，所以A正确； 取出的两个球上标号为不同数字的样本点有，共6个，所以概率为，所以B错误； 取出的两个球上标号中至少有一个标号为1的样本点有，共5个，所以概率为，所以C错误； 所以甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的样本点有，共3个，所以概率为.所以D正确. 故选：AD. 变｜式｜巩｜固 1．某快递公司的取件码由8位数字组成，每一位置的数字随机选自，则取件码末位数字是奇数的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设末位数字是奇数为事件，则末位数字可以为：，共10种情况，而末位数字为奇数的情况有：，共5种情况，所以末位数字是奇数的概率. 2．将一颗质地均匀的正方体骰子，先后抛掷两次，将落地时面朝上的点数分别记为，则的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连续抛两次骰子样本总量为， 由点数均为正整数，可得 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，不符合题意舍去， 当时，，不符合题意舍去， 当时，，不符合题意舍去， 所以满足题设条件的样本点有， 即的概率， 故选：C. 题型04 已知概率求参 / 做题方法：先列举总基本事件数与含参数的符合条件事件数，代入古典概型概率公式列方程。结合参数取值范围、整数限制解方程，检验结果是否符合实际情境。 易错点：计数时漏解、重数导致列式错误；忽略参数为正整数、非负等隐含条件；解方程后未检验，出现增根；混淆有序与无序计数，使事件基数计算偏差。 典｜例｜精｜析 例4．在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，据此可得答案. 【详解】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，则. 故选：B 变｜式｜巩｜固 1．一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（ ） A．4 B．5 C．12 D．15 【答案】A 【分析】利用古典概型概率计算公式列出方程，能求出的值． 【详解】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，个绿球， 从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是， 则， 解得（负值舍去）. 故选：A． 2．从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则（ ） A．28 B．14 C．10 D．8 【答案】D 【分析】根据古典概型求概率公式列出方程，求出的值. 【详解】设为取出的两个数对，x是第一个数，y是第二个数，且 则 设事件A：取出的两个不同的数的和为5 则，则 ， ∴ 故选：D 题型05 古典概型的概率（提升） / 解题先区分有序与无序、放回与不放回，借助列表、树状图或分步计数统计事件总数与有利事件数。复杂问题合理分类、分步，规避重复计数，严格套用古典概型公式计算。 易错点：分类标准混乱造成重漏；混淆有序无序导致计数错误；忽视等可能前提；多情境组合问题遗漏特殊情况；直接主观判断事件个数，缺乏严谨计数逻辑。 典｜例｜精｜析 例5．（多选）连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，记，则下列说法正确的是（ ） A．事件“”的概率为 B．事件“m是奇数”的概率为 C．事件“”与“”互为对立事件 D．事件“m是奇数”与“”互为互斥事件 【答案】BD 【分析】利用列举法和古典概型概率公式可得A错误，B正确，再由互斥事件、对立事件的概念可知C错误，D正确. 【详解】连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数有： ， ， ， ， ， ，共36种； 对于A，事件“”所包含的基本事件为： ，共8个， 所以事件“”的概率为，即A错误， 对于B，事件“是奇数”的共有18个， 因此事件“是奇数”的概率为，可得B正确， 对于C，易知的所有取值为， 当时，可知事件“”与“”可以同时发生， 因此C错误， 对于D，若，则，此时是偶数， 因此“是奇数”与“”不可能同时发生， 互为互斥事件，可得D正确， 故选：BD. 变｜式｜巩｜固 1．（多选）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（ ） A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 【答案】BD 【分析】A选项，列举得到共有4种情况，有3种情况满足要求，故能得2分的概率为；B选项，列举得到共有6种情况，有3种情况满足要求，能得4分的概率为；C选项，列举得到共有11种情况，有4种情况满足要求，故得分的概率为，由于，C错误；D选项，列举得到共有15种情况，能得2分的情况为A，B，D，能得4分的情况为AB，AD，BD，故得2分的概率与得4分的概率相同，D正确. 【详解】A选项，甲同学仅仅随机选择一个选项，共有4种情况，分别为A，B，C，D， 其中有3种情况满足要求，分别为A，B，D，故能得2分的概率为，A错误； B选项，乙同学仅随机选择两个选项，共有6种情况， 分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，其中能得4分的情况有3种，为AB，AD，BD， 故乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为，B正确； C选项，丙同学可以选择两个选项，三个选项和四个选项，共有11种情况， 分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD， 其中得分的情况有4种，为AB，AD，BD，ABD，故得分的概率为， 由B可知，乙同学仅随机选择两个选项，能得分的概率为， ，故丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率低，C错误； D选项，丁同学选择至少一个选项，共有15种情况， 分别为A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD， 能得2分的情况为A，B，D，故能得2分的概率为， 能得4分的情况为AB，AD，BD，故能得4分的概率为， 丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同，D正确. 故选：BD 2．（多选）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，设事件两次掷出的点数之和是5，设事件：至少出现一个奇数点，下列说法正确的是（ ） A． B．与互斥 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，得到试验的基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数，结合事件间的关系和古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】若中依次表示第一、二次对应点数，所有情况有种， 由题意得，事件的基本事件有，共有4种， 其中事件的基本事件有，共27种, 所以，事件与事件不互斥，所以A正确，B不正确； 又由古典概型的概率计算公式，可得，，所以C、D正确. 故选：ACD. 题型06 古典概型的概率（拓展） / 解题需结合分类加法、分步乘法原理计数，精准区分有序无序、放回不放回、分组抽取等复杂情境。复杂题型合理拆分事件，借助组合计数简化列举，严格验证等可能性。 易错点：复合事件计数重复或遗漏；混淆排列与组合适用场景；忽略限制条件与特殊元素；默认等可能而忽视隐藏不等概率情况；多步抽取问题逻辑混乱，基数计算出错。 典｜例｜精｜析 例6．（多选）如图，圆的半径为1，六边形是圆的内接正六边形，从、、、、、六点中任意取两点，并连接成线段，则下列结论正确的是（ ） A．线段的长为1的概率是0.4 B．线段的长为2的概率是0.5 C．线段的长为的概率是0.4 D．线段的长不超过的概率是0.8 【答案】ACD 【分析】先列出样本空间，分别找出线段长为1、2、的线段数量，结合古典概型概率公式计算即可. 【详解】在中任取两点的样本空间 ，共15个样本点， 线段的长为1的样本点有，，，，，，共有6个样本点， 所以线段的长为1的概率，故A正确． 线段的长为2的样本点有，，，共有3个样本点， 所以线段的长为2的概率，故B不正确． 线段的长为的样本点有，，，，，，共有6个样本点， 所以线段的长为的概率，故C正确． 线段的长不超过的概率是，故D正确． 故选：ACD． 变｜式｜巩｜固 1．（多选）在一个不透明的袋子中，装有大小､材质相同的2个红球和3个绿球，从袋中依次抽取2个球，记“第次取到红球”，“第次取到绿球”，其中，则下列说法正确的是（ ） A．若有放回地抽取，则 B．若有放回地抽取，则 C．若不放回地抽取，则 D．若不放回地抽取，则 【答案】BCD 【分析】列举出所有可能性结合古典概型概率公式计算依次判断即可. 【详解】给大小、材质相同的2个红球编号为，3个绿球编号为， 若有放回抽取，则样本空间为：，共包含25个样本点， 其中第一次摸到红球，有，其中包含10个样本点， 第二次摸到红球，有，其中包含10个样本点， 第一次摸到绿球，有，其中包含15个样本点， 第二次摸到绿球，有，其中包含15个样本点， 所以，，故A错误； 因为事件有，其中包含6个样本点， 所以，故B正确； 若不放回抽取，则样本空间为 ，共含有20个样本点， 因为事件有，其中包含6个样本点， 所以，故C正确； 因为事件有，其中包含14个样本点， 所以，故D正确. 故选：BCD 2．（多选）若从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则（ ） A．的概率是 B．的概率是 C．直线不经过第一象限的概率是 D．的概率是 【答案】AB 【分析】对于选项A，先列出的情况，然后针对每个情况求出对应的概率，最后相加即是总概率值；对于选项B，先列出使得的情况种数，然后即可计算概率值；对于选项C，先列出使得直线不经过第一象限的情况种数，然后即可求得概率值；对于选项D，先列出使得的情况种数，然后即可求得概率值. 【详解】对于选项A： 使得的情况有： ①，此时概率为； ②，此时概率为； ③，此时概率为； ④，此时概率为； ⑤，此时概率为； ⑥，此时概率为； 所以使得的概率为，A正确. 对于选项B： 从集合中随机选取一个数的概率为，从集合中随机选取一个数的概率为， 而使得的情况有共7种. 所以使得的概率为，所以B正确. 对于选项C： 从集合中随机选取一个数的概率为，从集合中随机选取一个数的概率为， 而使得直线不经过第一象限的情况有： 共2种. 所以使得直线不经过第一象限的概率为：，C错误. 对于选项D： 从集合中随机选取一个数的概率为，从集合中随机选取一个数的概率为， 而使得的情况有： 共3种. 所以使得的概率为，所以D错误. 故选：AB. 3．（多选）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则下列事件发生的概率为的是（ ） A． B． C． D．方程有实数解 【答案】BCD 【分析】利用列举法及古典概型概率公式逐项分析可得答案. 【详解】先后抛掷一枚骰子两次，得到基本事件总数有36种. 对于选项A，满足的有，，，，，共5种， 故概率为，故A错误； 对于选项B，满足的有，，，，，，共6种， 故概率为，故B正确； 对于选项C，满足，即的有，，，，， ，共6种，故概率为，故C正确； 对于选项D，方程有实数解，则，即， 符合题意的有，，，，，，共6种，故概率为，故D正确. 故选：BCD. 题型07 概率的基本性质（基础） / 解题熟记核心性质：必然事件概率为 1，不可能事件为 0，随机事件概率介于 0 到 1 之间。利用事件包含关系、互斥事件加法公式、对立事件概率和为 1 解题。 易错点：误以为概率可取负数或大于 1；混淆互斥、对立事件性质；乱用加法公式；忽略范围限制；包含事件中错判概率大小关系。 典｜例｜精｜析 例7．已知事件，互斥，且事件发生的概率，且事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】事件A、B互斥，事件都不发生的对立事件是事件与至少有一个发生,由此即可求出答案. 【详解】事件A、B互斥，且事件A发生的概率，事件B发生的， 事件都不发生的对立事件是事件A、B至少有一个发生, 所以事件，都不发生的概率为：. 故选：B. 变｜式｜巩｜固 1．设是一个随机试验中的两个事件，，则（ ） A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5 【答案】D 【分析】根据和事件的概率公式进行求解即可. 【详解】根据题意可得， . 故选：D. 2．已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【详解】由和对立，可得，则. 又随机事件和互斥， 所以. 故选：A. 题型08 概率的基本性质（提升） / 熟练运用概率单调性：事件包含则概率随之增减。掌握互斥、对立、并事件通用公式，会用补集法简化复杂运算，结合集合关系转化概率问题。多事件拆分分类求解，灵活变形公式。 易错点：随意混用并事件加法公式；忽视事件不互斥时需减交事件概率；混淆包含与互斥的概率大小；多事件叠加遗漏限制条件；滥用对立性质，导致计算偏差。 典｜例｜精｜析 例8．下列说法正确的是（ ） A．若，为两个事件，则 B．若，为互斥事件，则与一定为对立事件 C．若事件，，两两互斥，则 D．若事件，满足，则与为对立事件 【答案】C 【分析】根据事件的互斥、对立关系进行分析判断可得. 【详解】对于A：如果，为互斥事件，则， 如，不是互斥事件，则，所以A错误； 对于B：若，为互斥事件，则，有可能都不发生，而对立事件是必有一个发生，所以B错误； 对于C：因事件，，两两互斥，所以， 而，所以，故C正确； 对于D：设连续掷一枚质地均匀的硬币2次的试验中，设A=“至少有一次正面向上”，B=“两次都是正面”， 显然，但与不是对立事件，故D不正确. 故选：C. 变｜式｜巩｜固 1．（多选）已知A，B是一个古典概型的样本空间中的两个随机事件，其中，则（ ） A． B． C．事件与相互独立 D．事件与互斥 【答案】BC 【分析】利用容斥原理，结合古典概率公式求解判断ABD；利用相互独立事件的定义判断C. 【详解】由韦恩图可知，所以，故A，D不正确； 因为，所以，故B正确； 又，所以，故事件与相互独立，C正确. 故选：BC. 2．（多选）已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ） A． B． C．若A与B互斥，则 D．一定有 【答案】ABC 【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 又且，则， 所以，即，故B正确； 对于C，因为A与B互斥，所以， 则，故C正确； 对于D，记事件“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”， 则满足，，但不成立，故D错误； 故选：ABC. 题型09 古典概型解答题训练 / 解答题需规范步骤：先判断为古典概型，确定是否有序、放回或不放回；用列举、列表、树状图写出全部基本事件，统计总数与符合条件事件数；代入公式列式计算。 易错点：缺少文字说明，步骤不完整扣分；计数重复、遗漏；有序无序判断错误；未写基本事件直接算数；忽视等可能条件，答题格式不规范。 典｜例｜精｜析 例9．一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中表示第一次取出的标签上的数字，表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，求的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）通过不放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率； （2）通过有放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率. 【详解】（1）若标签的选取是不放回的，则样本空间为： ，共12种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率为； （2）若标签的选取是有放回的，则样本空间为： ，共16种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率． 变｜式｜巩｜固 1．抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． (1)请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； (2)写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 【答案】(1)，，， (2)，，， 【分析】（1）明确样本空间的总数后，计算对应样本点个数即可得； （2）利用交集与并集定义，并计算对应样本点个数即可得. 【详解】（1）样本空间为， 满足事件的样本点有，，，，，共个， 故； 满足事件的样本点有，，，，，， ，，，，，共个， 故； 满足事件的样本点有，，，，，， ，，，，，，共个， 故； （2） ，共个样本点， 故； ，共个样本点， 故. 2．某校为了调查学生的课外阅读情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均课外阅读时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图估计全校学生周平均课外阅读时间的平均数（每组数据取区间的中点值作代表）、众数与中位数， (2)用分层抽样的方法从，，三组中抽取6人，求从这6人中随机选出2人，这2人恰好在同一组的概率． 【答案】(1)平均数为，众数为，中位数为 (2) 【分析】（1）首先根据频率分布直方图的所有矩形面积和为1，求出的值，利用频率分布直方图估计平均数，众数与中位数的算法可得答案； （2）计算、、三组的人数，根据分层抽样的比例求出每组抽取的人数；最后利用古典概型可得概率值. 【详解】（1）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为， 所以，解得． 估计全校学生周平均课外阅读时间的平均数为： 小时． 估计全校学生周平均课外阅读时间的众数为小时． 设全校学生周平均课外阅读时间的中位数为小时，则， 解得． （2）由频率分布直方图可知，，三组数的频率的比为， 所以利用分层抽样的方法抽取人，这三组被抽取的人数分别为，，， 从这人中随机选出人，则样本空间共有个样本点， 设事件“选出的人在同一组”，则共有个样本点，所以， 即从这人中随机选出人，这人恰好在同一组的概率为． 3．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； （2）根据有放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； 【详解】（1）不放回连续取两次的样本空间，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，， 记“两数之和为3的倍数”为事件，则事件，，，，， ，， （2）设5个球记为，，，，，则有放回地取出两个的样本空间 ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， 记“两球颜色恰好不同的概率”为事件，则，，， ，，，，，，，， ， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $