9.1随机抽样（讲义）高一数学人教A版必修第二册

第九章 统计 9.1 随机抽样 知识点一 统计的相关概念 (1)普查 像人口普查这样,对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查. (2)总体、个体 在一个调查中,我们把调查对象的全体称为总体.组成总体的每一个调查对象称为个体.为了强调调查目的,也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体,每一个调查对象的相应指标作为个体. (3)抽样调查 根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查. (4)样本、样本量 我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本,样本中包含的个体数称为样本容量,简称样本量. 知识点二 简单随机抽样的方法 (1)抽签法 把总体中的N个个体编号,把编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、 小球等)上作为号签,将这些小纸片放在一个不透明的盒里,充分搅拌,最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本,直到抽足样本所需的个数. (2)随机数法 先给总体中的N个个体编号,用随机数工具产生1～N范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程,直到抽足样本所需的个数.产生随机数的方法: ①用随机试验生成随机数; ②用信息技术生成随机数. a.用计算器生成随机数; b.用电子表格软件生成随机数; c.用R统计软件生成随机数. 知识点三 分层抽样的方法 (1)分层抽样 定义：按差异明显的层次分层，按比例从各层抽样 适用条件：总体由差异明显的几部分组成（如男女、高低年级、不同地区） 核心公式： 每层抽取数=样本容量×总体个体数该层个体数 特点：每层等比例抽取，代表性最强 (2)不同抽样的对比 抽样方法 使用总体 特点 共同点 简单随机抽样 总体少 逐个抽取，完全随机 每个个体被抽取概率相等 分层抽样 总体分层，差异大 按比列分层抽取 易错点： ①样本容量是数字，不带单位； ②分层抽样关键：按比例，不能每层抽一样多； ③系统抽样间隔计算必须先处理整除问题； ④随机抽样都是等概率抽样。 知识点四 均值 4.总体均值 一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称为总体均值,又称总体平均数. 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式. 5.样本均值 如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为； 则称为样本均值,又称样本平均数. 即学即练 1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是（ ） A．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 B．从20个零件中随机逐个抽取3个进行质量检验 C．一个儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩，玩后放回再拿下一件，连续玩了5件 D．从无限多个个体中抽取50个个体作为样本 2．（多选题）下列抽样的方式属于简单随机抽样的是（ ） A．从500个个体中一次性抽取50个作为样本 B．将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本 C．箱子共有100个零件，从中选出10个进行检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行检验后，再把它放回箱子 D．福利彩票用摇奖机摇奖 3．利用简单随机抽样的方法，从n个个体中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为______． 题型01 简单随机抽样（抽签法） / 做题步骤：先将总体所有个体统一编号，制作对应号签并充分搅拌均匀，每次不放回逐个抽取号签，依次选取直到抽满样本容量，对应编号个体即为样本。 易错点：号签需大小质地相同保证公平；必须搅拌均匀避免偏差；抽样为不放回抽取；总体个体数量过多时不适合用抽签法；区别样本与样本容量，勿混淆概念 典｜例｜精｜析 例1．在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中随机抽取10个人，那么下列说法正确的是（ ） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 变｜式｜巩｜固 1．某学校数学组要从11名数学老师中推选3名老师参加市里举办的教学能手比赛，制作了11个形状、大小相同的签，抽签中确保公平性的关键是（ ） A．制签 B．搅拌均匀 C．逐一抽取 D．抽取后不放回 2．甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动．抽签决定谁去．那你认为抽到的概率大的是（ ）． A．先抽的概率大些 B．三人的概率相等 C．无法确定谁的概率大 D．以上都不对 题型02 随机数表法 / 做题方法：先给总体个体统一编号，保证位数相同；再随机选定随机数表起始位置，按规定方向依次读数；舍去超出编号范围、重复的数字，依次选取，直至凑足所需样本数。 易错点：编号位数必须一致；读数方向固定不变；重复、无效号码要舍弃；不可人为挑选数字；总体数量大时适用，需保证抽取等可能性，避免抽样误差。 典｜例｜精｜析 例2．现在利用随机数表在50个个体（编号）组成的总体中，抽取10个个体组成样本.下面提供随机数表的第2行到第3行： 若从随机数表中的第2行第7列开始向右依次读取数据，则第6个样本的编号是（ ） A．36 B．43 C．35 D．29 变｜式｜巩｜固 1．总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（ ） 5044 6644 2166 0658 0562 6165 5435 0242 3548 9632 1452 4152 4822 6622 1586 2663 7541 9958 4236 7224 A．42 B．16 C．56 D．06 2．某学校举行了“我向航天员提问”的趣味活动，现从同学们提出的问题中初选个不同类型问题进行连续编号（每个编号都由两个数字组成）：利用随机数表法从中抽取个问题回答.若从下列随机数表第行第个数字开始，每次从左向右选取两个数字，则选出的第个问题编号为（ ） A． B． C． D． 题型03 简单随机抽样的概率 / 做题方法：简单随机抽样中，每个个体被抽到概率相等。 公式：单个个体被抽概率=样本容量/总体数量，按总数与抽样数量直接计算即可。 易错点：区分一次性抽取与逐个不放回抽取，二者概率相同；勿误以为后抽概率更小；看清总体、样本容量，避免代错数据；抽样均为等可能，无先后差别。 典｜例｜精｜析 例3．用抽签法从学号为1到50的50名学生（其中含学生李华）中不放回抽取5名学生进行问卷调查，每次抽取一个号码，共抽取5次，设李华第一次被抽到的概率为，第五次被抽到的概率为，则（ ） A．a=， B．a=， C．a=， D．a=， 变｜式｜巩｜固 1．为了了解某地区5000名小学生的体育素质情况，从中抽取了500名小学生进行测试，该地区每位小学生被抽到的可能性为（ ） A． B． C． D． 2．某学校为调查同学观看“9·3阅兵”的情况，从600名同学中抽取30人进行了解，则每名同学被抽到的概率为（ ） A． B． C． D． 题型04 简单随机抽样估计总体 / 做题方法：利用简单随机抽样抽取样本，计算样本的平均数、频率等数据，用样本特征量估计总体对应特征。依据样本等概率代表性，结合比例关系推算总体数量、整体水平。 易错点：样本只能估计总体，结果不是准确值；样本容量过小误差大；不能以局部片面推断整体；混淆样本数据与总体实际数据，忽略抽样随机性。 典｜例｜精｜析 例4．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石（石，古代质量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得255粒内夹谷29粒，则这批米内夹谷约为（假设一粒谷和一粒米的质量近似相同）（ ） A．210石 B．220石 C．230石 D．240石 变｜式｜巩｜固 1．统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（ ） A．61 B．70 C．98 D．120 2．中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为（ ） A．321石 B．166石 C．434石 D．623石 题型05 分层抽样 / 做题方法：先依据差异划分层次，求出抽样比（样本容量 ÷ 总体容量），再用每层个体数乘抽样比，算出各层抽取数量，分层独立简单随机抽样，整合得到样本。 易错点：必须按比例抽取，不可每层数量相同；分层依据要合理；分清总体、各层数量；抽样比统一不变，避免计算错误；每层都要抽样，不可遗漏层次。 典｜例｜精｜析 例5．已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（ ） A．6人 B．9人 C．12人 D．18人 变｜式｜巩｜固 1．为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（ ） A．按性别分层随机抽样 B．按学段分层随机抽样 C．抽签法 D．随机数表法 2．某家电视台在互联网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12000人，分别来自4个城区，其中东城区2400人，西城区4600人，南城区3800人，北城区1200人，从中抽取60人参加现场节目，采用分层随机抽样的方式抽取参加现场节目的观众． ①确定抽样比，样本容量，总体容量，抽样比为． ②分层，按城区分为四层：东城区、西城区、南城区、北城区． ③按比例确定每层抽取的个体数，在东城区抽取（人），在西城区抽取（人），在南城区抽取（人），在北城区抽取（人）． ④在各层分别用简单随机抽样法抽取样本，将各城区抽取的观众合在一起组成样本． 正确的抽取步骤是______． 题型06 分层抽样的概率 / 做题方法：先计算整体抽样比，每层按同一比例抽样。任意个体被抽取概率 = 样本容量 ÷ 总体容量，每层内概率相等，结合分层数量列式计算。 易错点：分层抽样所有个体概率均等，不要误以为每层概率不同；不可混淆各层人数；计算时找准分层数据，比例统一，防止比例算错、跨层乱算概率。 典｜例｜精｜析 例6．从一个容量为的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是（ ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．某高中高一学生从物化生政史地六科中选三科组合，其中选物化生组合的学生有600人，选物化地组合的学生有400人，选政史地组合的学生有250人，现从高一学生中选取25人作样本调研情况．为保证调研结果相对准确，下列判断错误的是（ ） A．用分层抽样的方法抽取物化生组合的学生12人 B．用分层抽样的方法抽取政史地组合的学生5人 C．物化生组合学生小张被选中的概率比物化地组合学生小王被选中的概率大 D．政史地组合学生小刘被选中的概率为 2．某学校有1200名学生，随机抽出300名进行调查研究，调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全相同的10个红球、10个绿球和10个白球的袋子．调查中有两个问题： 问题1：你的阳历生日月份是不是奇数？ 问题2：你是否抽烟？ 每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出后再放回袋中）．若摸到红球就如实回答第一个问题；若摸到绿球，则不回答任何问题：若摸到白球，则如实回答第二个问题．所有回答“是”的调查者只需往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的被调查者什么也不用做．最后收集回来53个小石子，估计该学校吸烟的人数为__________． 题型07 普查与抽样的合适选择 / 做题方法：范围小、数量少、要求精准、无破坏性选普查；范围广、数量大、具有破坏性、调查成本高，选抽样调查。结合实际场景判断，依据调查特点合理选择。 易错点：易忽略破坏性实验不能普查；误认为数量大就一定抽样；混淆精准需求与粗略估计；样本不具代表性的抽样结果不可靠，特殊关键数据必须普查。 典｜例｜精｜析 例7．下面情况中，更适合用抽样调查的有（ ） ①某学校全体学生体质健康检测；②某小区全体住户燃气、水电设施安全检查 ③一批待售袋装牛奶的细菌数调查；④调查一个县各村的粮食播种面积 ⑤调查一条河流的水质⑥某连锁酒店顾客满意度的调查 A．②③④ B．②③⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．③⑤⑥ 变｜式｜巩｜固 1．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A．了解长寿沙田柚的甜度情况 B．了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C．了解重庆市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D．对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 2．下列调查方式合适的是（ ） A．要了解一批节能灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式 B．要调查某个班级同学的身高，采用抽样调查的方式 C．调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式 D．调查全市高中生每天的睡眠时间，采用全面调查的方式 题型08 总体与样本 / 做题方法：明确考察的研究对象，全部对象为总体，单个是个体。从中抽取的部分个体为样本，样本个数为样本容量。做题先锁定考察指标，区分研究事物本身与数据。 易错点：混淆考察对象，错把数据当总体；样本容量无单位；混淆总体、个体、样本概念；误将样本结果当作总体准确值，忽略样本只是用来估计总体。 典｜例｜精｜析 例8．为了了解兰州成功学校第一次月考考试中高一数学成绩的情况，从参加考试的360名学生中随机地抽查了36名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（ ） A．总体指的是360 B．个体指的是360名学生中的每一名学生 C．样本容量指的是36 D．样本是指36名学生 变｜式｜巩｜固 1．某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析．下列叙述正确的是（ ） A．上述调查属于普查 B．每名学生是总体的一个个体 C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体 2．为了了解某市高三毕业生升学考试中数学成绩的情况，从参加考试的学生中随机地抽查了1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是（ ） A．总体是该市参加升学考试的全体学生 B．个体是抽查的1000名学生中的每一名学生 C．样本量是1000 D．样本是全体学生的数学成绩 题型09 平均数，分层平均数 / 做题方法：普通平均数用总和÷总个数计算；分层平均数先算出每层总量，相加得到整体总量，再除以全部总数量。 易错点：混淆分层权重，直接对每层平均数简单取平均；遗漏分层数据、总数统计错误；忽略每层样本占比，权重分配出错。实际做题需先分层列式，分别求各层数据和，再合并计算，切勿直接平均各层均值。 典｜例｜精｜析 例9．某校高一年级“物理方向”有“物化生､物化地､物化政”三种常见的选科组合，选物化生､物化地､物化政的学生期中考试数学成绩的平均数分别为，若按不同选科组合的人数比例采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为180的样本，抽到选物化生､物化地､物化政的学生人数分别为，则估计该校高一年级“物理方向”的学生期中考试数学成绩的平均数为（ ） A．83 B．82 C．81 D．80 变｜式｜巩｜固 1．样本数据2，4，6，8，的平均数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知某工厂有三条流水线用于生产同一种产品，三条流水线的产量之比为，根据比例分层抽样得到流水线2的样本平均数为9.0，流水线3的样本平均数为9.4，所有样本的平均数为9.3，则流水线1的样本平均数为_____． 3．已知数据，，…，的平均数为2，则数据，，…，的平均数是_______. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 统计 9.1 随机抽样 知识点一 统计的相关概念 (1)普查 像人口普查这样,对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查. (2)总体、个体 在一个调查中,我们把调查对象的全体称为总体.组成总体的每一个调查对象称为个体.为了强调调查目的,也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体,每一个调查对象的相应指标作为个体. (3)抽样调查 根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查. (4)样本、样本量 我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本,样本中包含的个体数称为样本容量,简称样本量. 知识点二 简单随机抽样的方法 (1)抽签法 把总体中的N个个体编号,把编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、 小球等)上作为号签,将这些小纸片放在一个不透明的盒里,充分搅拌,最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本,直到抽足样本所需的个数. (2)随机数法 先给总体中的N个个体编号,用随机数工具产生1～N范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程,直到抽足样本所需的个数.产生随机数的方法: ①用随机试验生成随机数; ②用信息技术生成随机数. a.用计算器生成随机数; b.用电子表格软件生成随机数; c.用R统计软件生成随机数. 知识点三 分层抽样的方法 (1)分层抽样 定义：按差异明显的层次分层，按比例从各层抽样 适用条件：总体由差异明显的几部分组成（如男女、高低年级、不同地区） 核心公式： 每层抽取数=样本容量×总体个体数该层个体数 特点：每层等比例抽取，代表性最强 (2)不同抽样的对比 抽样方法 使用总体 特点 共同点 简单随机抽样 总体少 逐个抽取，完全随机 每个个体被抽取概率相等 分层抽样 总体分层，差异大 按比列分层抽取 易错点： ①样本容量是数字，不带单位； ②分层抽样关键：按比例，不能每层抽一样多； ③系统抽样间隔计算必须先处理整除问题； ④随机抽样都是等概率抽样。 知识点四 均值 4.总体均值 一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称为总体均值,又称总体平均数. 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式. 5.样本均值 如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为； 则称为样本均值,又称样本平均数. 即学即练 1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是（ ） A．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 B．从20个零件中随机逐个抽取3个进行质量检验 C．一个儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩，玩后放回再拿下一件，连续玩了5件 D．从无限多个个体中抽取50个个体作为样本 【答案】B 【分析】根据简单随机抽样的概念依次判断即可求解. 【详解】对于A，抽取个子最高的5名，不是随机抽取，不是简单随机抽样，故A不符合题意； 对于B，从有限总体中进行随机、不放回抽样，符合简单随机抽样的特征，故B符合题意； 对于C，是有放回抽样，不是简单随机抽样，故C不符合题意； 对于D，总体个数是无限的，不是简单随机抽样，故D不符合题意. 故选：B． 2．（多选题）下列抽样的方式属于简单随机抽样的是（ ） A．从500个个体中一次性抽取50个作为样本 B．将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本 C．箱子共有100个零件，从中选出10个进行检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行检验后，再把它放回箱子 D．福利彩票用摇奖机摇奖 【答案】BD 【分析】根据简单随机抽样的概念依次判断即可. 【详解】根据简单随机抽样的概念：从有限总体中进行随机、不放回抽样， 可知A不是逐个抽取，C不是不放回抽取，故不是简单随机抽样，BD是简单随机抽样． 故选：BD 3．利用简单随机抽样的方法，从n个个体中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为______． 【答案】 【分析】根据第二次抽取时余下的每个个体被抽取到的概率为求得，可得答案. 【详解】第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则，即，则． 所以在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为． 故答案为：. 题型01 简单随机抽样（抽签法） / 做题步骤：先将总体所有个体统一编号，制作对应号签并充分搅拌均匀，每次不放回逐个抽取号签，依次选取直到抽满样本容量，对应编号个体即为样本。 易错点：号签需大小质地相同保证公平；必须搅拌均匀避免偏差；抽样为不放回抽取；总体个体数量过多时不适合用抽签法；区别样本与样本容量，勿混淆概念 典｜例｜精｜析 例1．在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中随机抽取10个人，那么下列说法正确的是（ ） A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【答案】B 【分析】根据随机抽样的特征，即可判断出结果. 【详解】由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等， 然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的， 所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的. 故选：B. 变｜式｜巩｜固 1．某学校数学组要从11名数学老师中推选3名老师参加市里举办的教学能手比赛，制作了11个形状、大小相同的签，抽签中确保公平性的关键是（ ） A．制签 B．搅拌均匀 C．逐一抽取 D．抽取后不放回 【答案】B 【分析】确保公平性要保证每个签抽到是等概率的，分析即得解 【详解】确保公平性要保证每个签抽到是等概率的，因此抽签法要做到搅拌均匀，才具有公平性． 故选：B 2．甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动．抽签决定谁去．那你认为抽到的概率大的是（ ）． A．先抽的概率大些 B．三人的概率相等 C．无法确定谁的概率大 D．以上都不对 【答案】B 【解析】根据抽签法，每个个体被抽取的概率相等判断. 【详解】∵甲、乙、丙三位选手抽到的概率是， 故选：B． 题型02 随机数表法 / 做题方法：先给总体个体统一编号，保证位数相同；再随机选定随机数表起始位置，按规定方向依次读数；舍去超出编号范围、重复的数字，依次选取，直至凑足所需样本数。 易错点：编号位数必须一致；读数方向固定不变；重复、无效号码要舍弃；不可人为挑选数字；总体数量大时适用，需保证抽取等可能性，避免抽样误差。 典｜例｜精｜析 例2．现在利用随机数表在50个个体（编号）组成的总体中，抽取10个个体组成样本.下面提供随机数表的第2行到第3行： 若从随机数表中的第2行第7列开始向右依次读取数据，则第6个样本的编号是（ ） A．36 B．43 C．35 D．29 【答案】D 【分析】根据要求，依次读取满足50以内且不重复的样本，得到答案. 【详解】第2行第7列的数据为4，依次读取满足50以内且不重复的数据为43,49,35,36,23,29， 故第6个样本的编号为29. 故选：D 变｜式｜巩｜固 1．总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（ ） 5044 6644 2166 0658 0562 6165 5435 0242 3548 9632 1452 4152 4822 6622 1586 2663 7541 9958 4236 7224 A．42 B．16 C．56 D．06 【答案】C 【详解】由题意可知，从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字， 则选出来的个体编号依次为：64（舍去），42，16，60（舍去），65（舍去），80（舍去），56，26，16（舍去），55，43， 即选出的6个个体编号依次为：42，16，56，26，55，43，所以第3个个体的编号为56. 2．某学校举行了“我向航天员提问”的趣味活动，现从同学们提出的问题中初选个不同类型问题进行连续编号（每个编号都由两个数字组成）：利用随机数表法从中抽取个问题回答.若从下列随机数表第行第个数字开始，每次从左向右选取两个数字，则选出的第个问题编号为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据随机数表法的读数规则结合题意求出需选取符合条件的5个数字即可得解. 【详解】由题可知依次选取符合条件的5个数字为：. 所以选出的第个问题编号为11. 故答案为：B 题型03 简单随机抽样的概率 / 做题方法：简单随机抽样中，每个个体被抽到概率相等。 公式：单个个体被抽概率=样本容量/总体数量，按总数与抽样数量直接计算即可。 易错点：区分一次性抽取与逐个不放回抽取，二者概率相同；勿误以为后抽概率更小；看清总体、样本容量，避免代错数据；抽样均为等可能，无先后差别。 典｜例｜精｜析 例3．用抽签法从学号为1到50的50名学生（其中含学生李华）中不放回抽取5名学生进行问卷调查，每次抽取一个号码，共抽取5次，设李华第一次被抽到的概率为，第五次被抽到的概率为，则（ ） A．a=， B．a=， C．a=， D．a=， 【答案】B 【分析】由题意结合简单随机抽样的特征即可确定实数，的值. 【详解】由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到， 因为每次抽取一个号码，所以李华第一次被抽到的可能性为， 第五次被抽到的可能性为. 即李华同学在每次抽样中被抽到的可能性都是，所以，. 故选：B. 变｜式｜巩｜固 1．为了了解某地区5000名小学生的体育素质情况，从中抽取了500名小学生进行测试，该地区每位小学生被抽到的可能性为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用简单随机抽样的定义求解即可. 【详解】该地区每位小学生被抽到的可能性为, 故选：A 2．某学校为调查同学观看“9·3阅兵”的情况，从600名同学中抽取30人进行了解，则每名同学被抽到的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据简单随机抽样的性质求解即可． 【详解】从600名同学中抽取30人进行了解，每名同学被抽到的概率为． 故选：D． 题型04 简单随机抽样估计总体 / 做题方法：利用简单随机抽样抽取样本，计算样本的平均数、频率等数据，用样本特征量估计总体对应特征。依据样本等概率代表性，结合比例关系推算总体数量、整体水平。 易错点：样本只能估计总体，结果不是准确值；样本容量过小误差大；不能以局部片面推断整体；混淆样本数据与总体实际数据，忽略抽样随机性。 典｜例｜精｜析 例4．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石（石，古代质量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得255粒内夹谷29粒，则这批米内夹谷约为（假设一粒谷和一粒米的质量近似相同）（ ） A．210石 B．220石 C．230石 D．240石 【答案】C 【分析】根据抽样取米一把，数得255粒内夹谷29粒，可计算出夹谷的频率，从而得解． 【详解】设这批米内夹谷约为石，根据样本的性质可得，求得， 即这批米内夹谷约为230石， 故选：C. 变｜式｜巩｜固 1．统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（ ） A．61 B．70 C．98 D．120 【答案】B 【分析】根据统计估计计算求解. 【详解】根据已知从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60， 则，所以. 2．中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为（ ） A．321石 B．166石 C．434石 D．623石 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用样本的数字特征估计总体的相应特征作答. 【详解】设粮仓内的秕谷有石，依题意，，解得， 所以粮仓内的秕谷约为434石. 故选：C 题型05 分层抽样 / 做题方法：先依据差异划分层次，求出抽样比（样本容量 ÷ 总体容量），再用每层个体数乘抽样比，算出各层抽取数量，分层独立简单随机抽样，整合得到样本。 易错点：必须按比例抽取，不可每层数量相同；分层依据要合理；分清总体、各层数量；抽样比统一不变，避免计算错误；每层都要抽样，不可遗漏层次。 典｜例｜精｜析 例5．已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（ ） A．6人 B．9人 C．12人 D．18人 【答案】B 【分析】根据分层抽样的比例关系，分别计算抽取的中年人与青少年人数，再求人数差值． 【详解】设中年人抽取人，青少年抽取人，由分层随机抽样可知，，解得，， 故中年人比青少年多9人． 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（ ） A．按性别分层随机抽样 B．按学段分层随机抽样 C．抽签法 D．随机数表法 【答案】B 【分析】由分层抽样的概念即可判断； 【详解】因为男、女生的阅读时间差异不大，而小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，故应按照学段分层随机抽样． 故选：B． 2．某家电视台在互联网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12000人，分别来自4个城区，其中东城区2400人，西城区4600人，南城区3800人，北城区1200人，从中抽取60人参加现场节目，采用分层随机抽样的方式抽取参加现场节目的观众． ①确定抽样比，样本容量，总体容量，抽样比为． ②分层，按城区分为四层：东城区、西城区、南城区、北城区． ③按比例确定每层抽取的个体数，在东城区抽取（人），在西城区抽取（人），在南城区抽取（人），在北城区抽取（人）． ④在各层分别用简单随机抽样法抽取样本，将各城区抽取的观众合在一起组成样本． 正确的抽取步骤是______． 【答案】②①③④ 【分析】根据分层抽样的步骤排序即可. 【详解】按照分层随机抽样的步骤分层、求比、定数、抽样可得正确的步骤为②①③④． 故答案为：②①③④ 题型06 分层抽样的概率 / 做题方法：先计算整体抽样比，每层按同一比例抽样。任意个体被抽取概率 = 样本容量 ÷ 总体容量，每层内概率相等，结合分层数量列式计算。 易错点：分层抽样所有个体概率均等，不要误以为每层概率不同；不可混淆各层人数；计算时找准分层数据，比例统一，防止比例算错、跨层乱算概率。 典｜例｜精｜析 例6．从一个容量为的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由简单随机和随机抽样，每个个体被抽中的概率相等的特点可得答案． 【详解】 随机抽样每个个体被抽到的概率相等， 选取分层抽样抽取样本时总体中每个个体被抽中的概率仍为， 故选：A 变｜式｜巩｜固 1．某高中高一学生从物化生政史地六科中选三科组合，其中选物化生组合的学生有600人，选物化地组合的学生有400人，选政史地组合的学生有250人，现从高一学生中选取25人作样本调研情况．为保证调研结果相对准确，下列判断错误的是（ ） A．用分层抽样的方法抽取物化生组合的学生12人 B．用分层抽样的方法抽取政史地组合的学生5人 C．物化生组合学生小张被选中的概率比物化地组合学生小王被选中的概率大 D．政史地组合学生小刘被选中的概率为 【答案】C 【分析】根据分层抽样，计算各层抽取的人数以及抽样比，即可得出答案. 【详解】对于A项，用分层抽样的方法抽取物化生组合的学生为人，故A项正确； 对于B项，用分层抽样的方法抽取政史地组合的学生为，故B项正确； 对于C项，根据分层抽样的特征知，每位同学被选中的概率相等，均为，故C项错误； 对于D项，由C知，每位同学被选中的概率均为，故D项正确. 故选：C. 2．某学校有1200名学生，随机抽出300名进行调查研究，调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全相同的10个红球、10个绿球和10个白球的袋子．调查中有两个问题： 问题1：你的阳历生日月份是不是奇数？ 问题2：你是否抽烟？ 每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出后再放回袋中）．若摸到红球就如实回答第一个问题；若摸到绿球，则不回答任何问题：若摸到白球，则如实回答第二个问题．所有回答“是”的调查者只需往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的被调查者什么也不用做．最后收集回来53个小石子，估计该学校吸烟的人数为__________． 【答案】36 【分析】根据题意估计出该校吸烟人数的比例，再用总人数乘以该比例即可得到答案. 【详解】由题意可知，每个学生从袋中摸出1个红球或1个绿球或1个白球的概率都是， 即大约有（人）回答了第一个问题，（人）不回答任何问题，（人）回答了第二个问题． 因为阳历生日月份是奇数的概率是， 所以回答第一个问题的100人中，大约有50人回答了“是”． 所以我们能推出，在回答第二个问题的100人中，大约有3人回答了“是”， 即估计该学校大约有3%的学生抽烟，也就是全校大约有36人抽烟． 故答案为：36. 题型07 普查与抽样的合适选择 / 做题方法：范围小、数量少、要求精准、无破坏性选普查；范围广、数量大、具有破坏性、调查成本高，选抽样调查。结合实际场景判断，依据调查特点合理选择。 易错点：易忽略破坏性实验不能普查；误认为数量大就一定抽样；混淆精准需求与粗略估计；样本不具代表性的抽样结果不可靠，特殊关键数据必须普查。 典｜例｜精｜析 例7．下面情况中，更适合用抽样调查的有（ ） ①某学校全体学生体质健康检测；②某小区全体住户燃气、水电设施安全检查 ③一批待售袋装牛奶的细菌数调查；④调查一个县各村的粮食播种面积 ⑤调查一条河流的水质⑥某连锁酒店顾客满意度的调查 A．②③④ B．②③⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．③⑤⑥ 【答案】D 【分析】根据抽样调查与全面调查（普查）的适用条件，判断各情况适合的调查方式即可. 【详解】①某学校全体学生体质健康检测学校学生人数有限，且体质健康检测需要准确结果，适合普查； ②某小区全体住户燃气、水电设施安全检查关系到住户生命财产安全，必须确保全覆盖，适合普查； ③一批待售袋装牛奶的细菌数调查检测细菌数需要破坏牛奶样本（具有破坏性），无法对所有牛奶进行检测，适合抽样调查； ④调查一个县各村的粮食播种面积数据需要精确统计，且县内村庄数量有限，适合普查； ⑤调查一条河流的水质河流范围广，无法对全部水体进行检测，只需抽取不同点位的水样即可推断整体水质，适合抽样调查； ⑥某连锁酒店顾客满意度的调查连锁酒店顾客数量庞大，全面调查成本高，只需抽取部分顾客即可反映整体满意度，适合抽样调查. 故选：D. 变｜式｜巩｜固 1．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A．了解长寿沙田柚的甜度情况 B．了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C．了解重庆市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D．对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 【答案】D 【分析】根据抽样调查和普查的特点逐一判断. 【详解】对于A，了解长寿沙田柚的甜度情况，普查工作量大且有破坏性，适合抽样调查； 对于B，了解某品牌新能源汽车电池的续航能力，普查工作量大且有破坏性，适合抽样调查； 对于C，了解重庆市中学生收看9月3日阅兵直播情况，普查工作量大，适合抽样调查； 对于D，对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查，是精确度要求高的调查，适合全面调查. 故选：D. 2．下列调查方式合适的是（ ） A．要了解一批节能灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式 B．要调查某个班级同学的身高，采用抽样调查的方式 C．调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式 D．调查全市高中生每天的睡眠时间，采用全面调查的方式 【答案】C 【分析】根据全面调查与抽样调查的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，了解一批节能灯的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查， 而不能将整批节能灯全部用于实验，故A错误； 对于B，要调查某个班级同学的身高，采用全面调查的方式，故B错误； 对于C，调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式，故C正确； 对于D，调查全市高中生每天的睡眠时间，采用抽样调查的方式，故D错误. 故选：C. 题型08 总体与样本 / 做题方法：明确考察的研究对象，全部对象为总体，单个是个体。从中抽取的部分个体为样本，样本个数为样本容量。做题先锁定考察指标，区分研究事物本身与数据。 易错点：混淆考察对象，错把数据当总体；样本容量无单位；混淆总体、个体、样本概念；误将样本结果当作总体准确值，忽略样本只是用来估计总体。 典｜例｜精｜析 例8．为了了解兰州成功学校第一次月考考试中高一数学成绩的情况，从参加考试的360名学生中随机地抽查了36名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（ ） A．总体指的是360 B．个体指的是360名学生中的每一名学生 C．样本容量指的是36 D．样本是指36名学生 【答案】C 【详解】总体是指360名学生的数学成绩，个体是每一名学生的数学成绩，样本是36名学生的数学成绩，只有C正确. 变｜式｜巩｜固 1．某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析．下列叙述正确的是（ ） A．上述调查属于普查 B．每名学生是总体的一个个体 C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体 【答案】C 【分析】由抽样调查的定义逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为抽取一部分对象的调查方式是抽查，对全体对象进行研究的调查方式是普查，所以此调查为抽样调查，所以A错误； 对于B，每名学生的视力是总体的一个个体，所以B错误； 对于C，200名学生的视力是总体的一个样本，所以C正确； 对于D，1200名学生的视力是总体，所以D错误. 故选：C 2．为了了解某市高三毕业生升学考试中数学成绩的情况，从参加考试的学生中随机地抽查了1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是（ ） A．总体是该市参加升学考试的全体学生 B．个体是抽查的1000名学生中的每一名学生 C．样本量是1000 D．样本是全体学生的数学成绩 【答案】D 【分析】从总体，个体，样本和样本容量的定义进行判断 【详解】总体是该市参加升学考试的全体学生，A正确， 个体是该市参加升学考试的每一名学生，B正确， 样本是抽查的1000名学生，样本量是1000，C正确，D错误. 故选：D. 题型09 平均数，分层平均数 / 做题方法：普通平均数用总和÷总个数计算；分层平均数先算出每层总量，相加得到整体总量，再除以全部总数量。 易错点：混淆分层权重，直接对每层平均数简单取平均；遗漏分层数据、总数统计错误；忽略每层样本占比，权重分配出错。实际做题需先分层列式，分别求各层数据和，再合并计算，切勿直接平均各层均值。 典｜例｜精｜析 例9．某校高一年级“物理方向”有“物化生､物化地､物化政”三种常见的选科组合，选物化生､物化地､物化政的学生期中考试数学成绩的平均数分别为，若按不同选科组合的人数比例采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为180的样本，抽到选物化生､物化地､物化政的学生人数分别为，则估计该校高一年级“物理方向”的学生期中考试数学成绩的平均数为（ ） A．83 B．82 C．81 D．80 【答案】B 【分析】利用分层抽样平均数公式计算得. 【详解】依题意，样本平均数为， 所以估计该校高一年级“物理方向”的学生期中考试数学成绩的平均数为82. 故选：B 变｜式｜巩｜固 1．样本数据2，4，6，8，的平均数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据平均数的定义直接计算可得. 【详解】由平均数的定义，平均为. 故选：C. 2．已知某工厂有三条流水线用于生产同一种产品，三条流水线的产量之比为，根据比例分层抽样得到流水线2的样本平均数为9.0，流水线3的样本平均数为9.4，所有样本的平均数为9.3，则流水线1的样本平均数为_____． 【答案】9.5 【分析】由题干中的比例，根据平均数的计算公式建立方程，可得答案. 【详解】根据题意，不妨设抽取的样本容量分别为，，， 设三条流水线的样本平均数分别为，总体样本平均数为， 则 根据样本平均数公式可得， 解得，所以流水线1的样本平均数为9.5． 3．已知数据，，…，的平均数为2，则数据，，…，的平均数是_______. 【答案】11 【分析】根据平均数的概念和公式计算即可. 【详解】因为的平均数为2，所以. 所以的平均数为： . 故答案为：11. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $