第六-八章 单元综合训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦复数、立体几何、向量、解三角形跨章节整合，以题载知，强化知识逻辑与核心素养 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数|2题|概念辨析与复平面应用|从虚部定义到复平面点位置判断，体现数系扩充逻辑| |立体几何|6题|直观图面积、圆锥体积、球外接、面面关系证明|从平面直观图到空间几何体体积，再到球与三棱锥外接，构建空间观念| |向量|6题|投影向量、夹角计算、重心性质|从单位向量、投影概念到向量垂直平行及重心向量表示，强化运算能力| |解三角形|6题|形状判断、实际应用、外接圆|从正余弦定理应用到三角形面积、外接圆计算，渗透模型意识与推理能力|

数学试题 一、单项选择题： 1. 若为虚数单位，则复数的虚部为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，其虚部为. 故选：A. 2. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】由题意，利用斜二测画法的定义，画出原图形， ∵是等腰直角三角形，，斜边， ∴， ∴， ∴原平面图形的面积是. 故选：A． 3. 某圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，扇形的半径为5，则圆锥的体积为（ ） A. B. 75 C. D. 【答案】D 【解析】设底面圆的半径为，则，解得：， 设圆锥的高为，则，则圆锥的体积为. 故选：D. 4. 已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可知向量在向量上的投影向量为， 则，即， 而，故. 故选：D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 等边三角形绕其一条边旋转一周所得的几何体是圆锥 B. 球体的截面都是圆面 C. 正四棱台的侧面展开图是一个等腰梯形 D. 正三棱锥的四个面都是等边三角形 【答案】B 【解析】对选项A：等边三角形绕其一条边旋转一周所得几何体是两个圆锥的组合体， 错误； 对选项B：球体的截面都是圆面，正确； 对选项C：正四棱台的侧面是一个等腰梯形，侧面展开图不是，错误； 对选项D：正三棱锥的侧面可能不是等边三角形，错误. 故选：B. 6. 已知分别为三个内角的对边，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 【答案】D 【解析】因为，由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以为钝角三角形. 故选：D. 7. 如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】B 【解析】，，，， 则，即，. 故选：B. 8. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，如图所示： 则，故，球的半径， 故体积为. 故选：D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 设，，为三个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，∥，∥，则∥ B. 若上有两点到的距离相等，则∥ C. ，，两两相交于三条直线，，，若∥，则∥ D. 与互为异面直线，∥，∥，∥，∥，则∥ 【答案】CD 【解析】若，，∥，∥，当m与n相交时，有∥， 否则，∥不一定平行，故A错误； 若上有两点到的距离相等，与可能平行，也可能相交，故B错误； ，，两两相交于三条直线，，，不妨设， 易知，否则，，交于同一条直线，不满足题意， 因为，则， 又，则，故C正确； 因为与互为异面直线，∥，∥， 则内存在，且直线、会相交， 因为，则易得，所以，故D正确． 故选：CD. 10. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，，则只有一解 【答案】AB 【解析】对于A，因，所以， 所以由正弦定理得， 所以A正确； 对于B，因为，所以由正弦定理得（为三角形外接圆半径）， 所以，所以B正确； 对于C，因为，所以由余弦定理得， 所以，化简得， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，所以C错误； 对于D，设边上的高为，则， 因为，，所以，所以有两解，所以D错误. 故选：AB. 11. 已知平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 与的夹角的余弦值为 B. 若，则 C. 在上的投影向量为 D. 若向量与向量夹角为锐角，则且 【答案】ACD 【解析】因为，所以， 设与的夹角为，则，故A正确； 由A选项知，因为， 所以，故选项B不正确； 在上的投影向量为 ，故选项C正确； 由，如果向量与向量夹角为锐角， 则：即， 当时，向量与向量同向，此时夹角为0， 所以若向量与向量夹角为锐角，则且，故选项D正确. 故选：ACD. 12. 已知△ABC的重心为，边的中点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若△ABC为正三角形，则 C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】对于A，因为为中的中点，所以，所以A正确； 对于B，因为为正三角形，所以， 所以，所以B不正确； 对于C，因为，所以，所以C正确； 对于D，因为为的重心，分别为边的中点， 所以，即， 所以 ，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13. 已知复数，则_________. 【答案】 【解析】复数，则， 所以. 故答案为：. 14.设，为单位向量，且，的夹角为，若，，则__________． 【答案】5 【解析】由已知， ． 故答案为：5. 15. 如图，在正六边形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，则_________． 【答案】 【解析】设正六边形边长为1，则与的夹角为， 故在向量上的投影向量为， 所以. 故答案为：. 16. 已知三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，且，，则三棱锥的体积为__________． 【答案】 【解析】因为三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直， 所以将三棱锥补成如图所示的长方体，则长方体的体对角线等于三棱锥外接球的直径， 因为三棱锥外接球的表面积为， 所以，得， 所以，，得， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知为虚数单位. （1）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的范围； （2）若复数满足，求复数. 解：（1）因为复数在复平面内对应的点在第三象限， 所以， 得的取值范围是：. （2）设复数，由条件得， 所以解得：，所以. 18. 已知向量． （1）若向量与垂直，求实数k的值； （2）若向量，且与向量平行，求实数k的值． 解：（1）因为， 所以， 又与垂直， 所以，即，解得， 所以. （2）因为，， 因为， 又与向量平行， 所以，即，解得， 所以. 19. 如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，，求. 解：（1）因为在菱形中， ， 故， 故，所以. （2）显然， 所以①， 因为菱形，且，， 故，， 所以， 故①式， 故. 20. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的面积． 解：（1）由整理得， ，由，. （2），由正弦定理得，①， 又，②， 由①②得， . 21. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若是锐角三角形，且，求外接圆面积的取值范围. 解：（1）因为， 由正弦定理得， 因为，可得，所以， 即，即， 又因为，所以，所以. （2）由，可得，即， 因为为锐角三角形，所以且， 解得，所以， 设的外接圆的半径为，因为，由正弦定理得， 可得，所以外接圆的面积， 所以外接圆的面积的取值范围为. 22. 如图，正三棱柱中，E、F、G分别为棱、、的中点． （1）证明：∥平面； （2）在线段是否存在一点，使得平面∥平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由． 解：（1）证明：取的中点，连接，， 在中，因为E、M分别为、的中点， 所以且， 又为的中点，，所以且， 即且， 故四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）当N为的中点时，平面平面， 证明：连接，， 因为N，F分别是和的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面． 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 1、 单项选择题： 1. 若为虚数单位，则复数的虚部为 （ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（　　） A. B. 1 C. D. 3. 某圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，扇形的半径为5，则圆锥的体积为（ ） A. B. 75 C. D. 4. 已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 等边三角形绕其一条边旋转一周所得的几何体是圆锥 B. 球体的截面都是圆面 C. 正四棱台的侧面展开图是一个等腰梯形 D. 正三棱锥的四个面都是等边三角形 6. 已知分别为三个内角的对边，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 7. 如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 8. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题： 9. 设，，为三个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列说法正确的是( ) A. 若，，∥，∥，则∥ B. 若上有两点到的距离相等，则∥ C. ，，两两相交于三条直线，，，若∥，则∥ D. 与互为异面直线，∥，∥，∥，∥，则∥ 10. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，，则只有一解 11. 已知平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 与的夹角的余弦值为 B. 若，则 C. 在上的投影向量为 D. 若向量与向量夹角为锐角，则且 12. 已知△ABC的重心为，边的中点分别为，则下列说法正确的是 ( ) A. B. 若△ABC为正三角形，则 C. 若，则 D. 三、填空题： 13. 已知复数，则_________. 14.设，为单位向量，且，的夹角为，若，，则_______． 15. 如图，在正六边形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，则_____． 16. 已知三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，且，，则三棱锥的体积为__________． 四、解答题： 17. 已知为虚数单位. （1）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的范围； （2）若复数满足，求复数. 18. 已知向量． （1）若向量与垂直，求实数k的值； （2）若向量，且与向量平行，求实数k的值． 19. 如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，，求. 20. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的面积． 21. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若是锐角三角形，且，求外接圆面积的取值范围. 22. 如图，正三棱柱中，E、F、G分别为棱、、的中点． （1）证明：∥平面； （2）在线段是否存在一点，使得平面∥平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $