第8章 四边形（知识清单）数学新教材青岛版八年级下册

第八章 四边形 知识点01 四边形的不稳定性 定义：四边形的边长确定时，其形状可以改变 应用：伸缩门、折叠椅等 知识点02 梯形的概念 梯形：只有一组对边平行的四边形 等腰梯形：两腰相等，同一底上的两个角相等 直角梯形：一腰垂直于底 知识点03 平行四边形的概念及性质与判定 1.平行四边形的概念:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 .2.平行四边形的性质: (1) 平行四边形的对边相等; (2) 平行四边形的对角相等 (3)平行四边形的对角线互相平分。 3.平行四边形的判定 (1)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(概念) (2)一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 (3)对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 (4)两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 知识点04 三角形的中位线定理 (1) 三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段称为中位线(三角形中有3条中位线) (2)三角形中位线定理:如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点 则DE∥ BC DE=BC 知识点05 矩形的概念及性质与判定 1.矩形的概念和性质 (1)有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质:矩形的对角线相等，四个角都是直角。 (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2.矩形的判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形 (2)三个角是直角的四边形是矩形 (3)对角线相等的平行四边形是矩形 知识点06 菱形的概念及性质与判定 1.萎形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，萎形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质:菱形的四条边相等;菱形的对角线互相垂直。 2.萎形的判定 (1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(概念) (2)四边相等的四边形是菱形 (3)对角线互相垂直的平行四边形是萎形 知识点07 正方形的概念及性质与判定 1正方形的概念与性质 (1)正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形． (2)正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质．（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 2正方形的判定 (1)正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； (2)邻边相等的矩形是正方形； (3)对角线相等的菱形是正方形； (4)对角线互相垂直的矩形是正方形． 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系（如图3所示）： 易错点1 平行四边形的判定方法 错误：（1）认为一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 （2）认为一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形． 注意：（1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形． （2）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形． 例题1 （2024-2025云南省曲靖市八下期末）在四边形中，，添加下列一个条件后，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【来源】云南省曲靖市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，据此结合题意逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，故此选项符合题意； B、添加条件，结合，不可以证明四边形是平行四边形，故此选不项符合题意； C、添加条件，结合，不可以证明四边形是平行四边形，故此选不项符合题意； D、添加条件，结合，不可以证明四边形是平行四边形，故此选不项符合题意； 故选：A． 易错点2 确定平行四边形的个数 错误：确定平行四边形的个数时，容易出现重复或遗漏。 注意：解题的关键，写出平行四边形时要按照一定的顺序（大小顺序，方位顺序等），这样方能做到不重不漏． 例题2如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过O点且平行于AB，则图中平行四边形共有(   ) A．15个 B．16个 C．17个 D．18个 【答案】D 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，根据图形写出所有的平行四边形即可得解． 【详解】解：平行四边形有：▱AEOG，▱AEFD，▱ABHG，▱GOFD，▱GHCD，▱EBHO，▱EBCF，▱OHCF，▱ABCD，▱EHFG， ▱AEHO，▱AOFG，▱EODG，▱BHFO，▱HCOE，▱OHFD，▱OCFG，▱BOGE． 共18个． 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，准确识别复杂图形是解题的关键，写出平行四边形时要按照一定的顺序，这样方能做到不重不漏． 易错点3 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 错误：求与已知三点组成平行四边形的点的个数时容易出现遗漏。 注意：学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 例题3 在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为、、，以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点D的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】根据平行四边形的性质和平移的性质，分三种情形即可解决问题． 【详解】解： A、B、C三点的坐标分别为、、， 当为的对角线时，平移到，根据平移规律可得， 当为的对角线时，平移到，根据平移规律可得， 当为的对角线时，平移到，根据平移规律可得． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 易错点4矩形的判定方法 错误：（1）用定义判定一个四边形是矩形时漏掉平行四边形的条件. （2）用对角线判定一个四边形是矩形时漏掉平行四边形的条件. 注意：判定矩形的常见思路 （1）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形． （2）用对角线判定一个四边形是矩形，必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形． 例题4 （2025·河南周口·三模）如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定；根据矩形的判定条件进行解答即可． 【详解】解：添加条件为：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 故选：A． 易错点5 矩形背景下折叠旋转的多解问题 错误：矩形背景下折叠旋转的问题易出现漏解 注意：解决矩形背景下折叠旋转的问题时要注意分类讨论，避免漏解。另外 （1）旋转问题的解决注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． （2）折叠问题的解决要注意：矩形的判定与性质与含30°的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，全等三角形等相关知识间的联系与运用。 例题5 如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为____时，△AB'D是直角三角形． 【答案】6或4 【分析】分∠B′AD=90°和∠AB′D=90°两种情况，画出图形，利用含30°的直角三角形的性质和矩形的判定与性质解答即可． 【详解】解：∵AB＜BC，∴∠ADB′≠90°． ①当∠B′AD=90°时，如图1，延长B′A交BC于E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∠B=∠ADC， ∴∠B′EC=90°， 由折叠性质得，BC=B′C，AB=AB′，∠AB′C=∠B=30°， 在Rt△B′EC中，CE=B′C，即CE=BC， ∴BE=CE=BC， 在Rt△ABE中，∠B=30°，AB＝2， ∴AE=AB=，BE==3， ∴BC=2BE=6； ②当∠AB′D=90°时，如图2，设AD与B′C相交于O， ∵AD∥BC， ∴∠OAC=∠ACB， 由折叠性质得：∠BAC=∠B′AC，∠ACO=∠ACB，∠B=∠AB′C， ∴∠OAC=∠ACO， ∴OA=OC，又AD=BC=B′C， ∴OD=OB′ ∴∠ODB′=∠OB′D，即∠ADB′≠90°． ∵∠ADC=∠B=∠AB′C， ∴∠CDB′=∠AB′D=90°， ∴CD∥AB′，又CD =AB′， ∴四边形AB′DC是矩形， ∴∠B′AC=90°，即∠BAC=90°， 在Rt△BAC中，∠B=30°，AB=， ∴BC=2AC，BC2=AB2+AC2， 解得：BC=4， 综上，当BC长为6或4时，△AB′D是直角三角形． 故答案为：6或4． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、含30°的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识间的联系与运用是解答的关键． 易错点6 菱形的判定方法 错误：（1）用定义判定一个四边形是菱形时漏掉平行四边形的条件. （2）用对角线判定一个四边形是菱形时漏掉平行四边形的条件. 注意：判定菱形的常见思路： （1）用定义判定一个四边形是菱形必须满足两个条件：一是有一组邻边相等；二是平行四边形．也就是说，有一组邻边相等四边形不一定是菱形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是菱形． （2）用对角线判定一个四边形是菱形，必须满足两个条件：一是对角线垂直；二是平行四边形．也就是说，对角线垂直的四边形不一定是菱形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是菱形． 例题6 如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是的中点，添加下列条件，可以判定四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理证得四边形为平行四边形，再根据菱形的判定，即可求解． 【详解】解：添加，可以判定四边形为菱形，理由： ∵点E，F，G，H分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，， ∴四边形为菱形． 故选：C. 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理，菱形的判定是解题的关键． 易错点7用对角线求菱形的面积 错误：用对角线求菱形的面积时容易记错公式导致错误． 注意：（1）准确记住公式“菱形的面积等于对角线乘积的一半” （2）了解公式的推导过程（菱形面积是对角线分成的四个全等直角三角形的面积和） 例题7 如图，点E，F是菱形ABCD边AB，BC的中点，，则菱形ABCD的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形中位线定理得AC，再由菱形的性质得OA，在OAB中，用勾股定理求出OB，因此BD＝2OB，即可根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”解决问题． 【详解】解：连接AC交BD于O，如图所示： ∵E、F是AB和BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴AC＝2EF＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝AC＝， ∵BA＝2， ∴OB＝＝1， ∴BD＝2OB＝2 ∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×2×2＝2， 故选C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 易错点8正方形的判定方法 错误：正方形的判定方法需要的条件很多，有时会出现判断条件不充分而致错。 注意：判定是否为正方形，可以先证平行四边形，再加矩形、菱形的条件；或先证矩形，再加菱形的条件；或先证菱形，再加矩形的条件． 例题8四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD＝BC，使四边形ABCD为正方形，下列条件中：①AC＝BD；②AB＝AD； ③AB＝CD；④AC⊥BD．需要满足（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．①②或①④ 【答案】D 【分析】因为AD∥BC，AD＝BC，所以四边形ABCD为平行四边形，添加①则可根据对角线相等的平行四边形是矩形，证明四边形是矩形，故可根据一组邻边相等的矩形是正方形来添加条件． 【详解】解：∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形， 若AB＝AD， 则四边形ABCD为正方形； 若AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形． 故选：D． 【点睛】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 1.下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.94 【来源】 福建省厦门市音乐学校2024-2025学年八年级下学期数学期中考卷（4月） 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形等等，结合平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； B、由，，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； C、由，，可以根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形为平行四边形，符合题意； D、由，，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：C． 2.如图，下列条件中，不能确定四边形是平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】 根据平行四边形的5种判定方法分别进行分析即可． 【详解】 解：A、一组对边平行另一组对边相等不能判定判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意 B、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，故此选项不合题意； C、根据两组对边分别平行的四边形，是平行四边形可判定四边形是平行四边形，故此选项不合题意； D、根据两组对边分别相等的四边形，是平行四边形可判定四边形是平行四边形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 3.如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【难度】0.65 【来源】第五章 平行四边形（单元测试�提升卷）数学鲁教版五四制八年级上册 【知识点】数图形中平行四边形的个数、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定； 首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴ ∴平行四边形有：、、、、、、、；；共个． 故选：C． 4.在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，结合图形进行分析可得． 【详解】解：在平面直角坐标系中， 将向左平移各单位得到， 此时； 将向右平移各单位得到； 此时； 将先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到， 此时； 综上所述， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和线段的平移；解题的关键是通过平移得到平行四边形． 5.以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】C 【分析】分别以△ABC的三边为对角线作出平行四边形即可得解. 【详解】如图，分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，共可以作出3个平行四边形. 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于以三角形的三边作为所作平行四边形的对角线. 6.（2025·上海虹口·二模）已知四边形是平行四边形，对角线相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了添加一个条件是矩形，添加一个条件是菱形，平行四边形的性质，解题关键是掌握上述判定与性质． 根据添加一个条件是矩形，添加一个条件是菱形，平行四边形的性质，对四个条件逐一分析，再作判断． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故A不符合； 添加，可得， 根据对角线相等的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故B不符合； 添加，可得出四边形是菱形， 不能判定四边形是矩形，故C符合； ∵四边形是平行四边形， ∴， 添加，可得出， 根据一个角是直角的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故D不符合， 故选：C． 7.如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，当时，的大小为______． 【答案】60°或300° 【分析】当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，可得GA=GD=AD，依据∠DAG=60°，分两种情况讨论，即可得到旋转角的度数． 【详解】如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上， 分两种情况讨论： ①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M， ∵GC=GB， ∴GH⊥BC， ∴四边形ABHM是矩形， ∴AM=BH= AD= AG， ∴GM垂直平分AD， ∴GD=GA=DA， ∴△ADG是等边三角形， ∴∠DAG=60°， ∴旋转角α=60°； ②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形， ∴∠DAG=60°， ∴旋转角α=360°-60°=300°． 故答案为60°或300°． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，解题的关键是掌握旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 8.顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形，那么与只需满足（   ） A．垂直 B．相等 C．互相平分 D．互相平分且垂直 【答案】B 【分析】连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，根据菱形的判定定理解答即可． 【详解】解：连接、， 、分别是、的中点， ， 同理可得，，，， 当时，， 四边形为菱形， 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形，只需满足， 故选：B． 【点睛】本题考查的是菱形的判定、三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键． 9.小青和小云是同班同学，在上网课期间，老师在电脑上出示了如图所示的任意四边形分别为的中点，要求她们添加一个条件使得四边形为菱形，小青添加的条件是，小云添加的条件是，则下列说法正确的是（　　） A．小青和小云都正确 B．小青正确，小云错误 C．小青错误，小云正确 D．小青和小云都错误 【答案】A 【分析】连接，由三角形中位线定理知，，则，得四边形是平行四边形，根据已知条件证明四边形为菱形，即可求解． 【详解】连接， ∵分别为的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，由三角形中位线定理得，,， 则， ∴四边形菱形， 当时，平行四边形是菱形， 故选A． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 10.如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按如图甲对折后，再按如图乙所示对折，然后沿者图丙中的所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，得到①，②两部分，图①展开后得到的四边形的面积为（      ） A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．90cm2 【答案】A 【分析】利用折叠的方式得出AC，BD的长，再利用菱形面积公式求出面积即可． 【详解】解：由题意可得： 图丙中所得矩形的长为5cm，宽为4cm， ∵虚线的端点为该矩形两邻边的中点， ∴AC=4cm，BD=5cm， 图①展开后得到的四边形为菱形ABCD ∴如图丁所示的菱形的面积为：×4×5=10（cm2）． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及剪纸问题，得出菱形对角线的长是解题关键． 11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（    ） A．BD=AB B．DC=AD C．∠AOB=60° D．OD=CD 【答案】B 【分析】根据正方形的判定定理即可作出判断． 【详解】解：A、BD=AB，一条对角线和一边相等的矩形，不一定是正方形，A项错误； B、DC=AD，一组邻边相等的矩形是正方形，B项正确； C、由∠AOB=60°以及四边形ABCD是矩形可得△AOB是等边三角形，从而得BD=2AB，于是有AD=，进而，因此矩形ABCD不是正方形，故C项错误； D、由OD＝CD以及四边形ABCD是矩形可得△COD是等边三角形，从而得BD=2CD，于是有BC=，进而，因此矩形ABCD不是正方形，故D项错误． 故选：B． 【点睛】此题主要考查正方形的判定，解题的关键是熟知正方形的判定定理． 12.如图，在中，点D在边BC上，过点D作，，分别交AB，AC于E，F两点．则下列命题是假命题的是（    ）． A．四边形AEDF是平行四边形 B．若，则四边形AEDF是矩形 C．若，则四边形AEDF是正方形 D．若AD平分，则四边形AEDF是菱形 【答案】C 【分析】根据平行四边形判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理判断即可． 【详解】∵，， ∴四边形AEDF是平行四边形，故A选项正确； ∵四边形AEDF是平行四边形，， ∴， ∴四边形AEDF是矩形，故B选项正确； ∵，，BD=CD， ∴DE、DF分别为△ABC的边AC、AB上的中位线， ∴，， 要想四边形AEDF是正方形，需，且有一个内角为直角，显然没有这个条件，故C选项错误； ∵AD平分∠BAC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形AEDF是平行四边形， ∴四边形AEDF是菱形，故D选项正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定，熟练掌握平行四边形判定定理与性质是解题关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 四边形 知识点01 四边形的不稳定性 定义：四边形的边长确定时，其形状可以改变 应用：伸缩门、折叠椅等 知识点02 梯形的概念 梯形：只有 平行的四边形 等腰梯形：两腰相等，同一底上的两个角相等 直角梯形：一腰垂直于底 知识点03 平行四边形的概念及性质与判定 1.平行四边形的概念: 分别平行的四边形叫做平行四边形。 .2.平行四边形的性质: (1) 平行四边形的对边 ; (2) 平行四边形的对角 (3)平行四边形的对角线 。 3.平行四边形的判定 (1)两组对边分别 的四边形叫做平行四边形(概念) (2)一组对边 的四边形叫做平行四边形 (3)对角线 的四边形叫做平行四边形 (4)两组对边 的四边形叫做平行四边形 知识点04 三角形的中位线定理 (1) 三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段称为中位线(三角形中有3条中位线) (2)三角形中位线定理:如下图，三角形的中位线 ，即若点D、E分别为AB、AC的中点 则DE∥ BC DE=BC 知识点05 矩形的概念及性质与判定 1.矩形的概念和性质 (1) 的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质: ， (2)直角三角形斜边上的中线等于 。 2.矩形的判定 (1) 的平行四边形是矩形 (2) 的四边形是矩形 (3)对角线 的平行四边形是矩形 知识点06 菱形的概念及性质与判定 1.萎形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，萎形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质:菱形的四条边相等;菱形的对角线互相垂直。 2.萎形的判定 (1) 的平行四边形叫做菱形(概念) (2) 的四边形是菱形 (3)对角线 的平行四边形是萎形 知识点07 正方形的概念及性质与判定 1正方形的概念与性质 (1)正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形． (2)正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质．（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 2正方形的判定 (1)正方形常用的判定： 的菱形是正方形； (2) 的矩形是正方形； (3)对角线 的菱形是正方形； (4)对角线 的矩形是正方形． 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系（如图3所示）： 易错点1 平行四边形的判定方法 错误：（1）认为一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 （2）认为一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形． 注意：（1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形． （2）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形． 例题1 （2024-2025云南省曲靖市八下期末）在四边形中，，添加下列一个条件后，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 易错点2 确定平行四边形的个数 错误：确定平行四边形的个数时，容易出现重复或遗漏。 注意：解题的关键，写出平行四边形时要按照一定的顺序（大小顺序，方位顺序等），这样方能做到不重不漏． 例题2如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过O点且平行于AB，则图中平行四边形共有(   ) A．15个 B．16个 C．17个 D．18个 易错点3 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 错误：求与已知三点组成平行四边形的点的个数时容易出现遗漏。 注意：学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 例题3 在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为、、，以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点D的坐标是 ． 易错点4矩形的判定方法 错误：（1）用定义判定一个四边形是矩形时漏掉平行四边形的条件. （2）用对角线判定一个四边形是矩形时漏掉平行四边形的条件. 注意：判定矩形的常见思路 （1）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形． （2）用对角线判定一个四边形是矩形，必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形． 例题4 （2025·河南周口·三模）如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 易错点5 矩形背景下折叠旋转的多解问题 错误：矩形背景下折叠旋转的问题易出现漏解 注意：解决矩形背景下折叠旋转的问题时要注意分类讨论，避免漏解。另外 （1）旋转问题的解决注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． （2）折叠问题的解决要注意：矩形的判定与性质与含30°的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，全等三角形等相关知识间的联系与运用。 例题5 如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为____时，△AB'D是直角三角形． 易错点6 菱形的判定方法 错误：（1）用定义判定一个四边形是菱形时漏掉平行四边形的条件. （2）用对角线判定一个四边形是菱形时漏掉平行四边形的条件. 注意：判定菱形的常见思路： （1）用定义判定一个四边形是菱形必须满足两个条件：一是有一组邻边相等；二是平行四边形．也就是说，有一组邻边相等四边形不一定是菱形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是菱形． （2）用对角线判定一个四边形是菱形，必须满足两个条件：一是对角线垂直；二是平行四边形．也就是说，对角线垂直的四边形不一定是菱形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是菱形． 例题6 如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是的中点，添加下列条件，可以判定四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 易错点7用对角线求菱形的面积 错误：用对角线求菱形的面积时容易记错公式导致错误． 注意：（1）准确记住公式“菱形的面积等于对角线乘积的一半” （2）了解公式的推导过程（菱形面积是对角线分成的四个全等直角三角形的面积和） 例题7 如图，点E，F是菱形ABCD边AB，BC的中点，，则菱形ABCD的面积为（    ） A． B． C． D． 易错点8正方形的判定方法 错误：正方形的判定方法需要的条件很多，有时会出现判断条件不充分而致错。 注意：判定是否为正方形，可以先证平行四边形，再加矩形、菱形的条件；或先证矩形，再加菱形的条件；或先证菱形，再加矩形的条件． 例题8四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD＝BC，使四边形ABCD为正方形，下列条件中：①AC＝BD；②AB＝AD； ③AB＝CD；④AC⊥BD．需要满足（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．①②或①④ 1.下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2.如图，下列条件中，不能确定四边形是平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 3.如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 4.在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 5.以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 6.（2025·上海虹口·二模）已知四边形是平行四边形，对角线相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 7.如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，当时，的大小为______． 8.顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形，那么与只需满足（   ） A．垂直 B．相等 C．互相平分 D．互相平分且垂直 9.小青和小云是同班同学，在上网课期间，老师在电脑上出示了如图所示的任意四边形分别为的中点，要求她们添加一个条件使得四边形为菱形，小青添加的条件是，小云添加的条件是，则下列说法正确的是（　　） A．小青和小云都正确 B．小青正确，小云错误 C．小青错误，小云正确 D．小青和小云都错误 10.如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按如图甲对折后，再按如图乙所示对折，然后沿者图丙中的所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，得到①，②两部分，图①展开后得到的四边形的面积为（      ） A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．90cm2 11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（    ） A．BD=AB B．DC=AD C．∠AOB=60° D．OD=CD 12.如图，在中，点D在边BC上，过点D作，，分别交AB，AC于E，F两点．则下列命题是假命题的是（    ）． A．四边形AEDF是平行四边形 B．若，则四边形AEDF是矩形 C．若，则四边形AEDF是正方形 D．若AD平分，则四边形AEDF是菱形 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $