5.5 同角三角函数基本关系式（教案）--语文版《数学 基础模块上册》《上好课》

语文版《数学基础模块 上册》 第五单元 三角函数 5.5 同角三角函数基本关系式 一、教材 语文出版社《数学》（基础模块 上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节课是语文版数学基础模块上册第四单元三角函数的重要内容，核心知识点包括同角三角函数的平方关系、商数关系及其推导过程与应用条件，为后续学习三角函数诱导公式、三角恒等变换及三角函数化简求值奠定了重要的工具性基础。教材以任意角三角函数的定义为逻辑起点，通过单位圆中三角函数线的直观呈现，既衔接了学生对任意角三角函数定义的已有认知，又强化了数形结合、代数推导的数学思维，提升学生运用同角三角函数关系进行化简、求值与证明的能力。 五、学情分析 多数学生已具备任意角三角函数的定义、三角函数值符号判断的认知基础，并对代数运算、方程求解有一定了解，这为他们学习同角三角函数基本关系式打下了基础。但如果只采用纯公式推导与机械记忆的讲解方式可能无法引起学生的学习兴趣，还容易对同角三角函数关系式的适用条件理解不透彻，忽略三角函数值的符号判断。因此可以通过与单位圆结合的图像、对比辨析与练习帮助学生掌握同角三角函数基本关系式，帮助他们突破思维难点。 六、教学目标 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导过程； 2.能熟练运用同角三角函数基本关系式进行三角函数式的化简与简单证明等问题； 3.通过同角三角函数基本关系式的学习与应用，完善三角函数的运算体系，提升三角函数的综合运用能力，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养。 七、教学重点 1.同角三角函数基本关系式； 2.同角三角函数基本关系式的成立条件。 八、教学难点 运用同角三角函数基本关系式进行三角函数式的化简与简单证明等问题。 九、教学方法 案例法：通过案例帮助学生理解同角三角函数基本关系式，激发学生的学习兴趣。 讲授法：对同角三角函数基本关系式进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究同角三角函数基本关系式，培养学生的推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 生活中的摩天轮： 大家坐过摩天轮吗？假设摩天轮上某点的高度对应，水平偏移距离对应。思考：同一个角度的值和值之间，有没有固定的联系？ 温故知新 在探究新知识前，我们先回顾：任意角三角函数定义：在单位圆中，角终边与单位圆交点。 象限角符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 在直角坐标系中，我们把圆心在原点，以单位长度为半径的圆叫做单位圆。观察单位圆：交点在单位圆上，满足圆的方程：，代入三角函数定义（，），得出结论：. 上述关系式是恒等式，即当取使关系式两边都有意义的任意值时，关系式两边的值相等。 通过生活实例以及就旧知顾引出新知识点：同角三角函数基本关系式。 新知讲授 同角三角函数基本关系式 根据三角函数的定义，我们可以得到下列同角三角函数的基本关系式： 概念辨析 问题：等于吗？ 答案： 原因： （1）表示整个正弦值的平方，即; （2）表示角的正弦值; 提示：书写时切记符号位置。 总结同角三角函数基本关系式，并进行关系式符号书写的相关概念辨析。 案例分析 【例题】已知，且是第二象限的角，求角的余弦和正切的值。 【解析】已知条件中给出了的值，由可求得，但是第二象限的角，所以根号前的符号应取负号。 是第二象限的角， ， ， 。 【例题】已知，且是第二象限的角，求角的正弦和余弦的值． 【解析】由题意和三角函数的基本关系式，可列方程组 由②得，并代入①，得 是第二象限的角，， 【例题】化简： （1） （2）是第二象限的角． 【解析】（1） （2） ， 是第二象限的角，， 原式 【例题】已知，求的值． 【解析】由，可得，即，代入所求的式子 即可求解；或者将所求的式子转化为用表示的形式；最后由可求得结果。 解法1： 由，得， ， 解法2： ，。 将的分子、分母同除以，得 通过案例来帮助学生更好地理解同角三角函数基本关系式。 学以致用 【练习】已知，化简． 【解析】由题意得,． 因为，，所以. 【练习】（1）已知，求的值. （2）已知角为第四象限角，且满足，求的值． 【解析】（1）由，得． （2）， ， 因为是第四象限角，， ． 【练习】已知，且，求的值. 【解析】由，得，即， 由于，所以 ， 又因为 ， 所以， . 同学们，我们现在已经掌握了同角三角函数的基本关系式，接下来每人任选一个特殊角（如45°，60°等），验证两个基本关系式。稍后派代表上台分享验证结果。 (1)+,=; (1)+,= 通过即时练习以及知识回顾，进一步加强学生对同角三角函数基本关系式的记忆和运用。 课堂练习 【练习1】已知，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，， 所以， 所以 故选：A 【练习2】已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，且， 所以. 故选：A 【练习3】已知，，则等于（ ） A． B． C． D． 【解析】已知，两边平方得， 因为，解得. 所以 ， 则， 因为，此区间内， 因此，所以. 故选：B. 【练习4】已知，则（ ） A． B． C． D． 【解析】已知， 因为（若，则，不合题意）， 所以， 所以 . 故选：C. 【练习5】化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【解析】∵， 且，则. 故选：B. 【练习6】若角的终边落在直线上，则 的值等于（ ） A．2 B． C．或2 D．0 【解析】因为角的终边落在直线上， 所以角为第二或第四象限角． 又因为 ， 所以当角为第二象限角时， 原式； 当角α为第四象限角时， 原式 综上可知：角为第二或第四象限角时，值均为0. 故选：D． 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺。 知识梳理 同角三角函数的基本关系式： 帮助学生构建完整的知识网络，强化记忆。 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 同角三角函数的基本关系式： 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节教学中，通过回顾任意角三角函数的定义引入同角三角函数关系式，多数学生能初步理解同角三角函数基本关系式的意义，掌握利用关系式进行化简、求值的基本方法。但在课堂检测中也发现：个别学生容易忽略角所在象限对三角函数值符号的影响，因此在课后练习中，需增加相关的专项练习，提升其对新知识的运用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $