5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数（课件）--语文版《数学 基础模块上册》《上好课》

5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数 第五单元 三角函数 语文版 基础模块 上册 学习目标 1.理解并掌握任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义； 2.能根据任意角的终边位置准确判断三角函数值的符号并求解特殊角的三角函数值； 3.通过任意角三角函数的学习，完善三角函数的知识体系，提升从几何图形中提炼代数关系的能力，培养数学抽象、直观想象的核心素养。 目 录 教学引入 01 新知讲授 02 学以致用 03 课堂练习 04 课堂小结 05 教学引入 5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数 教学引入 教学引入 斜边 邻边 对边 教学引入 新知讲授 任意角的三角函数的定义 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 三角函数 定义域         新知讲授 其中 新知讲授 案例分析 案例分析 新知讲授 任意角的三角函数值的符号 新知讲授 新知讲授 新知讲授 案例分析 案例分析 新知讲授 ，，和角的三角函数值 新知讲授 新知讲授 角 坐标 （） （） （） （） 不存在 不存在 案例分析 学以致用 5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数 学以致用 学以致用 知识回顾 同学们，我们完成了任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数相关知识点的学习，接下来咱们一起快速回顾一下刚学的内容，大家可以踊跃举手回答： 1.如何定义任意角的三角函数？ 2.任意角的三角函数在各象限的符号？ 3.特殊角，，和的三角函数值是多少？ 师生交流 拓展思考互动 同学们，我们现在已经掌握了任意角的三角函数的定义、符号以及特殊角的三角函数值，接下来请同学们结合任意角的三角函数的定义思考：为什么 tanα要求？ 答案： 举例情境：当摩天轮转到最高点时，座舱坐标为 。 解析：此时，代入 ，分母为 0 无意义！ 结论：终边在轴上的角，没有正切值. 课堂练习 5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂小结 5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数 课堂小结 课堂小结 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 + + + + + + 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 生活情境：摩天轮的旋转 观察摩天轮的运转：座舱距离地面的高度，随转过的 角度发生变化。思考： 当转过的角度超过90°，甚至超过360°时，初中学的 锐角三角函数还能用来计算高度吗？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 知识回顾： 在初中我们学过锐角的三角函数值，即在直角 中，如图所示， ，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 突破局限：走向任意角 初中的定义依赖于直角三角形； 现在的角已经推广到了任意角（正角、负角、零角）。 核心问题：如何用一种全新的方式，重新定义三角函数，使其适用于任意角？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 思路：借助直角坐标系！ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 如图所示，将任意角放在直角坐标系中，使角的 顶点与原点重合，角的始边与轴非负半轴重合，并设 终边上的任意一点(不含点)的坐标为， 则它与原点的距为 。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 我们定义任意角的三角函数如下： 角的正弦， 角的余弦， 角的正切 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 其中，对于，不能为零，即点的横坐标不能为零，角的终边不能在轴上，所以。 对于每一个确定的角，都分别有唯一确定的正弦值、余弦值、正切值与之对应，所以这三个对应法则都是以角为自变量的函数，分别叫做角的正弦函数、余弦函数和正切函数，我们将它们统称为三角函数。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 各三角函数的定义域，如下表所示： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 根据三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值相等。即对于任意角（其中属于相应的函数的定义域），有下列一组公式——公式一： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 利用公式一可以求任意角的三角函数转化为求0到)角的三角函数值。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 概念辨析：初中定义vs任意角定义 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 初中定义：边长之比，结果永远是正数。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 任意角定义：坐标之比，结果有正有负。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】如图所示，已知角的终边过点，求的三个三角函数值。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ，， ， ， ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 在任意角的三角函数的定义中，我们知道.因此，，的正负分别由，以及的正负来确定. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当的终边在第一、二象限或的终边在轴的 正半轴上时，，为正； 当的终边在第三、四象限或的终边在轴的 负半轴上时，，为负. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当的终边在第一、四象限或的终边在轴的 正半轴上时，，为正； 当的终边在第二、三象限或的终边在轴的 负半轴上时，，为负. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当的终边在第一、三象限时，， 为正； 当的终边在第二、四象限时，， 为负。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】确定下列各三角函数值的符号： （1）； （2）； （3）； （4）。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）是第四象限角，； （2）， 是第四象限角，； （3）是第三象限角，； （4）， 是第二象限角，。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当时，的终边与轴的正半轴重合，所以终边上的任一点的坐标满足，，因此，则有 ； ； 。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 以此类推时的三角函数值，总结如下： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】化简 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 原式 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】若角的终边上有一点 ，求和的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为的终边上有一点 ， 所以， ， ， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】若，且，判断的符号. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由，知与同号， 故是第一或第四象限角， 由，知与异号，故是第三或第四象限角. 综上可知，是第四象限角， 所以，所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】如果 （），则角在（ ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第二、三象限 D．第一、四象限 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ∵ （），∴， ∴角在第二、三象限. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】已知角的终边经过点，且，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由三角函数的定义，， 平方化简得，解得（负根舍去）. 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】已知角的终边与单位圆交于，则（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 在平面直角坐标系中，由的定义可得： ， 根据题意可得：，所以. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】的值是（ ） A． B．2 C．4 D．1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ，，，， ∴原式， 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】若，则是第（ ）象限的角 A．一 B．二 C．三 D．四 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为，则是第一、二象限或终边在轴正半轴的角， ，则是第一、四象限或终边在轴正半轴的角， 综上角是第一象限的角. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为， 则α在第三象限，故. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习6】任意角α满足 ，则（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1.三角函数： 对于每一个确定的角，都分别有唯一确定的正弦值、余弦值、正切值与之对应，所以这三个对应法则都是以角为自变量的函数，分别叫做角的正弦函数、余弦函数和正切函数，我们将它们统称为三角函数。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2.三角函数的符号 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3.特殊角0，，π和的三角函数值 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $