5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数（教案）--语文版《数学 基础模块上册》《上好课》

语文版《数学基础模块 上册》 第五单元 三角函数 5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数 一、教材 语文出版社《数学》（基础模块 上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节课是语文版数学基础模块上册第四单元三角函数的核心开篇内容，核心知识点包括任意角三角函数的定义、三角函数值的符号规律、特殊角的三角函数值，为后续学习三角函数的诱导公式、图像与性质奠定了重要的概念与运算基础。教材以初中锐角三角函数为逻辑起点，结合平面直角坐标系中任意角的终边，既衔接了学生对锐角三角函数、平面直角坐标系的已有认知，又完成了三角函数概念从锐角到任意角的拓展，深化了数形结合、从特殊到一般的数学思维，提升学生用坐标法定义三角函数的能力。 五、学情分析 多数学生已具备初中锐角三角函数的定义、平面直角坐标系的认知基础，并且对三角形边角关系有一定了解，这为他们学习任意角的三角函数打下了基础。但如果只采用纯定义讲解的方式可能无法引起学生的学习兴趣，还容易对任意角三角函数的定义理解不透彻，混淆三角函数值的符号规律，对特殊角三角函数值记忆不牢固。因此可以通过与坐标系结合的图像、对比辨析练习帮助学生掌握任意角的三角函数，帮助他们突破思维难点。 六、教学目标 1.理解并掌握任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义； 2.能根据任意角的终边位置准确判断三角函数值的符号并求解特殊角的三角函数值； 3.通过任意角三角函数的学习，完善三角函数的知识体系，提升从几何图形中提炼代数关系的能力，培养数学抽象、直观想象的核心素养。 七、教学重点 1.任意角的三角函数的定义； 2.三角函数值的符号； 3.特殊角的三角函数值。 八、教学难点 掌握任意角三角函数的终边定义法。 九、教学方法 案例法：通过案例帮助学生理解任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数，激发学生的学习兴趣。 讲授法：对任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数，培养学生的推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 生活情境：摩天轮的旋转 观察摩天轮的运转：座舱距离地面的高度，随转过的角度发生变化。思考：当转过的角度超过90°，甚至超过360° 时，初中学的锐角三角函数还能用来计算高度吗？ 知识回顾： 在初中我们学过锐角的三角函数值，即在直角中，如图所示， ， ， 突破局限：走向任意角 初中的定义依赖于直角三角形； 现在的角已经推广到了任意角（正角、负角、零角）。 核心问题：如何用一种全新的方式，重新定义三角函数，使其适用于任意角？ 思路：借助直角坐标系！ 通过生活实例以及就旧知顾引出新知识点：任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数。 新知讲授1 1.任意角的三角函数的定义 如图所示，将任意角放在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴非负半轴重合，并设终边上的任意一点(不含点)的坐标为，则它与原点的距为。我们定义任意角的三角函数如下： 角的正弦， 角的余弦， 角的正切 其中，对于，不能为零，即点的横坐标不能为零，角的终边不能在轴上，所以。 对于每一个确定的角，都分别有唯一确定的正弦值、余弦值、正切值与之对应，所以这三个对应法则都是以角为自变量的函数，分别叫做角的正弦函数、余弦函数和正切函数，我们将它们统称为三角函数。 各三角函数的定义域，如下表所示： 根据三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值相等。即对于任意角（其中属于相应的函数的定义域），有下列一组公式——公式一： 利用公式一，可以把求任意角的三角函数转化为求0到（）角的三角函数值. 概念辨析：初中定义vs任意角定义 初中定义：边长之比，结果永远是正数。 任意角定义：坐标之比，结果有正有负。 总结任意角的三角函数的定义。 新知讲授2 2. 任意角的三角函数值的符号 在任意角的三角函数的定义中，我们知道.因此，，的正负分别由，以及的正负来确定. 当的终边在第一、二象限或的终边在轴的正半轴上时，，为正；当的终边在第三、四象限或的终边在轴的负半轴上时，，为负. 当的终边在第一、四象限或的终边在轴的正半轴上时，，为正；当的终边在第二、三象限或的终边在轴的负半轴上时，，为负. 当的终边在第一、三象限时，，为正；当的终边在第二、四象限时，，为负。 总结任意角的三角函数值的符号。 新知讲授3 3.，，和角的三角函数值 当时，的终边与轴的正半轴重合，所以终边上的任一点的坐标满足，，因此，则有 ；；。 以此类推，和角的三角函数值，总结如下： 总结特殊角，，和角的三角函数值。 案例分析 【例题】如图所示，已知角的终边过点，求的三个三角函数值。 【解析】，， ， ， ， 【例题】求下列三角函数值： （1）； （2）； （3）. 【解析】（1）； （2）； （3）. 【例题】确定下列各三角函数值的符号： （1）； （2）； （3）； （4）。 【解析】（1）是第四象限角， ； （2）， 是第四象限角， ； （3）是第三象限角， ； （4）， 是第二象限角， 。 【例题】化简 【解析】原式 通过案例来帮助学生更好地理解任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数。 学以致用 【练习】若角的终边上有一点 ，求和的值. 【解析】因为的终边上有一点 ， 所以， ， ， . 【练习】若，且，判断的符号. 【解析】由，知与同号， 故是第一或第四象限角， 由，知与异号， 故是第三或第四象限角. 综上可知，是第四象限角， 所以，所以． 通过即时练习以及知识回顾，进一步加强学生对任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的记忆和运用。 课堂练习 【练习1】如果 （），则角在（ ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第二、三象限 D．第一、四象限 【解析】∵ （），∴， ∴角在第二、三象限. 故选：C. 【练习2】已知角的终边经过点，且，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】由三角函数的定义，， 平方化简得，解得（负根舍去）. 故选：D 【练习3】已知角的终边与单位圆交于，则（ ） A． B． C． D． 【解析】在平面直角坐标系中，由的定义可得： ， 根据题意可得：， 所以. 故选：B. 【练习4】的值是（ ） A． B．2 C．4 D．1 【解析】，，，， ∴原式， 故选：B. 【练习5】若，则是第（ ）象限的角 A．一 B．二 C．三 D．四 【解析】因为，则是第一、二象限或终边在轴正半轴的角， ，则是第一、四象限或终边在轴正半轴的角， 综上角是第一象限的角. 故选：A. 【练习6】任意角α满足 ，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为， 则α在第三象限，故. 故选：C. 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺。 知识梳理 1.三角函数 对于每一个确定的角，都分别有唯一确定的正弦值、余弦值、正切值与之对应，所以这三个对应法则都是以角为自变量的函数，分别叫做角的正弦函数、余弦函数和正切函数，我们将它们统称为三角函数。 2.任意角的三角函数值的符号 3.，，和角的三角函数值 帮助学生构建完整的知识网络，强化记忆。 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 1.任意角的三角函数的定义 角的正弦， 角的余弦， 角的正切 对于每一个确定的角，都分别有唯一确定的正弦值、余弦值、正切值与之对应，所以这三个对应法则都是以角为自变量的函数，分别叫做角的正弦函数、余弦函数和正切函数，我们将它们统称为三角函数。 2. 任意角的三角函数值的符号 在任意角的三角函数的定义中，我们知道.因此，，的正负分别由，以及的正负来确定. 当的终边在第一、二象限或的终边在轴的正半轴上时，，为正；当的终边在第三、四象限或的终边在轴的负半轴上时，，为负. 当的终边在第一、四象限或的终边在轴的正半轴上时，，为正；当的终边在第二、三象限或的终边在轴的负半轴上时，，为负. 当的终边在第一、三象限时，，为正；当的终边在第二、四象限时，，为负。 3.，，和角的三角函数值 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节教学中，通过回顾旧知引入任意角三角函数的定义，结合坐标系分析三角函数值的符号规律，多数学生能初步理解任意角三角函数的定义，掌握三角函数值的符号判断方法与特殊角三角函数值。但在课堂检测中也发现：个别学生容易混淆不同象限的三角函数值符号，因此在课后练习中，需增加相关的专项练习，提升其对新知识的运用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $