专题4 不等式的基本性质（讲义）-2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升.针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4 不等式的基本性质 【复习目标】 理解不等式的基本性质。 【考点1 实数的大小】 1. 对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种关系之一成立：a > b ⇔ a - b 0；a = b ⇔ a - b 0；a < b ⇔ a - b 0（核心：实数大小比较的本质是差与0的大小关系）. 2. 实数大小的传递性：若a > b，b > c，则 ；若a < b，b < c，则 . 【即时训练】 一、单选题 1. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定a与b的大小 2. 若，，则x与5的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、多选题 3. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题 4. 比较大小：（1） ______ （填“>”“<”或“=”）； （2） ______ （填“>”“<”或“=”）. 【考点2 不等式的基本性质】 1. 对称性：若，则；若，则. 2. 可加性：若，则 > ；若，则 < . 3. 可乘性：若，，则 > ；若，，则 < . 4. 同向可加性：若，，则 > . 5. 同向正数可乘性：若，，则 > . 6. 乘方性：若，则 > （n为正整数）. 7. 开方性：若，则 > （n为正整数）. 特殊易错点速记（避坑关键） 1. 若，，此时“”不成立. 2. 取值范围叠加：已知、的范围，求时，先转化为，再同向相加. 3. 作差法判断大小：若要比较与的大小，计算，若则; 若则（适用于分式、多项式不等式）. 4. 反例法验证不等式（快速判错）：判断一个不等式命题为假时，可举一个满足题设条件，但不满足结论的具体数值例子，即可否定该命题. 示例1：判断“若，则”，取、、，满足，但、，此时，命题为假； 示例2：判断“若，，则”，取、、、，满足、，但、，此时，命题为假. 核心技巧：反例需贴合题设条件，优先取简单整数，快速验证. 关联幂函数性质（辅助判断） 幂函数在上单调递增，故。 核心结论（直接套用） 1. 若，则（两边同乘负数，不等号反向叠加）; 2. 若，则，故（正数取倒数反向）; 3. 若，，则（作差可证，分式不等式常用）. 【即时训练】 一、单选题 1. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 已知，，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知 ，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则（） C. 若，，则 D. 若，，则 7. 若、、、是任意实数，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，由此能推出下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，下列不等式变形正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题 11. 若，则______（填“＞”“＜”或“=”）；若，则______（填“＞”“＜”或“=”）. 12. （1）若，，则______；（2）若，则______（填“＞”“＜”或“=”）. （2013 年湖北高职统考第 2 题）若、、均为实数，且，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. （2001 年湖北高职统考第 4 题）“” 是 “” 成立的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既不充分又不必要条件 （1999 年湖北高职统考第 2 题）如果且，则有（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升.针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4 不等式的基本性质 【复习目标】 理解不等式的基本性质。 【考点1 实数的大小】 1. 对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种关系之一成立：a > b ⇔ a - b > 0；a = b ⇔ a - b = 0；a < b ⇔ a - b < 0（核心：实数大小比较的本质是差与0的大小关系）. 2. 实数大小的传递性：若a > b，b > c，则 a > c ；若a < b，b < c，则 a < b . 【即时训练】 一、单选题 1. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定a与b的大小 【考点】实数大小的作差比较法 【答案】C 【解析】根据实数大小比较核心规则，等价于，本题中，3是正数，即，因此可直接得出. 2. 若，，则x与5的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【考点】实数大小的传递性 【答案】A 【解析】实数大小传递性规定，同向不等关系可依次传递，已知且，两个不等号方向一致，直接套用传递性可得. 二、多选题 3. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【考点】实数大小与作差结果的等价关系 【答案】ABC 【解析】A、B、C三项完全贴合实数大小比较的核心定义，作差正、负、零分别对应两数大、小、相等；D选项错误，包含和两种情况，并非只有. 三、填空题 4. 比较大小：（1） ______ （填“>”“<”或“=”）； （2） ______ （填“>”“<”或“=”）. 【考点】作差法比较代数式的大小 【答案】； 【解析】（1）采用作差法，计算两式的差： 因为 ，所以 ，即： 因此 . （2）使用作差法，计算两式的差： 对差式进行配方： 因为 ，所以 ，即： 因此 . 【考点2 不等式的基本性质】 1. 对称性：若，则；若，则. 2. 可加性：若，则 > ；若，则 < . 3. 可乘性：若，，则 > ；若，，则 < . 4. 同向可加性：若，，则 > . 5. 同向正数可乘性：若，，则 > . 6. 乘方性：若，则 > （n为正整数）. 7. 开方性：若，则 > （n为正整数）. 特殊易错点速记（避坑关键） 1. 若，，此时“”不成立. 2. 取值范围叠加：已知、的范围，求时，先转化为，再同向相加. 3. 作差法判断大小：若要比较与的大小，计算，若则; 若则（适用于分式、多项式不等式）. 4. 反例法验证不等式（快速判错）：判断一个不等式命题为假时，可举一个满足题设条件，但不满足结论的具体数值例子，即可否定该命题. 示例1：判断“若，则”，取、、，满足，但、，此时，命题为假； 示例2：判断“若，，则”，取、、、，满足、，但、，此时，命题为假. 核心技巧：反例需贴合题设条件，优先取简单整数，快速验证. 关联幂函数性质（辅助判断） 幂函数在上单调递增，故。 核心结论（直接套用） 1. 若，则（两边同乘负数，不等号反向叠加）; 2. 若，则，故（正数取倒数反向）; 3. 若，，则（作差可证，分式不等式常用）. 【即时训练】 一、单选题 1. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【考点】不等式可加性 【答案】B 【解析】不等式可加性规定，不等式两边同时加或减同一个实数，不等号方向不变.两边同时减2，不等号方向保持不变，故. 2. 若，，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【考点】不等式可乘性（乘负数） 【答案】B 【解析】不等式可乘性易错点，两边同时乘同一个负数，不等号方向必须改变.本题中，乘数c是负数，因此不等号方向反转，得出. 3. 已知，，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【考点】不等式同向可加性 【答案】A 【解析】同向不等式可直接相加，不等号方向不变，这是同向可加性的核心内容；B、C、D三项均无对应性质支撑，无法保证一定成立，排除. 4. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【考点】不等式乘方性、正数倒数关系 【答案】B 【解析】根据不等式乘方性，正数范围内，大数的正整数次幂仍大于小数的正整数次幂，故；A、C选项与乘方、开方性质相悖，D选项中正数越大，倒数越小，均错误. 5. 已知 ，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【考点】不等式的性质 【答案】C 【解析】选项 A：取特例， ，则 ，故 A 错误。 选项 B：若 ，则 ；若 ，则 无意义；若 ，则 . 故 B 错误。 选项 C：根据不等式的性质， 两边可以同时奇次方，成立，故 C 正确。 选项 D：取特例， ，则 ，故 D 错误。 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则（） C. 若，，则 D. 若，，则 【考点】不等式的性质 【答案】C 【解析】A、B选项未明确c的正负，无法确定不等号方向，错误；C选项符合“乘正数，不等号方向不变”的可乘性，正确；D选项忽略除数为负时不等号变向，错误. 7. 若、、、是任意实数，且，，则（ ） A. B. C. D. 【考点】不等式的基本性质（加法、乘法性质，含参数不等式） 【答案】D 【解析】选项 A：当时，，不等式不成立，故 A 错误. 选项 B：取特殊值验证，如，，，，满足、，但，故 B 不恒成立. 选项 C：取特殊值验证，如，，，，满足、，但，，此时，故 C 错误. 选项 D：根据不等式的加法性质，同向不等式相加，不等号方向不变，即，，恒成立，故 D 正确. 8. 已知，，由此能推出下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【考点】不等式的基本性质（加法、乘法性质，指数函数的单调性） 【答案】D 【解析】选项 A：取特殊值验证，如，，，此时，，不满足，故 A 错误. 选项 B：当时，两边乘，不等号方向改变或不变（时相等），故，B 不恒成立. 选项 C：当时，，不等式不成立，故 C 错误. 选项 D：指数函数的值域为，即恒成立.根据不等式的乘法性质，两边乘正数，不等号方向不变，故恒成立，D 正确. 二、多选题 9. 已知，下列不等式变形正确的有（ ） A. B. C. D. 【考点】不等式可加性、可乘性综合应用 【答案】ACD 【解析】A选项符合可加性，两边加2不等号不变；B选项与可加性矛盾，错误；C选项乘负数-2，不等号变向，正确；D选项乘正数3，不等号不变，正确. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【考点】不等式同向可乘、乘方、开方性质 【答案】ACD 【解析】A符合同向正数可乘性，C符合乘方性，D中则，符合开方性；B为反向不等式，不可直接相加，无固定规律，错误. 三、填空题 11. 若，则______（填“＞”“＜”或“=”）；若，则______（填“＞”“＜”或“=”）. 【考点】不等式可加性、可乘性 【答案】＞；＜ 【解析】第一空利用可加性，两边减5，不等号方向不变，故填＞；第二空乘正数3，不等号方向不变，则，故填＜. 12. （1）若，，则______；（2）若，则______（填“＞”“＜”或“=”）. 【考点】：不等式可乘性、不等式乘方性 【答案】（1）＜；（2）＞ 【解析】（1）不等式两边乘负数，不等号方向改变，，c为负数，因此； （2）根据不等式的乘方性，两边都是正数的不等式可以n次幂，不改变不等号的方向，故. （2013 年湖北高职统考第 2 题）若、、均为实数，且，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【考点】不等式的基本性质（负数的乘方、倒数、含参数不等式） 【答案】A 【解析】选项 A：，说明、为负数，且.根据乘方性质，负数的绝对值越大，平方越大，故，A 恒成立. 选项 B：，两边同时除以（，不等号方向不变），得，即，故 B 错误. 选项 C：当时，，此时，不等式不成立，故 C 错误. 选项 D：当时，；当时，两边乘负数，不等号方向改变，得，故 D 不恒成立. （2001 年湖北高职统考第 4 题）“” 是 “” 成立的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【考点】充分条件与必要条件的判断、不等式的性质 【答案】B 【解析】充分性：若，则，两边同时除以（不等号方向不变），得，即，故成立，充分性成立. 必要性：若，取，，此时，，满足，但不满足，故必要性不成立. 因此，“” 是 “” 的充分非必要条件. （1999 年湖北高职统考第 2 题）如果且，则有（ ） A. B. C. D. 【考点】不等式的倒数性质、乘方性质（同号实数） 【答案】B 【解析】说明、同号，又，分两种情况： 若，两边同时除以（，不等号方向不变），得，即； 若，两边同时除以（，不等号方向不变），得，即； 两种情况均有，故 B 正确，A 错误. 选项 C、D：取特殊值验证，如，，满足且，但，故 C 不恒成立；如，，，故 D 不恒成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $