专题3 充要条件（讲义）-2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3 充要条件 【复习目标】 了解充分条件，必要条件，充要条件。 【考点1 充分条件和必要条件】 1. 命题的基础概念： - 命题：可以判断真假的陈述句叫做命题，分为真命题和假命题。 ① 真命题：判断为 的命题（如“2是偶数”）； ② 假命题：判断为 的命题（如“3<2”）。 - 原命题与逆命题：若原命题为“若p，则q”（可表示为p⇒q），则其逆命题为“ ”（可表示为q⇒p）；原命题与逆命题的真假性没有必然关联（如原命题“若x=2，则”是真命题，其逆命题“若，则”是假命题）。 2. 充分条件和必要条件的定义： - 若原命题“若p，则q”为真（p⇒q成立），逆命题“若q，则p”为假（q⇒p不成立），则称p是q的 ，q是p的 ； - 核心简化：只要原命题“若p，则q”为真（p能推出q，即 ），就说p是q的充分条件、q是p的必要条件；只要逆命题“若q，则p”为真（q能推出p，即 ），就说q是p的充分条件、p是q的必要条件。 3. 核心理解： - 充分条件：原命题为真（p⇒q），有p就够了，p能保证q成立，与逆命题真假无关； - 必要条件：逆命题为真（q⇒p），没q不行，q是p成立的前提，与原命题真假无关； - 注意：“p⇒q”成立时，p是q的充分条件，同时q是p的必要条件，二者相互关联，不可单独割裂。 【即时训练】 一、单选题 1. 下列语句中，属于真命题的是（ ） A. 你好吗？ B. x>5 C. 3是奇数 D. 画一条直线 2. 下列命题中，p是q的充分条件的是（ ） A. p：x>3，q：x>5 B. p：x=2，q： C. p：x是偶数，q：x是4的倍数 D. p：x>0，q：x<5 3. 已知p：x是实数，q：x是有理数，则p是q的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不是充分也不是必要条件 D. 无法判断 4. 已知p：x是菱形，q：x是矩形，则q是p的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不是充分也不是必要条件 D. 无法判断 二、多选题 5. 下列选项中，p是q的充分条件的有（ ） A. p：x=0，q：xy=0 B. p：x>2，q：x>1 C. p：x是矩形，q：x是平行四边形 D. p：，q：x>2 【考点2 充要条件】 1. 定义：如果若原命题“若p，则q”为真（p⇒q成立），逆命题“若q，则p”为真（q⇒p成立），（即p⇔q），那么我们就说p是q的充分必要条件，简称 。 2. 核心理解： - 充要条件：p和q等价，即p成立当且仅当q成立，二者相互推出、相互依存； - 常见表述：“p是q的充要条件”可表述为“p当且仅当q”“q当且仅当p”； - 区别于充分、必要条件：充要条件是双向推出，充分条件是单向推出（p⇒q），必要条件是单向推出（q⇒p）。 3. 易错点：若p是q的充要条件，则q也是p的充要条件，二者是相互的，不可混淆“充分”“必要”的单向性。 【即时训练】 一、单选题 1.已知p：，q：或，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若p是q的充要条件，则下列说法正确的是（ ） A. p是q的充分条件，且p是q的必要条件 B. p是q的充分条件，但不是必要条件 C. p不是q的充分条件，但p是q的必要条件 D. p既不是q的充分条件，也不是必要条件 二、多选题 3. 下列选项中，p是q的充要条件的有（ ） A. p：，q： B. p：，q： C. p：是等边三角形，q：是有一个角为60°的等腰三角形 D. p：，q： （2018年湖北技能高考第19题）下列三个命题中真命题的个数是（ ） (1) 若集合，则； (2) 若全集，且，则； (3) 若，，则条件是结论成立的必要条件。 A.0 　B.1　 C.2　 D.3 （2017年湖北技能高考第19题）下列三个结论中所有正确结论的序号是（ ） (1) 若全集为，集合，则； (2) 空集是任意一个集合的真子集； (3) 已知集合与，则是的充要条件。 A. (2) 　B. (3)　 C. (1)(2)　 D. (1)(3) （2015年湖北技能高考第19题）下列三个结论中正确结论的个数为（ ） ①空集是由数 0 组成的集合； ②绝对值小于 3 的整数组成的集合用列举法可表示为； ③若为实数，则是成立的充分条件。 A.3　 B.2　 C.1　 D.0 （2012年湖北高职统考第2题）若均为实数，则 ""是"且" 成立的（ ） A. 必要但不充分的条件　 B. 充分但不必要的条件 C. 充分必要的条件　 D. 既不充分又不必要的条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3 充要条件 【复习目标】 了解充分条件，必要条件，充要条件。 【考点1 充分条件和必要条件】 1. 命题的基础概念： - 命题：可以判断真假的陈述句叫做命题，分为真命题和假命题。 ① 真命题：判断为 真 的命题（如“2是偶数”）； ② 假命题：判断为 假 的命题（如“3<2”）。 - 原命题与逆命题：若原命题为“若p，则q”（可表示为p⇒q），则其逆命题为“ 若q，则p ”（可表示为q⇒p）；原命题与逆命题的真假性没有必然关联（如原命题“若x=2，则”是真命题，其逆命题“若，则”是假命题）。 2. 充分条件和必要条件的定义： - 若原命题“若p，则q”为真（p⇒q成立），逆命题“若q，则p”为假（q⇒p不成立），则称p是q的 充分不必要条件 ，q是p的 必要不充分条件 ； - 核心简化：只要原命题“若p，则q”为真（p能推出q，即 p⇒q ），就说p是q的充分条件、q是p的必要条件；只要逆命题“若q，则p”为真（q能推出p，即 q⇒p ），就说q是p的充分条件、p是q的必要条件。 3. 核心理解： - 充分条件：原命题为真（p⇒q），有p就够了，p能保证q成立，与逆命题真假无关； - 必要条件：逆命题为真（q⇒p），没q不行，q是p成立的前提，与原命题真假无关； - 注意：“p⇒q”成立时，p是q的充分条件，同时q是p的必要条件，二者相互关联，不可单独割裂。 【即时训练】 一、单选题 1. 下列语句中，属于真命题的是（ ） A. 你好吗？ B. x>5 C. 3是奇数 D. 画一条直线 【考点】真假命题的判断 【答案】C 【解析】A是疑问句，不是命题；B是无法判断真假的语句，不是命题；C“3是奇数”是判断为真的陈述句，是真命题；D是祈使句，不是命题，故选C。 2. 下列命题中，p是q的充分条件的是（ ） A. p：x>3，q：x>5 B. p：x=2，q： C. p：x是偶数，q：x是4的倍数 D. p：x>0，q：x<5 【考点】充分条件的判断 【答案】B 【解析】A中x>3推不出x>5，p不是q的充分条件；B中x=2⇒，p是q的充分条件；C中偶数不一定是4的倍数（如2），p推不出q；D中x>0推不出x<5，故选B。 3. 已知p：x是实数，q：x是有理数，则p是q的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不是充分也不是必要条件 D. 无法判断 【考点】 必要条件的判断 【答案】B 【解析】有理数一定是实数（q⇒p），但实数不一定是有理数（p推不出q），故p是q的必要条件，选B。 4. 已知p：x是菱形，q：x是矩形，则q是p的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不是充分也不是必要条件 D. 无法判断 【考点】 既不是充分也不是必要条件的判断 【答案】C 【解析】x是菱形推不出x是矩形，即，x是矩形推不出x是菱形，即，所以q是p的既不是充分也不是必要条件. 二、多选题 5. 下列选项中，p是q的充分条件的有（ ） A. p：x=0，q：xy=0 B. p：x>2，q：x>1 C. p：x是矩形，q：x是平行四边形 D. p：，q：x>2 【考点】充分条件的判断 【答案】ABC 【解析】：A中x=0⇒xy=0，p是q的充分条件；B中x>2⇒x>1，p是q的充分条件；C中矩形是特殊的平行四边形，p⇒q，p是q的充分条件；D中⇒x>2或x<-2，p推不出q，故选ABC。 【考点2 充要条件】 1. 定义：如果若原命题“若p，则q”为真（p⇒q成立），逆命题“若q，则p”为真（q⇒p成立），（即p⇔q），那么我们就说p是q的充分必要条件，简称 充要条件 。 2. 核心理解： - 充要条件：p和q等价，即p成立当且仅当q成立，二者相互推出、相互依存； - 常见表述：“p是q的充要条件”可表述为“p当且仅当q”“q当且仅当p”； - 区别于充分、必要条件：充要条件是双向推出，充分条件是单向推出（p⇒q），必要条件是单向推出（q⇒p）。 3. 易错点：若p是q的充要条件，则q也是p的充要条件，二者是相互的，不可混淆“充分”“必要”的单向性。 【即时训练】 一、单选题 1.已知p：，q：或，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点】充要条件的判断 【答案】C 【解析】解方程得或，故p⇔q，p是q的充要条件，选C。 2. 若p是q的充要条件，则下列说法正确的是（ ） A. p是q的充分条件，且p是q的必要条件 B. p是q的充分条件，但不是必要条件 C. p不是q的充分条件，但p是q的必要条件 D. p既不是q的充分条件，也不是必要条件 【考点】充要条件的判断 【答案】A 【解析】充要条件的定义就是既有p⇒q（p是q的充分条件），又有q⇒p（p是q的必要条件），故选A。 二、多选题 3. 下列选项中，p是q的充要条件的有（ ） A. p：，q： B. p：，q： C. p：是等边三角形，q：是有一个角为60°的等腰三角形 D. p：，q： 【考点】充要条件的判断 【答案】BC 【解析】A中⇒ ，但 ⇒x=±y，p是q的充分不必要条件； B中⇔ ，p是q的充要条件； C中等边三角形是有一个角为60°的等腰三角形，且有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，p⇔q，p是q的充要条件； D中推不出，⇒，p是q的必要不充分条件，故选BC。 （2018年湖北技能高考第19题）下列三个命题中真命题的个数是（ ） (1) 若集合，则； (2) 若全集，且，则； (3) 若，，则条件是结论成立的必要条件。 A.0 　B.1　 C.2　 D.3 【考点】集合的基本概念、补集运算、充分条件与必要条件的判定 【答案】B 【解析】命题 (1)：符号使用错误，元素与集合的关系应为属于（），而非包含（，是集合与集合的关系），正确表述应为，故为假命题。 命题 (2)：根据补集的定义，，全集，，则，故为真命题。 命题 (3)：先化简：。，但不能推出（如满足但不满足），因此是的充分不必要条件，不是必要条件，故为假命题。 综上，真命题仅 1 个。 （2017年湖北技能高考第19题）下列三个结论中所有正确结论的序号是（ ） (1) 若全集为，集合，则； (2) 空集是任意一个集合的真子集； (3) 已知集合与，则是的充要条件。 A. (2) 　B. (3)　 C. (1)(2)　 D. (1)(3) 【考点】补集运算、空集的性质、集合间的关系与充要条件 【答案】B 【解析】结论 (1)：补集是全集中不属于的元素组成的集合，即，而非仅，故为错误结论。 结论 (2)：空集是任意非空集合的真子集，是任意集合的子集，不是自身的真子集，故为错误结论。 结论 (3)：根据集合交集的性质，，故为正确结论。 综上，仅 (3) 正确。 （2015年湖北技能高考第19题）下列三个结论中正确结论的个数为（ ） ①空集是由数 0 组成的集合； ②绝对值小于 3 的整数组成的集合用列举法可表示为； ③若为实数，则是成立的充分条件。 A.3　 B.2　 C.1　 D.0 【考点】空集的定义、集合的表示方法、充分条件的判定 【答案】D 【解析】①：空集不含任何元素，由数 0 组成的集合是，二者不同，故为错误结论。 ②：绝对值小于 3 的整数满足，即，整数为，不含和，故为错误结论。 ③：解方程得或，因此不能推出（也满足方程），故不是充分条件，为错误结论。 综上，正确结论个数为 0。 （2012年湖北高职统考第2题）若均为实数，则 ""是"且" 成立的（ ） A. 必要但不充分的条件　 B. 充分但不必要的条件 C. 充分必要的条件　 D. 既不充分又不必要的条件 【考点】充分条件与必要条件的判定 【答案】A 【解析】必要性：若且，则，故必要性成立。 充分性：若，无法推出且，例如，，此时，但，故充分性不成立。 因此，""是"且" 的必要不充分条件。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $