专题9 分段函数（讲义）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 分段函数 【复习目标】 1.理解分段函数的定义、表达形式，能识别分段函数，区分定义域分段规则。 2.掌握分段函数求函数值的方法：先定区间、再代对应解析式。 3.掌握分段函数定义域、值域的基础求法。 4.了解分段函数简单图像画法，能结合图像判断增减、最值 5.能解决分段函数基础题型：求值、比较大小、单调性、简单取值范围问题 6.养成分类讨论的数学思维，适应分段问题的解题逻辑 一、【知识清单】 1.分段函数定义：一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作 ． 分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。 它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的 ，值域也是各段函数值域的 。 由于分段函数概念过广课本无法用文字明确给出分段函数的定义，故以更的实际例题的形式出现。但不少理解能力较弱的学生仍对它认识肤浅模糊，以致学生解题常常出错。 2.分段函数图象 分段函数作图题的一般解法：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的 和 在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。 3.分段函数求值与值域 （1）求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。 （2）求分段函数的值域的方法：分别求出各段函数在其定义区间的值域，再取它 即可。 4.分段函数单调性与奇偶性 （1）判断分段函数的奇偶性的方法：先看定义域是否关于 对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,-x<0 ,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值，若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0，则f(x)是 ；若有f(x)=f(-x)，则f(x)是 。 （2）分段函数单调性判断三步法 第1步：分段单独判断每一段单调性 第2步：看每一段单调性是否一致 · 所有段全是递增才有可能整体递增 · 所有段全是递减才有可能整体递减 · 一段增、一段减 ⇒ 整体不单调 · 第3步：卡点最关键——比较分段点函数值 设分段点为，则 ①整体递增条件每段都增且：左边在的函数值 右边在的函数值 ②整体递减条件每段都减 且：左边在的函数值 右边在的函数值 二、【考点清单】 考点1 分段函数求值 【典例1】（2025届浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试）已知函数则（   ） A． B．0 C．64 D．22 【典例2】（2025届浙江省职教高考研究联合体期末）若分段函数且，则实数（    ） A．2 B．或2 C．或2 D．或2 【即时训练】 1.（2025届浙江省职教高考研究联合体二模）已知函数，则（   ） A．1 B． C．4 D． 2.（2025届浙江省职教高考研究联合体二模）将函数的解析式转化为分段函数的形式，其结果是（   ） A． B． C． D． 3.（202届浙江省高职考二三轮系统性考试）若函数，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 4.（2026届浙江省衢州、丽水、湖州市三模）已知函数，则____________． 5.（2026届浙江省职教高考研究联合体第一次联合考试）已知函数，则_____． 6.（2022届浙江省湖州市中等职业学校高三一模）设函数，若，则______． 7.（2025届浙江职教高考复习第四次模拟）已知函数且，则______． 8.（2026届浙江省温州市高三中职单独考试一模）已知函数若，则实数的值为_____. 考点2 分段函数的图象 【典例3】（2026届浙江省职教高考研究联合体适应性考试一模）如图所示，已知等腰梯形OABC的上底为，下底为，高为.若等腰梯形OABC位于直线左侧的阴影部分的面积为，则函数的大致图像是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 9.（2024届浙江省职教高考研究联合体五模）函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 10.（2024届浙江省温州市普通高职单独考试一摸）已知，则函数的图像可能是（    ） A．   B．  C．   D．   11..函数的图像如图所示，则的表达式是（   ） A． B． C． D． 12..矩形中，，，M是中点，点P在矩形边上沿A→B→C→M作匀速运动，的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   13.如图所示，定义在上的函数的图像为折线段，点和点都在轴上，点在轴的正半轴上，且的面积为.求： (1)点的坐标； (2)的值. 考点3 分段函数的单调性 【典例4】（2026届浙江省宁波、嘉兴职教高考二模）已知函数（且）是定义在上的减函数.则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 14.（2024届浙江省温州市单独考试三模）已知函数，若在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15. （2024届浙江省温州市高职单考单招一模）已知，是两个不同的实数，则下列函数在上满足的是（    ） A． B． C． D． 16.（2026届浙江省台州市第二次高职模拟））已知函数在上是单调递增函数,则的取值范围是__________. 17.（2022届浙江省高职考试研究联合体第四次调研）若函数的单调递增区间为，则常数_____________. 18.（2025届浙江省职教高考第三次模拟）定义为与中的最大值，如，已知函数的最小值为，函数的最小值为，则的值为______. 考点4 分段函数的值域与最值 【典例5】（2024届浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试）已知则的最小值为__________. 【即时训练】 19.（2024届浙江省职教高考研究联合体期中联考））函数的值域为（   ） A． B． C． D．R 20.函数的值域是（    ） A．1 B． C． D． 21.已知函数，则函数的最大值为（    ） A．0 B． C． D．3 22.（2023届浙江省绍兴市柯桥区职业教育中心期末）已知函数，则满足的的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 23.（2023届浙江省精准教学研究中心职教高考第二次考试）函数的值域是_______． 24.函数的值域是____________. 25.（2025届浙江省职教高考嘉兴、宁波地区三模）已知函数的值域为，则实数的取值范围是_______． 26.已知分段函数的图像如图所示，其中轴右侧为开口向下的抛物线，求函数的解析式及值域.    27.设． (1)求与的值； (2)在给定的平面直角坐标系内作出函数的图象并求的最小值． 28.已知函数. (1)求，； (2)若，求函数的最小值. 29.已知分段函数，求此函数的定义域和值域. 一、【真题溯源】 1.（2024年浙江，14）随着全民健身理念深入人心，越来越多人在春暖花开时节来到户外，享受运动乐趣.已知某徒步路线全程由上坡和下坡两段构成.假设某人徒步上坡和下坡的速度均为匀速，且徒步的路程与时间的函数图像如图所示，则徒步3小时30分钟的路程是（ ） A. 6.125km B. 11.2km C. 8.3km D. 10.475km 2. （2024年浙江，27）设函数，则满足的值为____________. 3.（2023年浙江，30）某公司甲为提高员工的综合素质，聘请专业机构乙对员工进行上岗前专业技术和职业素养培训．培训机构乙在对公司甲每位员工进行培训时，要向公司甲收取相关的培训费，培训机构乙按以下方案和公司甲进行培训费用结算： ①若公司甲参加培训的人员总人数不超过30人，则每人的培训费用为840元； ②若公司甲参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠，每多一人，每个人的培训费就相应减少10元，但参加培训的员工人数最多为70人．若公司甲参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元． （1）写出y与之间的函数关系式； （2）若培训机构乙的培训总成本固定为12000元，设培训机构乙的利润为Q，如果公司甲能够参加培训的人数在40~70人之间，则当公司甲参加培训的员工有多少人时，培训机构乙可获得最大利润？最大利润是多少． 4.（2022年浙江，11）函数的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5.（2021年浙江，27）函数，若，则______. 二、【考向感知】 1.定位：分段函数是浙江中职数学高考稳定高频考点，基础为主、中档为辅、少量压轴；命题紧扣课标，重基础、强应用、适度综合。备考需抓基础、练规范、强建模、精真题，确保容易题满分、中档题稳拿、难题争分。 2.命题趋势（2025—2026） （1）基础优先，稳定为主：求值、定义域、简单值域仍是必考，难度不升。 （2）应用强化，贴近生活：计费、行程、利润等真实情境增多，建模能力更重要。 （3）综合适度，不偏不怪：常与一次、二次函数、不等式、最值结合，不考偏难怪。 （4）课标导向，素养落地：2026 起更强调数学建模、运算求解、数形结合核心素养。 3.备考策略 （1）吃透定义，规范步骤：分段函数是一个函数，定义域、值域取并集；求值先区间后代入；不等式分段解再并。 （2）基础题满分训练：每天2道分段求值 + 定义域，确保不丢分。 （3）中档题突破：不等式+图像：掌握“分段讨论→求解→合并”三步法；会画一次、二次分段图像，判断单调、奇偶性。 （4）应用题建模专项：归纳计费、行程、利润三类模型，熟练列 2～3段一次函数，求最值与方案比较。 （5）真题精练，错题复盘：近5年真题全做+归类整理. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 分段函数 【复习目标】 1.理解分段函数的定义、表达形式，能识别分段函数，区分定义域分段规则。 2.掌握分段函数求函数值的方法：先定区间、再代对应解析式。 3.掌握分段函数定义域、值域的基础求法。 4.了解分段函数简单图像画法，能结合图像判断增减、最值 5.能解决分段函数基础题型：求值、比较大小、单调性、简单取值范围问题 6.养成分类讨论的数学思维，适应分段问题的解题逻辑 一、【知识清单】 1.分段函数定义：一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数 ． 分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。 它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的 并集 。 由于分段函数概念过广课本无法用文字明确给出分段函数的定义，故以更的实际例题的形式出现。但不少理解能力较弱的学生仍对它认识肤浅模糊，以致学生解题常常出错。 2.分段函数图象 分段函数作图题的一般解法：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。 3.分段函数求值与值域 （1）求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。 （2）求分段函数的值域的方法：分别求出各段函数在其定义区间的值域，再取它们的并集即可。 4.分段函数单调性与奇偶性 （1）判断分段函数的奇偶性的方法：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,-x<0 ,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值，若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0，则f(x)是奇函数；若有f(x)=f(-x)，则f(x)是偶函数。 （2）分段函数单调性判断三步法 第1步：分段单独判断每一段单调性 第2步：看每一段单调性是否一致 · 所有段全是递增才有可能整体递增 · 所有段全是递减才有可能整体递减 · 一段增、一段减 ⇒ 整体不单调 · 第3步：卡点最关键——比较分段点函数值 设分段点为，则 ①整体递增条件每段都增且：左边在的函数值 ＜ 右边在的函数值 ②整体递减条件每段都减 且：左边在的函数值 ＞ 右边在的函数值 二、【考点清单】 考点1 分段函数求值 【典例1】（2025届浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试）已知函数则（   ） A． B．0 C．64 D．22 【答案】D 【知识点】求具体函数的函数值、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】将自变量代入分段函数的对应的解析式，求解即可. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以， 从而. 故选：D. 【典例2】（2025届浙江省职教高考研究联合体期末）若分段函数且，则实数（    ） A．2 B．或2 C．或2 D．或2 【答案】B 【知识点】由分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据已知分段函数解析式分类讨论即可解得. 【详解】由题，当时，，解得或（舍）； 当时，，解得， 故的值为或. 故选：B． 【点拔】本题考察的是分段函数求职问题，解题思路是：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。 【即时训练】 1.（2025届浙江省职教高考研究联合体二模）已知函数，则（   ） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】由分段函数求函数值即可. 【详解】函数 则． 故选：A． 2.（2025届浙江省职教高考研究联合体二模）将函数的解析式转化为分段函数的形式，其结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据绝对值的意义，将函数转化为分段函数，即可求解. 【详解】函数，当时，则； 当时，则； 即函数转化为分段函数的形式，得到. 故选：D． 3.（202届浙江省高职考二三轮系统性考试）若函数，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据分段函数求函数值，结合题意即可代入求解. 【详解】因为， 所以． 故选：C． 4.（2026届浙江省衢州、丽水、湖州市三模）已知函数，则____________． 【答案】0 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求特殊角的三角函数值 【分析】根据分段函数解析式求出函数值即可得解. 【详解】函数， 则，， 故答案为：. 5.（2026届浙江省职教高考研究联合体第一次联合考试）已知函数，则_____． 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、对数的运算 【分析】根据分段函数的解析式求出函数值即可得解. 【详解】函数， ， ， 故答案为：. 6.（2022届浙江省湖州市中等职业学校高三一模）设函数，若，则______． 【答案】或/或 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数幂的运算、指数函数的判定与求值 【分析】根据分段函数的解析式，分类讨论，求出的值即可. 【详解】当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）， ∴或. 故答案为：或. 7.（2025届浙江职教高考复习第四次模拟）已知函数且，则______． 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、由分段函数的值域或最值求参数、指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】根据题意，结合分段函数解析式，分类讨论当和时两种情况，继而求得a的值，即可代入求解. 【详解】因为， 若，则，解得； 若，则，解得，不符合题意， 所以，. 故答案为：. 8.（2026届浙江省温州市高三中职单独考试一模）已知函数若，则实数的值为_____. 【答案】4 【知识点】由分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据自变量的取值范围，选择对应的函数表达式进行计算. 【详解】因为，所以， 可得，解得， 故答案为：4. 考点2 分段函数的图象 【典例3】（2026届浙江省职教高考研究联合体适应性考试一模）如图所示，已知等腰梯形OABC的上底为，下底为，高为.若等腰梯形OABC位于直线左侧的阴影部分的面积为，则函数的大致图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、根据实际问题作函数图象、分段函数模型的应用 【分析】根据的取值范围，进行分类讨论，计算函数的解析式，再根据解析式对应大致的图像即可. 【详解】在等腰梯形OABC中，； 当时，阴影部分为1个等腰直角三角形，其面积为； 当时，阴影部分为1个等腰直角三角形和1个矩形的组合图形， 其面积为； 当时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分的面积， 即. 综上所述， 故图像符合的为选项A. 故选：A. 【点拔】本题关键是要将直线的运动路径分成三段：第1段所构成的图形是等腰直角三角形；第2段：,所构成的阴影部分面积为1个等腰直角三角形和1个矩形的组合图形；第三段：,阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分的面积.根据的范围计算函数的解析式，再根据解析式对应大致的图像即可. 【即时训练】 9.（2024届浙江省职教高考研究联合体五模）函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图象法表示函数、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】将函数转化成分段函数，结合一次函数的图像，即可求解. 【详解】因为， 结合一次函数的图像可知，选项D符合题意， 故选：D. 10.（2024届浙江省温州市普通高职单独考试一摸）已知，则函数的图像可能是（    ） A．   B．  C．   D．   【答案】B 【知识点】分段函数的单调性、判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】按和，分类讨论分析函数图象即可. 【详解】当时，， 此时该函数为二次函数，开口向下，对称轴， 所以函数在时，单调递增，故A、D错误， 当时，， 此时该函数为二次函数，开口向上，对称轴， 所以函数在时，单调递减；时，单调递增. 故C错误，B正确. 故选：B. 11..函数的图像如图所示，则的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】待定系数法、求分段函数解析式或求函数的值、由一次函数的图象或性质确定参数 【分析】根据题意，结合分段函数的概念，及一次函数的图像和性质，利用待定系数法，即可求解. 【详解】由图知，当时，函数为一次函数，设函数解析式为， 又过点，代入得，解得， 所以； 当时，函数也是一次函数，设函数解析式为， 又过点，代入得，解得， 所以， 综上所述，，即. 故选：B. 12..矩形中，，，M是中点，点P在矩形边上沿A→B→C→M作匀速运动，的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】图象法表示函数、求分段函数解析式或求函数的值、分段函数的单调性、函数图像的识别 【分析】根据的取值范围，分段计算三角形的面积函数，即可判断其图像. 【详解】在矩形ABCD中，，，. 点P由A到B这一段中，，随线性增加，最大值为1. 点P由B到C这一段，，而，， . 所以，.随线性减小，最小值为. 由C到M这一段，，随线性减小. 综上，的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系为B图所示. 故选:B. 13.如图所示，定义在上的函数的图像为折线段，点和点都在轴上，点在轴的正半轴上，且的面积为.求： (1)点的坐标； (2)的值. 【答案】(1). (2)1. 【知识点】图象法表示函数、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】（）根据图像结合三角形面积公式即可得解. （）根据图像求出函数的解析式即可得解. 【详解】（1）由题意得，，则， ，， 由图像得，点的坐标为. （2）因为，，， 设直线的方程为，则，解得，所以直线的方程为； 设直线的方程为，则，解得，所以直线的方程为， 由图像可知函数， 所以，， 所以. 考点3 分段函数的单调性 【典例4】（2026届浙江省宁波、嘉兴职教高考二模）已知函数（且）是定义在上的减函数.则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分段函数的单调性、根据函数的单调性求参数值、由指数（型）函数的单调性确定定义域或参数 【分析】根据分段函数的解析式以及单调性求解即可. 【详解】因为函数（且）是定义在上的减函数， 所以，解得. 故选：B. 【点拔】根据分段函数的单调性求参数范围问题既是难点也是易错点，可结合函数图象大致判断出位置关系，其中卡点最关键，一定要比较分段点函数值大小 【即时训练】 14.（2024届浙江省温州市单独考试三模）已知函数，若在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分段函数的单调性、根据函数的单调性求参数值 【分析】先分析时函数的单调性，再由在上单调递增求解a的值即可. 【详解】当时，， 则在上递增，且， 又因为在上递增， 所以当时，，在上递增， 则， 所以a的取值范围为. 故选：C. 15. （2024届浙江省温州市高职单考单招一模）已知，是两个不同的实数，则下列函数在上满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分段函数的单调性、判断二次函数的单调性和求解单调区间、判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性 【分析】首先由可得在R上严格单调递增.分别依据指数函数、二次函数、对数函数以及一次函数的性质即可判断其在R上的单调性，即可得解. 【详解】由可得在R上单调递增. A.为指数函数，由于，所以在R上单调递减，A错误； B.依据二次函数的性质，开口向上，对称轴方程为，所以在上单调递减，在上单调递增，B错误； C.依据对数函数的性质，的定义域为，C错误； D.当时，为二次函数，开口向下，对称轴为直线，所以在上单调递增，且， 当时，为一次函数，，所以在上单调递增且，所以在R上单调递增，D正确. 故选：D. 16.（2026届浙江省台州市第二次高职模拟））已知函数在上是单调递增函数,则的取值范围是__________. 【答案】 【知识点】分段函数的单调性、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数在上是单调递增函数， 所以，解得， 所以的取值范围是. 17.（2022届浙江省高职考试研究联合体第四次调研）若函数的单调递增区间为，则常数_____________. 【答案】3 【知识点】分段函数的单调性、根据函数的单调性求参数值 【分析】利用分段函数的单调性求出函数的单调增区间，即可求解该问题. 【详解】因为，所以函数的单调增区间为，所以. 故答案为：3. 18.（2025届浙江省职教高考第三次模拟）定义为与中的最大值，如，已知函数的最小值为，函数的最小值为，则的值为______. 【答案】3 【知识点】分段函数的单调性、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性得到和，即可求解. 【详解】令，即， 得到，解得， 所以， 函数在定义域上单调递增，函数在定义域上单调递减， 即，得， 又，即，解得， 所以 函数在定义域上单调递增，函数定义域上单调递减， 即，得， 所以. 故答案为： 考点4 分段函数的值域与最值 【典例5】（2024届浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试）已知则的最小值为__________. 【答案】 【知识点】求分段函数的值域或最值、求二次（型）函数的最值 【分析】分别讨论两个区间上函数的最小值，再进行比较大小得到答案. 【详解】当时，， 函数图象开口向下，对称轴，对称轴对应函数值为区间内的最大值， 该区间两端点的函数值分别为，， 当时，， 函数图象开口向下，对称轴，对称轴对应函数值为区间内的最大值， 该区间两端点的函数值为，（取不到）， 综上可得，的最小值为， 故答案为：. 【即时训练】 19.（2024届浙江省职教高考研究联合体期中联考））函数的值域为（   ） A． B． C． D．R 【答案】A 【知识点】求分段函数的值域或最值 【分析】根据给定的分段函数，分段求出函数值集合即可得解. 【详解】当时，的值域为：， 当时，的值域为：， 所以函数的值域为， 故选：A. 20.函数的值域是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】其它类型函数的值域、求分段函数的值域或最值 【分析】由分段函数分别求其值域，再进行合并即可. 【详解】根据分段函数可知 当时，， 当时，， 所以函数值域为. 故选：D. 21.已知函数，则函数的最大值为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】B 【知识点】求分段函数的值域或最值 【分析】根据分段函数求各自的最大值易得答案. 【详解】因为, 当时,函数是二次函数,开口向下,有最大值, 所以当时,, 当,函数是一次函数,, 综上所述函数的最大值为. 故选:B. 22.（2023届浙江省绍兴市柯桥区职业教育中心期末）已知函数，则满足的的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由分段函数的值域或最值求参数、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、区间的定义与表示 【分析】分类讨论和的情况，结合指数函数与对数函数的性质解不等式即可得解. 【详解】因为函数， 当时，，则，解得，所以； 当时，，则，解得，所以； 综上所述，的取值范围为，即， 故选：. 23.（2023届浙江省精准教学研究中心职教高考第二次考试）函数的值域是_______． 【答案】 【知识点】求分段函数的值域或最值、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据分段函数判断每一段的单调性，求出每一段函数的取值范围，即可得出该函数的值域. 【详解】当时，，函数在该范围内单调递增，即； 当时，，函数在该范围内单调递增，即； 综上，函数在定义域范围内的值域为. 故答案为：. 24.函数的值域是____________. 【答案】 【知识点】一次函数的值域、二次函数的值域、求分段函数的值域或最值 【分析】分段讨论和，结合一次函数及二次函数的性质求出两段的值域即可得解. 【详解】函数， 当时，在上为增函数，且,此时值域为； 当时，，对称轴为，图像为开口向下的抛物线， 当时，函数值最大为，当时，函数值最小为， 此时值域为， 综上所述，函数的值域是， 故答案为：. 25.（2025届浙江省职教高考嘉兴、宁波地区三模）已知函数的值域为，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】由分段函数的值域或最值求参数、求对数函数在区间上的值域 【分析】根据对数函数单调性和一次函数及二次函数单调性分别求出两段范围内函数的值域即可. 【详解】时，函数单调递增，则， 时，若，则，结合时可知， 函数在上的值域为，不符合题意； 若，则函数开口向上，在上有最小值， 函数在上的值域为，不符合题意； 故，函数开口向下，在上有最大值， 要使函数在上的值域为，则，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 26.已知分段函数的图像如图所示，其中轴右侧为开口向下的抛物线，求函数的解析式及值域.    【答案】， 【知识点】待定系数法、图象法表示函数、求分段函数解析式或求函数的值、求分段函数的值域或最值 【分析】利用待定系数法求解析式.当时，设，由点，代入可求函数解析式；当时，抛物线的顶点为，设，由代入可求函数解析式.将所得写成分段函数即可；由函数图像观察可得函数值域. 【详解】解：①当时，设.    由点，代入得， 解得，， ； ②当时，由图知抛物线的顶点为， 设.    由代入得 ，解得， .    综上所述， 由图像可得函数的值域为. 27.设． (1)求与的值； (2)在给定的平面直角坐标系内作出函数的图象并求的最小值． 【答案】(1); (2)最小值为，函数图像见解析 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数的单调性、求分段函数的值域或最值、画出具体函数图象 【分析】（1）根据分段函数的定义域，即可求解. （2）根据分段函数的定义域，单调性，即可求解. 【详解】（1）由题意知， 所以， . （2）当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取最小值. 函数图像，如下所示；    28.已知函数. (1)求，； (2)若，求函数的最小值. 【答案】(1)， (2)0 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求分段函数的值域或最值 【分析】（1）根据分段函数的解析式及对数的运算代入求值即可； （2）根据函数的定义域和解析式判断函数的单调性，再求函数的最小值. 【详解】（1）令，， 令，. （2）由（1）知， 又， ， 当时，函数为减函数； 当时，函数为增函数， 所以. 29.已知分段函数，求此函数的定义域和值域. 【答案】定义域 ；值域 【知识点】分段函数的定义域、求分段函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据函数的解析式即可求解. 【详解】函数的定义域为; 当时，为增函数，此时； 当时，，对称轴为， 此时在上为减函数，在上为减函数， 此时； 综上所述，函数的值域为. 一、【真题溯源】 1.（2024年浙江，14）随着全民健身理念深入人心，越来越多人在春暖花开时节来到户外，享受运动乐趣.已知某徒步路线全程由上坡和下坡两段构成.假设某人徒步上坡和下坡的速度均为匀速，且徒步的路程与时间的函数图像如图所示，则徒步3小时30分钟的路程是（ ） A. 6.125km B. 11.2km C. 8.3km D. 10.475km 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像分析求解即可. 【详解】根据已知的函数图像可知，前2h的路程为， 因为2h到5h为一次函数，又因为， 所以路程为， 所以总路程为. 故选：C. 2. （2024年浙江，27）设函数，则满足的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】将函数分别代入两个解析式求出的值，保留属于所给区间的值即可. 【详解】若，则，，所以符合条件； 若，则，则，所以符合条件； 综上满足的值为； 故答案为：. 3.（2023年浙江，30）某公司甲为提高员工的综合素质，聘请专业机构乙对员工进行上岗前专业技术和职业素养培训．培训机构乙在对公司甲每位员工进行培训时，要向公司甲收取相关的培训费，培训机构乙按以下方案和公司甲进行培训费用结算： ①若公司甲参加培训的人员总人数不超过30人，则每人的培训费用为840元； ②若公司甲参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠，每多一人，每个人的培训费就相应减少10元，但参加培训的员工人数最多为70人．若公司甲参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元． （1）写出y与之间的函数关系式； （2）若培训机构乙的培训总成本固定为12000元，设培训机构乙的利润为Q，如果公司甲能够参加培训的人数在40~70人之间，则当公司甲参加培训的员工有多少人时，培训机构乙可获得最大利润？最大利润是多少． 【答案】（1） （2）57人，最大利润为20490元 【解析】 【分析】（1）根据题意分段解答; （2）根据利润=单价×数量列出函数，再根据二次函数性质找到最值. 【小问1详解】 由题意可得: 即: 【小问2详解】 由题意可得: 即 ∵ ∴ ∴当人时， 元 答：当培训人数为57人时，培训机构利润最大，最大利润为20490元． 4.（2022年浙江，11）函数的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，结合二次函数的图象和性质，可得当时，函数取最小值. 【详解】当时，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当时取等号. 综上可得，函数的最小值为2. 故选：. 5.（2021年浙江，27）函数，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】分，两种情况，由内到外计算，据此可求解. 【详解】①当时，， 所以， 解得或（舍去）； ②当时，， 所以，方程无实根. 综上所述，. 故答案为： 二、【考向感知】 1.定位：分段函数是浙江中职数学高考稳定高频考点，基础为主、中档为辅、少量压轴；命题紧扣课标，重基础、强应用、适度综合。备考需抓基础、练规范、强建模、精真题，确保容易题满分、中档题稳拿、难题争分。 2.命题趋势（2025—2026） （1）基础优先，稳定为主：求值、定义域、简单值域仍是必考，难度不升。 （2）应用强化，贴近生活：计费、行程、利润等真实情境增多，建模能力更重要。 （3）综合适度，不偏不怪：常与一次、二次函数、不等式、最值结合，不考偏难怪。 （4）课标导向，素养落地：2026 起更强调数学建模、运算求解、数形结合核心素养。 3.备考策略 （1）吃透定义，规范步骤：分段函数是一个函数，定义域、值域取并集；求值先区间后代入；不等式分段解再并。 （2）基础题满分训练：每天2道分段求值 + 定义域，确保不丢分。 （3）中档题突破：不等式+图像：掌握“分段讨论→求解→合并”三步法；会画一次、二次分段图像，判断单调、奇偶性。 （4）应用题建模专项：归纳计费、行程、利润三类模型，熟练列 2～3段一次函数，求最值与方案比较。 （5）真题精练，错题复盘：近5年真题全做+归类整理. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $