福建省厦门第一中学2025-2026学年度第二学期期中考试高二年级数学试卷

福建省厦门第一中学2025一2026学年度 第二学期期中考试 高二年数学试卷 命题教师方颖 审核教师周翔吴卫军刘明钦 2026.4 一、单项选择题：本题共8小题。每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 1.己知函数f)=(x-)2,则1im0+Ax)f四 △x A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知数列{an}是等差数列，且4+42+4=-3,4+a+a=9,则S= A.1 B.2 C.3 D.5 3.设随机变量的分布列如表所示，且E(5)=1.6,则a×b= 5 0 ny 3 0.1 a 6 0.1 A.0.2 B.0.1 C.0.15 D.0.4 4.Q+2x)1+x)的展开式中x2的系数是 A.10 B.15 C.20 D.30 5.对于三次函数f(x)=3+bx2+cx+d(a≠0)，给出定义：设f'(x)是函数y=f()的导数，"(x) 是f'(x)的导数，若方程f"(x)=0有实数解x。,则称点(xf(x,)为函数y=f(x)的拐点”.经过 探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称 心设函数g)=3-x2+2x-,则82023)+8-2029+8(202)+8 A.0 B.2 C.4 D.6 6.无重复数字的三位偶数的个数为 A.136 B.328 C.360 D.720 7.已知F是双曲线C:ry a b =1(a>0,b>0)的右焦点，直线y=&与双曲线C交于M,N两点， 其中M在第一象限，W=3M,且∠MN=2”,则双曲线C的离心率为 A. 3 万 B. D.5 2 C.√ 8.学校食堂每餐推出A、B两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套 餐，若他前1天选择了A套餐，则第2天选择A套餐的概率为1；若他前1天选择了B套餐，则 第2天选择了1套餐的概率为手·已知他开学第1天中午选择A套餐的概率为号， 在该同学第3 天选择了A套餐的条件下，他第2天选择A套餐的概率为 7 7 A.26 B.15 C.2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分。 试卷第1页，共4页 9.记圆M:(x-1)2+y2=a2,圆N:(x-2)2+y-1)}=4a2,则 A.MN=2 B.若坐标原点在圆M上，则点(O,1)在圆N上 C.若圆M与圆N内切，则a=2 D.当a=1时，圆M与圆N的相交弦方程为2x+2y-1=0 10.我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可 见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的说法正确的是 第0行 1 第1行 第2行 第3行 3 3 第4行 464 第5行 15101051 年888象8 A.第6行从左到右第4个数是15 B.第2026行的第1014个数最大 2十. C.C+C+C+…+C26=C327 D.记第n行的第i个数为a,则∑2a=3” 11.已知棱长为4的正方体ABCD-ABCD中，点E为棱AB的中点，动点F满足 A亚=B+uAD,其中兄u∈R,AG=AD,则下列结论正确的是 A.若+=1，则CF⊥AB B.若元+4L=1，≠0，则点A到平面4FG的距离为210 5 C.若业-2，则直线BR与直线BC所成角的最小值为平 D.若4F与AA夹角为年，则E+GA的最小值为3反 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.直线1的一个方向向量为m=(1,0,1),平面a的一个法向量为n=(-1,0,),且1∥a,则 t=▲ 13.城区某中学安排5位老师到A,B,C三所乡村中学任教，要求每个乡村中学至少安排1位 老师，每位老师只能去1个中学支教，则不同的安排方式有▲种. 14.已知f(x)=e-2x,8(x)=lnx-ax,若对任意x∈(0，+o),都存在x2∈(0，+o),使得 fG).8,)-1,则实数a的取值范围为▲一 X, 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知Sn为数列{a}的前n项和，且S4=2an-2. (1)求该数列的通项a。; (2)若b.=l0g2a.,求数列 bb 的前n项和T. 试卷第2页，共4页 16.己知函数f)=+b在x=1处取得极值} (1)求a,b: ②证明：>0时，f0< 17.平面直角坐标系中，动点P到点M(2,0)的距离与它到直线x=8的距离之比为；. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点M的直线I与轨迹C交于A,B两点，且点A在第一象限，点N(-2,0),△AMN与△BMN 3 的面积之比为：，求△ABN的内切圆半径. 18.己知函数f(x)=x2-lnx(a∈R) (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在(1，f(I)处的切线方程； (2)若函数f(x)在(1，+n)存在单调递减区间，求实数a的取值范围： (③)当a=时，证明：函数H)=了e)2x+上有且仅有两个零点 试卷第3页，共4页 l9.1907年物理学家Tatiana和Paul Ehrenfest为了解释热力学第二定律提出了一个分子扩散模 型.编号为A和B的两个容器相互联通，当中仅用薄膜分割（允许分子在两容器间穿梭），当一 个分子从一个容器转移到另一个容器，则称发生一次转移.发生次转移后，容器A中的分子数 记为X。，容器A的分子数从Xn=i到X1=j的概率记为？.，即P,=P(X1=J川X.=).初始状 态时，容器A内有2个分子，容器B内有8个分子.假设每个分子发生转移的可能性相同，均为 1 0. A (1)求21，P23: (2)求2次转移后，容器A中的分子数X,的分布列与期望： (3)求出E(X)与E(X)的关系式，并用解释当n→+o时E(X)的含义. 试卷第4页，共4页 厦门一中2024级高二（下)数学期中考试参考答案 一、单项选择题：1-5：ADCCC68：BBA 8.【详解】设A,为第n天选A套餐，A为第n天选B套餐，则 P4)号P网)=1-3P4)a回) )=a)2A0风风-9-网品%4片网-7 51 4=4a4+P同网品品4-号登-名 P(4) 1326 24 二、多项选择题：9.BD10。BCD11.ACD 11.解：A选项：因为+u=1,所以点F∈BD,则CFC面BCD.因为AB⊥BC,AB,⊥CD,所以 AB⊥面BCD,故AB⊥CFA选项正确.B选项：AF=AB+AD=AB+4AG,由于元+4L=1,1≠0， 则点F∈BG,故点A到面AFG的距离等于点A到面AGB的距离d.延长AG交AD于点H, 40总出专数-盟=西-原，火四为05.所以 81 44-4j 利月等作积法，a=火→8.44，改 2 d=4WC选项：取AD中点M,过点M作AB的平行线MN,当u=)时，F∈N,则BFc面1BCD, 11 设BC与面ABCD所成角B,由最小角定理可知，(EF,BC〉之B,而BC∥AD,DM⊥面ABCD,所以 0-∠AMD- D选项：因为4F与4A夹角为誓，所以点F落在以44为轴，48母线的圆锥面，又因为 AF=正+uAD即F∈面ABD,AA与面ABD,所成角为买，所以圆锥面与面ABD的交线是一条抛物 线，点M,B落在抛物线上，以点M为原点，MA,AB为x,y轴正方向建系，B(2√2,4)，设抛物线y2=2Px, 则4=2p×2V2,解得p=22.故|EF+lGF≥T=xg+2=3√2 2 D D D B M4--- D MG A H 三、填空题：12.1 13.150 14. -2 -e(e-2] 14解令四-国-2x>0,则r6)-e-2-e-2.c 所以（的信域为圳e-2)所以石（0.2]◆G()-8国-x-ax>0,则g)-1-hs x x2 答案第1页，共4页 所以的微谈由910-心i〔]小7类 e X1 X2 所以s-a,所以a≤112 e-2 e -ee-2e(e-2) 四、解答题 14.解：(1)当n≥2时， S,=2a,-2 Sn1=2a-1-2' 所以S-Sn-1=2-2-1,整理可得a=2a1,(n≥2)，…4分 所以数列{a,}是首项为2，公比为2的等比数列，故a=2,n∈N. …6分 1,1-11 (2)因为6=lo:a.=,所以6(+n1' …8分 所以7=1-+片++是11-1” 13分 223 nn+1n+1n+1 16.解：1)f=ae-(r+bje-a-m-b, …2分 e 故f四=a-a-b=0且f0=a+b=1 e e左e’解得0=1，b=0，……………6分 故/网-是了)-。，令f国>0得<1，令闭<0得>1， 所以f)。在=1处取得极值满足要求；…7分 ②f>0时，f0<台。<1，令g0)t>0,……11分 则g0)-2-1_20,故g0在te(02)上单调递增，在1e(2上单调递减 ,…13分 e' 则&)<82)=4<1，所以f0<}证毕 …15分 17.解：1)设动点P的坐标为(c),由愿意可得yc-2+护 …2分 x-8 即4[(x-2+y]=(x-8),化简得3x2+4y2=48,即动点P的轨迹C的方程为+ 16+i21:…4分 (2)设A(5,),B(y),点A在第一象限，则x>0,y>0，y2<0, 若直线I的斜率不存在，由椭圆对称性可知△AMN与△BMN的面积之比为1，不符合题意；…5分 故直线1的斜率必存在且不为0，可设直线1的方程为x=+2, 12 x=y+2 +y2=- 3m2+4 +书-存：(Br+4少+12w36=0.A>0,8 …7分 -36 Viy2= 3m2+4 由于g3 3 S.BMN M-b:l 答案第2页，共4页 则、3， 12y 12m 3012 3 30L 18L 3m2+41 3m2+4 则y= 32+4 32+4’ -36 -36 结合y,= 94可得0 18L 化简得结合m十中 >0,则m>0,故m= …11分 3 4 故 36 5,则以小+广y= 36 =5 aMBW的面积为S=Nxk-;×4x165_325 5 s一，△ABN的周长为 IAN+BN+4B ANI+IBNI+AM+BMI=AN+AM+IBM+IBN4a=16,...........13 设aN的内切圆半径为则0时+时+h=2,时12，故，-515分 2 5 18.解：a)当a-2时，f)=2r-r,则e)=4x-, 所以f0)=2,∫()=3，所以切线方程为y-2=3(x-1),即y=3x-1.…4分 (2)由思意得f'()=2m-1-2-1, 若函数f(x)存在单调递减区间，则f"(x)<0在(1，+o)上有解， 1在(L,+∞)上有解，…6分 即a< 2.r2 因为腾数y=京在1)上承渊滋读。所以)京》板a …9分 8》白题德得H国u2+x0,别)=2是2 ,…10分 令g(x)=x3-2x2-x-1,x>0,则g'(w=3x2-4x-1, 令g)=0可得，x=2万<0（舍）或x=2+7 3 3 当x∈0 2+V7 时，g'(x)<0,则g(x)在 2+V7 3 0, 上单调递减， 3 当x∈ 2+万，) 3+0时，8>0，则g)在 2+√7 3,+0 上单调递增，…12分 又8(0)=-1，g(2)=-3<0,83)=5>0,所以存在x。∈(2,3)，使得g(x)=0,即H'(x)=0,…14分 所以当x∈(0，x)时，H'()<0,则H(x)在(0，x)上单调递减，当x∈(x,+o)时，H'(x)>0,则H(x)在 化1o）上年源道跑因为x→0时.)，0=专0， 所以存在∈(0,1)，使得H(化)=0，…16分 又A④}血4<0⊙)=27-n5>0,所以存在飞∈(45，使得H)=0, 所以函数H6)=f()-2x+有且仅有两个零点.…17分 答案第3页，共4页 19.(1).每个分子等可能发生转移且分子数有限 木程是古典服型，号号 …4分 (2)X所有可能取值为0,24，则P(x,=0)=。=50 1 A,=2)=R:+品-专0050 1×9+4×3_21 PX2=4)=AB4= 4×7_28 …7分 51050 故X,的分布列为 X 0 2 4 P 1 21 28 505050 21 .E(X,)=2× 2+4×2877 50 5025 …9分 （3)由题符，2x=o创=0.=a=0P0K=以0x.-10-a9a60x,9% 当1≤i≤9，P(Xn=i)=P(X1=i-1)p1+P(X1=1+1)PH 6x=-是x=-测1分 --02g40jx= 10 0m=0r2e- 10 台10 =PX=0)+ 80X1=+2+00-0+-yx1=+98x=+9X0nx4=10+x4=9叭 10 10 10 -082器明909 10 82比到2x,=9-gHn 10 设x)-=（(x-则(X)-1=青(ag …14分 解得=-5X)-5x))-))5 8X0)-2x)=-3[周+5 16分 当n→+o时，E(Xn)5. 解释：充分混合后，最终两容器分子数相等…17分 法：期塑避推关系为：5)=x,-0化H号xH1 10 答案第4页，共4页