安徽芜湖市第一中学2025-2026学年第二学期期中教学质量检测数学试卷

**基本信息** 芜湖一中高二数学期中卷聚焦函数、导数、概率等核心知识，以汽车座位分配、餐厅选择等真实情境题设计，考查数学建模与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|函数性质、二项式定理、概率分布|第7题空间站人员分配结合排列组合| |填空题|3题15分|导数切线（12题）、利润优化（13题）|第13题饮料瓶半径与利润关联实际应用| |解答题|5题77分|导数应用、概率数列、函数极值|第18题汽车座位概率问题考查逻辑推理，第16题餐厅选择模型体现数学语言表达|

芜湖一中2025-2026学年第二学期期中教学质量检测 高二数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C D C D B D A 7.【详解】有四类不同的安排情形：①甲单独在A舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在B,C舱， 有CCA?=4×1×2=8种不同的安排方法：②甲单独在A舱，其余四人平均分成两组每组2人，安排在B,C舱， 有cSA:-6 二×2=6种不同的安排方法：③A舱安排2人，其余三人分成两组，一组1人，一组2人，安排 A 2 在B,C舱，有CCC2A?=4×3×1×2=24种不同的安排方法：④A舱安排3人，其余二人分成两组，安排在B,C 舱，有CA?=6×2=12种不同的安排方法：综上，不同的安排方法共有8+6+24+12=50种 8.【详解】f(x)=xe-x-be+ab=(（x-b)e-a),因为a>0,且函数y=x-b和y=e-a都是增函数， 故若f(x)≥0恒成立，则函数y=x-b和y=e一a的零点相同，即b=na. 故.设ga-则ga-2故40ga)>0,gao)润腾： a a a 在(e,+∞），g(a)<0,g(a单调递减故g(a)m=g(e2)=e2,故最大值为e2.故选：A 二、多项选择题：本题共3小题。每小题6分，共18分. 9 10 11 BCD ABC ABD 10【群解】因为P-}所以P到-1-P叫到-1-g 5 ，A选项正确： 5 食，048国=2专风86m P(AB)P(AB)3 因为P-所以P啊)-P司 所P)-号-号©法联 3 网：ew五-7图u子aw去 4 P(4) 戏P到-4言方言有D法东指说成法：AC 1【详解】A选项，fx)=血x-1-2的定义域为(0,1U1+o), x-1 f(x)=1 2 x(x-1)2 >0在定义域上恒成立，故f(x)的单调递增区间是(0,1)，(1，+o),A正确； B选项，当x趋向于0时，(x)趋向于-∽，当x趋向于+0时，f(x)趋向于+0， 故f(x)的值域为R,B正确： C选项，x>0, +fix)=x1++mx1-2=-2+2=0. 1 x-1 x-1 又 10g20272026= _,所以f1g2027)+f1og72026)=0,C错误： 10g20262027 感网-智=2-6+号时时可名习 e-1 -12e=m-1H2-m =In- e5-1 e 11 ix)-m1-2 2 1 In 因为b∈(0+.所以号∈(0).又ae0,l),故a=日 e , 即ae=1,D正确.故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 1 12. a=0或a= 13.2 14.49 2 14.【答案】49 【详解】二项式0+2026)的通项为1n=Cn(20260=Cm-2026Y,r∈{0,12.，100} 二项式(2026-ym的通项为74=Cm2026(←xy=Cm20260-(-yx,r∈0,12，，10y ∴a,=Ci0·2026+Ci0·20260-t.(-1)=Cim[2026+20260.(-1)]' k∈0,12，，10y.若a<0.则k为奇数，此时a,=C(2026-2026w-)2026-20260<0 .k<100-k,∴.k<50,又k为奇数，：k的最大值为49.故答案为：49. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(13分) 解析(1)：f'(x)=x2-6x+10,则f"(0)=10 - -3分 所以在P(0,1)处的切线方程为y-1=f'(O)(x-0),整理得y=10x+1 6分 (2)设P(xy),在P处的切线斜率为f"(x)=x2-6x+10, -9分 即k=f'(x)=(x-3)2+1≥1，由斜率k=tan0,k≥1， -12分 且0∈[0，π)得，0∈ 42 -13分 16.(15分) 解：(1)设B=同学甲第i天选择B餐厅”，i=1,2,3,…n 根累题意可：(8)广分：P川4)片川县)一子 由全数本会式用国)P4)P医81P国P国)-行司 即同学甲第二天选择B餐厅的概率为 -7分 (2)设B,=“甲第n天选择B餐厅”，则p。=P(Ba),P(En)=1-p.,（n∈N), 当n≥2时，由全概率公式可得P。=P(B)=P(BB1)+P(BEn1) -P川BP风B小广P叫瓦Paa)=+-）-P+ 11分 所以a身是以0为项、 .31 二为公比的等比数列， -14分 =31x(- -15分 卫.=510 4 17.(15分) 【解折1)函数f)-罗”-x-血x约定义域为0+网， -1分 当m=2时，fy=2-x-血x,所以f)=2x-1-1-2x+1x- -3分 当x∈(0,1)时，f'(x)<0,f(x)在(0,1)上为减函数， -4分 当x∈(1，+o)时，f'(x)>0,f(x)在(1，+o)上为增函数， -5分 综上所述：f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，+0)上为增函数： -6分 3 (2)若x>0,不等式f(x)>x2恒成立， 则孤>1++对x>0均成立，所以>1+ ,1,nx -8分 令8)=1+上+血x x x2 侧8Go=】+x-2x血x--11-21nx=1-2x (x2)2 -10分 x3 令h(x)=1-2nx-x,显然h(x)=1-2nx-x为(0，+o)上的减函数， 又h1)=1-2ln1-1=0, 所以x∈(0,1)，h(x)>0,8(x)>0则g(x)在(0,1)上为增函数， 当x∈(1，+o)时，h(x)<0,g'(x)<0则g(x)在(1，+o)上为减函数， -14分 所以8=0=1片+4-2：断以号2,8m4 2 所以实数的取值范围为(4，十o) -15分 18.(17分) 解：(1)设1号乘客坐在i号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为P,则P=P+P+?+P, -1分 B4' -2分 -4分 111 B=28 -6分 卫=0，- -7分 所以P=+2+0= 1 -8分 488 2 (2)随机变量X所有可能的取值为0,1,2,4： -9分 Px-0-8 -10分 y -12分 24 111.11 ,116 P(X=-4行*2+31+4220 -14分 P --16分 所以E(2X)=X4+242 6×4+×2+6x1+×0= -17分 2424 6 19.(17分) 【答案】(1)a≤0时，f(x)无极值：a>0时，f(x)的极大值为alna-a+1,无极小值； (2)BC<4C 解：(1)由f(x)=ax-e+1,得f'(x)=a-e, 2分 当a≤0时，对任意x∈（-0，+0)，f'(x)<0, 所以f(x)在(-0，十o)单调递减，无极值： -4分 当a>0时，令f'(x)>0,得x<na;令f'(x)<0,得x>lna. f(x)在(-o,na)单调递增，在(na,+o)单调递减， -- -6分 函数f(x)在x=na处取得极大值，极大值为ana-a+1,无极小值， 综上所述，a≤0时，无极值； a>0时，在x=lna处取得极大值，极大值为ana-a+1,无极小值； -8分 (2)由a>1,函数f(x)有两个不同的零点x,x,(x<x2)和一个极值点x, 由(1)知f(x)在(-o,na)单调递增，在(lna,+o)单调递减， 故x=na为f(x)的极大值点，极大值f(na)=ala-a+1,令m(a)=alna-a+l,a∈(L,+o). 则l(a)=na>0,故(a在(1，+∞)单调递增，故f(na)=m(a)>n(1)=0，,- -10分 又注意到f(0)=0,故不妨设x=0,- -12分 此外f(2na)=2ana-a2+1=n(a),a∈(1，+o）, 则1(a=2(na+1-a),记s(ad=na+1-a,a∈(1，+o), 则a)-。1-2<0,眉以(@在〔1)上单调莲减。所以a<s0=0, a 即n(a)<0,故n(a)在(1，+o）单调递减，故f(2na)=n(a)<n(1)=0,a∈(L,+o) 由零点存在性定理，知f(x)有零点x∈(na,21na), -15分 则A(0,0),B(x2,0),C(血a,f(na) 设D(Lna,O),则CD为△ABC的高且|BD<AD,故BC<AC -17分 芜湖一中2025-2026学年第二学期期中教学质量检测 高二数学试卷 命题人：孙卫 校对人：王慧 （本试卷共150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3．请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.定义在R上的函数，若，则（ ） A. B. C..2 D.4 2.展开式中，的系数为（ ） A. B.32 C. D. 24 3.下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4.已知函数，则的图象大致为（ ） A.B.C.D. 5.离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6.已知函数，方程解的个数有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C.或 D. 7.某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A.35 B.36 C.42 D.50 8.已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. C.e D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列不等式中，在上恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10.已知事件A，B，且，，，则（ ） A. B. C. D. 11.已知函数，则下列结论正确的是（ ） A.的单调递增区间是， B.的值域为R C. D.若，，，则. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则的值为_______． 13.某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，可获利0.4分，且能制作的瓶子的最大半径为6cm，当每瓶饮料的利润最小时，瓶子的半径为 cm． 14.已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.（13分）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若P是曲线上一动点，求在P处的切线l的倾斜角的取值范围． 16.（15分）某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为;前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为. （1）求同学甲第二天选择B餐厅的概率； （2）证明：数列为等比数列,并求出. 17.（15分）已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18.（17分）一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． （1）当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； （2）当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编 号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 19.（17分）已知函数． （1）讨论的极值； （2）已知，函数有两个不同的零点和一个极值点，记， ，，试判断与的大小关系，并说明理由． 高二数学试卷 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $