精品解析：安徽淮北市2025—2026学年度下学期九年级质量检测数学试题卷

2025-2026学年度九年级质量检测 数学试题卷 温馨提示： 1．试卷满分为150分，考试时间为150分钟． 2．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 2的倒数是（） A. B. C. D. 2 2. 根据淮北市统计局发布的《淮北市2024年国民经济和社会发展统计公报》数据，截至2024年末，淮北市常住人口为193.2万人．其中193.2万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. 不透明的袋子中有红，黄，绿三个小球，这三个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ） A. 125° B. 120° C. 140° D. 130° 7. 如图是一个直三棱柱的立体图和主视图、俯视图,根据立体图上的尺寸标注,它的左视图的面积为（ ） A. 24 B. 30 C. 18 D. 14.4 8. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位长度，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形变换叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的体重之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板后电压表显示的读数为2伏，则此人的体重是（ ） 提示：（1）导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式； （2）串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A. 50 B. 55 C. 60 D. 65 10. 如图，矩形中，，，动点在直线的下方，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：________． 12. 如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为__________． 13. 如图，线段，以为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①；取的中点，以为直径画半圆②；取的中点，以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的前6个小半圆的弧长之和为________． 14. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，直线交轴于点，且点的纵坐标为5，过点，分别作轴的垂线段、，垂足分别为点、，且． （1）若点为线段的中点，则________； （2）若是等腰直角三角形，，其面积小于3．延长交第三象限双曲线于点，连接，则________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点坐标分别，，． （1）在网格内，以点为位似中心，将放大为原来的2倍，画出（点、、的对应点分别为、、）；点的坐标为________； （2）仅用无刻度的直尺，在线段上找一点，使得线段最短（保留作图痕迹，不写作法）． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某校举办了“数学知识竞赛”活动．活动结束后，随机抽取了部分学生的竞赛成绩，绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了________（填数字）名参赛学生，并补全条形统计图； （2）求被抽取的参赛学生竞赛成绩的平均数及扇形统计图中“80分”所对应圆心角的度数． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设，是方程的两个实数根，若，求实数的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图1，淮北市濉溪县铁佛镇曹楼村曹楼庄，矗立着一棵千年古银杏树，距今已有1800余年，是皖北地区树龄最久，树体最壮观的古树之一，也是当地的文旅地标．小明绘制了这棵古银杏树的侧面示意图（图2），经实地测量，古树主干高约2米，一树枝的长约5米，且与主树干所在直线的夹角约为． （1）求枝条末梢点到地面的距离； （2）图2中，一束与地面的夹角约的光线照射古树形成树荫，树枝末梢点在地面上的影子记为点，求点到主树干的距离．（参考数据，，，，，） 20. 如图，为⊙O的直径，为延长线上一点，是⊙O的切线，为切点，于点，交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 【题目背景】 一些球被分成了许多堆，我们可以任意选择甲、乙两堆按照以下规则挪动：若甲堆的球数不少于乙堆的球数，则从甲堆拿个球放到乙堆去，这算是挪动一次．继续这个过程，总可以做到经过有限次挪动把所有的球合并成至多两堆． 例如：当，，时，操作方案如表所示： 操作步骤 第一步：，挪动1个球 40 第二步：，挪动2个球 8 第三步：，挪动4个球 8 第四步：，挪动8个球 34 【解决问题】 （1）若初始状态为，，．按照以下策略操作： 第一步：选择堆向堆挪动________个球，挪动后堆变为________个； 第二步：选择堆向堆挪动________个球，挪动后堆变为________个； 将操作步骤简记为：第一步：，挪动1个球；第二步：，挪动2个球； 则补全第三步：________；第四步：________；第五步：________； 在挪动的5次中，第次需挪动________个球（用含的代数式表示）． 【拓展应用】 （2）若初始状态为，，．小明经过若干次操作后，发现可以将三堆球合并为两堆（即其中一堆球数变为0）．请写出一种可行的操作方案． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，，． （1）比较大小：________（填，，）； （2）求线段的长； （3）求证：． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，．顶点坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知直线：，点在轴上，过点作于点，绕点顺时针旋转，得线段，当点恰好落在第一象限的抛物线上，求点的坐标； （3）设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级质量检测 数学试题卷 温馨提示： 1．试卷满分为150分，考试时间为150分钟． 2．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 2的倒数是（） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查倒数，根据乘积是1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：∵， ∴2的倒数为． 故选：C． 2. 根据淮北市统计局发布的《淮北市2024年国民经济和社会发展统计公报》数据，截至2024年末，淮北市常住人口为193.2万人．其中193.2万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，先将以万为单位的数转化为整数，再根据科学记数法的规则确定系数和指数即可，科学记数法形式为，要求满足，为整数． 【详解】解：∵ 193.2万， ∴． 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用合并同类项，单项式除法，积的乘方，平方差公式，逐一判断各选项的运算是否正确． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意． 4. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先解不等式，再在数轴上表示其解集． 【详解】解：，解不等式得到：， ∴不等式的解集为， 在数轴上表示如图：， 故选：B． 【点睛】本题考查不等式解集在数轴上的表示，关键是要掌握解不等式，先将不等式的解集求出来，再在数轴上表示解集． 5. 不透明的袋子中有红，黄，绿三个小球，这三个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中出现种可能，那么事件的概率． 画树状图列出等可能得结果，从中找到符合条件的结果数，再根据公式求出结果． 【详解】解：根据题意画出树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球的颜色相同的有3种，则两次摸出的小球的颜色相同的概率是． 故选B． 6. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ） A. 125° B. 120° C. 140° D. 130° 【答案】D 【解析】 【详解】如图，∵EF∥GH，∴∠FCD=∠2． ∵∠FCD=∠1+∠A，∠1=40°，∠A=90°． ∴∠2=∠FCD=130°． 故选D． 7. 如图是一个直三棱柱的立体图和主视图、俯视图,根据立体图上的尺寸标注,它的左视图的面积为（ ） A. 24 B. 30 C. 18 D. 14.4 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图、俯视图，根据立体图上的尺寸标注，求得左视图为长方形，其长为6，宽为，进而得到左视图的面积． 【详解】 解：如图所示，根据俯视图中三角形的三边分别为3，4，5， ∴俯视图为直角三角形，且斜边为5， 故斜边上的高为 ∵左视图为长方形，其长为6，宽为， ∴左视图的面积=6×=14.4， 故选D． 【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体以及勾股定理的逆定理的运用，解决问题的关键是根据左视图的形状，求得左视图的面积．解题时注意：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 8. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位长度，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形变换叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义的变换规则，先对点作平移变换，再结合旋转的性质，利用三角函数计算旋转后点的坐标，即可得到答案． 【详解】解：如图，作轴于点， 根据题意，点先向上平移1个单位得到点，再绕点逆时针旋转得到点， ∴，， ∴， 在中，，， ∴点的坐标为． 9. 电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的体重之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板后电压表显示的读数为2伏，则此人的体重是（ ） 提示：（1）导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式； （2）串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A. 50 B. 55 C. 60 D. 65 【答案】C 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出与踏板上人的体重之间的函数关系式为，再结合题意求出的电阻，在中，当时，，求解即可． 【详解】解：将，代入可得：， 解得：， ∴与踏板上人的体重之间的函数关系式为， 由题意可得：电流为， 两端的电压为：， 故的电阻为（欧）， 在中，当时，， 解得：， 故此人的体重是． 10. 如图，矩形中，，，动点在直线的下方，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点P到的距离为h，根据，可得，从而得到动点在直线的下方距离为4的直线上，设动点所在直线为直线l，作点C关于直线l的对称点E，连接，并延长交直线l于点F，可得到当点A，E，P三点共线时，最大，此时点P与点F重合，即的最大值为的长，即可求解． 【详解】解：设点P到的距离为h， ∵矩形中，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴动点在直线的下方距离为4的直线上， 设动点所在直线为直线l，作点C关于直线l的对称点E，连接，并延长交直线l于点F， ∴，， ∴， ∴当点A，E，P三点共线时，最大，此时点P与点F重合， 即的最大值为的长， 设直线l交于点N，则 ∴， ∴， ∴， 即的最大值为． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：________． 【答案】0 【解析】 【分析】按照先算乘方，再算除法，最后算加法的顺序计算即可． 【详解】解： ． 12. 如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，再分别求出和扇形的面积，相减即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握是解题关键． 13. 如图，线段，以为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①；取的中点，以为直径画半圆②；取的中点，以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的前6个小半圆的弧长之和为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据弧长公式计算得出半圆①、②、③的弧长，从而得出规律，求和即可得出结果． 【详解】解：∵，以为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①， ∴半圆①的弧长为， ∵取的中点，以为直径画半圆②； ∴半圆②的弧长为； ∵取的中点，以为直径画半圆③， ∴半圆③的弧长为； …， 同理可得：半圆④的弧长为；半圆⑤的弧长为，半圆⑥的弧长为， ∴大半圆内部依次画出的前6个小半圆的弧长之和为． 14. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，直线交轴于点，且点的纵坐标为5，过点，分别作轴的垂线段、，垂足分别为点、，且． （1）若点为线段的中点，则________； （2）若是等腰直角三角形，，其面积小于3．延长交第三象限双曲线于点，连接，则________． 【答案】 ①. 2.5 ②. 5 【解析】 【分析】（1）由点为线段的中点，可得，代入解析式即可求出； （2）由是等腰直角三角形， 可证明，，，，，由轴、轴，可证明，进而得到，进而求出，再结合面积小于3，可得，再由对称性，可得即可得出结果． 【详解】解：①∵点的纵坐标为5， ∴， 又∵点为线段的中点， ∴， 又∵， ∴， 将代入，得：，解得：； ②∵，点在函数的图象上， ∴设，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵轴、轴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， ∴或， ∴或， ∵， ∴舍去， ∵的图象关于原点中心对称， ∴点与点关于原点中心对称， ∴， ∴． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可得出结果． 【详解】解：方程两边同乘以最简公分母，得， 解方程，得， 检验：当时，． 所以，原方程的根是． 16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点坐标分别，，． （1）在网格内，以点为位似中心，将放大为原来的2倍，画出（点、、的对应点分别为、、）；点的坐标为________； （2）仅用无刻度的直尺，在线段上找一点，使得线段最短（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）图见解析，点的坐标为 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据位似变换的性质作出，结合图形写出点的坐标即可； （2）利用网格特点，并结合垂线段最短作图即可． 【小问1详解】 解：如图所示；即为所求； 点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示，点即为所求． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某校举办了“数学知识竞赛”活动．活动结束后，随机抽取了部分学生的竞赛成绩，绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了________（填数字）名参赛学生，并补全条形统计图； （2）求被抽取的参赛学生竞赛成绩的平均数及扇形统计图中“80分”所对应圆心角的度数． 【答案】（1）50，图见解析 （2）平均数为80.6，扇形统计图中“80分”这一分数段所对圆心角的度数为 【解析】 【分析】（1）利用竞赛成绩为分的人数除以所占比例即可得出本次抽样调查共抽取的学生人数，求出竞赛成绩为分的学生人数，补全图形即可； （2）利用平均数的定义计算即可得出被抽取的参赛学生竞赛成绩的平均数，利用乘以扇形统计图中“80分”所占的比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得：本次抽样调查共抽取了名参赛学生； 竞赛成绩为分的学生人数为（名）， 补全图形如下： 【小问2详解】 解：平均数：； ， 故平均数为80.6，扇形统计图中“80分”这一分数段所对圆心角的度数为． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设，是方程的两个实数根，若，求实数的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，再根据，并结合完全平方公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：方程有两个实数根， ， 即， 解得． 实数的取值范围是． 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系可得：，． 则 ， ∵， ∴，即， ∴ 或， ， 当时，． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图1，淮北市濉溪县铁佛镇曹楼村曹楼庄，矗立着一棵千年古银杏树，距今已有1800余年，是皖北地区树龄最久，树体最壮观的古树之一，也是当地的文旅地标．小明绘制了这棵古银杏树的侧面示意图（图2），经实地测量，古树主干高约2米，一树枝的长约5米，且与主树干所在直线的夹角约为． （1）求枝条末梢点到地面的距离； （2）图2中，一束与地面的夹角约的光线照射古树形成树荫，树枝末梢点在地面上的影子记为点，求点到主树干的距离．（参考数据，，，，，） 【答案】（1）枝条末梢点到地面的距离为6.16米 （2）点到主树干的距离为0.795米 【解析】 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形得出米，再证明四边形是矩形，得出米，即可得解； （2）解直角三角形得出米，米，由（1）知四边形是矩形，则米，由此即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 在中，（米）， ， 四边形是矩形， （米）， （米） 答：枝条末梢点到地面的距离为米； 【小问2详解】 解：在中，， （米）， 在中，， （米）， 由（1）知四边形是矩形， （米）， （米）， 答：点到主树干的距离为米． 20. 如图，为⊙O的直径，为延长线上一点，是⊙O的切线，为切点，于点，交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，根据，由等量代换即可得到结论； （2）根据三角形中位线定理得到，设，，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）连接， ， ， 是的切线，为切点， ， ， ， ， ； （2），， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 【题目背景】 一些球被分成了许多堆，我们可以任意选择甲、乙两堆按照以下规则挪动：若甲堆的球数不少于乙堆的球数，则从甲堆拿个球放到乙堆去，这算是挪动一次．继续这个过程，总可以做到经过有限次挪动把所有的球合并成至多两堆． 例如：当，，时，操作方案如表所示： 操作步骤 第一步：，挪动1个球 40 第二步：，挪动2个球 8 第三步：，挪动4个球 8 第四步：，挪动8个球 34 【解决问题】 （1）若初始状态为，，．按照以下策略操作： 第一步：选择堆向堆挪动________个球，挪动后堆变为________个； 第二步：选择堆向堆挪动________个球，挪动后堆变为________个； 将操作步骤简记为：第一步：，挪动1个球；第二步：，挪动2个球； 则补全第三步：________；第四步：________；第五步：________； 在挪动的5次中，第次需挪动________个球（用含的代数式表示）． 【拓展应用】 （2）若初始状态为，，．小明经过若干次操作后，发现可以将三堆球合并为两堆（即其中一堆球数变为0）．请写出一种可行的操作方案． 【答案】（1）1，2；2，4；，挪动4个球；，挪动8个球；，挪动16个球； （2）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】（1）根据题干所给例子，得出挪动规则：若甲堆球数不少于乙堆球数，则从甲堆拿与乙堆球数相等的球放入乙堆，由此即可得出结果； （2）根据题干所给例子并结合挪动规则给出操作方案即可． 【小问1详解】 解：第一步：选择堆向堆挪动1个球，挪动后堆变为2个； 第二步：选择堆向堆挪动2个球，挪动后堆变为4个； 则补全第三步：，挪动4个球； 第四步：，挪动8个球； 第五步：，挪动16个球； 观察可得：在挪动的5次中，第次需挪动个球； 【小问2详解】 解：操作方案： 操作步骤 第一步：，挪动2个球 34 第二步：，挪动4个球 34 第三步：，挪动8个球 34 七、（本题满分12分） 22. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，，． （1）比较大小：________（填，，）； （2）求线段的长； （3）求证：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）作于点，于点，证明，得出，再结合三角形面积公式计算即可得出结果； （2）由题意可得，结合勾股定理可得，，作于，于，则为等腰直角三角形，，求出，得到，再证明，由相似三角形的性质即可得出结果； （3）过点作于点，由（2）知，，则为等腰直角三角形，求出，再证明得出，再证明得出，即可得证． 【小问1详解】 解：如图，作于点，于点， ， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴，， 如图，作于，于， ， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点作于点， ， 由（2）知，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】全等三角形的对应边相等；相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应边成比例． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，．顶点坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知直线：，点在轴上，过点作于点，绕点顺时针旋转，得线段，当点恰好落在第一象限的抛物线上，求点的坐标； （3）设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质计算即可得出结果； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，设直线与轴交于点，先求出，，可得，进而可得是等腰直角三角形，，再证明出是等腰直角三角形，，，设点，由旋转得，，证明得出，进而可得的坐标为，代入抛物线得，解得或，即可得出点坐标为，即可得出结果； （3）表示出，令，则此抛物线开口向上，对称轴为，再结合二次函数的性质分三种情况计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设直线与轴交于点， ， 在中，当时，则， ∴， 当时，，解得， ∴， ∴， 又， 是等腰直角三角形，， ，， 是等腰直角三角形，， 又， 是等腰直角三角形，，， 设点， 由旋转得，， ， 轴， ， 在和中， ， ， ， 在第一象限， 的坐标为， 代入抛物线得， 解得或， ∴点坐标为或（与点重合，舍去）， ∴，， ∴， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：点在抛物线上，点在抛物线上， ， 令，则此抛物线开口向上，对称轴为， 当时，的最小值为3，分三种情况讨论： ①当时，最小值在处：， 解得或（舍去）； ②当时，最小值在处：， 解得或（舍去）； ③当时，最小值在处：， 解得（，舍去）； 综上，的值为或． 【点睛】解题的关键：熟练掌握的性质，采用分类讨论的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $