精品解析：江苏扬州市第一中学2025-2026学年度第二学期高一数学期中考试试卷

扬州市第一中学2025-2026学年度第二学期 高一数学期中考试试卷 命题人：池岩 审核人：田长青 （满分：150分 考试时间：120分钟） 2026.4 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列物理量中不是向量的是（ ） A. 重力 B. 时间 C. 加速度 D. 位移 【答案】B 【解析】 【详解】向量既有大小又有方向.时间只有大小，没有方向.故选B. 2. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理化角为边，然后由余弦定理计算即可得角． 【详解】∵，由正弦定理得， 设， 则，又是三角形内角， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，解题是用正弦定理化角为边．属于基础题． 3. 已知向量，为单位向量，，则，的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，由此求得，进而确定正确答案. 【详解】因为，所以 ， 由于， 所以. 4. 在中，内角的对边分别为，且，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 非特殊三角形 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据余弦定理判断可得两边相等，进而可判断三角形的形状. 【详解】在中，，根据余弦定理得：， 化简整理，即,得，故. 因为有两条边相等，因此是等腰三角形，无法推出一定是直角三角形. 所以只有A正确. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由同角三角函数关系式及两角和的正弦公式可得. 【详解】因为，因此，由同角三角函数基本关系式， 且，得， 根据正弦和角公式. 6. 如图，在圆中，是圆上不同的两点，若，则（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的几何性质及数量积的定义求解即可. 【详解】由圆的几何性质，， 由数量积的定义可得. 故选：D. 7. 已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的数量积公式与模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】由已知得， 所以 ， 当时，取得最小值48， 所以的取值范围是. 8. 内角､､的对边分别为，满足，且，以下说法正确的是（ ） A. 是锐角 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，根据余弦定理： 代入条件得，， 即， 又因为，所以（当且仅当时等号成立）， 所以，得，又因为已知， 所以且. ， 选项A：因为，，故是钝角，A错误. 选项B：，， 函数在单调递减，故，B错误. 选项C：由得，又，故， 由半角公式：  ​，  因为为锐角，且函数在单调递增，故，C错误. 选项D：由，且由C选项分析知，所以，D正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由数量积是否为0验算A，由向量加法验算B，由向量减法、模的计算公式验算C，由投影向量的定义验算D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD. 10. 下列表达式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】选项A，逆用余弦差角公式求解.选项B，利用正切二倍角公式求解.选项C，利用进行替换即可.选项D，利用平方差公式化简之后，再利用二倍角公式化简. 【详解】选项 A，，选项A正确. 选项 B，，选项B正确. 选项 C，，选项C错误. 选项 D， ( ，选项D错误. 故选：AB 11. 在锐角中，角，，对应的边分别为，，，若，则（ ） A. 的最小值为 B. C. 中线的长度为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式即可判定A，利用余弦定理得，进而利用三角恒等变换和正弦定理和余弦定理即可判定B，利用向量和数量积即可判定C，利用B选项结合基本不等式即可判定D. 【详解】对于A：由，即， 当，即时，等号成立，故A正确； 对于B：由余弦定理有：，解得， 由 ， 由正弦定理得：， 又由余弦定理得， 所以 ，故B正确； 对于C：由，所以 ，所以，故C错误； 对于D：由选项B有①， 又，所以， 又②， 由①②有：，又由选项A有，且为锐角， 所以，所以， 所以，又为锐角三角形，所以， 所以， 所以，当时，等号成立，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，则________． 【答案】#### 【解析】 【分析】根据余弦定理以及题干条件得到角的余弦值，进而得到角的大小. 【详解】由余弦定理得到： 故答案为：. 13. 已知，，且，则与的夹角为___________． 【答案】 【解析】 【分析】借助平面向量垂直定义及夹角公式计算即可得. 【详解】， 则，则，故. 14. 如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，为正三角形.则__________. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】利用三角恒等变换得到，数形结合，由三角函数的定义求出答案； 【详解】 ， 由图知：角对应的终边为，因为点的坐标为， 且圆为单位圆，由三角函数定义得． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设，已知是平面内两个不共线的向量，，，，且，，三点共线. （1）求的值； （2）若，求向量与的夹角的余弦值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三点共线及平面向量基本定理可得； （2）直接计算两个向量的坐标，再根据坐标分别求数量积及模，进而可求向量的夹角. 【小问1详解】 因为，，所以 因为三点共线，且，故与共线. 根据共线向量性质，存在实数使得，即：. 因为​​是不共线向量，由平面向量基本定理得： ，解得. 因此的值 【小问2详解】 因为，所以， ， 所以，，. 根据向量夹角公式. 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，． （1）求角的大小； （2）求的值． （3）求面积的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为 ， 由余弦定理可得 ， 因为 ，所以 . 【小问2详解】 在 中,由正弦定理得 ， 又因为 ，所以 ，解得 . 【小问3详解】 因为 ， 所以 . 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期，以及在区间上的最小值； （2）在中，角所对的边分别为.若，，，求的长. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用二倍角公式和辅助角公式化简，计算即可. （2）由，得，利用三角形面积公式，得：，利用余弦定理，计算即可. 【小问1详解】 ， ，即， 最小正周期为， 当时，， 当时，即时取得最小值， . 【小问2详解】 ，， ，即， ，解得：， 又，故， ， ， ， ， 由余弦定理得： , 故. 18. 在中，角、、的对边分别为、、，已知. （1）求的值； （2）若，求 （i）的值； （ii）的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求出的值； （2）（i）利用同角三角函数的基本关系结合正弦定理可求出的值； （ii）分析可知为锐角，求出的值，进而可求出、的值，再利用两角和的余弦公式可求得的值. 【小问1详解】 因为，可得，即， 由余弦定理可得. 【小问2详解】 （i）因为，故为锐角，所以， 因为，由正弦定理可得，故； （ii）因为，则，即，故为锐角， 所以， 所以， ， 因此，. 19. 盐城中学某数学兴趣小组在学习三角函数的过程中发现一个规律： ， ， ， 据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式对猜想进行了证明．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“发电叶片恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“发电叶片恒等式”的结论能否得到推广呢？根据以上信息，回答下列问题： （1）证明：； （2）解关于的方程：，其中； （3）求的值，其中，且． 【答案】（1） 因为，， 所以 ， 即； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由两角和的正弦公式证明即可； （2）根据（1）中的结论可得，结合已知等式列方程求解； （3）将乘后再利用积化和差公式即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 即， 又， 所以 ， 所以， 所以 或， 当时，解得， 又，所以； 当时，无解， 综上，方程的解为； 【小问3详解】 设， 则 ， 由积化和差公式得， ， ，， ， 将上面个式子相加得 ， 所以. 又，且，所以，所以，所以， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市第一中学2025-2026学年度第二学期 高一数学期中考试试卷 命题人：池岩 审核人：田长青 （满分：150分 考试时间：120分钟） 2026.4 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列物理量中不是向量的是（ ） A. 重力 B. 时间 C. 加速度 D. 位移 2. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，为单位向量，，则，的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 4. 在中，内角的对边分别为，且，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 非特殊三角形 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在圆中，是圆上不同的两点，若，则（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 7. 已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 内角､､的对边分别为，满足，且，以下说法正确的是（ ） A. 是锐角 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 10. 下列表达式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在锐角中，角，，对应的边分别为，，，若，则（ ） A. 的最小值为 B. C. 中线的长度为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，则________． 13. 已知，，且，则与的夹角为___________． 14. 如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，为正三角形.则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设，已知是平面内两个不共线的向量，，，，且，，三点共线. （1）求的值； （2）若，求向量与的夹角的余弦值 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，． （1）求角的大小； （2）求的值． （3）求面积的值． 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期，以及在区间上的最小值； （2）在中，角所对的边分别为.若，，，求的长. 18. 在中，角、、的对边分别为、、，已知. （1）求的值； （2）若，求 （i）的值； （ii）的值. 19. 盐城中学某数学兴趣小组在学习三角函数的过程中发现一个规律： ， ， ， 据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式对猜想进行了证明．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“发电叶片恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“发电叶片恒等式”的结论能否得到推广呢？根据以上信息，回答下列问题： （1）证明：； （2）解关于的方程：，其中； （3）求的值，其中，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $