专题11 磁场-2026高考物理三轮题型解法技巧

专题11 磁场 核心考点 考向1 安培力 18 考向2 洛伦兹力与现代科技 22 考向3 带电粒子在磁场中的运动 28 考向4 带电粒子在复合场中的运动 35 考向5 带电粒子的螺旋运动 45 核心知识 一、磁场的基本性质　安培力 1.磁场的产生与叠加 2.安培力的分析与计算 方向 左手定则 电流间的作用力：同向电流相互吸引，异向电流相互排斥 大小 直导线 F=BILsin θ，θ=0时F=0，θ=90°时F=BIL 导线为曲线时 等效为ac直线电流 受力分析 根据力的平衡条件或牛顿运动定律列方程 二、带电粒子在匀强磁场中的运动 1.分析带电粒子在匀强磁场中运动的方法 基本思路 (1)画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹 (2)找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，运动时间与周期相联系 (3)用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式和半径公式 基本公式 qvB=m，T= 重要结论 r=，T= 圆心的确定 (1)轨迹上的入射点和出射点的速度方向的垂线的交点为圆心，如图(a) (2)轨迹上入射点速度方向的垂线和入射点、出射点两点连线中垂线的交点为圆心，如图(b) (3)沿半径方向距入射点距离等于r的点，如图(c)(当r已知或可算) 半径的确定 方法一：由公式求，Bqv=，得半径r= 方法二：由几何关系求，一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)通过计算来确定 时间的求解 方法一：由圆心角求，t=·T，其中轨迹对应的圆心角等于速度方向的偏向角 方法二：由弧长求，t= 2.三个重要结论 (1)直线边界：粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角(如图甲，θ1=θ2=θ3)，轨迹关于入射点和出射点连线的中垂线对称，L=2rsin θ2。 (2)圆形边界：①沿半径方向射入圆形磁场的粒子必沿半径方向射出磁场(速度方向延长线过圆心，如图乙，两侧关于两圆心连线OO'对称)。 ②射入磁场的速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场的方向与半径的夹角也为θ，轨迹关于两圆心连线OO'对称，如图丙。 (3)磁聚焦与磁发散 若大量相同的带电粒子以相同的速度相互平行进入圆形区域的磁场，且带电粒子运动半径等于磁场圆半径(R=r)，这群粒子必从同一点离开磁场，即“磁聚焦”；反之，一群相同的粒子从同一点以相同的速度大小沿不同的方向进入磁场(R=r)，在离开磁场时的速度方向一定相互平行，即“磁发散”。 磁聚焦　　　　　　磁发散 三、带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题 1.解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，利用“动态圆”思想寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。 2.粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。 3.常见的动态圆 示意图 适用条件 应用方法 放缩圆 (轨迹圆的圆心在P1P2直线上) 粒子的入射点位置相同，速度方向一定，速度大小不同 以入射点P为定点，将半径放缩作轨迹圆，粒子恰好不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切 旋转圆 (轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R=的圆上) 粒子的入射点位置相同，速度大小一定，速度方向不同 将一半径为R=的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件 平移圆 (轨迹圆的所有圆心在一条直线上) 粒子的入射点位置不同，速度大小、方向均一定 将半径为R=的圆进行平移 领悟真题 1．（2026·浙江·高考真题）测量局域磁场，科学家基于电阻应变片开发出一种磁场检测芯片，其简化结构如图1所示。长度均为l、通有恒定电流I0。（方向相反）的两刚性金属杆ab、cd，与具有良 好弹性的绝缘悬梁OA、OD构成“H”形支架，对称固定于底座O处。在悬梁上、下表面对称安装四个相同的电阻应变片（各自引出两导线），其阻值分别为R1、R2、R3和R4，将它们 按图2方式与电动势为E的电源（不计内阻）相连。未加磁场时，支架处于水平平衡状态， 此时R1=R2=R3=R4=R0，测得e、f两端的电势差为0。现施加待测磁场，其方向水平向右、且垂直于金属杆，则金属杆ab、cd受安培力作用，使悬梁OA、OD产生形变，四个应变片的阻值发生相应变化，其变化量的绝对值均为ΔR，此时测得e、f两端的电势差为Uef,从而得到待测磁场磁感应强度B的大小。 (1)判断金属杆ab和cd所受安培力的方向; (2)写出上述四个电阻的阻值（用R0和ΔR表示）； (3)已知电阻变化量和所受的安培力成正比关系，且比例系数为，求与B之间的关系。 2．（2025·贵州·高考真题）如图，建立直角坐标系轴正方向水平向右，轴正方向垂直纸面向里（轴未画出），轴正方向竖直向上。空间中存在方向竖直向上的匀强电场，在的区域I和的区域II中均存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，区域I的磁感应强度大小为，区域II的磁感应强度大小未知。有一带正电荷的粒子，质量为、电荷量为，以速率从点沿轴正方向射出后，在区域、中均可做匀速圆周运动，且恰好能经过轴上的点，点坐标为。已知，，为重力加速度。 (1)求电场强度大小及该粒子第一次经过平面时的位置对应的坐标值； (2)求粒子从点到点的运动时间最短时区域的磁感应强度大小； (3)若仅将匀强电场的方向改为沿轴正向，该粒子仍以速率从点沿轴正方向射出，求该粒子的轨迹方程。 3．（2026·浙江·高考真题）俄歇电子能谱（AES）广泛应用于材料表面成分分析。如图1所示，一束高能电子入射到样品表面，将某原子内层（如K层）的一个电子击出，形成一个空穴。随后，较外层（如L层）的一个电子跃迁至该空穴，并释放出能量，该能量可能以X光子的形式射出，也可能立即将另一核外电子（如L层或M层的电子）电离而逸出样品表面，该电子称为俄歇电子；现用电子动能的电子束轰击某样品表面，成功激发KLM俄歇过程（即初始空穴为K层、跃迁电子来自L层、逸出电子来自M层）和KLL俄歇过程（逸出电子来自L层）。已知该原子K层的电离能L层的电离能已知电子的电荷量，电子质量，光速，普朗克常量。（计算结果保留一位有效数字）请回答： (1)入射电子的德布罗意波长。 (2)求射出的X光子的波长； (3)甲同学利用带电粒子在磁场中的运动规律，设计了如图2所示的测量俄歇电子动能的方案；俄歇电子从原点O垂直y轴和磁场方向进入匀强磁场，则y1=10.0cm和y2=10.5cm处被探测到，通过测得的俄歇电子的动能，求原子M层的电离能； (4)乙同学认为用带电粒子在电场中的运动规律，测出俄歇电子的动能，请你帮乙同学设计一个方案，列出所需要测量的物理量，并给出计算俄歇电子动能的表达式。 4．（2026·浙江·高考真题）如图所示，一根带负电的塑料棒，长为l、横截面积为S、均匀分布有N个电子（电子电荷量为）。让棒垂直于匀强磁场B，以速度v沿轴向做匀速运动。下列说法正确的是（   ） A．等效电流的方向与v方向相同 B．等效电流的大小 C．棒产生的感应电动势 D．棒所受安培力的大小 5．（2018·全国II卷·高考真题）如图所示，纸面内有两条互相垂直的长直绝缘导线L1、L2，L1中的电流方向向左，L2中的电流方向向上；L1的正上方有a、b两点，它们相对于L2对称。整个系统处于匀强外磁场中，外磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直于纸面向外。已知a、b两点的磁感应强度大小分别为B0和B0，方向也垂直于纸面向外。则（　　） A．流经L1的电流在b点产生的磁感应强度大小为B0 B．流经L1的电流在a点产生的磁感应强度大小为B0 C．流经L2的电流在b点产生的磁感应强度大小为B0 D．流经L2的电流在a点产生的磁感应强度大小为B0 6．（2025·海南·高考真题）某粒子分析器的部分电磁场简化模型如图，三维直角坐标系所在空间中Ⅰ区域存在沿x轴正方向的匀强电场（图中未画出）和匀强磁场，磁感应强度大小为,Ⅱ区域存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，在有一足够大的接收屏P，原点O处的粒子源在平面内同时发射带正电的同种粒子甲和乙，甲粒子的速度大小为，甲和乙的速度方向与x轴正方向夹角分别为和，两粒子沿x轴方向速度分量相等。乙粒子以最短时间到达（d,d,0）点进入Ⅱ区域后恰好到达接收屏并被吸收，不计重力及粒子间的相互作用，则（    ） A．两粒子不能同时到达接收屏P B．两个区域磁感应强度大小之比 C．乙粒子通过点时沿x轴方向速度分量 D．甲乙粒子在接收屏P上位置的z坐标之差 7．（2025·江西·高考真题）托卡马克是一种磁约束核聚变装置，其中心柱上的密绕螺线管（线圈）可以驱动附近由电子和离子组成的磁约束等离子体旋转形成等离子体电流，如图（a）所示。当线圈通以如图（b）所示的电流时，产生的等离子体电流方向（俯视）为（　　） A．顺时针 B．逆时针 C．先顺时针后逆时针 D．先逆时针后顺时针 8．（2025·重庆·高考真题）研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 9．（2025·甘肃·高考真题）2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（    ） A．外圆半径等于 B．a粒子返回A点所用的最短时间为 C．b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为 D．c粒子的速度大小为 10．（2025·四川·高考真题）如图所示，I区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与I区边界重合；正方形与圆形中心同为O点。I区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4∶1。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从a点离开。取sin37°=0.6。则带电粒子（　　） A．在I区的轨迹圆心不在O点 B．在I区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1∶2 C．在I区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127∶37 D．在I区和Ⅱ区的运动时间之比为127∶148 考向1 安培力 11．（2026·西藏拉萨·二模）如图甲，水平面内有间距为的两根平行金属导轨，金属棒电阻不计，放置在导轨上，并与导轨垂直并保持良好接触，导轨、之间接有电阻，、间距为。整个装置放在竖直向下的匀强磁场中。现使磁感应强度随时间均匀减小，如图乙所示，金属棒始终保持静止，则在时间内（　　） A．中的感应电流方向从到 B．中的感应电流逐渐减小 C．所受的安培力不变 D．流过电阻的电荷量为 12．（2026·山西太原·一模）如图所示，水平放置的绝缘圆柱形容器，其外壁紧密缠绕着多匝金属线圈，容器轴线处固定有金属杆，容器内充满导电液体。线圈一端连接电源正极，另一端与容器内的导电液体相连，金属杆连接电源负极。接通电源后，电流依次经过线圈，导电液体，再经金属杆流回电源负极。下列说法正确的是（　　） A．从容器正上方观察，接通电源一段时间后，液体会沿顺时针方向转动 B．接通电源瞬间，线圈内立刻产生恒定电流 C．通电后，金属线圈的相邻导线之间会互相排斥 D．增大线圈中的电流，液体转动的快慢无变化 13．（2026·内蒙古乌兰察布·二模）如图所示，空间存在水平向右的匀强磁场的磁感应强度大小为B，从中点将长为2L的导线围成夹角为60°的折线置于纸面内，当导线中通有电流I时，下列说法正确的是（　　） A．图甲中导线所受的安培力大小为0 B．图乙中导线所受的安培力大小为BIL C．图丙中导线所受的安培力大小为 D．图丁中导线所受的安培力大小为 14．（2026·甘肃兰州·二模）小强同学对电磁弹射技术非常感兴趣，于是他动手设计了一个电磁弹射装置，简化模型如图所示。间距为l的水平平行金属导轨左端接有输出电压恒为U的电源和开关S，导轨上放有一个质量为m、电阻为R的导体棒ab，导轨间存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。接通开关S，导体棒由静止开始运动，运动过程中所受阻力与速度大小成正比，比例系数为k，导体棒与导轨始终保持良好接触，导轨足够长且电阻忽略不计，求： (1)开关接通瞬间，导体棒的加速度； (2)导体棒速度为v时，回路中的电流大小和方向； (3)导体棒所能达到的最大速度。 15．（2026·广东广州·一模）如图（a），矩形导体框mnkp被四根等长的绝缘细绳悬挂于水平轴OO′上，其所在区域存在方向垂直指向OO′的磁场（未画出），与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图（b）所示。开始时导体框静止在水平位置，现给导体框通上沿mnkp方向的恒定电流，则（　　） A．mn和pk所受安培力方向相反 B．mn和pk所受安培力方向相同 C．绝缘细绳对导体框的拉力增大 D．导体框将绕OO′轴顺时针转动 考向2 洛伦兹力与现代科技 16．（2026·西藏拉萨·二模）如图是质谱仪工作原理示意图：I为粒子加速器，加速电压为；II为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；III为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。从点释放质量为、初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动，再由点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的点处，运动轨迹如图中虚线所示。求： (1)带电粒子的电性及电荷量； (2)点到点的距离； (3)粒子由点运动到点时间； (4)粒子由点运动到点的过程中洛伦兹力的冲量的大小。 17．（2026·山西·一模）2026年，中国主导的“天枢”空间引力波探测阵列依托单离子光钟确立极致频率基准。光钟的核心校准简化模型如图所示，一个正离子在径向电场（指向中心）和垂直纸面向里的匀强磁场的共同作用下，绕中心做逆时针的匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．正离子所受洛伦兹力方向背向圆心 B．正离子做圆周运动的向心力由电场力和洛伦兹力的合力提供 C．若仅增大磁感应强度大小，正离子的角速度将增大 D．若撤去磁场，正离子将沿切线方向飞出 18．（2026·黑龙江吉林·二模）如图，在光滑水平面上下方对称放置两个足够长的通电直导线，两个导线中的电流大小相等，方向相反。O是导线连线和水平面的交点，水平面上有关于O对称的两个点A和B。一个可视为质点的带正电绝缘物块从A点以一定的初速度向右运动。下列说法正确的是（    ） A．O点磁感应强度为零 B．A、B两点磁感应强度相同 C．物块从A到O的时间等于物块从O到B的时间 D．物块从A到O的时间小于物块从O到B的时间 19．（2026·北京石景山·一模）如图所示，在内壁光滑、水平放置的玻璃圆管内，有一直径略小于圆管口径的带正电的小球，正以速率沿逆时针方向做匀速圆周运动。在此空间突然加上方向竖直向上、磁感应强度随时间均匀增大的磁场。运动过程中小球所带的电荷量不变，则下列说法正确的是（　　） A．洛伦兹力对小球做正功 B．小球先做减速圆周运动，再反向做加速圆周运动 C．小球受到的电场力不做功 D．小球所受洛伦兹力始终指向圆心 20．（2026·浙江衢州·二模）研究带电粒子在电磁场中的运动规律在现代物理学的研究中占有非常重要的地位，某科研团队就带电粒子的加速、偏转情况开展如下研究。如图所示，离子源中的离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，经选择后射出一定速度的离子，再经矩形磁场，选择出特定比荷的离子，经点进入圆形偏转磁场后打在水平放置的挡板上。已知速度选择器、矩形磁场中匀强磁场的磁感应强度大小均为，方向均垂直纸面向外；速度选择器中的匀强电场场强大小为，方向竖直向上。矩形磁场的长为，宽为。矩形磁场宽和长的中心位置和处各有一个小孔；半径为的圆形磁场内存在垂直纸面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场，在一条竖直线上，为圆形偏转磁场的直径，最低点到挡板的距离，不计离子重力。 (1)试判断从离子源中射出的离子的电性 (2)求离子通过速度选择器后的速度大小； (3)求离子经矩形磁场偏转后射出来的离子的比荷； (4)若在挡板上放置一个用于接收从圆形磁场离开的粒子，求接收器的位置距点的距离。 考向3 带电粒子在磁场中的运动 21．（2026·河北石家庄·一模）在如图所示的平面直角坐标系中，第一、四象限区域存在磁感应强度大小为、方向垂直于纸面的匀强磁场，第二象限存在磁感应强度大小为、方向垂直于纸面的圆形有界匀强磁场（磁场均没有画出）。从点发射一质量为、电荷量为的粒子，粒子依次经过两点后进入第二象限。粒子经过第二象限圆形有界磁场偏转后恰好回到点，且回到点时速度方向与在点发射时相同。不计粒子重力，已知，求： (1)粒子从点发射时的速度大小； (2)第二象限圆形磁场区域的最小面积； (3)粒子从点第一次运动到点的时间。 22．（2026·天津河西·一模）中国自主研发的霍尔推进器在推力等级、功率水平、可靠性等方面均达到国际领先水平，为载人登月、深空探测和大规模卫星星座提供了核心动力支撑。某小组受到启发设计了如图所示的模型装置来研究电荷运动及作用力。三束比荷为、速度为、间距相等的平行带正电粒子流、、在纸面内沿垂直连线方向、持续均匀射入半径的圆形匀强磁场区域，其中束粒子沿半径方向射入，偏转后三束粒子均汇聚于点，磁场方向垂直于纸面。粒子流随后进入右侧间距、边界为M、N的区域中，该区域有磁感应强度为的水平向右的匀强磁场。最终粒子打在边界处足够大的荧光屏上，圆形磁场圆心、点及荧光屏上坐标原点共线且连线与荧光屏垂直。粒子重力及粒子间的相互作用可忽略，求： (1)圆形磁场区域的磁感应强度的大小及方向； (2)已知粒子流、从点射出圆形磁场时，速度方向与连线的夹角均为，则束粒子在、区域的运动时间及轨迹在荧光屏上投影形状的半径； (3)在M、N区域中再加上水平向右、电场强度的匀强电场，并将整个装置安装在一个飞船模型上，同时把荧光屏变为粒子喷射出口。已知粒子质量，若每束粒子在单位时间内有个喷出，求该装置为飞船模型提供的沿方向的平均推力大小。 23．（2026·江西九江·二模）如图所示，质量为m、电荷量为的粒子从点以初速度沿x轴正方向射出，为使其打在x轴上的点，可在整个空间施加电场或磁场，不计粒子所受重力，下列说法正确的是（　　） A．仅施加一平行于y轴正方向的匀强电场，则电场强度 B．仅施加一垂直于xOy平面向外的匀强磁场，则磁感应强度 C．仅施加由A点指向C点方向的匀强电场，该粒子可能打在C点 D．仅施加由A点指向C点方向的匀强磁场，该粒子可能打在C点 24．（2026·江西九江·二模）平面直角坐标系xOy的第一、第四象限充满匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B，方向相反，坐标原点处有一粒子源，该粒子源可向与x轴夹角为区域各方向发射速率范围在的带正电粒子，粒子质量均为m、电荷量均为q，如图所示。粒子进入第一象限后，A点为速率最小的粒子首次进入第四象限通过x轴的最远点，，为已知量，不计粒子重力、粒子间的碰撞及相互作用，已知。 (1)求A点坐标； (2)求能够到达A点的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角范围； (3)若首次通过A点进入第四象限的粒子和首次通过C点进入第四象限的粒子会在x轴上相遇，以粒子同时离开A、C为计时起点（时刻），求粒子第一次在x轴上相遇的位置及时刻。 25．（2026·内蒙古赤峰·一模）物理溅射镀膜是芯片制作的关键环节之一，如图是镀膜部分平面结构简图。靶材溅射出的质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从x轴上P点以不同速率射入第一象限内磁感应强度为B的匀强磁场中，部分粒子恰好垂直打在固定基底上端附近的A点。A，O两点距离为，入射速度方向与x轴夹角为60°，不计粒子重力。能够打在基底上的粒子速度大小可能是（   ） A． B． C． D． 考向4 带电粒子在复合场中的运动 26．（2026·江西·二模）如图所示，直角坐标系的第二、三、四象限内均存在沿轴负方向的相同匀强电场，第四象限内还存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。第一象限内存在垂直纸面向外的非匀强磁场，磁感应强度大小沿轴方向满足（、均为已知量）。比荷为的带正电粒子（不计重力）从坐标为的点以沿轴正方向、大小为的初速度开始运动，粒子恰好从坐标原点射入第四象限。粒子第一次在第四象限内运动至最低点时的速度大小为。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)第四象限内磁场的磁感应强度大小； (3)粒子第二、三次穿过轴的过程中运动轨迹到轴的最远距离及该轨迹与轴所围的面积。 27．（2026·山西太原·一模）如图所示，以点为圆心、半径为的圆形区域内存在竖直向下的匀强电场；水平直线边界上方、圆形电场以外的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为。为圆与边界的切点，为圆的最高点，、为圆上与圆心等高的两点。从点右侧某区域垂直于发射不同速率的离子，所有离子均可沿水平方向射入电场区域，离子的比荷为，不计离子重力及离子间的相互作用力，求： (1)离子的电性； (2)若从点射入电场的离子恰好可从点射出电场，则匀强电场的电场强度的大小为多少； (3)若将水平直线上方的磁场方向变为垂直纸面向里，并调整上方磁场磁感应强度的大小，同时调整电场强度的大小，使得从距点右侧处发射的离子可依次经过点与点，则离子在上方区域运动的总时间为多少。 28．（2026·河南·模拟预测）如图所示，竖直面内半径分别为、的圆相切于点，两圆心、的连线沿水平方向，、分别是大、小圆上的点，、的连线竖直，、的连线与水平方向的夹角为，两圆内存在垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），点的右上方存在水平向左的匀强电场，电场中的一点与点连线水平。一质量为、带电量为的粒子（不计重力）从点以竖直向下的速度射入磁场，经过点从点离开磁场进入电场，当运动到时速度方向恰好竖直向上。 (1)求大、小圆内磁感应强度大小的差值； (2)求粒子从点运动到点的运动时间以及匀强电场的电场强度大小； (3)求粒子从点运动到点的平均加速度的大小以及平均速度的大小。 29．（2026·河北保定·一模）如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小，同时存在着水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小。有一带正电的小球，质量，电荷量，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动。当小球运动至P点时撤去磁场，不考虑磁场消失时引起的电磁感应现象，取，求： (1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向； (2)小球从P点到再次穿过P点所在的这条电场线时所用的时间； (3)设P点的重力势能为0，求小球再次经过P点所在的电场线时的机械能。 30．（2026·江苏·模拟预测）质谱仪是分析研究同位素的重要仪器。如图所示，速度选择器中匀强磁场的磁感应强度大小为B1、方向垂直纸面向里，匀强电场的电场强度大小为E、方向竖直向下，极板间距离足够大，极板长度为L，速度选择器右端开口，右侧分布足够大范围的匀强磁场，磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向里。带电粒子甲以一定的初速度从O点沿轴线射入速度选择器做直线运动，再由点进入右侧磁场做圆周运动，最后打到照相底片的P点；带电粒子乙由O点飘入（初速度为零）速度选择器，水平向右进入右侧磁场做圆周运动，最后打到照相底片的Q点（图中未画出）。已知甲、乙两种粒子的质量均为m，带电荷量均为+q，不计粒子的重力。 (1)求、P之间的距离x1； (2)求、Q之间的距离x2； (3)若极板长度，粒子乙最后打到照相底片的S点，求、S之间的距离x3。 考向5 带电粒子的螺旋运动 31．（2026·江苏·模拟预测）离子推进技术在太空探索中已有广泛的应用，其装置可简化为如图（a）所示的内、外半径分别为R1和R2的圆筒，图（b）为其侧视图。以圆筒左侧圆心O为坐标原点，沿圆筒轴线向右为x轴正方向建立坐标。在和处，垂直于x轴放置栅极，在两圆筒间形成方向沿x轴正向、大小为E的匀强电场，同时通过电磁铁在两圆筒间加上沿x轴正方向、大小为B的匀强磁场。待电离的氙原子从左侧栅极飘进两圆筒间（其初速度可视为零）。在内圆筒表面分布着沿径向以一定初速度运动的电子源。氙原子被电子碰撞，可电离为一价正离子，刚被电离的氙离子的速度可视为零，经电场加速后从栅极射出，推进器获得反冲力。已知单位时间内刚被电离成氙离子的线密度（沿x轴方向单位长度的离子数），其中k为常量，氙离子质量为M，电子质量为m，电子元电荷量为e，不计离子间、电子间相互作用。 (1)在x处的一个氙原子被电离，经电场加速后从右侧栅极射出，求其射出时的动能； (2)若电子既没有与氙原子碰撞，也没有碰到外筒壁，求电子沿径向圆周运动一个周期内x轴方向上的速度变化量； (3)若在的微小区间内被电离的氙离子从右侧栅极射出时所产生的推力为，求的关系式。 32．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在坐标系中平面的左侧有电场强度大小为、沿轴负方向的匀强电场，右侧有沿轴正方向的匀强磁场和与轴平行的匀强电场（未画出）。现有一带电粒子从点沿轴正方向以初速度射出，随后粒子经坐标原点进入平面的右侧。粒子在平面的右侧运动的过程中距离平面的最大距离为，且第6次经过轴时（坐标原点处记为第0次）的坐标恰好为（6d，0，0），粒子所受重力不计。求： (1)带电粒子比荷的大小； (2)磁场磁感应强度的大小； (3)平面右侧电场强度的大小和方向。 33．（2026·四川广安·模拟预测）如图所示，在坐标系中，虚线与轴平行，距离为，在虚线与轴之间的第二象限内，有沿轴正方向的匀强电场，场强大小（未知）；在虚线与轴之间的第一象限内，有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知），在轴下方的足够大区域内，存在沿轴负方向的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，场强大小，磁感应强度大小。现有一电量为、质量为的粒子在点，坐标为，以的初速度向轴正方向射出，粒子第一次经过轴时的速度大小为，不计粒子重力。求： (1)场强大小； (2)要使粒子能够经过轴，需满足的条件； (3)如果，粒子第二次经过轴的位置坐标。 34．（25-26高三下·河北雄安·开学考试）如图所示，在坐标系中，第二象限存在粒子加速装置和速度选择器，速度选择器中存在电场强度大小为、方向竖直向下的匀强电场和磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，第一象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，第一象限还存在一挡板，长度为，两端分别在轴上的点和轴上的点，，中点处有一小孔。第一象限的挡板和坐标轴所围区域外还存在沿轴负向的匀强电场，电场强度大小为。将粒子从S点由静止释放，粒子经电压为的加速器加速后，沿轴正方向通过速度选择器进入第一象限。粒子在第一象限磁场中运动时，若与挡板发生碰撞则被吸收（挡板接地，净电荷始终保持为零）；仅通过小孔的粒子，可进入挡板右侧区域。已知粒子质量为、电荷量为，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，不计重力及粒子间的相互作用。 (1)求加速器电压，并计算粒子进入第一象限磁场时做圆周运动的轨迹半径； (2)调整加速电压和速度选择器中的磁感应强度大小，使通过速度选择器的粒子恰好垂直挡板射入小孔，求此时速度选择器中的磁感应强度大小； (3)在（2）问基础上，如果，求粒子在第一象限运动过程中与轴的最大距离。 35．（2026·河北沧州·一模）如图所示，在坐标系所在空间内存在着方向垂直坐标平面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，在的区域内存在着沿轴负方向、场强大小为的匀强电场，在的区域内存在着沿轴负方向、场强大小为的匀强电场。一个质量为带电荷量为的粒子从轴上的点以一定的初速度沿轴正方向射出后，在负半轴恰能做匀速直线运动，不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子在负半轴上运动的速度大小为 B．粒子在区域内运动的最小速率为 C．粒子在区域内运动时，距轴的最大距离为 D．粒子经过正半轴的所有位置中，相邻两个位置之间的距离为 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 磁场 核心考点 考向1 安培力 18 考向2 洛伦兹力与现代科技 22 考向3 带电粒子在磁场中的运动 28 考向4 带电粒子在复合场中的运动 35 考向5 带电粒子的螺旋运动 45 核心知识 一、磁场的基本性质　安培力 1.磁场的产生与叠加 2.安培力的分析与计算 方向 左手定则 电流间的作用力：同向电流相互吸引，异向电流相互排斥 大小 直导线 F=BILsin θ，θ=0时F=0，θ=90°时F=BIL 导线为曲线时 等效为ac直线电流 受力分析 根据力的平衡条件或牛顿运动定律列方程 二、带电粒子在匀强磁场中的运动 1.分析带电粒子在匀强磁场中运动的方法 基本思路 (1)画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹 (2)找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，运动时间与周期相联系 (3)用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式和半径公式 基本公式 qvB=m，T= 重要结论 r=，T= 圆心的确定 (1)轨迹上的入射点和出射点的速度方向的垂线的交点为圆心，如图(a) (2)轨迹上入射点速度方向的垂线和入射点、出射点两点连线中垂线的交点为圆心，如图(b) (3)沿半径方向距入射点距离等于r的点，如图(c)(当r已知或可算) 半径的确定 方法一：由公式求，Bqv=，得半径r= 方法二：由几何关系求，一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)通过计算来确定 时间的求解 方法一：由圆心角求，t=·T，其中轨迹对应的圆心角等于速度方向的偏向角 方法二：由弧长求，t= 2.三个重要结论 (1)直线边界：粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角(如图甲，θ1=θ2=θ3)，轨迹关于入射点和出射点连线的中垂线对称，L=2rsin θ2。 (2)圆形边界：①沿半径方向射入圆形磁场的粒子必沿半径方向射出磁场(速度方向延长线过圆心，如图乙，两侧关于两圆心连线OO'对称)。 ②射入磁场的速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场的方向与半径的夹角也为θ，轨迹关于两圆心连线OO'对称，如图丙。 (3)磁聚焦与磁发散 若大量相同的带电粒子以相同的速度相互平行进入圆形区域的磁场，且带电粒子运动半径等于磁场圆半径(R=r)，这群粒子必从同一点离开磁场，即“磁聚焦”；反之，一群相同的粒子从同一点以相同的速度大小沿不同的方向进入磁场(R=r)，在离开磁场时的速度方向一定相互平行，即“磁发散”。 磁聚焦　　　　　　磁发散 三、带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题 1.解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，利用“动态圆”思想寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。 2.粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。 3.常见的动态圆 示意图 适用条件 应用方法 放缩圆 (轨迹圆的圆心在P1P2直线上) 粒子的入射点位置相同，速度方向一定，速度大小不同 以入射点P为定点，将半径放缩作轨迹圆，粒子恰好不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切 旋转圆 (轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R=的圆上) 粒子的入射点位置相同，速度大小一定，速度方向不同 将一半径为R=的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件 平移圆 (轨迹圆的所有圆心在一条直线上) 粒子的入射点位置不同，速度大小、方向均一定 将半径为R=的圆进行平移 领悟真题 1．（2026·浙江·高考真题）测量局域磁场，科学家基于电阻应变片开发出一种磁场检测芯片，其简化结构如图1所示。长度均为l、通有恒定电流I0。（方向相反）的两刚性金属杆ab、cd，与具有良 好弹性的绝缘悬梁OA、OD构成“H”形支架，对称固定于底座O处。在悬梁上、下表面对称安装四个相同的电阻应变片（各自引出两导线），其阻值分别为R1、R2、R3和R4，将它们 按图2方式与电动势为E的电源（不计内阻）相连。未加磁场时，支架处于水平平衡状态， 此时R1=R2=R3=R4=R0，测得e、f两端的电势差为0。现施加待测磁场，其方向水平向右、且垂直于金属杆，则金属杆ab、cd受安培力作用，使悬梁OA、OD产生形变，四个应变片的阻值发生相应变化，其变化量的绝对值均为ΔR，此时测得e、f两端的电势差为Uef,从而得到待测磁场磁感应强度B的大小。 (1)判断金属杆ab和cd所受安培力的方向; (2)写出上述四个电阻的阻值（用R0和ΔR表示）； (3)已知电阻变化量和所受的安培力成正比关系，且比例系数为，求与B之间的关系。 【答案】(1)ab竖直向下，cd竖直向上 (2)，，， (3) 【详解】（1）根据左手定则可知ab所受安培力方向竖直向下；cd所受安培力方向竖直向上。 （2）由题意可知ab向上弯曲，使R1被拉伸（阻值增大）、R3被压缩（阻值减小），故 cd向下弯曲，使R2被压缩（阻值减小）、R4被拉伸（阻值增大），故 （3）由图可知R1与R2串联，R3与R4串联，两条支路并联。 上支路总电阻为 电流 f点电势 下支路总电阻为 电流 e点电势 e、f两点间的电势差绝对值 安培力与ΔR的关系：，而，所以 联立得 2．（2025·贵州·高考真题）如图，建立直角坐标系轴正方向水平向右，轴正方向垂直纸面向里（轴未画出），轴正方向竖直向上。空间中存在方向竖直向上的匀强电场，在的区域I和的区域II中均存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，区域I的磁感应强度大小为，区域II的磁感应强度大小未知。有一带正电荷的粒子，质量为、电荷量为，以速率从点沿轴正方向射出后，在区域、中均可做匀速圆周运动，且恰好能经过轴上的点，点坐标为。已知，，为重力加速度。 (1)求电场强度大小及该粒子第一次经过平面时的位置对应的坐标值； (2)求粒子从点到点的运动时间最短时区域的磁感应强度大小； (3)若仅将匀强电场的方向改为沿轴正向，该粒子仍以速率从点沿轴正方向射出，求该粒子的轨迹方程。 【答案】(1) ， (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，粒子受到重力、洛伦兹力和电场力做匀速圆周运动，可以判断粒子受到的电场力与重力平衡，则有 解得 粒子在I区做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 又根据几何关系有 解得 （2）粒子做匀速圆周运动，可能的运动轨迹如图所示 设粒子进入磁场中速度方向与磁场分界面成角，根据几何关系有 解得 设粒子在磁场中运动的轨道半径为，根据圆周运动轨迹可知粒子运动到点应满足 当取最小值时，运动时间最短。结合上图分析，可知带电粒子在磁场中至少绕3次才能到达点，环绕的次数越少，用时越短，即时所用的时间最短，则有 解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （3）若将电场方向改为轴方向正方向，由受力分析，粒子受到沿轴正方向的洛伦兹力、沿轴负方向的重力、沿轴正方向的电场力，则粒子在I区受到的洛伦兹力大小为 正好与重力相平衡，所以粒子在轴正方向做匀加速直线运动，有 根据牛顿第二定律有 解得 粒子在轴正方向做匀速直线运动，有 联立解得 3．（2026·浙江·高考真题）俄歇电子能谱（AES）广泛应用于材料表面成分分析。如图1所示，一束高能电子入射到样品表面，将某原子内层（如K层）的一个电子击出，形成一个空穴。随后，较外层（如L层）的一个电子跃迁至该空穴，并释放出能量，该能量可能以X光子的形式射出，也可能立即将另一核外电子（如L层或M层的电子）电离而逸出样品表面，该电子称为俄歇电子；现用电子动能的电子束轰击某样品表面，成功激发KLM俄歇过程（即初始空穴为K层、跃迁电子来自L层、逸出电子来自M层）和KLL俄歇过程（逸出电子来自L层）。已知该原子K层的电离能L层的电离能已知电子的电荷量，电子质量，光速，普朗克常量。（计算结果保留一位有效数字）请回答： (1)入射电子的德布罗意波长。 (2)求射出的X光子的波长； (3)甲同学利用带电粒子在磁场中的运动规律，设计了如图2所示的测量俄歇电子动能的方案；俄歇电子从原点O垂直y轴和磁场方向进入匀强磁场，则y1=10.0cm和y2=10.5cm处被探测到，通过测得的俄歇电子的动能，求原子M层的电离能； (4)乙同学认为用带电粒子在电场中的运动规律，测出俄歇电子的动能，请你帮乙同学设计一个方案，列出所需要测量的物理量，并给出计算俄歇电子动能的表达式。 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【详解】（1）由德布罗意公式 又 解得 （2）因线是由电子从L层跃迁到K层时释放的光子，则光子的能量为 则由 解得 （3）电子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力 俄歇电子的动能为（d表示直径） 设KLL俄歇电子的动能为EKLL；KLM俄歇电子的动能为EKLM，则有 KLL俄歇电子：K层空穴由L层电子填充，释放的能量为EK-EL，并传递给L层另一个电子使其逸出，又消耗EL，则KLL俄歇电子的动能为 同理可得，KLM俄歇电子的动能为 解得 （4）如图，让待测电子束以水平初速度射入两块平行金属板之间，金属板长为L，板间距为d，两板之间加恒定的电压U，形成匀强电场，在离开金属板右侧距离L1处垂直电子入射方向放置一荧光屏； 需要测量的物理量：金属板长度L，板间电压U，板间距d以及L1，电子飞出电场后打到荧光屏时垂直电子入射方向的侧移量y； 计算方法：电子在水平方向做匀速直线运动，则 电子在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，则加速度 侧移量满足 俄歇电子动能表达式 4．（2026·浙江·高考真题）如图所示，一根带负电的塑料棒，长为l、横截面积为S、均匀分布有N个电子（电子电荷量为）。让棒垂直于匀强磁场B，以速度v沿轴向做匀速运动。下列说法正确的是（   ） A．等效电流的方向与v方向相同 B．等效电流的大小 C．棒产生的感应电动势 D．棒所受安培力的大小 【答案】B 【详解】A. 塑料棒带负电，则等效电流的方向与v方向相反，A错误；     B. 等效电流的大小，B正确； C. 棒中几乎没有自由电子，磁通量不发生变化，不产生感应电动势，C错误； D. 棒所受安培力的大小，D错误。 故选B。 5．（2018·全国II卷·高考真题）如图所示，纸面内有两条互相垂直的长直绝缘导线L1、L2，L1中的电流方向向左，L2中的电流方向向上；L1的正上方有a、b两点，它们相对于L2对称。整个系统处于匀强外磁场中，外磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直于纸面向外。已知a、b两点的磁感应强度大小分别为B0和B0，方向也垂直于纸面向外。则（　　） A．流经L1的电流在b点产生的磁感应强度大小为B0 B．流经L1的电流在a点产生的磁感应强度大小为B0 C．流经L2的电流在b点产生的磁感应强度大小为B0 D．流经L2的电流在a点产生的磁感应强度大小为B0 【答案】AC 【详解】根据安培定则，流经的电流在a、b两点产生的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小相等，记为。流经的电流在点产生的磁场方向垂直纸面向里，在点产生的磁场方向垂直纸面向外，但流经的电流在a、b两点产生的磁场的磁感应强度大小相等，记为。根据磁感应强度的矢量叠加原理可得 联立解得， 故选AC。 6．（2025·海南·高考真题）某粒子分析器的部分电磁场简化模型如图，三维直角坐标系所在空间中Ⅰ区域存在沿x轴正方向的匀强电场（图中未画出）和匀强磁场，磁感应强度大小为,Ⅱ区域存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，在有一足够大的接收屏P，原点O处的粒子源在平面内同时发射带正电的同种粒子甲和乙，甲粒子的速度大小为，甲和乙的速度方向与x轴正方向夹角分别为和，两粒子沿x轴方向速度分量相等。乙粒子以最短时间到达（d,d,0）点进入Ⅱ区域后恰好到达接收屏并被吸收，不计重力及粒子间的相互作用，则（    ） A．两粒子不能同时到达接收屏P B．两个区域磁感应强度大小之比 C．乙粒子通过点时沿x轴方向速度分量 D．甲乙粒子在接收屏P上位置的z坐标之差 【答案】BD 【详解】BC．两粒子在Ⅰ区域运动过程，两粒子在轴方向做匀加速直线运动，在平面做匀速圆周运动，根据题意甲粒子和乙粒子在x轴方向的分速度相等，均为 甲粒子在轴方向的分速度 根据几何关系 可得 乙粒子以最短时间到达（d,d,0），则乙在Ⅰ区域运动的时间为做圆周运动的周期的一半，其半径为 根据洛伦兹力提供向心力 联立可得 在Ⅰ区域运动的时间 沿着正方向，根据运动学公式 解得乙粒子通过点时沿x轴方向速度分量为 乙粒子进入Ⅱ区域后，沿轴负方向做匀速直线运动，在平面做匀速圆周运动，根据题意进乙粒子入Ⅱ区域后恰好到达接收屏并被吸收，则乙粒子在Ⅱ区域做圆周运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力 解得 可得，故B正确，C错误； AD．两粒子在Ⅰ区域运动过程，两粒子在轴方向的速度分量相同，则在Ⅰ区域运动时间相等，根据 可知甲粒子在Ⅰ区域也是运动半个周期，即两粒子刚进入Ⅱ区域时轴坐标均为零，沿轴负方向做匀速直线运动，在平面做匀速圆周运动的情况也相同，所以运动时间相等，即两粒子能同时到达接收屏P，两粒子在Ⅱ区域的运动时间 甲乙粒子在接收屏P上位置的z坐标之差 联立解得，故D正确，A错误。 故选BD。 7．（2025·江西·高考真题）托卡马克是一种磁约束核聚变装置，其中心柱上的密绕螺线管（线圈）可以驱动附近由电子和离子组成的磁约束等离子体旋转形成等离子体电流，如图（a）所示。当线圈通以如图（b）所示的电流时，产生的等离子体电流方向（俯视）为（　　） A．顺时针 B．逆时针 C．先顺时针后逆时针 D．先逆时针后顺时针 【答案】A 【详解】由图（b）可知开始阶段流过CS线圈的电流正向减小，根据右手定则可知，CS线圈产生的磁场下端为N极，上端为S极，则穿过线圈周围某一截面的磁通量向下减小，由楞次定律可知产生的感应电场方向为顺时针方向（俯视），则产生的等离子体电流方向（俯视）为顺时针；同理在以后阶段通过CS线圈的电流反向增加时，情况与前一阶段等效，即产生的等离子体电流方向（俯视）仍为顺时针。 故选A。 8．（2025·重庆·高考真题）研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意粒子水平发射后做匀速圆周运动，要在O点产生光点，其运动半径 运动过程中由洛伦兹力提供向心力有 联立解得 （2）若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，则两端粒子的轨迹正好构成一个完整的圆，且在N点相切，如图 由于K从水平方向逆时针旋转60°，则，根据和和关系可知此时粒子做匀速圆周运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力可知 解得 （3）由题意带正电粒子恰好在M点产生光点，则关闭磁场时粒子速度恰好指向M，过M点做正电粒子轨迹的切线，切点为P，如图 根据前面解析可知，所以 由于，且 根据几何关系可知，而 所以 粒子在磁场中运动的周期，对应的圆心角 所以 9．（2025·甘肃·高考真题）2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（    ） A．外圆半径等于 B．a粒子返回A点所用的最短时间为 C．b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为 D．c粒子的速度大小为 【答案】BD 【详解】由题意，作出粒子运动轨迹图，如图所示 a粒子恰好到达磁场外边界后返回，a粒子运动的圆周正好与磁场外边界，然后沿径向做匀速直线运动，再做匀速圆周运动恰好回到A点， 根据a粒子的速度大小为 可得 设外圆半径等于,由几何关系得 则 A错误； B．由A项分析，a粒子返回A点所用的最短时间为第一次回到A点的时间 a粒子做匀速圆周运动的周期 在磁场中运动的时间 匀速直线运动的时间 故a粒子返回A点所用的最短时间为 B正确； C．由题意，作出粒子运动轨迹图，如图所示 因为b、c粒子返回A点都是运动一个圆周，根据b、c带正电且比荷均为，所以两粒子做圆周运动周期相同，故所用的最短时间之比为1:1，C错误； D．由几何关系得 洛伦兹力提供向心力有 联立解得 D正确。 故选BD。 10．（2025·四川·高考真题）如图所示，I区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与I区边界重合；正方形与圆形中心同为O点。I区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4∶1。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从a点离开。取sin37°=0.6。则带电粒子（　　） A．在I区的轨迹圆心不在O点 B．在I区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1∶2 C．在I区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127∶37 D．在I区和Ⅱ区的运动时间之比为127∶148 【答案】AD 【详解】A．由图可知 在I区的轨迹圆心不在O点，故A正确； B．由洛伦兹力提供向心力 可得 故在I区和Ⅱ区的轨迹半径之上比为 故B错误； D．设粒子在磁场Ⅱ区偏转的圆心角为α，由几何关系 可得 故粒子在I区运动的时间为 粒子在Ⅱ区运动的时间为 联立可得在I区和Ⅱ区的运动时间之上比为 故D正确； C．粒子在I区和Ⅱ区的轨迹长度分别为 故在I区和Ⅱ区的轨迹长度之比为 故C错误。 故选AD。 考向1 安培力 11．（2026·西藏拉萨·二模）如图甲，水平面内有间距为的两根平行金属导轨，金属棒电阻不计，放置在导轨上，并与导轨垂直并保持良好接触，导轨、之间接有电阻，、间距为。整个装置放在竖直向下的匀强磁场中。现使磁感应强度随时间均匀减小，如图乙所示，金属棒始终保持静止，则在时间内（　　） A．中的感应电流方向从到 B．中的感应电流逐渐减小 C．所受的安培力不变 D．流过电阻的电荷量为 【答案】AD 【详解】A．原磁场竖直向下，磁感应强度减小，根据楞次定律，感应电流的磁场方向向下阻碍磁通量减小，由右手螺旋定则可知，回路中感应电流为顺时针方向，因此金属棒中感应电流方向为从a到b，故A正确； B．磁感应强度均匀减小，由法拉第电磁感应定律得 其中恒定，因此感应电动势恒定，感应电流 可知感应电流恒定不变，故B错误； C．安培力 感应电流不变，逐渐减小，因此安培力逐渐减小，故C错误； D．流过电阻的电荷量 其中 因此，故D正确。 故选AD。 12．（2026·山西太原·一模）如图所示，水平放置的绝缘圆柱形容器，其外壁紧密缠绕着多匝金属线圈，容器轴线处固定有金属杆，容器内充满导电液体。线圈一端连接电源正极，另一端与容器内的导电液体相连，金属杆连接电源负极。接通电源后，电流依次经过线圈，导电液体，再经金属杆流回电源负极。下列说法正确的是（　　） A．从容器正上方观察，接通电源一段时间后，液体会沿顺时针方向转动 B．接通电源瞬间，线圈内立刻产生恒定电流 C．通电后，金属线圈的相邻导线之间会互相排斥 D．增大线圈中的电流，液体转动的快慢无变化 【答案】A 【详解】A．线圈通电后，由安培定则可知容器内产生沿轴线、竖直向下的磁场；导电液体中电流为径向，从容器壁指向轴线金属杆；根据左手定则，液体各微元受顺时针切向安培力，因此液体沿顺时针方向转动，故A正确； B．线圈存在自感现象，自感电动势会阻碍电流变化，接通电源瞬间线圈内电流逐渐增大，不会立刻产生恒定电流，故B错误； C．线圈相邻导线的电流方向相同，同向电流相互吸引，反向电流才相互排斥，因此相邻导线相互吸引，而非排斥，故C错误； D．液体所受安培力F=BIL，增大线圈电流，B和I都变大，则安培力增大，液体转动变快，故D错误。 故选A。 13．（2026·内蒙古乌兰察布·二模）如图所示，空间存在水平向右的匀强磁场的磁感应强度大小为B，从中点将长为2L的导线围成夹角为60°的折线置于纸面内，当导线中通有电流I时，下列说法正确的是（　　） A．图甲中导线所受的安培力大小为0 B．图乙中导线所受的安培力大小为BIL C．图丙中导线所受的安培力大小为 D．图丁中导线所受的安培力大小为 【答案】A 【详解】A．非直导线计算安培力时，需计算等效长度，首尾相连的导线长度即为等效长度。等效导线与磁感应强度方向平行，故不受安培力作用，故A正确； B．图乙中导线所受的安培力大小为，故B错误； C．图丙中导线所受的安培力大小为，故C错误； D．图丁中导线所受的安培力大小为，故D错误。 故选A。 14．（2026·甘肃兰州·二模）小强同学对电磁弹射技术非常感兴趣，于是他动手设计了一个电磁弹射装置，简化模型如图所示。间距为l的水平平行金属导轨左端接有输出电压恒为U的电源和开关S，导轨上放有一个质量为m、电阻为R的导体棒ab，导轨间存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。接通开关S，导体棒由静止开始运动，运动过程中所受阻力与速度大小成正比，比例系数为k，导体棒与导轨始终保持良好接触，导轨足够长且电阻忽略不计，求： (1)开关接通瞬间，导体棒的加速度； (2)导体棒速度为v时，回路中的电流大小和方向； (3)导体棒所能达到的最大速度。 【答案】(1) (2)，由a指向b (3) 【详解】（1）开关接通瞬间，导体棒处于静止状态，电源和导体棒组成闭合回路，根据欧姆定律得回路中的电流大小为 通电导体棒在磁场中受安培力，大小为 根据牛顿第二定律有 联立解得 （2）运动的导体棒切割磁感线，在回路中产生与电源电动势方向相反的感应电动势，大小为 回路中的总电动势为 根据闭合电路欧姆定律，有 联立解得 回路中电流方向由a指向b （3）导体棒速度为v时，回路中电流为，导体棒所受安培力大小为 导体棒在安培力和阻力的作用下做加速运动，根据牛顿第二定律有 联立解得 当，即 导体棒有最大速度，最大速度为 15．（2026·广东广州·一模）如图（a），矩形导体框mnkp被四根等长的绝缘细绳悬挂于水平轴OO′上，其所在区域存在方向垂直指向OO′的磁场（未画出），与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图（b）所示。开始时导体框静止在水平位置，现给导体框通上沿mnkp方向的恒定电流，则（　　） A．mn和pk所受安培力方向相反 B．mn和pk所受安培力方向相同 C．绝缘细绳对导体框的拉力增大 D．导体框将绕OO′轴顺时针转动 【答案】C 【详解】AB．对mn和pk分别应用左手定则，可得到安培力的方向如下 由图可知，mn和pk受到的安培力方向不共线，故AB错误； CD．由题意可知两导体所在位置处的磁感应强度大小相等，由对称性，可知导体框整体受到的安培力合力竖直向下，导体框受到的细绳拉力变大，导体框在水平方向受到的合力为零，没有转动的趋势，故C正确，D错误。 故选C。 考向2 洛伦兹力与现代科技 16．（2026·西藏拉萨·二模）如图是质谱仪工作原理示意图：I为粒子加速器，加速电压为；II为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；III为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。从点释放质量为、初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动，再由点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的点处，运动轨迹如图中虚线所示。求： (1)带电粒子的电性及电荷量； (2)点到点的距离； (3)粒子由点运动到点时间； (4)粒子由点运动到点的过程中洛伦兹力的冲量的大小。 【答案】(1)正电， (2) (3) (4) 【详解】（1）由图示可知，粒子进入III区向上偏转，根据左手定则，可知粒子带正电。 设粒子经过加速器获得的速度为，根据动能定理有 粒子经速度选择器做匀速直线运动，根据平衡条件有 联立解得 （2）粒子经偏转分离器做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 根据几何关系有 解得 （3）粒子由点运动到点时间 结合上述解得点到点的时间 （4）取水平向左为正方向，根据动量定理有 动量变化量为 结合上述解得 17．（2026·山西·一模）2026年，中国主导的“天枢”空间引力波探测阵列依托单离子光钟确立极致频率基准。光钟的核心校准简化模型如图所示，一个正离子在径向电场（指向中心）和垂直纸面向里的匀强磁场的共同作用下，绕中心做逆时针的匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．正离子所受洛伦兹力方向背向圆心 B．正离子做圆周运动的向心力由电场力和洛伦兹力的合力提供 C．若仅增大磁感应强度大小，正离子的角速度将增大 D．若撤去磁场，正离子将沿切线方向飞出 【答案】BC 【详解】A．正离子逆时针做圆周运动，磁场垂直纸面向里，根据左手定则，磁感线穿手心（向里），四指指向正离子运动方向，大拇指指向洛伦兹力方向，可判断正离子任意位置的洛伦兹力都指向圆心，故A错误； B．正离子只受两个力，指向圆心的电场力（正离子电场力与电场方向同向，电场指向中心，故电场力指向圆心）、指向圆心的洛伦兹力，两个力的合力提供匀速圆周运动的向心力，故B正确； C．设圆周半径为，角速度为，根据向心力公式 代入 整理得 解得正根 可见，磁感应强度增大时，一定增大。故C正确 D．撤去磁场前， 因此 撤去磁场后，正离子仍受指向圆心的电场力，仅能提供的向心力小于所需向心力，正离子做离心运动，不会沿切线飞出（沿切线飞出是合力为零的情况），故D错误。 故选BC。 18．（2026·黑龙江吉林·二模）如图，在光滑水平面上下方对称放置两个足够长的通电直导线，两个导线中的电流大小相等，方向相反。O是导线连线和水平面的交点，水平面上有关于O对称的两个点A和B。一个可视为质点的带正电绝缘物块从A点以一定的初速度向右运动。下列说法正确的是（    ） A．O点磁感应强度为零 B．A、B两点磁感应强度相同 C．物块从A到O的时间等于物块从O到B的时间 D．物块从A到O的时间小于物块从O到B的时间 【答案】BC 【详解】A．两根导线电流相反、对称放置，上方导线（电流向里）和下方导线（电流向外）在点产生的磁场方向均为水平向左，合磁感应强度叠加后不为零，故A错误； B．对水平面上任意一点，两根导线产生的磁感应强度的竖直分量相互抵消，水平分量叠加，合磁场方向始终水平向左；、关于对称，两点磁感应强度大小相等、方向相同，因此磁感应强度相同，故B正确； CD．物块速度方向沿水平，合磁感应强度方向也沿水平，速度与平行，因此洛伦兹力为0；水平面光滑，物块水平方向不受力，做匀速直线运动。与位移相等、速度不变，因此物块从到的时间等于从到的时间，故C正确，D错误。 故选BC。 19．（2026·北京石景山·一模）如图所示，在内壁光滑、水平放置的玻璃圆管内，有一直径略小于圆管口径的带正电的小球，正以速率沿逆时针方向做匀速圆周运动。在此空间突然加上方向竖直向上、磁感应强度随时间均匀增大的磁场。运动过程中小球所带的电荷量不变，则下列说法正确的是（　　） A．洛伦兹力对小球做正功 B．小球先做减速圆周运动，再反向做加速圆周运动 C．小球受到的电场力不做功 D．小球所受洛伦兹力始终指向圆心 【答案】B 【详解】AB．变化的磁场产生了感生电场，根据楞次定律，感生电场为顺时针方向，故小球先减速，再反向加速，洛伦兹力不做功，故A错误，B正确； C．感生电场沿圆周切线方向，电场力沿切线方向，与速度方向共线，电场力一直做功，故C错误； D．根据左手定则，小球受洛伦兹力先背离圆心，再指向圆心，故D错误。 故选B。 20．（2026·浙江衢州·二模）研究带电粒子在电磁场中的运动规律在现代物理学的研究中占有非常重要的地位，某科研团队就带电粒子的加速、偏转情况开展如下研究。如图所示，离子源中的离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，经选择后射出一定速度的离子，再经矩形磁场，选择出特定比荷的离子，经点进入圆形偏转磁场后打在水平放置的挡板上。已知速度选择器、矩形磁场中匀强磁场的磁感应强度大小均为，方向均垂直纸面向外；速度选择器中的匀强电场场强大小为，方向竖直向上。矩形磁场的长为，宽为。矩形磁场宽和长的中心位置和处各有一个小孔；半径为的圆形磁场内存在垂直纸面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场，在一条竖直线上，为圆形偏转磁场的直径，最低点到挡板的距离，不计离子重力。 (1)试判断从离子源中射出的离子的电性 (2)求离子通过速度选择器后的速度大小； (3)求离子经矩形磁场偏转后射出来的离子的比荷； (4)若在挡板上放置一个用于接收从圆形磁场离开的粒子，求接收器的位置距点的距离。 【答案】(1)带正电 (2) (3) (4) 【详解】（1）根据左手定则：电场方向竖直向上，磁场垂直纸面向外，离子向右运动，电场力与洛伦兹力平衡，可得离子带正电。 （2）速度选择器中电场力与洛伦兹力平衡 解得：​ （3）设离子在矩形磁场中做圆周运动的半径为，建立坐标系 ，，离子运动轨迹的圆心为A，由几何关系，， 解得， 洛伦兹力提供向心力 代入、 得​ （4） 离子从点进入圆形磁场，速度方向与水平向右方向夹角为向下。离子在圆形磁场中做圆周运动的半径满足 代入、、 得 由几何关系得离子运动轨迹圆的圆心为 联立轨迹方程 圆形磁场方程 得出射点，且出射速度方向为竖直向下 出射后做匀速直线运动，打在挡板​处，坐标为 点坐标为 故距点的距离为​​ 考向3 带电粒子在磁场中的运动 21．（2026·河北石家庄·一模）在如图所示的平面直角坐标系中，第一、四象限区域存在磁感应强度大小为、方向垂直于纸面的匀强磁场，第二象限存在磁感应强度大小为、方向垂直于纸面的圆形有界匀强磁场（磁场均没有画出）。从点发射一质量为、电荷量为的粒子，粒子依次经过两点后进入第二象限。粒子经过第二象限圆形有界磁场偏转后恰好回到点，且回到点时速度方向与在点发射时相同。不计粒子重力，已知，求： (1)粒子从点发射时的速度大小； (2)第二象限圆形磁场区域的最小面积； (3)粒子从点第一次运动到点的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子在第一象限运动时，粒子轨迹圆半径，根据几何关系有   解得 根据 联立解得 （2）由几何关系，从点进入第二象限时速度垂直连线，与轴负方向夹角，在第二象限轨迹圆半径为，则有 解得 可知，粒子回到点时速度垂直连线，与轴负方向的夹角仍为，故粒子在第二象限中运动时速度方向改变了，在有界磁场中轨迹所对的圆心角为，所以圆形磁场最小半径为 所以最小面积为 联立解得 （3）粒子在第二象限的磁场中运动时间为 粒子在第二象限有界磁场外做匀速直线运动的距离 则粒子在第二象限做匀速直线运动的时间为 粒子相邻两次经过点的时间为 联立解得 22．（2026·天津河西·一模）中国自主研发的霍尔推进器在推力等级、功率水平、可靠性等方面均达到国际领先水平，为载人登月、深空探测和大规模卫星星座提供了核心动力支撑。某小组受到启发设计了如图所示的模型装置来研究电荷运动及作用力。三束比荷为、速度为、间距相等的平行带正电粒子流、、在纸面内沿垂直连线方向、持续均匀射入半径的圆形匀强磁场区域，其中束粒子沿半径方向射入，偏转后三束粒子均汇聚于点，磁场方向垂直于纸面。粒子流随后进入右侧间距、边界为M、N的区域中，该区域有磁感应强度为的水平向右的匀强磁场。最终粒子打在边界处足够大的荧光屏上，圆形磁场圆心、点及荧光屏上坐标原点共线且连线与荧光屏垂直。粒子重力及粒子间的相互作用可忽略，求： (1)圆形磁场区域的磁感应强度的大小及方向； (2)已知粒子流、从点射出圆形磁场时，速度方向与连线的夹角均为，则束粒子在、区域的运动时间及轨迹在荧光屏上投影形状的半径； (3)在M、N区域中再加上水平向右、电场强度的匀强电场，并将整个装置安装在一个飞船模型上，同时把荧光屏变为粒子喷射出口。已知粒子质量，若每束粒子在单位时间内有个喷出，求该装置为飞船模型提供的沿方向的平均推力大小。 【答案】(1)，垂直纸面向外 (2) (3) 【详解】（1）粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 束粒子沿半径方向射入，偏转后三束粒子均汇聚于点，根据几何关系可知 可得 方向垂直纸面向外。 （2）粒子在点的速度分解为沿磁场方向的速度，垂直于磁场方向的速度，则， 粒子从点运动到屏上的时间 可得 粒子在垂直磁场方向做匀速圆周运动 可得 （3）粒子在、区域运动时，、粒子从处喷出时沿方向的速度均为，有 根据速度位移关系 粒子从处喷出时速度为，有 沿方向，根据动量定理得 由牛顿第三定律得 23．（2026·江西九江·二模）如图所示，质量为m、电荷量为的粒子从点以初速度沿x轴正方向射出，为使其打在x轴上的点，可在整个空间施加电场或磁场，不计粒子所受重力，下列说法正确的是（　　） A．仅施加一平行于y轴正方向的匀强电场，则电场强度 B．仅施加一垂直于xOy平面向外的匀强磁场，则磁感应强度 C．仅施加由A点指向C点方向的匀强电场，该粒子可能打在C点 D．仅施加由A点指向C点方向的匀强磁场，该粒子可能打在C点 【答案】AD 【详解】A．仅施加一平行于y轴正方向的匀强电场，带负电的粒子向y轴负方向偏转，带负电的粒子做类平抛运动，在x轴方向上 在y轴方向上 联立解得 ，故A正确； B．仅施加一垂直于xOy平面向外的匀强磁场，根据左手定则可知，0时刻洛伦兹力沿y轴正方向，带负电的粒子在xOy平面内做匀速圆周运动，圆轨迹在A点上方，该粒子不可能打在C点，故B错误； C．仅施加由A点指向C点方向的匀强电场，带负电的粒子受到由C点指向A点方向的电场力作用，电场力有沿y轴正方向的分量，该粒子的运动轨迹向y轴正方向偏转，该粒子不可能打在C点，故C错误； D．仅施加由A点指向C点方向的匀强磁场，将初速度分解为沿方向的一个分速度，带负电的粒子沿方向以速度大小做匀速直线运动；将初速度分解为垂直于方向的另一个分速度，带负电的粒子受到洛伦兹力作用，在垂直于方向上以速度大小做匀速圆周运动；该粒子沿方向做等距螺旋线运动，故该粒子可能打在C点，D正确。 故选AD。 24．（2026·江西九江·二模）平面直角坐标系xOy的第一、第四象限充满匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B，方向相反，坐标原点处有一粒子源，该粒子源可向与x轴夹角为区域各方向发射速率范围在的带正电粒子，粒子质量均为m、电荷量均为q，如图所示。粒子进入第一象限后，A点为速率最小的粒子首次进入第四象限通过x轴的最远点，，为已知量，不计粒子重力、粒子间的碰撞及相互作用，已知。 (1)求A点坐标； (2)求能够到达A点的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角范围； (3)若首次通过A点进入第四象限的粒子和首次通过C点进入第四象限的粒子会在x轴上相遇，以粒子同时离开A、C为计时起点（时刻），求粒子第一次在x轴上相遇的位置及时刻。 【答案】(1)（，0） (2) (3)，， 【详解】（1）粒子以最小速度进入第四象限的最远点在x轴上的截距为直径，由于，A点的横坐标为，则C点的横坐标为 故A点的坐标为（，0） （2）设粒子进入第一象限时与y轴正方向的夹角为、速度大小为时通过A点，如图所示，需满足 由此可知，通过A点的粒子的竖直分速度为 由于通过A点的粒子的速度满足 与y轴正方向的夹角满足 故到达A点的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角范围是 （3）设粒子进入第一象限时与y轴正方向的夹角为、速度大小为时通过C点，同理可得 可得 因此通过点的粒子的速度满足 与轴正方向的夹角满足，故 两粒子相遇，必有（其中、取，，） 即 由于是第一次相遇，则取最小的自然数，取， 因此粒子第一次在轴上相遇的位置： 由于粒子在两磁场中的运动具有周期性，且粒子做圆周运动的周期均为，因此从、两点出发运动时间最短的粒子最快到达相遇点。 由分析知，粒子相遇时的时间 其中， 代入，可得到，到达第一次相遇位置的粒子，满足 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 由此可知，当时相遇的时间最短，即，的粒子最先相遇； 因此，粒子第一次在轴上相遇的时刻为 即相遇时刻 25．（2026·内蒙古赤峰·一模）物理溅射镀膜是芯片制作的关键环节之一，如图是镀膜部分平面结构简图。靶材溅射出的质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从x轴上P点以不同速率射入第一象限内磁感应强度为B的匀强磁场中，部分粒子恰好垂直打在固定基底上端附近的A点。A，O两点距离为，入射速度方向与x轴夹角为60°，不计粒子重力。能够打在基底上的粒子速度大小可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】带负电粒子斜向左上与x轴成入射，粒子垂直打在，结合几何关系可得 最大半径 当轨迹恰好与相切时，有 最小半径 所以轨迹半径满足 洛伦兹力提供向心力 解得速度范围 故选BC。 考向4 带电粒子在复合场中的运动 26．（2026·江西·二模）如图所示，直角坐标系的第二、三、四象限内均存在沿轴负方向的相同匀强电场，第四象限内还存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。第一象限内存在垂直纸面向外的非匀强磁场，磁感应强度大小沿轴方向满足（、均为已知量）。比荷为的带正电粒子（不计重力）从坐标为的点以沿轴正方向、大小为的初速度开始运动，粒子恰好从坐标原点射入第四象限。粒子第一次在第四象限内运动至最低点时的速度大小为。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)第四象限内磁场的磁感应强度大小； (3)粒子第二、三次穿过轴的过程中运动轨迹到轴的最远距离及该轨迹与轴所围的面积。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）粒子从点运动至坐标原点，做类平抛运动，平行于轴方向上有 平行于轴方向上有 其中 解得 （2）解法一：粒子经过坐标原点时的速度大小 设粒子第一次在第四象限内运动至最低点时到轴的距离为，有 平行于轴方向上有 解得 解法二：粒子经过坐标原点时平行于轴方向的分速度大小 将粒子经过坐标原点时的速度分解为沿轴正方向、大小为的分速度，满足 另一分速度大小 粒子在第四象限内的运动可视为沿轴方向、速度为的匀速直线运动和速率为的匀速圆周运动的合运动，粒子运动至最低点时的速度大小 解得， （3）设粒子经过坐标原点时速度方向与轴正方向的夹角为，则有 粒子第二次经过轴时速度大小仍为，平行于轴方向的分速度大小仍为，平行于轴方向的分速度大小为，方向沿轴正方向，粒子第二、三次穿过轴的过程中运动至离轴最远时，平行于轴方向的分速度大小变为0，平行于轴方向的分速度大小变为，平行于轴方向上有 其中 利用如图所示的图像可知 解得 平行于轴方向上有 其中 其中为对应轨迹与轴所围的面积，利用对称性可知，粒子第二、三次穿过轴的过程中运动轨迹与轴所围的面积 解得 27．（2026·山西太原·一模）如图所示，以点为圆心、半径为的圆形区域内存在竖直向下的匀强电场；水平直线边界上方、圆形电场以外的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为。为圆与边界的切点，为圆的最高点，、为圆上与圆心等高的两点。从点右侧某区域垂直于发射不同速率的离子，所有离子均可沿水平方向射入电场区域，离子的比荷为，不计离子重力及离子间的相互作用力，求： (1)离子的电性； (2)若从点射入电场的离子恰好可从点射出电场，则匀强电场的电场强度的大小为多少； (3)若将水平直线上方的磁场方向变为垂直纸面向里，并调整上方磁场磁感应强度的大小，同时调整电场强度的大小，使得从距点右侧处发射的离子可依次经过点与点，则离子在上方区域运动的总时间为多少。 【答案】(1)离子带负电 (2) (3) 【详解】（1）由题意，所有离子在磁场中均向左偏转，进入磁场时所受洛伦兹力向左，由左手定则可知离子带负电； （2）离子从边界进入磁场到点做匀速圆周运动，根据几何条件，离子在磁场中的轨迹半径为 由洛伦兹力提供向心力： 离子从点到点做类平抛运动： 平行电场方向： 垂直电场方向： 联立解得：， 最终解得电场强度： （3）离子从距点右侧处射入磁场，做匀速圆周运动，半径为， 根据几何关系可知， 由三角函数关系得 解得 离子做匀速圆周运动周期为，运动时间为，洛伦兹力提供向心力，有 解得 周期 运动时间 离子从点进入电场到点做类平抛运动，运动时间为，与的夹角 垂直电场方向： 沿电场方向： 由动能定理 从点离开电场的速度大小为，方向与夹角为，速度满足 解得，， 离子从点离开电场进入直线上方磁场做匀速圆周运动，运动半径为，周期为，运动时间为，根据几何条件得 周期 时间 解得 离子从点返回电场到点做类斜抛运动，运动时间为，从点垂直电场离开，据运动的对称性 离子第二次离开电场，从点到边界做匀速圆周运动，用时，据运动的对称性 总时间 解得 28．（2026·河南·模拟预测）如图所示，竖直面内半径分别为、的圆相切于点，两圆心、的连线沿水平方向，、分别是大、小圆上的点，、的连线竖直，、的连线与水平方向的夹角为，两圆内存在垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），点的右上方存在水平向左的匀强电场，电场中的一点与点连线水平。一质量为、带电量为的粒子（不计重力）从点以竖直向下的速度射入磁场，经过点从点离开磁场进入电场，当运动到时速度方向恰好竖直向上。 (1)求大、小圆内磁感应强度大小的差值； (2)求粒子从点运动到点的运动时间以及匀强电场的电场强度大小； (3)求粒子从点运动到点的平均加速度的大小以及平均速度的大小。 【答案】(1) (2)； (3)； 【详解】（1）粒子在点的速度指向圆心，则在点速度的反向延长线也指向圆心，同理在点速度指向圆心，在点速度的反向延长线也指向圆心，过、、点分别做圆弧轨迹的垂线确定圆弧轨迹的圆心和半径，设两圆弧轨迹的半径分别为、， 由几何关系可得 由洛伦兹力充当向心力可得， 综合解得， 则有 （2）粒子在点的速度与水平方向成夹角，把点的速度分别沿水平方向和竖直方向正交分解，则有， 点与、连线的距离为 点与点连线水平，则点与、连线的距离为，则点与点的高度差为 粒子从点到点做类斜抛运动，由逆向思维可得从点到点做类平抛运动，竖直方向以做匀速运动，则运动时间 水平方向做匀变速运动则有 综合解得 （3）粒子从点到点的运动时间为 从点到点的运动时间为 规定竖直向上为正方向，粒子从点到点的平均加速度的大小为 、两点沿水平方向的距离为 、两点沿水平方向的距离为 规定水平向右为正方向，粒子从点到点的平均速度的大小为 联立解得， 29．（2026·河北保定·一模）如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小，同时存在着水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小。有一带正电的小球，质量，电荷量，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动。当小球运动至P点时撤去磁场，不考虑磁场消失时引起的电磁感应现象，取，求： (1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向； (2)小球从P点到再次穿过P点所在的这条电场线时所用的时间； (3)设P点的重力势能为0，求小球再次经过P点所在的电场线时的机械能。 【答案】(1)，与水平方向成60°角斜向右上方 (2) (3) 【详解】（1）对小球进行受力分析，设其匀速运动时速度大小为v，根据平衡条件可得 解得 设速度与水平方向成，则有 解得 可知速度与水平方向成60°角斜向右上方。 （2）沿水平竖直方向建立直角坐标系，小球水平方向分速度为 竖直方向分速度为 撤去磁场后，小球竖直方向做竖直上抛运动，根据对称性可知小球从P点到再次穿过P点所在的这条电场线时所用的时间 解得 （3）撤去磁场后，水平方向根据牛顿第二定律可得 解得水平方向的加速度大小为 小球从P点到再次穿过P点所在的这条电场线过程中，水平方向通过的位移大小为 解得 小球从P点到再次穿过P点所在的这条电场线过程中，重力做功为0，根据动能定理可得 以P点的重力势能为0，则小球再次经过P点所在的电场线时的机械能为 联立解得 30．（2026·江苏·模拟预测）质谱仪是分析研究同位素的重要仪器。如图所示，速度选择器中匀强磁场的磁感应强度大小为B1、方向垂直纸面向里，匀强电场的电场强度大小为E、方向竖直向下，极板间距离足够大，极板长度为L，速度选择器右端开口，右侧分布足够大范围的匀强磁场，磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向里。带电粒子甲以一定的初速度从O点沿轴线射入速度选择器做直线运动，再由点进入右侧磁场做圆周运动，最后打到照相底片的P点；带电粒子乙由O点飘入（初速度为零）速度选择器，水平向右进入右侧磁场做圆周运动，最后打到照相底片的Q点（图中未画出）。已知甲、乙两种粒子的质量均为m，带电荷量均为+q，不计粒子的重力。 (1)求、P之间的距离x1； (2)求、Q之间的距离x2； (3)若极板长度，粒子乙最后打到照相底片的S点，求、S之间的距离x3。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子甲在速度选择器中，根据平衡条件可得 解得 在右侧磁场中，根据牛顿第二定律可得 解得 、P之间的距离为 （2）带电粒子乙在速度选择器中，将粒子乙的速度分解为水平向左的和水平向右的，其中水平向右分速度产生的洛伦兹力与电场力平衡，即 解得 带电粒子乙在水平向左的分速度作用下做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可得 解得 由题意可知，粒子乙在速度选择器中运动个周期进入右侧磁场，此时速度大小为 根据牛顿第二定律可得 解得 、Q之间的距离为 （3）带电粒子乙在水平向左的分速度作用下做匀速圆周运动的周期为 一个周期内，粒子乙向右运动的距离为 极板长度为 即此时粒子乙做了个圆周运动，在水平方向上 竖直方向上 此时速度为 设此时速度与水平方向的夹角为，则 在右侧磁场中，根据牛顿第二定律可得 解得 在右侧磁场中运动的弦长为 所以、S之间的距离为 考向5 带电粒子的螺旋运动 31．（2026·江苏·模拟预测）离子推进技术在太空探索中已有广泛的应用，其装置可简化为如图（a）所示的内、外半径分别为R1和R2的圆筒，图（b）为其侧视图。以圆筒左侧圆心O为坐标原点，沿圆筒轴线向右为x轴正方向建立坐标。在和处，垂直于x轴放置栅极，在两圆筒间形成方向沿x轴正向、大小为E的匀强电场，同时通过电磁铁在两圆筒间加上沿x轴正方向、大小为B的匀强磁场。待电离的氙原子从左侧栅极飘进两圆筒间（其初速度可视为零）。在内圆筒表面分布着沿径向以一定初速度运动的电子源。氙原子被电子碰撞，可电离为一价正离子，刚被电离的氙离子的速度可视为零，经电场加速后从栅极射出，推进器获得反冲力。已知单位时间内刚被电离成氙离子的线密度（沿x轴方向单位长度的离子数），其中k为常量，氙离子质量为M，电子质量为m，电子元电荷量为e，不计离子间、电子间相互作用。 (1)在x处的一个氙原子被电离，经电场加速后从右侧栅极射出，求其射出时的动能； (2)若电子既没有与氙原子碰撞，也没有碰到外筒壁，求电子沿径向圆周运动一个周期内x轴方向上的速度变化量； (3)若在的微小区间内被电离的氙离子从右侧栅极射出时所产生的推力为，求的关系式。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据能量守恒可知从右侧栅极射出时的动能 （2）粒子在筒内垂直于x轴方向匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，有 粒子运动的周期为 解得 x轴方向上匀加速运动，根据牛顿第二定律可得加速度为 一个周期内的速度变化量 解得 （3）单位时间内刚被电离成的氙离子 微小区间内被电离的氙离子从右侧栅极射出时所产生的推力 即 解得 32．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在坐标系中平面的左侧有电场强度大小为、沿轴负方向的匀强电场，右侧有沿轴正方向的匀强磁场和与轴平行的匀强电场（未画出）。现有一带电粒子从点沿轴正方向以初速度射出，随后粒子经坐标原点进入平面的右侧。粒子在平面的右侧运动的过程中距离平面的最大距离为，且第6次经过轴时（坐标原点处记为第0次）的坐标恰好为（6d，0，0），粒子所受重力不计。求： (1)带电粒子比荷的大小； (2)磁场磁感应强度的大小； (3)平面右侧电场强度的大小和方向。 【答案】(1) (2) (3)，沿轴负方向 【详解】（1）带电粒子在匀强电场的作用下，由运动至坐标原点，做类平抛运动，所以有沿轴方向，有 沿轴负方向，有 且粒子的加速度为 联立解得粒子的比荷为 （2）粒子到达坐标原点时，沿轴负方向的速度大小为 在洛伦兹力的作用下，粒子沿垂直于轴方向的分运动为匀速圆周运动，有 解得 分析可知粒子距离平面的最大距离即圆周运动的半径 联立各式即可解得磁场的磁感应强度 （3）粒子沿垂直于轴分运动的周期为 故粒子从坐标原点出发到第6次经过轴所经历的时间为 粒子在匀强电场的作用下，沿轴方向做匀变速直线运动 易知，粒子一定做减速运动，故匀强电场一定沿轴负方向，有 联立可得 33．（2026·四川广安·模拟预测）如图所示，在坐标系中，虚线与轴平行，距离为，在虚线与轴之间的第二象限内，有沿轴正方向的匀强电场，场强大小（未知）；在虚线与轴之间的第一象限内，有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知），在轴下方的足够大区域内，存在沿轴负方向的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，场强大小，磁感应强度大小。现有一电量为、质量为的粒子在点，坐标为，以的初速度向轴正方向射出，粒子第一次经过轴时的速度大小为，不计粒子重力。求： (1)场强大小； (2)要使粒子能够经过轴，需满足的条件； (3)如果，粒子第二次经过轴的位置坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中，根据动能定理有 解得 （2）粒子第一次经过轴时，对速度进行分解，设速度与轴夹角为，则有 可得 在方向上，有 在方向上，有 联立解得 粒子在磁场中，根据牛顿第二定律有 解得 要使粒子能经过轴，临界状态轨迹如图所示 当轨迹圆恰好和轴相切时，有 得 联立解得 当轨迹圆恰好和虚线相切时，有 得 联立解得 故需满足的条件为： （3）当时，由 解得 轨迹如图所示，第一次经过轴的位置坐标为 粒子在轴下方的复合场中运动时，由配速法可得 解得，故粒子有沿轴负方向匀速的分运动， 由矢量三角形，如图所示，可知，故粒子还有匀速圆周运动的分运动。 由 解得 从粒子第一次经过轴到第二次经过轴，历时，匀速圆周运动的分运动，如图所示 由几何关系可得 粒子向轴负方向侧移 对沿轴负方向匀速的分运动，粒子向轴负方向侧移 故第二次经过轴， 粒子第二次经过轴的位置坐标为 34．（25-26高三下·河北雄安·开学考试）如图所示，在坐标系中，第二象限存在粒子加速装置和速度选择器，速度选择器中存在电场强度大小为、方向竖直向下的匀强电场和磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，第一象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，第一象限还存在一挡板，长度为，两端分别在轴上的点和轴上的点，，中点处有一小孔。第一象限的挡板和坐标轴所围区域外还存在沿轴负向的匀强电场，电场强度大小为。将粒子从S点由静止释放，粒子经电压为的加速器加速后，沿轴正方向通过速度选择器进入第一象限。粒子在第一象限磁场中运动时，若与挡板发生碰撞则被吸收（挡板接地，净电荷始终保持为零）；仅通过小孔的粒子，可进入挡板右侧区域。已知粒子质量为、电荷量为，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，不计重力及粒子间的相互作用。 (1)求加速器电压，并计算粒子进入第一象限磁场时做圆周运动的轨迹半径； (2)调整加速电压和速度选择器中的磁感应强度大小，使通过速度选择器的粒子恰好垂直挡板射入小孔，求此时速度选择器中的磁感应强度大小； (3)在（2）问基础上，如果，求粒子在第一象限运动过程中与轴的最大距离。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）粒子沿直线通过速度选择器，电场力与洛伦兹力平衡，有 解得 在加速器中，粒子从静止加速，有 联立解得 粒子进入第一象限磁场后，洛伦兹力提供向心力，有 解得 （2）挡板长度为，，小孔为中点，粒子恰好垂直挡板射入小孔时，轨迹圆心为点，轨迹半径 粒子在第一象限磁场中，由洛伦兹力提供向心力，有 解得 又因为 联立解得 （3）粒子进入电场时速度，方向垂直于挡板，把速度分解到轴，有 轴方向，有 其中方向分速度，对应粒子受到竖直向上的洛伦兹力 粒子受到的电场力 因此粒子运动可分解为沿轴方向的匀速运动和半径 圆心在点右侧的圆周运动，所以运动过程中粒子距离轴的最大距离 35．（2026·河北沧州·一模）如图所示，在坐标系所在空间内存在着方向垂直坐标平面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，在的区域内存在着沿轴负方向、场强大小为的匀强电场，在的区域内存在着沿轴负方向、场强大小为的匀强电场。一个质量为带电荷量为的粒子从轴上的点以一定的初速度沿轴正方向射出后，在负半轴恰能做匀速直线运动，不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子在负半轴上运动的速度大小为 B．粒子在区域内运动的最小速率为 C．粒子在区域内运动时，距轴的最大距离为 D．粒子经过正半轴的所有位置中，相邻两个位置之间的距离为 【答案】ACD 【详解】A．粒子在负半轴上做匀速直线运动，有 解得，故A正确； B．粒子在区域内运动时，受到的洛伦兹力与电场力不平衡，将粒子的速度分解为沿轴正方向的和，令 解得 则 将粒子的运动分解为以沿轴正方向做匀速直线运动，同时以做逆时针的圆周运动，粒子运动到最高点时，和的速度方向相反，合速度最小为，故B错误； C．以做逆时针的圆周运动，洛伦兹力提供向心力，粒子做圆周运动的半径 粒子在区域内运动时，距轴的最大距离为，故C正确； D．粒子做圆周运动的周期，经过一个周期，粒子再次回到轴，该过程中以匀速运动的距离 故粒子经过正半轴的所有位置中，相邻两个位置之间的距离，故D正确。 故选ACD。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $