专题08 动量-2026高考物理三轮题型解法技巧

专题08 动量 核心考点 考向1 动量定理 15 考向2 动量守恒定律 20 考向3 “滑块—斜(曲)面”模型 25 考向4 “滑块—弹簧”模型 31 考向5 子弹打木块模型 36 考向6 “滑块—木板”模型 40 核心知识 一、冲量的计算方法 公式法 I＝FΔt，此方法仅适用于求恒力的冲量，不需要考虑物体的运动状态 图像法 F-t图像与t轴围成的面积表示冲量，此法既可以计算恒力的冲量，也可以计算变力的冲量 平均值法 若变力的方向不变、大小随时间均匀变化，即力为时间的一次函数，则力F在某段时间t内的冲量I＝t 动量定理法 根据物体动量的变化量，由I＝Δp求冲量，多用于求变力的冲量 二、动量定理的理解及应用 1.内容：物体在一个过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的动量变化量。 2.公式：F(t'-t)＝mv'-mv或I＝p'-p。 3.对动量定理的理解： (1)公式中的F是研究对象所受的所有外力的合力。它可以是恒力，也可以是变力。当合外力为变力时，F是合外力作用时间的平均值。 (2)Ft＝p'-p是矢量式，两边不仅大小相等，而且方向相同。 (3)动量定理中的冲量可以是合外力的冲量，可以是各个力冲量的矢量和，也可以是外力在不同阶段冲量的矢量和。 (4)Ft＝p'-p还说明了两边的因果关系，即合外力的冲量是动量变化的原因。 (5)由Ft＝p'-p得F＝，即物体所受的合外力等于物体动量的变化率。 (6)当物体运动包含多个不同过程时，可分段应用动量定理求解，也可以全过程应用动量定理求解。 4．应用动量定理处理“流体类”问题 研究对象 流体类：液体流、气体流等，通常已知密度ρ 微粒类：电子流、光子流、尘埃等，通常给出单位体积内粒子数n 分析步骤 ①构建“柱状”模型：沿流速v的方向选取一小段柱体，其横截面积为S ②微元 研究 小段柱体的体积ΔV＝vSΔt 小段柱体质量m＝ρΔV＝ρvSΔt 小段柱体粒子数N＝nvSΔt 小段柱体动量p＝mv＝ρv2SΔt ③列出方程，应用动量定理FΔt＝Δp研究 三、动能定理在多过程问题中的应用 1.应用动能定理解决多过程问题的两种思路 (1)分阶段应用动能定理 ①若题目需要求某一中间物理量，应分阶段应用动能定理。 ②物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功情况也不同，不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理，各个击破。 (2)全过程(多个过程)应用动能定理 当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个运动过程看作一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，大大减少运算。 2.全过程列式时要注意 (1)重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关。 (2)大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积。 四、爆炸问题、反冲运动、人船模型 1.爆炸现象的三个规律 动量守恒 爆炸物体系统内部的相互作用力远远大于受到的外力，所以在爆炸过程中，系统的总动量守恒 机械能增加 在爆炸过程中，有其他形式的能量(如化学能)转化为机械能，所以系统的机械能增加 位置不变 爆炸的时间极短，因而作用过程中物体产生的位移很小，可以认为爆炸后各部分从爆炸前的位置以新的动量开始运动 2.反冲运动的三点说明 作用原理 反冲运动是系统内两物体之间的作用力和反作用力产生的效果 动量守恒 反冲运动中系统不受外力或内力远大于外力，所以反冲运动遵循动量守恒定律 机械能增加 反冲运动中，由于有其他形式的能转化为机械能，所以系统的机械能增加 五、碰撞模型及拓展 1.动量守恒：p1＋p2＝p1'＋p2'。 2.动能不增加：Ek1＋Ek2≥Ek1'＋Ek2'。 3.速度要符合实际情况 (1)碰前两物体同向运动，若要发生碰撞，则应有v后>v前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v前'≥v后'。 (2)碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向至少有一个改变。 4.碰撞模型拓展 “滑块—斜(曲)面”模型 “滑块—弹簧”模型 情 景 示 例 情 景 示 例 模 型 特 点 (1)上升到最大高度：滑块m与斜(曲)面M具有共同水平速度v共，此时滑块m的竖直速度vy＝0。系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，m(M＋m)＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块m的重力势能)。 (2)返回最低点：滑块m与斜(曲)面M分离点。系统水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mmM(相当于弹性碰撞)。 模 型 特 点 (1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒。 (2)机械能守恒：系统所受的外力的矢量和为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。 (3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)。 (4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)。 六、弹打木块模型和“滑块—木板”模型 子弹打木块模型 1.模型图示 2.模型特点 (1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒。 (2)系统的机械能有损失。 3.两种情景 (1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞) 动量守恒：mv0＝(M＋m)v 能量守恒：Q＝Ff·s＝m-(M＋m)v2 (2)子弹穿透木块 动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2 能量守恒：Q＝Ff·d＝m-(mM) “滑块—木板”模型 1.模型图示 2.模型特点 (1)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能。 (2)若滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，相对位移最大。 3.求解方法 (1)求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统； (2)求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体； (3)求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律Q＝FfΔx或Q＝E初-E末，研究对象为一个系统。 领悟真题 1．（2025·贵州·高考真题）甲、乙两运动员在光滑水平冰面上进行滑冰训练。以速度运动的甲推一下静止在其正前方的乙，刚分开时，甲、乙的运动方向与的方向相同，且甲的速度为，则刚分开时，甲、乙的动量大小之比为（　　） A．3：1 B．2：1 C．1：2 D．1：3 【答案】C 【详解】根据，设甲的初始动量为，则刚分开时，甲的末动量为，甲的动量变化量大小为 根据动量守恒定律，甲、乙系统总动量守恒，乙与甲动量变化大小相等，乙的初动量为零，则刚分开时，乙的动量大小为，所以甲、乙的动量大小之比为1：2。 故选C。 2．（2025·江西·高考真题）如图所示，在竖直平面内一轻质弹力绳的一端固定于P点，另一端经光滑孔钉Q连接质量为m的小球A，该球穿过与水平直杆（足够长）成角的直杆，两杆平滑连接。点P、Q和O在同一竖直线上，间距为弹力绳原长。将小球A拉至与Q等高的位置由静止释放。当小球A首次运动到斜杆底端O点后，在水平方向与穿在直杆且静止于O点、质量为的小球B发生弹性碰撞。小球A、B与杆间的动摩擦因数均为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹力绳始终在弹性限度内且满足胡克定律，劲度系数为k，其弹性势能与伸长量x的关系为。已知重力加速度为g，间距为。 (1)求小球A下滑过程中滑动摩擦力的大小； (2)若从碰撞后开始计时，小球A第一次上滑过程中离O点的距离x与时间t关系为（为常数），求小球A第一次速度为零时，小球B与O点的距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图所示 以点为坐标原点，沿倾斜直杆ON向上为x轴正方向建立坐标系。任意选取小球A下滑过程中的某一位置，设此时弹力绳的伸长量为，小球A受到的滑动摩擦力为，小球A对倾斜直杆的压力为，小球A所受弹力绳的拉力为F，弹力绳与倾斜直杆的夹角为，孔钉Q到倾斜直杆的距离为。设 对小球A进行受力分析，可知，， 由几何关系可得 联立解得 （2）设小球A下滑到斜杆底端点时的速度为，小球由静止释放运动到点的过程中，由动能定理可得 可得 由小球A、B发生弹性碰撞后瞬间的速度分别为、，由动量守恒定律和能量守恒定律有， 解得， 由，可知小球A上滑过程做简谐运动，小球A第一次速度为零时，距离达到最大值，则有 解得 小球B碰撞后开始在直杆OM上做匀减速运动，加速度为，设小球B速度减为0所经历的时间为，则 因，则小球A在碰撞后第一次速度为零时，小球B与点的距离为，则有 联立解得 3．（2025·浙江·高考真题）高空抛物伤人事件时有发生，成年人头部受到的冲击力，就会有生命危险。设有一质量为的鸡蛋从高楼坠落，以鸡蛋上、下沿接触地面的时间差作为其撞击地面的时间，上、下沿距离为，要产生的冲击力，估算鸡蛋坠落的楼层为（　　） A．5层 B．8层 C．17层 D．27层 【答案】C 【详解】鸡蛋触地后匀减速至静止，位移s=5cm=0.05m。匀减速平均速度为，故撞击时间 根据动量定理 代入数据解得 由自由落体公式 得高度 每层楼高约3m，对应楼层数为层。 故选C。 4．（2025·全国卷·高考真题）如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，Q从静止开始向右滑动。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 (1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功； (2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离； (3)欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？ (4)欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？ 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【详解】（1）小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功为 （2）设小球与弹簧刚接触时速度的大小为v0，由机械能守恒定律可知，其中 同时有 联立解得， （3）弹簧达到最大弹性势能时，小球与Q共速，设Q的质量为M，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有，，其中 联立解得 （4）对Q和小球整体根据机械能守恒可知要使Q的最终动能最大，需满足小球的速度刚好为零时，此时弹簧刚好恢复原长；设此时Q的质量为M′，Q的最大速度为vm，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得 5．（2025·重庆·高考真题）如图所示，长度为d的水平传送带M顺时针匀速运动。质量为m的小物块A在传送带左端M由静止释放。A还未与传送带达到相同速度时就从右端N平滑地进入光滑水平面NO，与向右运动的小物块B发生碰撞（碰撞时间极短）。碰后A、B均向右运动，从O点进入粗糙水平地面。设A与传送带间的动摩擦因数和A、B与地面间的动摩擦因数均为，重力加速度为g。 (1)求A在传送带上的加速度大小及离开传送带时的速度大小； (2)若碰前瞬间，B的速度大小为A的一半，碰撞为弹性碰撞，且碰后A、B在粗糙地面上停下后相距d，求B的质量； (3)若B的质量是A的n倍，碰后瞬间A和B的动量相同，求n的取值范围及碰后瞬间B的速度大小范围。 【答案】(1)， (2) (3)， 【详解】（1）A在传送带上由滑动摩擦力提供加速度，即 可得 由于A还没与传送带达到相同速度时就离开传送带，所以物体在传送带上做匀加速直线运动，由 解得 （2）设B的质量为M，则由题意由碰前，，两物体发生弹性碰撞则动量和能量守恒有， 又因为在弹性碰撞中，碰前相对速度与碰后相对速度大小相等，方向相反，即 联立解得， 因为OP 段粗糙，由动能定理有 得，即， 根据题意有，且由（1）有 联立各式解得 （3）设碰前小物块B向右运动的速度为,A、B发生碰撞，则 A、B碰撞过程动量守恒有 又因为碰后瞬间A和B的动量相同，则 则， 根据碰撞的约束条件，要两物块不发生二次碰撞则有，即 碰后动能不增，即，可得 所以n的取值范围为 分别将和代入，分别可得， 所以对应的B 的速度范围为，代入 可得 6．（2025·甘肃·高考真题）如图1所示，细杆两端固定，质量为m的物块穿在细杆上。初始时刻。物块刚好能静止在细杆上。现以水平向左的力F作用在物块上，F随时间t的变化如图2所示。开始滑动瞬间的滑动摩擦力等于最大静摩擦力。细杆足够长，重力加速度为g，θ=30°。 求： (1)t=6s时F的大小，以及t在0~6s内F的冲量大小。 (2)t在0~6s内，摩擦力f随时间t变化的关系式，并作出相应的f−t图像。 (3)t=6s时，物块的速度大小。 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【详解】（1）由图2可知F随时间线性变化，根据数学知识可知 所以当t=6s时， 0~6s内F的冲量为F−t图围成的面积，即 （2）由于初始时刻。物块刚好能静止在细杆上，则有 即 在垂直杆方向，当时， 则0−4s，垂直杆方向 摩擦力 在4−6s内，垂直杆方向 摩擦力 相应的f−t图像如图 （3）在0~6s内沿杆方向根据动量定理有 在0~6s内摩擦力的冲量为f−t图围成的面积，则 联立有 可得 7．（2025·甘肃·高考真题）如图，小球A从距离地面处自由下落，末恰好被小球B从左侧水平击中，小球A落地时的水平位移为。两球质量相同，碰撞为完全弹性碰撞，重力加速度g取，则碰撞前小球B的速度大小v为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知，小球A和B碰撞过程中，水平方向上动量守恒，竖直方向上A球的竖直速度不变，设碰撞后A球水平速度为，B球水平速度为，则有 碰撞为完全弹性碰撞，则由能量守恒定律有 联立解得， 小球A在竖直方向上做匀加速直线运动，则有 解得 可知，碰撞后，小球A运动落地，则水平方向上有 解得 故选B。 8．（2025·湖北·高考真题）一个宽为L的双轨推拉门由两扇宽为的门板组成。门处于关闭状态，其俯视图如图（a）所示。某同学用与门板平行的水平恒定拉力作用在一门板上，一段时间后撤去拉力，该门板完全运动到另一边，且恰好不与门框发生碰撞，其俯视图如图（b）所示。门板在运动过程中受到的阻力与其重力大小之比为，重力加速度大小为g。若要门板的整个运动过程用时尽量短，则所用时间趋近于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一：门板先在向右的外力作用下做匀加速直线运动，撤去外力后做匀减速直线运动，若外力比较大，加速时间很短，位移很小，可以忽略不计，此时门板的运动时间最短，撤去外力后根据牛顿第二定律有，设撤去外力后门板最短运动时是为t，运动的距离为，可得门板的最短时间趋近于。 故选B。 方法二：设拉力为，作用时间为，撤去外力后运动的时间为，运动过程的最大速度为，则由动量定理，有 得 撤销拉力后，有 得 对于全过程，有 得 对于全过程有 故运动的总时间 可知当越大时，越小，当时，取最小值。 则 则 故选B。 9．（2025·浙江·高考真题）如图所示，光滑水平地面上放置完全相同的两长板A和B，滑块C（可视为质点）置于B的右端，三者质量均为。A以的速度向右运动，B和C一起以的速度向左运动，A和B发生碰撞后粘在一起不再分开。已知A和B的长度均为0.75m，C与A、B间动摩擦因数均为0.5，则（　　） A．碰撞瞬间C相对地面静止 B．碰撞后到三者相对静止，经历的时间为0.2s C．碰撞后到三者相对静止，摩擦产生的热量为 D．碰撞后到三者相对静止，C相对长板滑动的距离为0.6m 【答案】D 【详解】A．碰撞瞬间C相对地面向左运动，选项A错误； B．向右为正方向，则AB碰撞过程由动量守恒 解得 v1=1m/s 方向向右；当三者共速时 可知 v=0 即最终三者一起静止，可知经历的时间 选项B错误； C．碰撞到三者相对静止摩擦产生的热量 选项C错误； D．碰撞到三者相对静止由能量关系可知 可得 选项D正确。 故选D。 10．（2025·江苏·高考真题）如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置。每列有n个。在两列钢球之间，一质量为m的玻璃球以初速度向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。 (1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小； (2)若钢球质量为，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小； (3)若钢球质量为，求玻璃球经历次碰撞后的动能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，由于钢球质量也为m，根据动量守恒和机械能守恒可知,碰撞过程中，二者速度互换，则最终碰撞后最右侧钢球的速度大小等于开始碰撞前玻璃球的初速度为。 （2）根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，则由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 解得， 负号表示速度反向，则玻璃球的速度大小为 （3）根据题意结合小问2分析可知，玻璃球与右侧第一个小球碰撞后反弹，且速度大小变为碰撞前的，右侧第一个小球又与第二个小球发生弹性碰撞，速度互换，静止在光滑水平面上，玻璃球反弹后与左侧第一个小球同样发生弹性碰撞，同理可得，碰撞后玻璃球再次反弹，且速度大小为碰撞前的，综上所述，玻璃球碰撞次后速度大小为 则玻璃球碰撞次后最终动能大小 考向1 动量定理 11．（2026·河北保定·一模）如图甲所示，在弹性材料与水平面之间铺设压力传感器，可测量机器人连续空翻过程中对弹性材料的压力。某次测量得到的压力随时间的变化关系如图乙所示。若仅考虑机器人在竖直方向上的运动，不计空气阻力，。下列说法正确的是（　　） A．在6.1s至7.5s内，机器人处于超重状态 B．在9.5s至10.3s内，弹性材料对机器人的冲量大约为3500Ns C．机器人的最大加速度为 D．机器人相对于弹性材料的最大重力势能为2500J 【答案】D 【详解】A. 机器人处于超重状态时对地面的压力大于自身所受的重力500N，故A错误； B．9.5s至10.3s内，弹性材料对机器人的作用力最大值为3000N，平均值则小于3000N，作用时间小于1s，冲量必定小于3500Ns，故B错误； C．弹性材料的弹力最大时，机器人的加速度达到最大，根据牛顿第二定律有 故加速度 故C错误； D．根据图形知，机器人的腾空时间为2s，可以下降的时间约为1秒，则离地的最大高度约为 此时以弹性材料所在平面为参考平面，机器人的重力势能为 故D正确。 故选D。 12．（2026·河北保定·一模）如图所示，将质量2kg的薄木板放在水平桌面上，在木板上放质量1kg的小滑块（可视为质点），滑块距离木板左边缘0.18m，距离桌面右边缘0.27m。已知滑块与木板间动摩擦因数为0.1，木板与桌面间、滑块与桌面间的动摩擦因数相同，均为0.2。现用水平恒力拉动木板，将木板从滑块下面抽出，滑块恰好未从桌面上掉下。重力加速度g取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： (1)小滑块运动的时间； (2)若拉力始终作用在木板上，求拉力的大小； (3)若改变拉力的大小，使其作用一段时间后撤去，求拉力作用的最短时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设小滑块在木板上运动的加速度为，时间为，在桌面上运动的加速度为，时间为，根据， 其中 根据牛顿第二定律， 小滑块运动的时间为t，有 解得 （2）设小滑块在木板上运动时木板的加速度为a，根据牛顿第二定律 在时间内 其中 解得 （3）设F作用一段时间，小滑块与木板分离时速度为v，对木板根据动量定理 满足条件 撤去F后 满足条件 根据运动学公式 解得 即拉力作用的最短时间为 13．（2026·浙江绍兴·二模）如图所示，竖直平面内存在方向未知的匀强电场，一质量为，电荷量为的带电小球，由点以初速度沿水平方向抛出。小球先运动至点，速度大小为，方向竖直向下，接着运动至点，、两点在同一条竖直线上。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球所受电场力的最小值为 B．小球从点运动至点，其电势能一定增大 C．小球从点运动至点，合外力冲量为 D．小球从点运动至点，动能最小值为 【答案】BD 【详解】A．设水平向右为轴、竖直向下为轴，将运动沿、轴分解，由过程，初速度，，末速度，，设运动时间为，由匀变速直线运动速度与时间的关系，可得加速度大小分别为， 则 水平方向仅受电场力水平分量作用，由牛顿第二定律，得 竖直方向受重力和电场力竖直分量作用，由牛顿第二定律，得 整理得 由矢量合成法则，得电场力大小 设 由一元二次函数求最值，可得的最小值为，则的最小值为，不是，故A错误； B．过程初、末动能相等，有 由动能定理，得 小球的运动有竖直向下分量，重力做正功，则 因此 电场力做负功，电势能一定增大，故B正确； C．、在同一竖直线，方向总位移为0，由运动的对称性和匀变速运动规律，可知总运动时间为，因此点速度， 由动量定理，可得合外力冲量，故C错误； D．任意时刻的动能 配方得 因此最小动能，故D正确。 故选BD。 14．（2026·江苏·模拟预测）如图所示，在水平面上放有质量均为m的小球A和坡形导轨B，导轨B的水平底边长为l，现两者均以初速度v迎面而行，小球恰能越过导轨最高点并向右滑下离开B，小球滑上和滑下导轨的时间均为。不计一切摩擦，求这个过程中： (1)导轨B发生的位移大小xB； (2)B的右侧面对A的冲量大小I。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）取水平向右为正方向，整个过程中，A和B组成的系统在水平方向动量守恒 即 累加求和可得 可得 又因为 解得 （2）小球运动到最高点过程中，A和B组成的系统在水平方向动量守恒 即A和B在水平方向速度永远等大反向，小球恰能越过导轨最高点即小球在最高点时的瞬时速度为0，此后A离开B时的速度仍为，方向沿水平方向，此过程对A，根据动量定理，在水平方向 在竖直方向 则B的右侧面对A的冲量大小 解得 15．（2026·江苏·二模）如图，体育课上，甲同学在距离地面高h1=2.5m处将排球水平击出，排球击出时的动能为9.6J。乙同学在离地h2=0.7m处将排球垫起，垫起前后球的速度大小相等，方向相反。已知排球质量m=0.3kg，取重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力。求： (1)排球被垫起前瞬间的速度大小v； (2)排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小I。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设排球击出时速度大小为，则有 解得 根据动能定理有 联立解得 （2）题意可知垫起前后球的速度大小相等，方向相反，设垫起前球的速度方向为正方向，根据动量定理有 考向2 动量守恒定律 16．（2026·湖南·三模）如图所示，水平光滑的地面上静置着一套由轻杆铰接而成的装置，装置包含A、B、C三个小球（可视为质点），其质量之比为。两个完全相同的轻质细杆长度均为，将A与B、B与C分别通过无摩擦的轻质铰链相连。初始时，两根细杆并拢且竖直立在地面上，A、C两球位于水平地面上，B球位于最高点，整个装置在外力作用下保持静止。现撤去外力后，装置在重力作用下发生运动，最终B球触地停止。若运动到某一位置时，两根细杆与水平方向夹角为，重力加速度为。 (1)求B球落地前瞬间速度大小； (2)以初始时A球位置为坐标原点，竖直向上和水平向右分别为轴和轴正方向建立坐标系，求落地前B球的运动轨迹方程； (3)当时，取，，求此时A、C两球速度大小。（，） 【答案】(1) (2)或 (3)， 【详解】（1）B球下落过程中，A、B、C系统水平方向动量守恒，结合速度关联，可知落地前瞬间，A、B、C三个小球水平速度均为0， 再结合系统机械能守恒得 解得 （2）解法一：如图所示，两根细杆与水平方向夹角为时，B球坐标为，则A球坐标为，C球坐标为，设C球质量为由A、B、C系统水平方向动量守恒 三者水平位移满足 解得 已知 故B球运动轨迹方程为 或 解法二：由A、B、C系统水平方向动量守恒，且系统初始静止可得，系统质心的水平投影点（即坐标原点）不动，因此可求得B球落地前瞬间的水平位移为，据分析可知，B球的运动轨迹为椭圆，坐标原点（即A、B、C系统质心的水平投影点）为椭圆的中心，半长轴为，半短轴为，故B球运动轨迹方程为 或 （3）解法一：当时，A、B、C速度大小方向如图所示 系统水平方向动量守恒 系统机械能守恒 A、B两球速度关联 或者（相对圆周运动）， B、C两球速度关联 或者（相对圆周运动）， 解得，。 解法二：由A、B、C系统水平方向动量守恒，且系统初始静止，可得系统质心的水平投影点（即坐标原点）不动， 因此可求得A、B、C三球落地前任意时间内的水平位移之比为，即A、B、C三球在任意时刻水平速度之比为 又有 系统机械能守恒 解得， 17．（2026·黑龙江吉林·二模）哈师大附中冰上运动会增加了一项雪圈碰碰车比赛，比赛规则如下，如图为一条直线，P、Q为线上的两个点，其中Q点为直线与以为圆心，为半径的圆的交点。比赛需要三名同学、两个雪圈。甲同学和乙同学分别坐在各自的雪圈上，分别可视为质点A和B，最初A静止于Q，B静止于O处。比赛开始时，丙同学用水平拉力拽B沿着运动到P处放手，一段时间后B与A发生碰撞，碰后A离圆心距离越近成绩越好。若某次比赛B以速度3m/s与A发生碰撞（碰撞时间极短），碰后A能恰好停在圆心处。每个雪圈及其上同学总质量M均为60kg，雪圈与冰面动摩擦因数，，，取，不计空气阻力。求此次比赛中 (1)丙同学对B做的功 (2)A、B都停下后A、B间的距离 【答案】(1)420J (2)15m 【详解】（1）对雪圈B及其上运动员从O到Q，由动能定理得 其中 解得             （2）碰撞瞬间动量守恒     由运动学公式，对A有             由牛顿第二定律可得             解得，则         则B滑行的距离             A、B都停下后A、B间的距离 18．（2026·北京石景山·一模）砂摆是用来测量子弹速度的一种装置。将一个砂箱用轻绳竖直悬挂起来，一颗子弹水平射入砂箱（未射穿），使砂箱摆动。从子弹开始射入砂箱到砂箱摆动到最大摆角处，子弹和砂箱（　　） A．机械能守恒，动量守恒 B．机械能不守恒，动量守恒 C．机械能守恒，动量不守恒 D．机械能不守恒，动量不守恒 【答案】D 【详解】子弹射入砂箱是完全非弹性碰撞，子弹和砂箱间的摩擦会将部分机械能转化为内能，机械能有损失，因此整个过程机械能一定不守恒。动量守恒的条件是系统合外力为零。从子弹开始射入砂箱到砂箱摆动到最大摆角处，系统速度不断减小，动量持续减小。这是因为系统受到重力和绳子拉力的合力作用，合外力的冲量不为零，因此整个过程动量不守恒。综上，子弹和砂箱机械能不守恒，动量也不守恒 故选D。 19．（2026·北京丰台·一模）两小车M、N在光滑水平面上正碰，其速度随时间变化的 v-t 图像如图所示，碰撞时间极短。下列说法正确的是（　　） A．碰撞过程中小车M受到的冲量较大 B．碰撞后小车M的动量小于小车N的动量 C．碰撞后小车M与小车N的动能可能相同 D．小车M的质量大于小车N的质量 【答案】B 【详解】A．碰撞过程中，M、N的相互作用力是一对作用力与反作用力，大小相等、作用时间相同，根据冲量定义，两小车受到的冲量大小相等、方向相反，A错误； D．设碰撞前小车 M 的速度为，小车 N 的速度为 ；碰撞后 M 的速度为，N 的速度为 根据动量守恒定律 整理得 从图像上直观观察，碰撞前后速度变化量满足 可得​， D 错误； B．碰撞后动量，​ 由图可知，，根据前一选项的解析 可得，B正确； C．动能，又， 所以小车M的动能小于小车N的动能，C错误。 故选B 。 20．（2026·辽宁·模拟预测）如图所示，质量均为的木块A和B，并排放在光滑水平面上，A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的点系一长为的细线，细线另一端系一质量为的小球C。现将小球C拉起使细线水平伸直，由静止释放小球C，小球C始终都与A、B在同一竖直平面内运动，小球C运动过程中不会与竖直杆碰撞。已知重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．小球C由图示位置下摆的过程中，A、B、C组成的系统动量守恒 B．小球C由图示位置下摆到最低点时的水平位移为 C．A、B两木块分离时，B的速度为 D．A、B分离后，A、C的速率始终与二者的质量成反比 【答案】B 【详解】A．小球摆动过程，A、B、C系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒，但竖直方向受力不平衡，动量不守恒，故A错误； B．小球由静止释放到最低点的过程中，系统水平方向动量守恒，设C对地向左水平位移大小为对地水平位移大小为，则有 又由几何关系有 解得，故B正确； C．由题意可知，小球C摆至最低点时，A、B两木块分离，设此时C球的速度大小为的速度大小为，对A、B、C系统，水平方向动量守恒有 由系统能量守恒有 解得，故C错误； D．A、B两木块分离后，A、C的初始总动量向左，故二者的速率不与质量成反比，故D错误。 故选B。 考向3 “滑块—斜(曲)面”模型 21．（2026·河北保定·一模）如图所示，质量为2kg的小车A置于光滑水平地面上，其右侧是一半径为1m的光滑圆弧轨道，圆弧轨道对应圆心角为60°，小车水平部分粗糙。质量为0.99kg的滑块B静止于小车的左端，现被水平飞来的质量为0.01kg、速度为700m/s的子弹C击中，子弹立即停留在滑块B中，之后B在小车上滑动，与粗糙部分动摩擦因数为0.5，且从圆弧轨道的最高点离开小车，B上升的最高点距小车顶端的高度为0.15m。滑块B可视为质点，不计空气阻力，g取，则下列说法正确的是（　　） A．子弹C刚停留在滑块B中时，滑块B的速度大小为7m/s B．滑块B离开小车瞬间的速度大小为 C．小车粗糙水平面的长度为1.9m D．滑块B离开小车后再下落到与小车顶端等高时，距离顶端 【答案】ACD 【详解】A．设小车A、滑块B、子弹C的质量分别为m1、m2、m3，子弹击中滑块B的过程，子弹与滑块B组成的系统动量守恒，则 解得=7m/s，故A正确； B．从圆弧轨道的最高点离开小车，滑块B上升的最高点距小车顶端的高度为0.15m，则滑块B离开小车时竖直方向的分速度 滑块B离开小车瞬间，以小车为参照物，滑块B相对于小车沿水平方向的分速度 从滑块B开始滑动到离开小车，以水平向右的方向为正方向，系统水平方向动量守恒，得 其中 解得， 所以滑块B离开小车瞬间的速度大小，故B错误； C．滑块B开始滑动到离开小车瞬间，由能量守恒定律得 解得小车粗糙水平面的长度，故C正确； D．滑块B离开小车后，以小车为参照物，滑块B做竖直上抛运动，则再次返回小车所需要的时间为 则滑块B离开小车后再下落到与小车顶端等高时，距离顶端，故D正确。 故选ACD。 22．（2026·江苏·模拟预测）如图所示，静止在光滑的水平面上的小车质量为M=2kg，小车的左边是半径为R=0.8m的四分之一光滑圆弧轨道AB，右边是半径为r=0.4m的半圆形光滑轨道CDE，D点与半圆形轨道的圆心等高，两光滑轨道末端与小车水平粗糙面平滑相连，中间水平轨道BC长度为L=4m，质量为m=1kg、可视为质点的滑块从轨道A点正上方h=1.6m处由静止释放，恰好沿切线落入四分之一圆弧轨道，滑块与水平轨道之间的动摩擦因数为。重力加速度g取，求： (1)滑块经过B点时的速度大小； (2)滑块经过D点时对半圆形轨道的压力大小； (3)滑块从E点飞出后落到小车上的位置。 【答案】(1) (2) (3)在C点左侧到C点的距离为 【详解】（1）设滑块经过B点时的速度大小为，此时小车的速度大小为，根据滑块和小车组成的系统在水平方向动量守恒 根据滑块和小车组成的系统机械能守恒可得 解得， （2）滑块经过D点时，滑块和小车在水平方向的速度相同，设为，滑块在竖直方向的速度大小为，根据滑块和小车组成的系统在水平方向动量守恒 可得 滑块到达D点的过程中，根据能量守恒可得 根据牛顿第二定律可得 解得半圆形轨道对滑块的支持力大小为 根据牛顿第三定律可得，滑块经过D点时对半圆形轨道的压力大小为 （3）设滑块从E点飞出时，滑块的速度大小为，此时小车的速度大小为，根据滑块和小车组成的系统在水平方向动量守恒 滑块从D点到E点的过程中，系统机械能守恒 解得， 滑块飞行过程中，在竖直方向 解得 在水平方向，滑块从E点飞出后落到小车上位置在C点左侧到C点的距离为 23．（2026·浙江衢州·二模）某校物理课外兴趣小组为了研究物块的运动，设计了如下图1所示的装置。半径的圆弧轨道固定在水平面上，一长为、质量为的平板小车停在轨道的最左端紧靠，小车上表面与点等高，将一可视为质点、质量的滑块从距点高度为处静止释放，滑上小车后带动小车向右运动。已知水平轨道间距足够长，滑块与小车的动摩擦因数，其余接触面均光滑，取。 (1)若高度，求滑块运动到圆弧底端点时的向心加速度； (2)要使滑块不会从小车上掉下，求最大的高度； (3)撤去小车，将另一质量也为、半径的光滑半圆弧轨道（如图2）紧靠放置，点等高，半圆弧轨道不固定，求将滑块从处静止释放运动到最高点点时相对半圆弧轨道的速度大小。 【答案】(1)，方向竖直向上指向圆心 (2) (3) 【详解】（1）机械能守恒：，得： 滑块做圆周运动，在点向心加速度，方向竖直向上指向圆心 （2）下滑阶段，根据机械能守恒定律有 滑块恰好运动到小车右端时与小车共速，根据动量守恒定律可得 系统损失的动能转化为摩擦生热 联立解得 （3）滑块从处释放，有机械能守恒 可得到达B点的速度 滑块滑上半圆弧轨道后，系统水平方向动量守恒，机械能守恒。设滑块到达最高点 D 后与轨道分离时，滑块速度为，轨道速度为 有， 解得； （另一组解与实际不符，舍去） 所以滑块在最高点相对半圆弧轨道的速度大小 24．（2026·江西宜春·一模）如图，一质量为的滑块静置在水平面上，滑块的曲面是半径为的四分之一圆弧，圆弧最低点切线沿水平方向。一质量为小球以水平向右的初速度从圆弧最低点冲上滑块开始计时，假设经过小球从圆弧最高点冲出滑块，不计一切摩擦，重力加速度为g取。则小球从最低点冲上滑块到刚落回滑块的过程中，滑块的位移是（　　） A．1.63 m B．1.73 m C．1.83 m D．1.93 m 【答案】B 【详解】根据小球和小滑块水平方向动量守恒可得 可得在t时间内求和可得 可得 且 可得。 当小球运动到最高点时可得， 得， ，则 最终小滑块的位移是 故选B。 25．（2026·河北邢台·二模）如图所示，水平传送带的长度为，传送带沿顺时针转动且速度，右侧水平面上有一个固定的物体P，P右侧静置着一个质量的光滑物体Q，P、Q紧密接触但不粘连，段为半径的光滑圆弧，处是圆弧最低点，段圆弧所对圆心角。一个质量为的小物块以水平向右的初速度从端滑上传送带，物块与传送带间的动摩擦因数，物体从点离开传送带做平抛运动并恰好从点无碰撞进入圆弧。小滑块可看作质点，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小物块在传送带上滑行的时间； (2)小物块经过点时受到圆弧的支持力大小（结果保留一位小数）； (3)物体Q能获得的最大速率。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小物块相对传送带上运动时，由牛顿第二定律得 解得 由运动学公式得 解得 故小物块在传送带上先减速再匀速，由 解得 匀速阶段有 解得 所以小物块在传送带上滑行的时间为 （2）小物块做平抛运动到达点时，有 解得 从点到点过程，根据动能定理得 解得 在点，由牛顿第二定律得 解得 （3）当小物块滑离物体Q时，物体Q获得的速度最大，根据动量守恒和机械能守恒可得， 解得Q的最大速度 考向4 “滑块—弹簧”模型 26．（2026·陕西榆林·二模）如图甲所示，质量均为的物块与物块之间拴接一轻质弹簧，静止在光滑的水平地面上，物块与竖直墙面接触，初始时弹簧处于压缩状态并被锁定，弹簧的弹性势能大小为，时刻解除锁定，规定向右为正方向，图乙是物块在时间内运动的图像。下列说法正确的是（   ） A．时间内，物块、以及弹簧组成的系统机械能、动量都守恒 B．时间内，合外力对物体做功为 C．时间内，墙对的冲量大小为 D．时间内，图线与轴所围的面积大小为 【答案】CD 【详解】A．时间内，墙对有外力作用，系统动量不守恒，只有机械能守恒，因此全过程动量不守恒，故A错误； B．内，弹性势能全部转化为的动能，得 时刻速度 时刻、共速，由动量守恒 得 在的动能 根据动能定理，合外力对做功等于动能变化，大小为，故B错误； C．对系统，内，墙对的冲量等于系统总动量的变化 代入得，故C正确； D．图像中，图线与轴围成的面积表示速度变化量的大小。时刻弹簧恢复原长，由动量守恒、机械能守恒（质量相等的弹性碰撞交换速度），得末速度。因此速度变化量大小 即面积大小为，故D正确。 故选CD。 27．（2026·辽宁大连·模拟预测）如图所示，处于光滑水平面上的四分之一光滑圆弧小车，半径，停靠在平台左端且与平台高度相等。平台高，部分光滑，部分粗糙且与滑块间的动摩擦因数，长度。为的四分之一光滑固定圆弧轨道。滑块、间有一被锁定且处于压缩状态的轻质弹簧，弹簧与、不拴接，解除锁定后，恰好能到达轨道的点。已知滑块、离开平台前弹簧已经恢复原长，、质量均为，小车质量，取。求： (1)滑块滑上小车时的速度大小和初始弹簧的弹性势能； (2)滑块滑离小车时的速度大小和落地时距小车右端的水平距离。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）设滑块在点的速度大小为，滑块从运动到点的过程，由能量守恒，可得 解得 设滑块在点的速度大小为，滑块、在平台上运动的过程中动量守恒，有 解得 弹簧弹开过程，滑块、和弹簧组成的系统机械能守恒，有 解得 （2）滑块与小车相互作用过程，满足水平方向动量守恒，机械能守恒，设滑块离开小车时，滑块与小车的速度分别为、，则有， 解得， 滑块离开小车做平抛运动，竖直方向可看作自由落体运动，有 解得 滑块平抛运动过程中，滑块在水平方向做匀速运动，二者水平方向的相对位移为 解得滑块落地时距小车右端的水平距离 28．（2026·山东·模拟预测）如图所示，半径为R的圆槽P和物块Q静止在光滑水平地面上，圆槽P的最低点与地面相切，物块Q的左端连接一轻弹簧。质量为m的小球从P的正上方高为R的位置由静止释放后，恰好沿切线进入圆弧轨道。已知P、Q的质量均为3m，重力加速度大小为g，忽略空气阻力和一切摩擦。求 (1)小球第一次离开圆槽P时的速度大小； (2)小球第一次与弹簧相互作用的过程中，弹簧的最大弹性势能； (3)小球再次回到圆槽P的过程中上升的最大高度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设小球第一次离开圆槽时速度为，圆槽的速度为，从小球开始下落到第一次离开圆槽，由动量守恒和能量守恒有， 解得 （2）小球第一次与弹簧相互作用，弹簧的最大弹性势能时小球和物块Q共速，设共速的速度为，从开始压缩弹簧到弹性势能最大， 解得 （3）设小球与Q分离后，小球的速度为，Q的速度为；小球再次回到圆槽P上升最大高度时，小球与圆槽共速，速度为，上升的最大高度为h，从压缩弹簧到与Q分离，由动量守恒和能量守恒有， 从与Q分离到回到圆槽P上升的最大高度时，由动量守恒和能量守恒有， 解得 29．（2026·湖南·三模）某同学设计了图甲所示模型研究弹簧在碰撞过程中的缓冲作用。物体A、B放在光滑水平地面上，A以一定的初速度向B运动，B上水平固定劲度系数为的轻弹簧。以图示时刻为计时起点，水平向右为正方向，描绘出物体A、B运动的速度时间图线如图乙所示，图中阴影部分面积为，A的质量为1kg，已知弹簧的弹性势能（为形变量），下列说法正确的是（　　） A．从A接触弹簧到A与弹簧分离，A受到弹簧的冲量 B．物块B的质量为2kg C．和数值上满足 D．从A接触弹簧到A与弹簧分离，B受到弹簧的平均作用力为3N 【答案】C 【详解】A．从A接触弹簧到A离开弹簧，A的速度由变成，受弹簧弹力的冲量等于A动量的变化，即，故A错误； B．由动量守恒可知，解得，故B错误； C．由图像可知，为AB共速时弹簧的压缩量，由、，解得，故C正确； D．由动量定理可得，解得，故D错误。 故选C。 30．（2026·河北保定·一模）如图所示，质量分别为mA=2kg，mB=1kg的物体A、B放在水平面上，物体A、B之间有一压缩的轻弹簧且处于锁定状态（A、B与弹簧不拴接），A左侧有一放在另一水平面上带有弧形轨道的滑块C，质量为mC=2kg，最低点与右侧的水平面相切，B右侧有一质量 mD=3kg的长木板D，长木板的最右端放置一质量mE=1kg的物体E。某时刻解除轻弹簧的锁定，弹簧将A、B弹开后，物体A恰能滑到弧形轨道最高点，物体B与长木板D发生弹性碰撞且碰撞时间极短。已知弧形轨道的半径为R=0.8m，该段圆弧所对的圆心角为α=60°，物体E与长木板D上表面间的动摩擦因数为μ1=0.1，长木板D 与水平面间的动摩擦因数为μ2=0.2，重力加速度g取10m/s2，物体A、B、C与所在水平面间的摩擦力可忽略，A、B、E均可视为质点。求： (1)物体A刚滑上滑块C瞬间对滑块C的压力大小； (2)初始时弹簧的弹性势能以及物体B与长木板D碰后瞬间D的速度大小； (3)物体E停止时到长木板右端的距离（结果可用分式表示）。 【答案】(1)60N (2)48J，4m/s (3) 【详解】（1）设轻弹簧将两物体弹开时A的速度大小为v1，物体A冲上滑块C后，A、C组成的系统水平方向动量守恒、机械能守恒，则有， 解得 物体A冲上滑块C的瞬间，由牛顿第二定律得 解得 由牛顿第三定律可知物体A对滑块C的压力大小为60N； （2）设轻弹簧将两物体弹开后瞬间B的速度大小为v2，弹簧弹开两物体的过程机械能守恒、动量守恒，则有， 解得， 物体B与长木板D发生弹性碰撞，该过程B、D组成的系统动量守恒、机械能守恒，则有， 解得 （3）碰后长木板向右做匀减速直线运动，物体E向右做匀加速直线运动，对物体E，由牛顿第二定律得 解得 对长木板D，由牛顿第二定律得 解得 设碰后经时间t1物体E和长木板D共速，共同的速度为v，则 解得， 该过程物体E和长木板的位移分别为， 该过程物体E在长木板的上表面向左滑过的距离为 物体E和长木板D共速后，由于 则此后长木板D在水平面上减速，物体E在长木板的上表面减速，该过程中物体E的加速度大小为a1，长木板D的加速度大小为 从共速到减速到零过程物体E和长木板的位移分别为， 该过程物体E在长木板的上表面向右滑过的距离为 则物体E停止时到长木板右端的距离为 考向5 子弹打木块模型 31．（2026·北京东城·一模）如图所示，把一个质量的小球放在高度的直杆的顶端。一颗质量的子弹以的速度沿水平方向击中小球，并穿过球心，小球落地处离杆的水平距离取，求： (1)子弹穿出小球瞬间小球的速度； (2)子弹穿出小球瞬间子弹的速度； (3)子弹和小球相互作用过程中系统损失的机械能。 【答案】(1)20m/s (2)100m/s (3)1160J 【详解】（1）小球做平抛运动，则有， 代入数据解得 （2）子弹射穿小球过程，根据动量守恒定律有 代入数据解得 （3）系统损失的机械能 代入数据解得 32．（2026·北京顺义·一模）如图所示、一颗子弹以水平速度射向静止在光滑水平地面上的木块最终留在木块内，从子弹接触木块到两者相对静止的时间为。已知子弹质量为，木块质量为，不计空气阻力。求： (1)子弹相对木块静止时的速度大小v； (2)子弹对木块的平均作用力大小； (3)子弹和木块组成的系统损失的机械能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设子弹相对木块静止时的共同速度为。子弹射入木块过程中，系统水平方向不受外力，动量守恒。根据动量守恒定律有 解得 （2）以木块为研究对象，在时间内，木块受到子弹的平均作用力，初速度为 0，末速度为。根据动量定理有 解得 （3）系统损失的机械能等于系统初动能减去末动能。初动能为 末动能为 则损失的机械能 解得 33．（2026·辽宁·一模）如图所示，质量为的物块P静置在水平地面上，并通过劲度系数为的轻质弹簧连接在右侧的固定挡板上，初始时弹簧处于原长。质量为的子弹以初速度水平向右击中物块P并留在其中，物块P与地面之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，弹簧始终在弹性限度内，子弹与物块P作用时间可忽略不计，求： (1)子弹击中物块P的过程中，子弹和物块P组成的系统损失的机械能； (2)弹簧第一次恢复到原长时，物块P的速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）子弹击中物块P的过程中，子弹和P组成的系统动量守恒有 解得 故系统损失的机械能   解得 （2）设P第一次压缩弹簧到最短时弹簧的形变量为，根据动能定理有 解得 到第一次恢复到原长，根据动能定理有   解得 34．（25-26高三上·湖北·开学考试）如图所示，质量为、半径为的四分之一光滑圆弧轨道放在光滑水平地面上，下端与水平地面相切，质量为的木块静止在轨道左侧，质量为的子弹以的速度水平向右射入木块并留在其中。已知子弹与木块作用时间极短，木块的尺寸远小于圆弧轨道的半径，重力加速度大小g取，不计空气阻力。求： (1)子弹射入木块后的共同速度的大小以及此过程中产生的内能； (2)木块沿圆弧轨道上升的最大高度； (3)圆弧轨道的最大速度。 【答案】(1) (2) (3)，方向水平向右 【详解】（1）设子弹射入木块后与木块的共同速度为，对子弹和木块组成的系统，取子弹的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律有 解得子弹射入木块后的共同速度 根据能量守恒，可得此过程系统所产生的内能 解得产生的内能 （2）设木块（含子弹）在圆弧轨道上升到最大高度时，两者的速度大小为，木块沿圆弧轨道上升的最大高度为h，取子弹的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律有 根据能量守恒定律有 解得木块沿圆弧轨道上升的最大高度 因，所以木块未从圆弧轨道最高点飞出 （3）设木块（含子弹）在圆弧轨道上时，圆弧轨道一直做加速运动，木块（含子弹）在圆弧轨道底端与轨道分离时，圆弧轨道的速度最大，设此时木块（含子弹）的速度为，圆弧轨道的速度为，取子弹的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律有 根据机械能守恒定律有 解得圆弧轨道的最大速度 方向水平向右。 35．（2026·四川德阳·二模）如图所示，竖直平面内一轻质弹力绳的一端固定于A点，另一端经光滑孔钉B连接质量为可视为质点的物块。点A、B和静止的物块在同一竖直线上，A、B间距等于弹力绳原长，B点离地高度为L。一质量为m的子弹以速度向右射入物块，且未击穿物块。已知物块与地面的动摩擦因数为，弹力绳始终在弹性限度内且满足胡克定律，劲度系数为，重力加速度大小为g，求： (1)子弹射入物块后，物块的速度大小； (2)物块向右运动过程中，当弹力绳偏离竖直方向角度为时，物块所受的滑动摩擦力大小f。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）子弹射入物块的过程，由动量守恒得 解得 （2）对物块和子弹整体受力分析，竖直方向有 由胡克定律 滑动摩擦力 联立解得 考向6 “滑块—木板”模型 36．（2026·河北邢台·二模）如图所示，长为的细线一端固定于点，另一端系有一质量为可视为质点的小球，初始时小球被锁定在距离点处的装置中。光滑地面上有一质量为的长木板到墙壁距离为，木板左端放有质量为的凹形小木槽，凹形小木槽与长木板间的动摩擦因数为。解除锁定，小球开始运动，小球到达点正下方时细线断裂，小球飞出，之后恰好落入凹形小木槽中与小木槽粘在一起（时间极短）。经过一段时间后长木板与墙壁发生弹性碰撞，凹形小木槽始终未脱离长木板且未与墙壁碰撞，重力加速度取，求： (1)细线断裂时小球的速度大小； (2)长木板与墙壁碰撞时，小木槽与长木板的速度大小； (3)长木板在地面上运动的总路程。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解除锁定小球先做自由落体运动直到细线伸直，此时细线与水平方向夹角为，则 由动能定理可得 细线绷紧瞬间沿绳方向速度变为0，只剩下切向速度，有 之后到最低点，根据机械能守恒有 联立解得 （2）小球恰好落入凹形小木槽中，与小木槽粘在一起，水平方向动量守恒 有 之后小球、小木槽和长木板动量守恒，三者共速有 解得 这个过程对长木板有 且有 联立解得，即小木槽与长木板共速之后长木板才与墙壁碰撞 长木板与墙壁碰撞时小木槽与长木板速度均为 （3）长木板与墙壁间的碰撞为弹性碰撞，碰后速度等大反向，长木板向左减速到速度为0所走位移为有 第1次与墙壁碰后 即长木板第2次与墙壁碰撞速度为，碰后速度等大反向，长木板向左减速到速度为0所走位移为有… 第2次与墙壁碰后 即长木板第3次与墙壁碰撞速度为，碰后速度等大反向，长木板向左减速到速度为0所走位移为 有 第3次与墙壁碰后 即长木板第4次与墙壁碰撞速度为，碰后速度等大反向，长木板向左减速到速度为0所走位移为 有…… 第次与墙壁碰后即长木板第次与墙壁碰撞速度为，碰后速度等大反向，长木板向左减速到速度为0所走位移为 有… 长木板总路程为 联立可得 即 当时有 代入数据解得 37．（2026·陕西榆林·一模）如图所示，L形滑板A静置在光滑水平面上，滑板右端固定一劲度系数的足够长轻质弹簧，弹簧处于原长状态，其左端与静置于P点的物块B相连。一物块C以初速度从滑板最左端滑入，相对滑板A滑行后与B发生弹性碰撞（碰撞时间极短）。已知A、B、C质量均为，物块B、C与滑板上P点及左侧之间的动摩擦因数均为，滑板P点右侧光滑，弹簧的弹性势能（x为形变量），重力加速度g取，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，弹簧始终处于弹性限度内，物块B、C可视为质点。求： (1)C刚滑上A时，A的加速度大小和C的加速度大小； (2)从C滑上A到C与B发生第一次碰撞的时间t； (3)B与C在第一碰撞到第二次碰撞过程中弹簧的最大压缩量x。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）对物块C受力分析，C受到向左的滑动摩擦力，由牛顿第二定律 代入数据得 对A、B整体受力分析，整体受到向右的滑动摩擦力，B与A相对静止（B所需静摩擦力小于最大静摩擦力），由牛顿第二定律 代入数据得 （2）C做匀减速直线运动 A（带B）做匀加速直线运动 C相对A的位移为，即 代入数据解得，（对应C速度小于A速度，是共速后相对位移，不符合碰撞发生的实际，舍去）， 因此 （3）碰撞前瞬间， C、B发生弹性碰撞， 碰撞瞬间A速度不变，得，， 碰撞后，C和A无相对滑动，当三者速度相等时，弹簧压缩量最大。 对系统由动量守恒 解得 由能量守恒，动能的减少量全部转化为弹簧的弹性势能 代入数据解得 38．（2026·吉林长春·二模）如图（a），光滑水平面上放置长木板乙和物块丙，可视为质点的物块甲置于乙的左端。甲、乙一起以速度向右运动，乙与丙发生碰撞（时间极短）并粘在一起，其速度-时间图像如图（b）所示，甲始终未滑离乙。已知乙的质量为，重力加速度为，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）    A．丙的质量为 B．乙的长度至少为 C．甲、乙之间的动摩擦因数为 D．时间内，乙对甲作用力的冲量水平向左 【答案】BC 【详解】A．乙与丙碰撞过程，时间极短，甲的速度不变，乙与丙组成的系统动量守恒。由图（b）可知，碰撞前乙的速度为，碰撞后乙（与丙粘在一起）的速度为。设丙的质量为，乙的质量为，根据动量守恒定律有 解得，故A错误； B．由图（b）可知，时间内，甲做匀减速运动，乙和丙整体做匀加速运动，时刻两者速度相等，均为。甲的位移 乙和丙的位移 甲始终未滑离乙，则乙的长度至少为，故B正确； C．对甲，由牛顿第二定律得 由运动学公式得 联立解得，故C正确； D．时间内，乙对甲的作用力包括竖直向上的支持力和水平向左的滑动摩擦力，支持力的冲量竖直向上，摩擦力的冲量水平向左，根据平行四边形定则，乙对甲作用力的冲量方向斜向左上方，故D错误。 故选BC。 39．（2026·天津红桥·一模）如图所示，挡板固定地面上，半径为，粗糙程度分布不均匀的四分之一圆弧轨道静置在光滑的水平面上，左端紧靠挡板，右端B紧靠等高的木板。质量为可视为质点的物块从圆弧轨道上端点的正上方高度为处由静止开始下落，物块刚好从点沿切线方向进入轨道，到达点时对点的压力大小为。已知木板质量为，物块与木板间的动摩擦因数为，重力加速度取。 (1)求圆弧轨道对物块做的功； (2)若轨道始终紧靠挡板，求挡板在物块下滑过程中对轨道的冲量； (3)若物块恰好不从木板上掉下，求木板的长度 【答案】(1) (2)，方向水平向右 (3) 【详解】（1）设物块在点的速度为，对物块，在点，由牛顿第三定律可知支持力 牛顿第二定律可得， 物块从释放到点，由动能定理得 解得， （2）对轨道和物块，在物块下滑的过程中，在水平方向使用动量定理 解得 方向水平向右。 （3）对物块和木板组成的系统使用动量守恒定律和能量守恒， 解得 40．（2026·重庆梁平·二模）如图所示，为水平平台的右末端，BC为半径的光滑圆弧轨道，圆弧轨道对应的圆心角，AB间竖直高度，为圆心的正下方，右边有质量的两个相同的长木板依次排列在水平地面上（不粘连），长木板的上表面刚好与齐平。竖直挡板固定于木板右侧，且略高于木板乙的上表面。质量的小滑块（视为质点）从点以某一初速度水平滑出，刚好从点切向进入。小滑块以一定的水平初速度滑上木板甲的上表面，经过一段时间后，小滑块恰好未从木板乙上滑落，然后一起向右运动。小滑块与竖直挡板发生多次碰撞后，最终相对地面静止。每次碰撞时均无机械能损失且碰撞时间极短。小滑块与木板甲、乙之间的动摩擦因数均为，木板甲与地面之间的动摩擦因数为，木板乙与地面之间无摩擦力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（不考虑小滑块在各轨道衔接处的能量损失，重力加速度大小取，，）。求： (1)小滑块滑到点时对圆弧轨道的压力大小及方向； (2)如果小滑块在AB间同时受到向上的力（为小滑块竖直方向速度）。调整平台点到点间的水平距离，改变小滑块从点水平滑出时的初速度使其仍刚好从点切向进入，到达点的速度时。小滑块在点抛出去的速度和从运动到的时间； (3)若小滑块以滑上甲木板，求小滑块与竖直挡板发生第一次碰撞后所运动的总路程。 【答案】(1)43N，方向竖直向下 (2)，0.32s (3) 【详解】（1）平抛：在B点 过程：动能定理 在点 方向竖直向下 （2）小滑块从到过程，根据动能定理有 解得 在竖直方向上，根据动量定理有 由于 解得 （3）小滑块滑上甲后，因，甲不动 在甲上面动能定理 小滑块滑上乙后，动量守恒 能量守恒 联立：     小滑块与挡板碰撞过程没有能量损失，则碰后小滑块向左做匀减速直线运动，木板乙向右做匀减速直线运动，但小滑块和木板乙组成的系统动量守恒，则 第一次碰撞后有 第二次碰撞后有 第三次碰撞后有 …… 所以，， 所以小滑块与竖直挡板发生第一次碰撞后所运动的总路程为      解得 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 动量 核心考点 考向1 动量定理 15 考向2 动量守恒定律 20 考向3 “滑块—斜(曲)面”模型 25 考向4 “滑块—弹簧”模型 31 考向5 子弹打木块模型 36 考向6 “滑块—木板”模型 40 核心知识 一、冲量的计算方法 公式法 I＝FΔt，此方法仅适用于求恒力的冲量，不需要考虑物体的运动状态 图像法 F-t图像与t轴围成的面积表示冲量，此法既可以计算恒力的冲量，也可以计算变力的冲量 平均值法 若变力的方向不变、大小随时间均匀变化，即力为时间的一次函数，则力F在某段时间t内的冲量I＝t 动量定理法 根据物体动量的变化量，由I＝Δp求冲量，多用于求变力的冲量 二、动量定理的理解及应用 1.内容：物体在一个过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的动量变化量。 2.公式：F(t'-t)＝mv'-mv或I＝p'-p。 3.对动量定理的理解： (1)公式中的F是研究对象所受的所有外力的合力。它可以是恒力，也可以是变力。当合外力为变力时，F是合外力作用时间的平均值。 (2)Ft＝p'-p是矢量式，两边不仅大小相等，而且方向相同。 (3)动量定理中的冲量可以是合外力的冲量，可以是各个力冲量的矢量和，也可以是外力在不同阶段冲量的矢量和。 (4)Ft＝p'-p还说明了两边的因果关系，即合外力的冲量是动量变化的原因。 (5)由Ft＝p'-p得F＝，即物体所受的合外力等于物体动量的变化率。 (6)当物体运动包含多个不同过程时，可分段应用动量定理求解，也可以全过程应用动量定理求解。 4．应用动量定理处理“流体类”问题 研究对象 流体类：液体流、气体流等，通常已知密度ρ 微粒类：电子流、光子流、尘埃等，通常给出单位体积内粒子数n 分析步骤 ①构建“柱状”模型：沿流速v的方向选取一小段柱体，其横截面积为S ②微元 研究 小段柱体的体积ΔV＝vSΔt 小段柱体质量m＝ρΔV＝ρvSΔt 小段柱体粒子数N＝nvSΔt 小段柱体动量p＝mv＝ρv2SΔt ③列出方程，应用动量定理FΔt＝Δp研究 三、动能定理在多过程问题中的应用 1.应用动能定理解决多过程问题的两种思路 (1)分阶段应用动能定理 ①若题目需要求某一中间物理量，应分阶段应用动能定理。 ②物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功情况也不同，不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理，各个击破。 (2)全过程(多个过程)应用动能定理 当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个运动过程看作一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，大大减少运算。 2.全过程列式时要注意 (1)重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关。 (2)大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积。 四、爆炸问题、反冲运动、人船模型 1.爆炸现象的三个规律 动量守恒 爆炸物体系统内部的相互作用力远远大于受到的外力，所以在爆炸过程中，系统的总动量守恒 机械能增加 在爆炸过程中，有其他形式的能量(如化学能)转化为机械能，所以系统的机械能增加 位置不变 爆炸的时间极短，因而作用过程中物体产生的位移很小，可以认为爆炸后各部分从爆炸前的位置以新的动量开始运动 2.反冲运动的三点说明 作用原理 反冲运动是系统内两物体之间的作用力和反作用力产生的效果 动量守恒 反冲运动中系统不受外力或内力远大于外力，所以反冲运动遵循动量守恒定律 机械能增加 反冲运动中，由于有其他形式的能转化为机械能，所以系统的机械能增加 五、碰撞模型及拓展 1.动量守恒：p1＋p2＝p1'＋p2'。 2.动能不增加：Ek1＋Ek2≥Ek1'＋Ek2'。 3.速度要符合实际情况 (1)碰前两物体同向运动，若要发生碰撞，则应有v后>v前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v前'≥v后'。 (2)碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向至少有一个改变。 4.碰撞模型拓展 “滑块—斜(曲)面”模型 “滑块—弹簧”模型 情 景 示 例 情 景 示 例 模 型 特 点 (1)上升到最大高度：滑块m与斜(曲)面M具有共同水平速度v共，此时滑块m的竖直速度vy＝0。系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，m(M＋m)＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块m的重力势能)。 (2)返回最低点：滑块m与斜(曲)面M分离点。系统水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mmM(相当于弹性碰撞)。 模 型 特 点 (1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒。 (2)机械能守恒：系统所受的外力的矢量和为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。 (3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)。 (4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)。 六、弹打木块模型和“滑块—木板”模型 子弹打木块模型 1.模型图示 2.模型特点 (1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒。 (2)系统的机械能有损失。 3.两种情景 (1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞) 动量守恒：mv0＝(M＋m)v 能量守恒：Q＝Ff·s＝m-(M＋m)v2 (2)子弹穿透木块 动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2 能量守恒：Q＝Ff·d＝m-(mM) “滑块—木板”模型 1.模型图示 2.模型特点 (1)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能。 (2)若滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，相对位移最大。 3.求解方法 (1)求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统； (2)求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体； (3)求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律Q＝FfΔx或Q＝E初-E末，研究对象为一个系统。 领悟真题 1．（2025·贵州·高考真题）甲、乙两运动员在光滑水平冰面上进行滑冰训练。以速度运动的甲推一下静止在其正前方的乙，刚分开时，甲、乙的运动方向与的方向相同，且甲的速度为，则刚分开时，甲、乙的动量大小之比为（　　） A．3：1 B．2：1 C．1：2 D．1：3 2．（2025·江西·高考真题）如图所示，在竖直平面内一轻质弹力绳的一端固定于P点，另一端经光滑孔钉Q连接质量为m的小球A，该球穿过与水平直杆（足够长）成角的直杆，两杆平滑连接。点P、Q和O在同一竖直线上，间距为弹力绳原长。将小球A拉至与Q等高的位置由静止释放。当小球A首次运动到斜杆底端O点后，在水平方向与穿在直杆且静止于O点、质量为的小球B发生弹性碰撞。小球A、B与杆间的动摩擦因数均为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹力绳始终在弹性限度内且满足胡克定律，劲度系数为k，其弹性势能与伸长量x的关系为。已知重力加速度为g，间距为。 (1)求小球A下滑过程中滑动摩擦力的大小； (2)若从碰撞后开始计时，小球A第一次上滑过程中离O点的距离x与时间t关系为（为常数），求小球A第一次速度为零时，小球B与O点的距离。 3．（2025·浙江·高考真题）高空抛物伤人事件时有发生，成年人头部受到的冲击力，就会有生命危险。设有一质量为的鸡蛋从高楼坠落，以鸡蛋上、下沿接触地面的时间差作为其撞击地面的时间，上、下沿距离为，要产生的冲击力，估算鸡蛋坠落的楼层为（　　） A．5层 B．8层 C．17层 D．27层 4．（2025·全国卷·高考真题）如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，Q从静止开始向右滑动。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 (1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功； (2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离； (3)欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？ (4)欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？ 5．（2025·重庆·高考真题）如图所示，长度为d的水平传送带M顺时针匀速运动。质量为m的小物块A在传送带左端M由静止释放。A还未与传送带达到相同速度时就从右端N平滑地进入光滑水平面NO，与向右运动的小物块B发生碰撞（碰撞时间极短）。碰后A、B均向右运动，从O点进入粗糙水平地面。设A与传送带间的动摩擦因数和A、B与地面间的动摩擦因数均为，重力加速度为g。 (1)求A在传送带上的加速度大小及离开传送带时的速度大小； (2)若碰前瞬间，B的速度大小为A的一半，碰撞为弹性碰撞，且碰后A、B在粗糙地面上停下后相距d，求B的质量； (3)若B的质量是A的n倍，碰后瞬间A和B的动量相同，求n的取值范围及碰后瞬间B的速度大小范围。 6．（2025·甘肃·高考真题）如图1所示，细杆两端固定，质量为m的物块穿在细杆上。初始时刻。物块刚好能静止在细杆上。现以水平向左的力F作用在物块上，F随时间t的变化如图2所示。开始滑动瞬间的滑动摩擦力等于最大静摩擦力。细杆足够长，重力加速度为g，θ=30°。 求： (1)t=6s时F的大小，以及t在0~6s内F的冲量大小。 (2)t在0~6s内，摩擦力f随时间t变化的关系式，并作出相应的f−t图像。 (3)t=6s时，物块的速度大小。 7．（2025·甘肃·高考真题）如图，小球A从距离地面处自由下落，末恰好被小球B从左侧水平击中，小球A落地时的水平位移为。两球质量相同，碰撞为完全弹性碰撞，重力加速度g取，则碰撞前小球B的速度大小v为（　　） A． B． C． D． 8．（2025·湖北·高考真题）一个宽为L的双轨推拉门由两扇宽为的门板组成。门处于关闭状态，其俯视图如图（a）所示。某同学用与门板平行的水平恒定拉力作用在一门板上，一段时间后撤去拉力，该门板完全运动到另一边，且恰好不与门框发生碰撞，其俯视图如图（b）所示。门板在运动过程中受到的阻力与其重力大小之比为，重力加速度大小为g。若要门板的整个运动过程用时尽量短，则所用时间趋近于（　　） A． B． C． D． 9．（2025·浙江·高考真题）如图所示，光滑水平地面上放置完全相同的两长板A和B，滑块C（可视为质点）置于B的右端，三者质量均为。A以的速度向右运动，B和C一起以的速度向左运动，A和B发生碰撞后粘在一起不再分开。已知A和B的长度均为0.75m，C与A、B间动摩擦因数均为0.5，则（　　） A．碰撞瞬间C相对地面静止 B．碰撞后到三者相对静止，经历的时间为0.2s C．碰撞后到三者相对静止，摩擦产生的热量为 D．碰撞后到三者相对静止，C相对长板滑动的距离为0.6m 10．（2025·江苏·高考真题）如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置。每列有n个。在两列钢球之间，一质量为m的玻璃球以初速度向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。 (1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小； (2)若钢球质量为，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小； (3)若钢球质量为，求玻璃球经历次碰撞后的动能。 考向1 动量定理 11．（2026·河北保定·一模）如图甲所示，在弹性材料与水平面之间铺设压力传感器，可测量机器人连续空翻过程中对弹性材料的压力。某次测量得到的压力随时间的变化关系如图乙所示。若仅考虑机器人在竖直方向上的运动，不计空气阻力，。下列说法正确的是（　　） A．在6.1s至7.5s内，机器人处于超重状态 B．在9.5s至10.3s内，弹性材料对机器人的冲量大约为3500Ns C．机器人的最大加速度为 D．机器人相对于弹性材料的最大重力势能为2500J 12．（2026·河北保定·一模）如图所示，将质量2kg的薄木板放在水平桌面上，在木板上放质量1kg的小滑块（可视为质点），滑块距离木板左边缘0.18m，距离桌面右边缘0.27m。已知滑块与木板间动摩擦因数为0.1，木板与桌面间、滑块与桌面间的动摩擦因数相同，均为0.2。现用水平恒力拉动木板，将木板从滑块下面抽出，滑块恰好未从桌面上掉下。重力加速度g取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： (1)小滑块运动的时间； (2)若拉力始终作用在木板上，求拉力的大小； (3)若改变拉力的大小，使其作用一段时间后撤去，求拉力作用的最短时间。 13．（2026·浙江绍兴·二模）如图所示，竖直平面内存在方向未知的匀强电场，一质量为，电荷量为的带电小球，由点以初速度沿水平方向抛出。小球先运动至点，速度大小为，方向竖直向下，接着运动至点，、两点在同一条竖直线上。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球所受电场力的最小值为 B．小球从点运动至点，其电势能一定增大 C．小球从点运动至点，合外力冲量为 D．小球从点运动至点，动能最小值为 14．（2026·江苏·模拟预测）如图所示，在水平面上放有质量均为m的小球A和坡形导轨B，导轨B的水平底边长为l，现两者均以初速度v迎面而行，小球恰能越过导轨最高点并向右滑下离开B，小球滑上和滑下导轨的时间均为。不计一切摩擦，求这个过程中： (1)导轨B发生的位移大小xB； (2)B的右侧面对A的冲量大小I。 15．（2026·江苏·二模）如图，体育课上，甲同学在距离地面高h1=2.5m处将排球水平击出，排球击出时的动能为9.6J。乙同学在离地h2=0.7m处将排球垫起，垫起前后球的速度大小相等，方向相反。已知排球质量m=0.3kg，取重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力。求： (1)排球被垫起前瞬间的速度大小v； (2)排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小I。 考向2 动量守恒定律 16．（2026·湖南·三模）如图所示，水平光滑的地面上静置着一套由轻杆铰接而成的装置，装置包含A、B、C三个小球（可视为质点），其质量之比为。两个完全相同的轻质细杆长度均为，将A与B、B与C分别通过无摩擦的轻质铰链相连。初始时，两根细杆并拢且竖直立在地面上，A、C两球位于水平地面上，B球位于最高点，整个装置在外力作用下保持静止。现撤去外力后，装置在重力作用下发生运动，最终B球触地停止。若运动到某一位置时，两根细杆与水平方向夹角为，重力加速度为。 (1)求B球落地前瞬间速度大小； (2)以初始时A球位置为坐标原点，竖直向上和水平向右分别为轴和轴正方向建立坐标系，求落地前B球的运动轨迹方程； (3)当时，取，，求此时A、C两球速度大小。（，） 17．（2026·黑龙江吉林·二模）哈师大附中冰上运动会增加了一项雪圈碰碰车比赛，比赛规则如下，如图为一条直线，P、Q为线上的两个点，其中Q点为直线与以为圆心，为半径的圆的交点。比赛需要三名同学、两个雪圈。甲同学和乙同学分别坐在各自的雪圈上，分别可视为质点A和B，最初A静止于Q，B静止于O处。比赛开始时，丙同学用水平拉力拽B沿着运动到P处放手，一段时间后B与A发生碰撞，碰后A离圆心距离越近成绩越好。若某次比赛B以速度3m/s与A发生碰撞（碰撞时间极短），碰后A能恰好停在圆心处。每个雪圈及其上同学总质量M均为60kg，雪圈与冰面动摩擦因数，，，取，不计空气阻力。求此次比赛中 (1)丙同学对B做的功 (2)A、B都停下后A、B间的距离 18．（2026·北京石景山·一模）砂摆是用来测量子弹速度的一种装置。将一个砂箱用轻绳竖直悬挂起来，一颗子弹水平射入砂箱（未射穿），使砂箱摆动。从子弹开始射入砂箱到砂箱摆动到最大摆角处，子弹和砂箱（　　） A．机械能守恒，动量守恒 B．机械能不守恒，动量守恒 C．机械能守恒，动量不守恒 D．机械能不守恒，动量不守恒 19．（2026·北京丰台·一模）两小车M、N在光滑水平面上正碰，其速度随时间变化的 v-t 图像如图所示，碰撞时间极短。下列说法正确的是（　　） A．碰撞过程中小车M受到的冲量较大 B．碰撞后小车M的动量小于小车N的动量 C．碰撞后小车M与小车N的动能可能相同 D．小车M的质量大于小车N的质量 20．（2026·辽宁·模拟预测）如图所示，质量均为的木块A和B，并排放在光滑水平面上，A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的点系一长为的细线，细线另一端系一质量为的小球C。现将小球C拉起使细线水平伸直，由静止释放小球C，小球C始终都与A、B在同一竖直平面内运动，小球C运动过程中不会与竖直杆碰撞。已知重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．小球C由图示位置下摆的过程中，A、B、C组成的系统动量守恒 B．小球C由图示位置下摆到最低点时的水平位移为 C．A、B两木块分离时，B的速度为 D．A、B分离后，A、C的速率始终与二者的质量成反比 考向3 “滑块—斜(曲)面”模型 21．（2026·河北保定·一模）如图所示，质量为2kg的小车A置于光滑水平地面上，其右侧是一半径为1m的光滑圆弧轨道，圆弧轨道对应圆心角为60°，小车水平部分粗糙。质量为0.99kg的滑块B静止于小车的左端，现被水平飞来的质量为0.01kg、速度为700m/s的子弹C击中，子弹立即停留在滑块B中，之后B在小车上滑动，与粗糙部分动摩擦因数为0.5，且从圆弧轨道的最高点离开小车，B上升的最高点距小车顶端的高度为0.15m。滑块B可视为质点，不计空气阻力，g取，则下列说法正确的是（　　） A．子弹C刚停留在滑块B中时，滑块B的速度大小为7m/s B．滑块B离开小车瞬间的速度大小为 C．小车粗糙水平面的长度为1.9m D．滑块B离开小车后再下落到与小车顶端等高时，距离顶端 22．（2026·江苏·模拟预测）如图所示，静止在光滑的水平面上的小车质量为M=2kg，小车的左边是半径为R=0.8m的四分之一光滑圆弧轨道AB，右边是半径为r=0.4m的半圆形光滑轨道CDE，D点与半圆形轨道的圆心等高，两光滑轨道末端与小车水平粗糙面平滑相连，中间水平轨道BC长度为L=4m，质量为m=1kg、可视为质点的滑块从轨道A点正上方h=1.6m处由静止释放，恰好沿切线落入四分之一圆弧轨道，滑块与水平轨道之间的动摩擦因数为。重力加速度g取，求： (1)滑块经过B点时的速度大小； (2)滑块经过D点时对半圆形轨道的压力大小； (3)滑块从E点飞出后落到小车上的位置。 23．（2026·浙江衢州·二模）某校物理课外兴趣小组为了研究物块的运动，设计了如下图1所示的装置。半径的圆弧轨道固定在水平面上，一长为、质量为的平板小车停在轨道的最左端紧靠，小车上表面与点等高，将一可视为质点、质量的滑块从距点高度为处静止释放，滑上小车后带动小车向右运动。已知水平轨道间距足够长，滑块与小车的动摩擦因数，其余接触面均光滑，取。 (1)若高度，求滑块运动到圆弧底端点时的向心加速度； (2)要使滑块不会从小车上掉下，求最大的高度； (3)撤去小车，将另一质量也为、半径的光滑半圆弧轨道（如图2）紧靠放置，点等高，半圆弧轨道不固定，求将滑块从处静止释放运动到最高点点时相对半圆弧轨道的速度大小。 24．（2026·江西宜春·一模）如图，一质量为的滑块静置在水平面上，滑块的曲面是半径为的四分之一圆弧，圆弧最低点切线沿水平方向。一质量为小球以水平向右的初速度从圆弧最低点冲上滑块开始计时，假设经过小球从圆弧最高点冲出滑块，不计一切摩擦，重力加速度为g取。则小球从最低点冲上滑块到刚落回滑块的过程中，滑块的位移是（　　） A．1.63 m B．1.73 m C．1.83 m D．1.93 m 25．（2026·河北邢台·二模）如图所示，水平传送带的长度为，传送带沿顺时针转动且速度，右侧水平面上有一个固定的物体P，P右侧静置着一个质量的光滑物体Q，P、Q紧密接触但不粘连，段为半径的光滑圆弧，处是圆弧最低点，段圆弧所对圆心角。一个质量为的小物块以水平向右的初速度从端滑上传送带，物块与传送带间的动摩擦因数，物体从点离开传送带做平抛运动并恰好从点无碰撞进入圆弧。小滑块可看作质点，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小物块在传送带上滑行的时间； (2)小物块经过点时受到圆弧的支持力大小（结果保留一位小数）； (3)物体Q能获得的最大速率。 考向4 “滑块—弹簧”模型 26．（2026·陕西榆林·二模）如图甲所示，质量均为的物块与物块之间拴接一轻质弹簧，静止在光滑的水平地面上，物块与竖直墙面接触，初始时弹簧处于压缩状态并被锁定，弹簧的弹性势能大小为，时刻解除锁定，规定向右为正方向，图乙是物块在时间内运动的图像。下列说法正确的是（   ） A．时间内，物块、以及弹簧组成的系统机械能、动量都守恒 B．时间内，合外力对物体做功为 C．时间内，墙对的冲量大小为 D．时间内，图线与轴所围的面积大小为 27．（2026·辽宁大连·模拟预测）如图所示，处于光滑水平面上的四分之一光滑圆弧小车，半径，停靠在平台左端且与平台高度相等。平台高，部分光滑，部分粗糙且与滑块间的动摩擦因数，长度。为的四分之一光滑固定圆弧轨道。滑块、间有一被锁定且处于压缩状态的轻质弹簧，弹簧与、不拴接，解除锁定后，恰好能到达轨道的点。已知滑块、离开平台前弹簧已经恢复原长，、质量均为，小车质量，取。求： (1)滑块滑上小车时的速度大小和初始弹簧的弹性势能； (2)滑块滑离小车时的速度大小和落地时距小车右端的水平距离。 28．（2026·山东·模拟预测）如图所示，半径为R的圆槽P和物块Q静止在光滑水平地面上，圆槽P的最低点与地面相切，物块Q的左端连接一轻弹簧。质量为m的小球从P的正上方高为R的位置由静止释放后，恰好沿切线进入圆弧轨道。已知P、Q的质量均为3m，重力加速度大小为g，忽略空气阻力和一切摩擦。求 (1)小球第一次离开圆槽P时的速度大小； (2)小球第一次与弹簧相互作用的过程中，弹簧的最大弹性势能； (3)小球再次回到圆槽P的过程中上升的最大高度。 29．（2026·湖南·三模）某同学设计了图甲所示模型研究弹簧在碰撞过程中的缓冲作用。物体A、B放在光滑水平地面上，A以一定的初速度向B运动，B上水平固定劲度系数为的轻弹簧。以图示时刻为计时起点，水平向右为正方向，描绘出物体A、B运动的速度时间图线如图乙所示，图中阴影部分面积为，A的质量为1kg，已知弹簧的弹性势能（为形变量），下列说法正确的是（　　） A．从A接触弹簧到A与弹簧分离，A受到弹簧的冲量 B．物块B的质量为2kg C．和数值上满足 D．从A接触弹簧到A与弹簧分离，B受到弹簧的平均作用力为3N 30．（2026·河北保定·一模）如图所示，质量分别为mA=2kg，mB=1kg的物体A、B放在水平面上，物体A、B之间有一压缩的轻弹簧且处于锁定状态（A、B与弹簧不拴接），A左侧有一放在另一水平面上带有弧形轨道的滑块C，质量为mC=2kg，最低点与右侧的水平面相切，B右侧有一质量 mD=3kg的长木板D，长木板的最右端放置一质量mE=1kg的物体E。某时刻解除轻弹簧的锁定，弹簧将A、B弹开后，物体A恰能滑到弧形轨道最高点，物体B与长木板D发生弹性碰撞且碰撞时间极短。已知弧形轨道的半径为R=0.8m，该段圆弧所对的圆心角为α=60°，物体E与长木板D上表面间的动摩擦因数为μ1=0.1，长木板D 与水平面间的动摩擦因数为μ2=0.2，重力加速度g取10m/s2，物体A、B、C与所在水平面间的摩擦力可忽略，A、B、E均可视为质点。求： (1)物体A刚滑上滑块C瞬间对滑块C的压力大小； (2)初始时弹簧的弹性势能以及物体B与长木板D碰后瞬间D的速度大小； (3)物体E停止时到长木板右端的距离（结果可用分式表示）。 考向5 子弹打木块模型 31．（2026·北京东城·一模）如图所示，把一个质量的小球放在高度的直杆的顶端。一颗质量的子弹以的速度沿水平方向击中小球，并穿过球心，小球落地处离杆的水平距离取，求： (1)子弹穿出小球瞬间小球的速度； (2)子弹穿出小球瞬间子弹的速度； (3)子弹和小球相互作用过程中系统损失的机械能。 32．（2026·北京顺义·一模）如图所示、一颗子弹以水平速度射向静止在光滑水平地面上的木块最终留在木块内，从子弹接触木块到两者相对静止的时间为。已知子弹质量为，木块质量为，不计空气阻力。求： (1)子弹相对木块静止时的速度大小v； (2)子弹对木块的平均作用力大小； (3)子弹和木块组成的系统损失的机械能。 33．（2026·辽宁·一模）如图所示，质量为的物块P静置在水平地面上，并通过劲度系数为的轻质弹簧连接在右侧的固定挡板上，初始时弹簧处于原长。质量为的子弹以初速度水平向右击中物块P并留在其中，物块P与地面之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，弹簧始终在弹性限度内，子弹与物块P作用时间可忽略不计，求： (1)子弹击中物块P的过程中，子弹和物块P组成的系统损失的机械能； (2)弹簧第一次恢复到原长时，物块P的速度大小。 34．（25-26高三上·湖北·开学考试）如图所示，质量为、半径为的四分之一光滑圆弧轨道放在光滑水平地面上，下端与水平地面相切，质量为的木块静止在轨道左侧，质量为的子弹以的速度水平向右射入木块并留在其中。已知子弹与木块作用时间极短，木块的尺寸远小于圆弧轨道的半径，重力加速度大小g取，不计空气阻力。求： (1)子弹射入木块后的共同速度的大小以及此过程中产生的内能； (2)木块沿圆弧轨道上升的最大高度； (3)圆弧轨道的最大速度。 35．（2026·四川德阳·二模）如图所示，竖直平面内一轻质弹力绳的一端固定于A点，另一端经光滑孔钉B连接质量为可视为质点的物块。点A、B和静止的物块在同一竖直线上，A、B间距等于弹力绳原长，B点离地高度为L。一质量为m的子弹以速度向右射入物块，且未击穿物块。已知物块与地面的动摩擦因数为，弹力绳始终在弹性限度内且满足胡克定律，劲度系数为，重力加速度大小为g，求： (1)子弹射入物块后，物块的速度大小； (2)物块向右运动过程中，当弹力绳偏离竖直方向角度为时，物块所受的滑动摩擦力大小f。 考向6 “滑块—木板”模型 36．（2026·河北邢台·二模）如图所示，长为的细线一端固定于点，另一端系有一质量为可视为质点的小球，初始时小球被锁定在距离点处的装置中。光滑地面上有一质量为的长木板到墙壁距离为，木板左端放有质量为的凹形小木槽，凹形小木槽与长木板间的动摩擦因数为。解除锁定，小球开始运动，小球到达点正下方时细线断裂，小球飞出，之后恰好落入凹形小木槽中与小木槽粘在一起（时间极短）。经过一段时间后长木板与墙壁发生弹性碰撞，凹形小木槽始终未脱离长木板且未与墙壁碰撞，重力加速度取，求： (1)细线断裂时小球的速度大小； (2)长木板与墙壁碰撞时，小木槽与长木板的速度大小； (3)长木板在地面上运动的总路程。 37．（2026·陕西榆林·一模）如图所示，L形滑板A静置在光滑水平面上，滑板右端固定一劲度系数的足够长轻质弹簧，弹簧处于原长状态，其左端与静置于P点的物块B相连。一物块C以初速度从滑板最左端滑入，相对滑板A滑行后与B发生弹性碰撞（碰撞时间极短）。已知A、B、C质量均为，物块B、C与滑板上P点及左侧之间的动摩擦因数均为，滑板P点右侧光滑，弹簧的弹性势能（x为形变量），重力加速度g取，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，弹簧始终处于弹性限度内，物块B、C可视为质点。求： (1)C刚滑上A时，A的加速度大小和C的加速度大小； (2)从C滑上A到C与B发生第一次碰撞的时间t； (3)B与C在第一碰撞到第二次碰撞过程中弹簧的最大压缩量x。 38．（2026·吉林长春·二模）如图（a），光滑水平面上放置长木板乙和物块丙，可视为质点的物块甲置于乙的左端。甲、乙一起以速度向右运动，乙与丙发生碰撞（时间极短）并粘在一起，其速度-时间图像如图（b）所示，甲始终未滑离乙。已知乙的质量为，重力加速度为，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）    A．丙的质量为 B．乙的长度至少为 C．甲、乙之间的动摩擦因数为 D．时间内，乙对甲作用力的冲量水平向左 39．（2026·天津红桥·一模）如图所示，挡板固定地面上，半径为，粗糙程度分布不均匀的四分之一圆弧轨道静置在光滑的水平面上，左端紧靠挡板，右端B紧靠等高的木板。质量为可视为质点的物块从圆弧轨道上端点的正上方高度为处由静止开始下落，物块刚好从点沿切线方向进入轨道，到达点时对点的压力大小为。已知木板质量为，物块与木板间的动摩擦因数为，重力加速度取。 (1)求圆弧轨道对物块做的功； (2)若轨道始终紧靠挡板，求挡板在物块下滑过程中对轨道的冲量； (3)若物块恰好不从木板上掉下，求木板的长度 40．（2026·重庆梁平·二模）如图所示，为水平平台的右末端，BC为半径的光滑圆弧轨道，圆弧轨道对应的圆心角，AB间竖直高度，为圆心的正下方，右边有质量的两个相同的长木板依次排列在水平地面上（不粘连），长木板的上表面刚好与齐平。竖直挡板固定于木板右侧，且略高于木板乙的上表面。质量的小滑块（视为质点）从点以某一初速度水平滑出，刚好从点切向进入。小滑块以一定的水平初速度滑上木板甲的上表面，经过一段时间后，小滑块恰好未从木板乙上滑落，然后一起向右运动。小滑块与竖直挡板发生多次碰撞后，最终相对地面静止。每次碰撞时均无机械能损失且碰撞时间极短。小滑块与木板甲、乙之间的动摩擦因数均为，木板甲与地面之间的动摩擦因数为，木板乙与地面之间无摩擦力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（不考虑小滑块在各轨道衔接处的能量损失，重力加速度大小取，，）。求： (1)小滑块滑到点时对圆弧轨道的压力大小及方向； (2)如果小滑块在AB间同时受到向上的力（为小滑块竖直方向速度）。调整平台点到点间的水平距离，改变小滑块从点水平滑出时的初速度使其仍刚好从点切向进入，到达点的速度时。小滑块在点抛出去的速度和从运动到的时间； (3)若小滑块以滑上甲木板，求小滑块与竖直挡板发生第一次碰撞后所运动的总路程。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $