专题05 数列（4大考点）（四川专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题05 数列 ( 数列的概念与简单表示 考点1 )1．C 2. C 3．B ( 等差数列 考点 2 ) 1 2 3 4 5 A D ACD ACD ACD 6．2 7．1 8．65 9．【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，得到和，联立求得的值，即可求得的通项公式； （2）由（1）知，得到，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 因为，可得， 又因为是和的等比中项，可得，即，即， 因为，所以，代入，可得， 所以，所以数列的通项公式为. （2）解：由（1）知：，可得， 所以 . 10．【答案】(1) (2) 【分析】（1）可用与的关系消去，求出数列的通项公式； （2）是比较常见的等差数列与等比数列乘积的形式，用错位相减法求解即可. 【详解】（1）由，当时，， 则，即， 所以，即， 由数列为正项数列，所以，从而有，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，． （2）由（1）知，所以， ，则， 从而， 即， 所以. 11．【答案】(1) (2)609 【分析】（1）列出关于的方程组，然后根据等差数列的通项公式即可求解； （2）首先求出到原数列第项为止插入的总项数，令得出，即得出插入510个1，然后利用分组求和即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由得： ，，解得，， 故通项公式为 . （2）根据题意，在和之间插入个，设到原数列的第项为止， 则新数列的总项数， 令，代入验证得时，，刚好满足， 即包含原数列前9项和所有插入的1： 插入1的总个数为，插入部分和为， 原数列前9项和：， 因此： . 12．【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据累加法及等差数列的前项和公式求解即可. （2）结合裂项相消法证明即可. 【详解】（1）当时，， 则，，，， 所以，即. 所以. 当时，满足上式， 故的通项公式为. （2）由（1）知，，则， 所以， 因为，所以，则，因此， 故. ( 等比数列 考点 3 ) 1 2 3 4 C B B AC 5. 2 6． 7．【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据等比数列的有关公式得到和，根据条件可得，再由求. （2）利用裂项求和法求和即可证明. 【详解】（1）由题意，，， 所以. 当时，. 当时，. 当时，上式亦成立，所以. （2）因为， 所以， 因为，所以. 所以. 8．【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）将原式变形得到，利用等比数列定义即可证明； （2）利用等比数列通项公式得到，即可得到 （3）利用放缩法得到，由错位相减法求得的前项和，即可证明. 【详解】（1）由已知 ，变形得 ，故 . 又因为 ，所以 ， 因此数列 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列. （2）由(1)知数列 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列. 所以 . 因此数列 的通项公式为 . （3）由(2)知 ，因此 ，代入得 ， 对任意正整数 ， 有 ， 即 ， 两边取倒数得 ，因此 设放缩后的数列前项和为， 即 ① ①式两边同乘得： ② ①②错位相减得： ，整理得 由 ，可得 ， 结合，可证得 ，原不等式成立. 9．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列前项和的性质，，，成等比数列，且公比为，即可求出公比，写出通项公式； （2）求出等比数列的前和，分类讨论解不等式即可得解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，， 当时，，不符合题意，所以， 所以，，成等比数列，且公比为， ，所以，， 所以. （2）由（1）知，， 所以由可得， 即， 当为正偶数时，不等式显然成立； 当为正奇数时，则， 因为为递减数列，且， 所以且为奇数， 综上， ( 数列的综合应用 考点 4 )1．【答案】(1)，， (2)存在，， (3) 【分析】（1）由数列递推公式赋值求出，再根据取整函数的定义依次计算即得； （2）由（1）得结论，代入，求出，即得数列通项，验证即可； （3）先求导证明，利用其将数列的通项放缩，根据等比数列求和公式推得，结合可得，最后利用等差数列求和公式即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以，故； 又，故，，所以； 同理，故， 因，则,故, 所以，故. （2）假设存在常数A，使得， 则由（1）得，即. 因为，可得，解得（负值舍去）. 故.又，则得，即，故. 此时，. 所以存在，满足题意. （3）当时，，所以. 当时，因为，所以，故. 设函数，则. 所以在上单调递增，故，即. 所以. 则 ，因， 所以.故. 综上，当时，，故. 令，则当时， . 又因为满足，所以，. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数列 （4大考点）(四川专用) 2026年高考数学二模分类汇编 3大考点概览 考点01数列的概念与简单表示法 考点02等差数列 考点03等比数列 考点04数列的综合应用 ( 数列的概念与简单表示 考点1 )1．（2026·四川眉山·二模）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．已知等和数列中，，公和为5，则（    ） A．0 B． C． D．4 2.（2026·四川·二模）在数列中，，，为的前项和，则（ ） A． B． C． D． 3．（2026·四川·二模）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若数列为等差数列，，，则时，最大 C．若数列满足，，则 D．若，则数列的前项和小于 ( 等差数列 考点 2 )1．（2026·四川雅安·二模）记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A．100 B．95 C．50 D．15 2．（2026·四川绵阳·二模）等差数列的前n项和为，已知，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 3．（多选）（2026·四川成都·二模）记为等差数列的前n项和．已知，则（   ） A． B． C．为等差数列 D．为等比数列 4．（多选）（2026·四川成都·二模）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为31 5．（多选）（2026·四川广元·二模）如图，有一系列正三角形，设第个正三角形的边长为，其中，在曲线上，为坐标原点，在轴上.记为数列的前项和，则（    ） A． B．对任意的， C．数列的前项和为 D． 6．（2026·四川凉山·二模）若数列满足，则前6项的平均数__________. 7．（2026·四川广安·二模）记为数列的前项和，已知，是公差为1的等差数列．则的通项公式为____________． 8．（2026·四川绵阳·二模）已知数列是等差数列，且，，则的前项和等于______________. 9．（2026·四川泸州·二模）已知是公差不为0的等差数列，，是和的等比中项． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 10．（2026·四川成都·二模）已知正项数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 11．（2026·四川达州·二模）已知数列为等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)在数列的相邻两项与之间插入个1（）后，构成一个新数列，数列的前项和记为，求. 12．（2026·四川·二模）已知数列的首项，且满足． (1)求的通项公式； (2)证明：． ( 等比数列 考点 3 )1．（2026·四川广元·二模）等比数列的前项和为，且，则公比（    ） A． B．1 C．2 D．4 2．（2026·四川达州·二模）已知数列满足，若，则为（    ） A．3 B．9 C．27 D．81 3．（2026·四川成都·二模）一座7层塔，塔的顶层共有3盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔共挂了多少盏灯？（   ） A．380 B．381 C．384 D．386 4．（2026·四川·二模）已知等比数列的前n项和为，且，，则（   ） A．公比 B．数列是单调递减数列 C． D． 5.（2026·四川眉山·二模）设为等比数列的前项和，若，，则数列的公比为________． 6．（2026·四川雅安·二模）已知一个等比数列的前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比为______． 7．（2026·四川南充·二模）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，为数列的前项和，为数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明：. 8．（2026·四川·二模）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为，求证：. 9．（2026·四川绵阳·二模）已知等比数列的首项为1，前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求使成立的的取值范围. ( 数列的综合应用 考点 4 )1．（2026·四川成都·二模）在数列中，，设的前n项和为．记表示不超过x的最大整数． (1)求； (2)是否存在常数A，，使得？若存在，求A和的值；若不存在，请说明理由； (3)求． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数列 （4大考点）(四川专用) 2026年高考数学二模分类汇编 3大考点概览 考点01数列的概念与简单表示法 考点02等差数列 考点03等比数列 考点04数列的综合应用 ( 数列的概念与简单表示 考点1 )1．（2026·四川眉山·二模）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．已知等和数列中，，公和为5，则（    ） A．0 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据题意分析可知数列是以2为周期的周期数列，结合周期性分析求解. 【详解】因为（公和）， 所以， 两式相减可得，， 可知数列是以为周期的周期数列， 因为，所以， 又公和为5，所以， 所以，. 2.（2026·四川·二模）在数列中，，，为的前项和，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知通项公式变形构造新数列，结合累加法分组求和以及等差数列求和公式分析求解即可. 【详解】由，两边同时除以得： ， 即， 令，则， 所以， 所以， ， ， ， 累加得：， 又，所以， 由，所以， 所以 3．（2026·四川·二模）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若数列为等差数列，，，则时，最大 C．若数列满足，，则 D．若，则数列的前项和小于 【答案】B 【详解】选项A：已知，当时，，解得， 当时，，， 两式相减得：， 则，故数列是首项为，公比为的等比数列， ，故A错误； 选项B：由，可得， 又，故得， ，故数列前项为正，第项起为负，在时取得最大值，故B正确； 选项C：已知， ，故，即， 数列是首项为，公差为1的等差数列，则，解得， 则， 故，故C错误； 选项D：当时，数列的第一项为， 且对于，因，即恒成立，故前项和不可能小于，故D错误． ( 等差数列 考点 2 )1．（2026·四川雅安·二模）记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A．100 B．95 C．50 D．15 【答案】A 【详解】在等差数列中，，解得，而，则， 因此数列的公差，首项， 所以. 2．（2026·四川绵阳·二模）等差数列的前n项和为，已知，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】利用等差数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列的前n项和为， 所以，则， 即， 故选：D 3．（多选）（2026·四川成都·二模）记为等差数列的前n项和．已知，则（   ） A． B． C．为等差数列 D．为等比数列 【答案】ACD 【分析】利用等差数列的基本量运算求出首项与公差，进而求得其通项，再根据选项代值检验，利用等差（比）数列的定义逐一判断即可. 【详解】设等差数列的公差为，由题意可得，解得，故. 对于A，由通项易得，故A正确； 对于B，因，而，即，故B错误； 对于C，因，则，由，可得数列为等差数列，故C正确； 对于D，因，则，由，可得为等比数列，故D正确. 4．（多选）（2026·四川成都·二模）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为31 【答案】ACD 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，根据等差数列性质可判断BC，根据二次函数性质可判断D. 【详解】对于A，设等差数列首项为，公差为， 则， 因为存在最大值，所以数列的公差，数列单调递减， 要使​存在最大值，则数列先正后负，首项，故A正确； 对于B，由等差数列性质可知，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以时，取得最大值，故C正确； 对于D，由可得， 由，可得， 所以取得最小正值时为31，故D正确. 5．（多选）（2026·四川广元·二模）如图，有一系列正三角形，设第个正三角形的边长为，其中，在曲线上，为坐标原点，在轴上.记为数列的前项和，则（    ） A． B．对任意的， C．数列的前项和为 D． 【答案】ACD 【分析】选项A：结合正三角形的性质求出坐标，代入曲线求解即可；选项B：结合正三角形的性质求出坐标，代入曲线得到，根据与的关系求出，进一步判断即可；选项C：由B求出，进而求出，结合裂项相消法求和即可；选项D：由解析式代入求解即可. 【详解】选项A：由题意易知，，则，即，解得，故A正确. 选项B：易知，即， 则，即，则， 所以， 即， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以. 因为，故B错误. 选项C：，则， 所以数列的前项和为，故C正确. 选项D：，故D正确. 6．（2026·四川凉山·二模）若数列满足，则前6项的平均数__________. 【答案】2 【分析】利用递推公式求出的通项公式，然后得到答案. 【详解】令，则，即是公差为2的等差数列， 由得， 故， 于是， 所以，，， ，， ， 故前6项的平均数. 7．（2026·四川广安·二模）记为数列的前项和，已知，是公差为1的等差数列．则的通项公式为____________． 【答案】1 【分析】由等差数列的通项公式求得，再根据与的关系即可求解． 【详解】因为，是公差为1的等差数列， 所以，则①， 当时，②， 由①②得，， 所以数列为常数列，． 8．（2026·四川绵阳·二模）已知数列是等差数列，且，，则的前项和等于______________. 【答案】 【分析】直接根据等差数列的性质及等差数列的前n项和公式可得. 【详解】因为数列是等差数列，且，， 所以由等差数列的性质得，. 故答案为：. 9．（2026·四川泸州·二模）已知是公差不为0的等差数列，，是和的等比中项． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，得到和，联立求得的值，即可求得的通项公式； （2）由（1）知，得到，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 因为，可得， 又因为是和的等比中项，可得，即，即， 因为，所以，代入，可得， 所以，所以数列的通项公式为. （2）解：由（1）知：，可得， 所以 . 10．（2026·四川成都·二模）已知正项数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可用与的关系消去，求出数列的通项公式； （2）是比较常见的等差数列与等比数列乘积的形式，用错位相减法求解即可. 【详解】（1）由，当时，， 则，即， 所以，即， 由数列为正项数列，所以，从而有，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，． （2）由（1）知，所以， ，则， 从而， 即， 所以. 11．（2026·四川达州·二模）已知数列为等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)在数列的相邻两项与之间插入个1（）后，构成一个新数列，数列的前项和记为，求. 【答案】(1) (2)609 【分析】（1）列出关于的方程组，然后根据等差数列的通项公式即可求解； （2）首先求出到原数列第项为止插入的总项数，令得出，即得出插入510个1，然后利用分组求和即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由得： ，，解得，， 故通项公式为 . （2）根据题意，在和之间插入个，设到原数列的第项为止， 则新数列的总项数， 令，代入验证得时，，刚好满足， 即包含原数列前9项和所有插入的1： 插入1的总个数为，插入部分和为， 原数列前9项和：， 因此： . 12．（2026·四川·二模）已知数列的首项，且满足． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据累加法及等差数列的前项和公式求解即可. （2）结合裂项相消法证明即可. 【详解】（1）当时，， 则，，，， 所以，即. 所以. 当时，满足上式， 故的通项公式为. （2）由（1）知，，则， 所以， 因为，所以，则，因此， 故. ( 等比数列 考点 3 )1．（2026·四川广元·二模）等比数列的前项和为，且，则公比（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先分类讨论和，再根据等比数列求和公式列出方程即可求解． 【详解】若，则，不合题意舍； 所以，则． 2．（2026·四川达州·二模）已知数列满足，若，则为（    ） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】B 【分析】由题意可知，数列为等比数列，可求解与，再求解与即可. 【详解】因为，所以， 所以数列为等比数列，公比为，因为， 所以，则， 即，解得，所以，， 所以. 3．（2026·四川成都·二模）一座7层塔，塔的顶层共有3盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔共挂了多少盏灯？（   ） A．380 B．381 C．384 D．386 【答案】B 【分析】根据题意构造等比数列，由等比数列的求和公式计算即得. 【详解】设这座塔的顶层的灯数为，从顶层开始向下每层的灯数依次构成公比为的等比数列， 因塔共有7层，故该塔共挂的灯有盏. 4．（2026·四川·二模）已知等比数列的前n项和为，且，，则（   ） A．公比 B．数列是单调递减数列 C． D． 【答案】AC 【分析】利用等比数列的前项和公式列出方程组，能求出首项和公比，结合等比数列的通项公式以及前n项和公式一一判断各选项，即得答案． 【详解】若等比数列的公比为1，则，；，矛盾， 故， 由于，，，解得，，A正确； 故，数列是单调递增数列，B错误，C正确； ，D错误. 5.（2026·四川眉山·二模）设为等比数列的前项和，若，，则数列的公比为________． 【答案】2 【分析】根据等比数列前项和的定义可得，，结合等比数列性质运算求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，则，， 可得，即， 所以数列的公比为2. 6．（2026·四川雅安·二模）已知一个等比数列的前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比为______． 【答案】 【详解】令此等比数列为，设其公比为， 依题意，，则，解得， 所以这个数列的公比为. 7．（2026·四川南充·二模）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，为数列的前项和，为数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据等比数列的有关公式得到和，根据条件可得，再由求. （2）利用裂项求和法求和即可证明. 【详解】（1）由题意，，， 所以. 当时，. 当时，. 当时，上式亦成立，所以. （2）因为， 所以， 因为，所以. 所以. 8．（2026·四川·二模）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）将原式变形得到，利用等比数列定义即可证明； （2）利用等比数列通项公式得到，即可得到 （3）利用放缩法得到，由错位相减法求得的前项和，即可证明. 【详解】（1）由已知 ，变形得 ，故 . 又因为 ，所以 ， 因此数列 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列. （2）由(1)知数列 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列. 所以 . 因此数列 的通项公式为 . （3）由(2)知 ，因此 ，代入得 ， 对任意正整数 ， 有 ， 即 ， 两边取倒数得 ，因此 设放缩后的数列前项和为， 即 ① ①式两边同乘得： ② ①②错位相减得： ，整理得 由 ，可得 ， 结合，可证得 ，原不等式成立. 9．（2026·四川绵阳·二模）已知等比数列的首项为1，前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求使成立的的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列前项和的性质，，，成等比数列，且公比为，即可求出公比，写出通项公式； （2）求出等比数列的前和，分类讨论解不等式即可得解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，， 当时，，不符合题意，所以， 所以，，成等比数列，且公比为， ，所以，， 所以. （2）由（1）知，， 所以由可得， 即， 当为正偶数时，不等式显然成立； 当为正奇数时，则， 因为为递减数列，且， 所以且为奇数， 综上， ( 数列的综合应用 考点 4 )1．（2026·四川成都·二模）在数列中，，设的前n项和为．记表示不超过x的最大整数． (1)求； (2)是否存在常数A，，使得？若存在，求A和的值；若不存在，请说明理由； (3)求． 【答案】(1)，， (2)存在，， (3) 【分析】（1）由数列递推公式赋值求出，再根据取整函数的定义依次计算即得； （2）由（1）得结论，代入，求出，即得数列通项，验证即可； （3）先求导证明，利用其将数列的通项放缩，根据等比数列求和公式推得，结合可得，最后利用等差数列求和公式即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以，故； 又，故，，所以； 同理，故， 因，则,故, 所以，故. （2）假设存在常数A，使得， 则由（1）得，即. 因为，可得，解得（负值舍去）. 故.又，则得，即，故. 此时，. 所以存在，满足题意. （3）当时，，所以. 当时，因为，所以，故. 设函数，则. 所以在上单调递增，故，即. 所以. 则 ，因， 所以.故. 综上，当时，，故. 令，则当时， . 又因为满足，所以，. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $