二次函数压轴题之直角三角形存在问题点拨与精练-2026年中考数学二轮复习专题讲义

二次函数压轴题之直角三角形存在问题点拨与精练 点拨： 一、考向点拨 中考二次函数压轴题的高频设问，多为解答题第2-3问，是勾股定理与坐标几何的综合应用： 1.基础模型：已知抛物线上的两点，在抛物线上/坐标轴上找第三点，使三点构成直角三角形。 2.动点背景：点在抛物线上或直线上运动，探究不同位置下直角三角形的存在情况。 3.综合变形：结合相似三角形、斜率垂直等性质，增加题目的难度。 二、思路点拨 1.解题通用步骤： 设动点坐标：设动点P(x,y)，其中y用抛物线解析式表示。 分三种情况讨论： ①∠A=90∘：AB⊥AC，利用勾股定理AB2+AC2=BC2或斜率乘积为−1列方程； ②∠B=90∘：BA⊥BC，同理列方程； ③∠C=90∘：CA⊥CB，同理列方程。 解方程，检验解是否符合动点的运动范围，舍去重合或共线的点。 2关键技巧：优先用勾股定理列方程，避免斜率计算时的无意义情况（垂直于x轴的直线无斜率）；注意直角顶点的所有可能性，防止漏解。 精练: 1．（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值； (3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，;(2);(3)存在，或 【分析】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与一次函数的交点、抛物线的顶点、直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键． （1）根据待定系数法求解函数解析式即可； （2）先得出平移后的函数表达式，将交点问题转换为方程根的问题，由即可求解； （3）设点的坐标为，用表示、、的长度，对的斜边进行分类讨论，结合勾股定理得出方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，，代入 ， 得，解得， 故抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 当时，， 故点的坐标为． （2）解：假设平移后的函数表达式为， 假设直线所在的函数表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线所在的函数表达式为， 由于平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点， 即方程仅有一个实数解， 整理得， 故， 解得． （3）解：假设点的坐标为， ∵，，， ∴，，， 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 故点的坐标为或． 2．（23-24九年级上·吉林松原·月考）如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求的面积； (3)当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时时，求出m的取值范围并写出这个定值； (4)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使是以为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2)的面积为1；(3)当的取值范围为，定值为4；(4)或. 【分析】（1）利用待定系数法可得该抛物线的解析式； （2）根据配方法可得抛物线的对称轴，确定点P的坐标，知道轴，根据三角形的面积公式可得结论； （3）根据图象可得当抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为4时，点P的位置，从而确定m的取值范围； （4）设，而、，，，，再利用勾股定理建立方程求解即可. 【详解】（1）解：把点、代入得： ，解得：， 该抛物线的解析式为； （2）由（1）知，， 点为， 当轴时，点与点关于对称轴对称， 点， ，点到的距离为1， ， 的面积为1； （3）设抛物线与轴的另一交点为点，如图所示， 点与点关于直线对称， 点为 当点在点和点之间时，点与点之间（包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值4， 此时的取值范围为：； （4）如图，∵， ∴对称轴为直线， 设，而、， ∴，，， ∵为斜边， ∴，解得：或， ∴或. 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、轴对称的性质等知识；会利用待定系数法求函数解析式；二次函数与特殊三角形，关键是根据已知条件讨论点P的位置． 3．（2022·四川乐山·二模）如图1，已知菱形的边长为，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为，抛物线经过两边的中点． (1)求这条拋物线的函数解析式； (2)将菱形以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作于点E，交抛物线于点F，连接．设菱形平移的时间为t秒 ①是否存在这样的t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ②连接，以点F为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得，当落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（不要求写解答过程，只需直接写出答案即可） 【答案】(1);(2)①，② 【分析】（1）根据已知条件求出和的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式； （2）①分时，时，三种情况分类讨论： ②如图3所示，画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围． 【详解】（1）解：∵菱形的边长为， ∴ ∴的中点坐标为， 同理得的中点坐标为， 把，分别代入得，，解得，，∴． （2）解：①如图2所示，在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴ 若是直角三角形．则有或或： （I）若， 在中，， ∴． 又∵， ∴，∴， ∵，∴， （II）若， 由（I）知，，， ∴， ∵， ∴， 整理得，，此时，，此方程无实数根． ∴此时t不存在； （III）由题意得， ， ∴，此时t不存在． 综上所述，存在，是直角三角形； ②如图3所示，依题意作出旋转后的三角形，过作轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N． 观察图形可知，欲使落在指定区域内，必须满足：且． ∵， ∴， ∴， 由，得， 解得． ∵， ∴点的横坐标为， ∴， 又， ∵， ∴， 解得或（舍）． ∴t的取值范围为：． 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、几何变换（平移与旋转）、菱形的性质等重要知识点，难度较大，对考生能力要求很高．本题难点在于第（2）问，（2）①中，需要分别进行讨论，避免漏解；（2）②中，确定“限制条件”是解题关键． 4．（20-21九年级上·辽宁盘锦·月考）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标． (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2)点E的坐标为;(3)存在；点P的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则， 得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，， ∴，， ∵， ∴， 把和代入二次函数中得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：如图1，∵直线经过点和， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴设点，则， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴点E的坐标为； （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，分三种情况： ①点B为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴； ②点A为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴； ③点P为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴，解得：或， ∴或； 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及二次函数与几何最值、动态问题、待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形的性质、解二元一次方程、解一元一次方程、解一元二次方程等知识，知识点较多，难度一般，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算． 5．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最小，求此时点的坐标为__________； (3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线把的面积分成两部分，使，请求出点的坐标； (4)若为抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2);(3);(4)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）点和点是关于函数对称轴的对称点，连接交抛物线的对称轴于点，点即为所求，求解即可； （3）设点，则点，由可得，即，求解即可得出答案； （4）分两种情况：当为斜边时；当为斜边时，分别求解即可． 【详解】（1）解：将，代入中，得：，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，令，则， ， 设直线的解析式为：， 将，代入可得：，解得：， 直线的解析式为：， 抛物线的对称轴为直线， 点和点是关于函数对称轴的对称点， 如图，连接交抛物线的对称轴于点， ， 由轴对称的性质可得：， ，则点即为所求， 在中，当时，， ， 故答案为：； （3）解：设点，则点， ∵ ∴，即 解得：或（不符合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴； （4）解：设， ，， ，，， 当为斜边时，，即， 解得：，此时， 当为斜边时，，即，解得：，此时； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，点的对称性、图形的面积计算，勾股定理，直角三角形的性质等，理解坐标与图形性质，学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题是解题的关键． 6．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，正方形的边长为，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形绕点O顺时针旋转α后得到正方形，交y轴于点D，且D为的中点，抛物线过点、、． (1)填空： _____；抛物线的函数表达式是　　； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在x轴上时停止．设正方形落在x轴上方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)存在点P，使为直角三角形．满足条件的点P共有4个：，，，． (3)． 【分析】（1）由正方形的性质得出，．由旋转的性质得出，再根据正切的定义求解即可． 过点作轴，垂足为点E，过点作轴，垂足为点F，设，则，在中，利用勾股定理求得和，即可求得点的坐标，进一步证明，有，即可求得点和点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； （2）将（1）的抛物线解析式配方得对称轴．根据题意分三种情况：①以点为直角顶点，利用待定系数法求得直线的解析式，即可求得点；②以点为直角顶点，同理求得点；③以点P为直角顶点，分别过点、作抛物线对称轴的垂线，垂足为G、H，设点，进一步分点P在直线上方和点P在直线下方，利用相似三角形求解即可； （3）分三种情况：①当点运动到x轴上时，求得，，利用三角形的面积即可；②当点运动到x轴上时，则，，，，，，利用三角形的面积即可；③当点运动到x轴上时，同②可得：， ，利用三角形的面积即可． 【详解】（1）解：①∵四边形为正方形， ∴，． 又∵D是的中点， ∴ ∵由旋转性质可知，， ∴在中， ∴的值是． 过点作轴，垂足为点E，过点作轴，垂足为点F，如图， 在中，， 设，则，在中， 根据勾股定理，得． 即 解得（舍），． ∴，． 又∵点在第二象限， ∴点的坐标为． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点的坐标为，同理点的坐标为． ∵过点、、． ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：将（1）的抛物线解析式配方，得． ∴抛物线的对称轴是直线． 假设存在符合条件的点P，分三种情况： ①以点为直角顶点； 由（1）知点点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式：，则 ，解得 则直线的解析式：， 当时， ， 则点； ②以点为直角顶点； 同理可得直线的解析式：， 当时， ， 则点，； ③以点P为直角顶点； 分别过点、作抛物线对称轴的垂线，垂足为G、H； 设点， 当点P在直线上方时， 、、、 ∵， ∴， ∴， 则，解得：，（舍）． 当点P在直线下方时，同上，可求得； 综上，存在点P，使△PB1C1为直角三角形．满足条件的点P共有4个：，，，． （3）解：设运动后的正方形为，分三种情况： ①当点运动到x轴上时， ∵正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑， ∴； 当时，如图①， ，， ∴； ②当点运动到x轴上时，； 当时，如图②； 则，，，，，， ∴； ③当点运动到x轴上时，； 当时，如图③， 同②可得：， ； ∴； 综上， ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、相似三角形的判定和性质、平移的性质和三角函数的定义，解题的关键是熟悉旋转的性质和正方形的性质，以及熟练应用分类讨论思想． 7．（2024·山东滨州·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】(1);(2)存在，或或;(3) 【分析】（1）根据题意，可求出点的坐标，再运用待定系数法即可求解； （2）根据直角三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；分别求出直线的解析式，再联立二次函数为二元一次方程组求解即可； （3）如图，在上取点，使，连接，可证，得，当点三点共线时，的值最小，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴与经过点的直线交于点， ∴把代入直线得，， ∴， 令，则， ∴， ∵， ∴， ∴将代入， 得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在点，理由如下： 直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点， ∴当时，， ∴， ①当时，设直线交对称轴于点，对称轴与轴交于点， ∵，，二次函数对称轴为， ∴，，轴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得，解得， 直线的解析式为， 解方程组，得或， ∴点的坐标为； ②当时，根据点关于抛物线对称轴对称，则直线经过点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线DM的解析式为， 解方程组， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或； （3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点， 如图，在上取点，使，连接， ∵PB=2， ∴， ， ， 又， ， ，即， 当点三点共线时，的值最小，即为线段的长， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与特殊三角形，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，特殊三角形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键． 8．（2024·四川南充·一模）如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线上位于第四象限内一动点，于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点（点M不与B重合），过点M作轴于N，是否存在点M，使为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值为．此时 (3)为直角三角形时，点M的坐标为：或 【分析】（1）把点坐标代入函数的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求线的解析式，设点的横坐标为，再用的代数式表示的长度建立二次函数求解即可； （3）先求直线BE的解析式，再分三种情况，根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）由题意得，解得：． 则抛物线的解析式为：； （2）过点P作轴于点H，交于点G 当时，，解得或3， ∴ 设直线的解析式为：， 则;解得：;∴ 设点（），则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． ∴当时，取得最大值为．此时． （3）在上存在点M，使为直角三角形． 抛物线顶点，设直线的解析式为：， 则，解得：，∴． 设， ①∵，∴，不可能为直角； ②当时，则  ∴轴， 则，∴，∴． ③当时，过点M作轴于点F． ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． ∵，∴不合题意，应舍去，∴ ∴ 综上所述，为直角三角形时，点M的坐标为：或． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，构造二次函数求线段的最值，二次函数与直角三角形的存在性问题，相似三角形的判定和性质，难度较大，是中考的压轴题，解题的关键是数形结合，提高综合运用的能力． 9．（23-24九年级上·云南曲靖·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线的图象过点，并与直线相交于A、B两点． (1)求抛物线的解析式（关系式）； (2)过点A作交x轴于点C，求点C的坐标； (3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，详见解析 (2)，详见解析 (3)存在，点M的坐标分别为、、、，详见解析 【分析】（1）首先求出A点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）利用相似三角形比例线段之间的关系，求出线段的长度，从而得到C点的坐标，如题图所示； （3）存在所求的M点，在x轴上有3个，y轴上有2个，注意不要遗漏．求点M坐标的过程并不复杂，但要充分利用相似三角形比例线段之间的关系． 【详解】（1）直线解析式为，令，则， ∴， ∵抛物线的图象过点， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为：． （2）∵直线分别交x轴、y轴于点P、点A， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 又C点在x轴负半轴上， ∴点C的坐标为． （3）抛物线与直线交于两点， 令， 解得， ∴． 如答图①所示，过点B作轴于点D， 则． 点M在坐标轴上，且是直角三角形，有以下几种情况： ①当点M在x轴上，且，如答图①所示． 设，则， ∵轴， ∴， 即， 解得， ∴此时M点坐标为； ②当点M在x轴上，且，如答图①所示． 设，则， ∵，易知， ∴，即， 化简得：， 解得：， ∴此时M点坐标为； （说明：此时的M点相当于以为直径的圆与x轴的两个交点） ③当点M在y轴上，且，如答图②所示． 此时M点坐标为； ④当点M在y轴上，且，如答图②所示． 设，则， 易知， ∴，即， 解得， ∴此时点坐标为． 综上所述，除点C外，在坐标轴上存在点M，使得是直角三角形． 符合条件的点M有5个，其坐标分别为：、、或． 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、一次函数、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质等重要知识点，对于第（3）问，所求的M点有5个（x轴上有3个，y轴上有2个），需要分情况讨论是解题关键． 10．（22-23九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的横坐标； (3)点P是对称轴上的一动点，是否存在某一点P使P、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2);(3)存在，和 【分析】（1）先由直线的解析式求出它与x轴的交点A，与y轴的交点B的坐标，再将A，B两点坐标代入，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设第三象限内的点F的坐标为，运用配方法求出抛物线的对称轴和顶点D的坐标，再设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接，再根据，列出关于m的方程，解方程求出m的值，进而得出点F的坐标； （3）设点P坐标为，先求出，再分两种情况讨论：①若，根据勾股定理列出关于n的方程，求出n值，得出P点坐标；②若，同①可求出对应的P点坐标，进而得出结果． 【详解】（1）解：与x轴交于点A，与y轴交于点B， 令，得，即点A的坐标为， 令，得，即点B的坐标为， 将，代入， 得，， 抛物线的解析式为； （2）解：如图1，设第三象限内的点F的坐标为， 则，， ， 对称轴为直线，顶点D的坐标为， 设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接，则，， 直线的解析式为， 当时，， 点坐标为， ， 以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，， 解得：，（舍去）， 当时， ， 点F的坐标为； （3）解：设点P坐标为， ，， ， 分两种情况: ①如图2，若，则， 即， 解得， 点P的坐标为； ②如图3，若，则， 即， ， 点P的坐标为； 综上所述，P点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的面积问题，二次函数与直角三角形问题,运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，其中利用面积的和差表示出和分类讨论是解本题的关键． 11．（2015·山东临沂·一模）如图，抛物线与轴交于点和． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点， 轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形是平行四边形，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)C的坐标是；(3)P的坐标为或或． 【分析】（1）将，代入，列方程组并且解该方程组求出a、b的值，即可得到抛物线的解析式为； （2）将抛物线的解析式配方成顶点式，求得抛物线的对称轴为直线，，由平行四边形的性质得，则点C的横坐标为5，即可求得点C的坐标是； （3）分三种情况，一是；当时，过点C作轴于点L，作交的延长线于点H，则，证，设，则，于是得，求得，则；二是，可证明，则，得，． 三是，设交于点J，则，由平行四边形的性质得，，所以，则． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线，， ∵四边形是平行四边形， ， ∴点C的横坐标为， 抛物线， 当时，， ∴点C的坐标是． （3）解：存在点P，使是直角三角形， ①当时， 作交的延长线于点H，则，， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， ②点O是直角顶点时，过点C作轴于点L． ， ，， ， ， ， ， ， ． ③当时， 设交于点J，作轴于点L， ，，， ， 轴，， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ； 综上所述，存在点P，使是直角三角形， 点P的坐标为或或或． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 12．（2023·青海西宁·二模）如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为，求的最大值； (3)设抛物线的顶点为，轴于点，在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2);(3)存在点，的坐标为或或或． 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）过点作轴的垂线，交于点，先运用待定系数法求出直线的解析式，设点坐标为，根据的解析式表示出点的坐标，再根据就可以表示出的面积，运用顶点式就可以求出结论； （3）分三种情况进行讨论：以为直角顶点；以为直角顶点；以为直角顶点；设点的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点， ， 抛物线与轴相交于点， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点． 直线的解析式为：． 设点坐标为，则点的坐标为， ． ， ， 当时，有最大值； （3）解：在轴上是存在点，能够使得是直角三角形．理由如下： ， 顶点的坐标为， ， ． 设点的坐标为，分三种情况进行讨论： 当为直角顶点时，如图， 由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点的坐标为； 当为直角顶点时，如图， 由勾股定理，得， 即，解得， 所以点的坐标为； 当为直角顶点时，如图， 由勾股定理，得， 即， 解得或， 所以点的坐标为或； 综上可知，在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 13．（2023·湖南怀化·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，抛物线经过点、，是线段的中点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的动点，当时，求点的横坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (4)抛物线上（下方）是否存在点，使得？若存在，求出点到轴的距离，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为;(2)点横坐标为或;(3)存在， (4)存在，到轴的距离为 【分析】（1），，把，两点坐标代入即可求解； （2）过点作的平行线交抛物线左侧于点，可求直线的解析式为， ，即可求解；作关于轴对称的直线交抛物线左侧于点，同理可求； （3）设，由，即可求解； （4）过点作于点，延长至点，使得，连接，并延长交抛物线于点，作轴于，可求， ，可证，可求，从而可求，过作轴，交轴于，可求，直线解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 解得：； ，， 把，两点坐标代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：如图，过点作的平行线交抛物线左侧于点，此时 是的中点， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 令， 整理得：， 解得：，（舍去）， 作关于轴对称的直线交抛物线左侧于点，此时 同理可求直线的解析式：， 令， 整理得： 解得：，（舍去）， ∴点横坐标为或． （3）解：存在，理由如下： 设， 又∵，， ∴， ， ， ， ， 即： 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴． （4）解：存在， 如图，过点作于点，延长至点，使得，连接，并延长交抛物线于点，作轴于． ，， ，， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ，   ， ， ∴， ， ， 过作轴，交轴于， ， ， ， ， ，，   ， 设直线解析式为，则有 ， 解得： ， 直线解析式为， 令， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴到轴的距离为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及一次函数解析式，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握求法，判定方法及性质是解题的关键． 14．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：平分； (3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)．(2)见解析;(3)当为直角三角形时，M的坐标为或． 【分析】（1）本题用待定系数法求二次函数解析式，将，两点代入求解，即可解题． （2）本题根据抛物线的表达式得到点C的坐标，利用勾股定理求得的长，结合，得到，推出，，以及，推出，最后利用等量代换即可解题． （3）本题利用、求得对称轴，根据是以为直角边的直角三角形，分别过点B作交对称轴于和过点A作交对称轴于，先求出直线解析式，根据垂直得到直线解析式和直线解析式，将代入上述解析式，即可解题． 【详解】（1）解：将，两点代入中， 有，解得， 抛物线的表达式为：． （2）解：令，则， ， ，， ， 又，， ， ， ， 平分． （3）解：存在，理由如下： ，， 对称轴为直线， 过点B作交对称轴于， 设直线解析式为，则得，解得， 直线解析式为， 设直线为， ， ， ． 当时，， ； 过点A作交对称轴于， 设直线为，则得， ， ． 当时，， ； 当为直角三角形时，M的坐标为或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形性质、平行线的性质、勾股定理、角平分线的判定、二次函数与一次函数综合、一次函数互相垂直，熟练掌握相关知识、正确添加辅助线、运用分类讨论思想与数形结合思想是解题的关键． 15．（23-24九年级上·四川泸州·月考）如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于的动点，过点作于点，交抛物线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的点，使线段的长有最大值？求这个最大值； (3)是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为．(2)线段最大且为，．(3)为直角三角形时，点P得坐标为或． 【分析】（1）已知在直线上，求得c的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，通过待定系数法即可求得解析式； （2）设出P点横坐标，根据直线和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，可得到关于的长度与P点横坐标的函数关系式，再化成顶点式即可； （3）当为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴， ∴， ∵、在抛物线上， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）设动点P得坐标为，则C点得坐标为， ∴， ∵， ∴当时，即，线段最大且为． （3）∵为直角三角形， ①若点P为直角顶点，．由题意易知，轴，，因为此种情形不存在； ②若点A为直角顶点，则． 如图1，过点作于点N，则，．过点A作，交x轴于点M，则由题意易知，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 设直线得解析式为，则：，解得， ∴直线得解析式为：① 又抛物线得解析式为：② 联立①②式，解得：或（与点A重合，舍去） ∴，即点C、M点重合．当时，， ∴； ③若点C为直角顶点，则． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 如图2，作点关于对称轴得对称点C，则点C在抛物线上，且，当时，． ∵点、均在线段上， ∴综上所述，为直角三角形时，点P得坐标为或．    【点睛】考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 16．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上一动点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图（甲），在x轴上是否存在点E，使得以E，B，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），动点P运动到什么位置时，P到距离的最大，求出此时P到距离的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1);(2)或;(3)P到的最大距离为， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由图可知，不可能是直角，分当和是斜边，根据勾股定理列出等式即可求解； （3）由，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于两点， 设抛物线的表达式为：， 又，，解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：存在，理由： 由抛物线的表达式可知，点， 设点， 则，， 当是斜边时，    则， 解得：或4， 即点或（舍去）， 当是斜边时，    同理可得：， 解得：， 即点， 综上，点或； （3）解：如图，过点P作轴交于点H    设直线的表达式为：， ，， ，解得： 则直线的表达式为：， ， 故当时，的最大值为8，此时，点，此时P到距离,最大，设P到距离为h， ，， ∴， ∴， ∴，即P到的最大距离为． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，求解二次函数解析式，勾股定理，涉及到面积的计算、直角三角形的性质，分类求解是解题的关键． 17．（24-25九年级下·山西·月考）综合与探究 如图1，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，与直线交于点，，已知，，且． (1)求点的坐标及直线的函数表达式． (2)是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，若点的横坐标为，试用含的代数式表示的面积，并求出当为何值时，的面积最大，最大面积为多少． (3)如图2，设抛物线的对称轴为，在直线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，的面积最大，最大面积为 (3)或或或． 【分析】（1）由，，得．将，代入即可求得抛物线的表达式，进而可求得点的坐标，即可用待定系数法求直线的表达式； （2）用表示点的坐标为，可得，根据即可得出关于的函数表达式，利用二次函数的性质即可求解； （3）设点的坐标为．可得，，．分三种情况： ①当为斜边时，，②当为斜边时，，③当为斜边时，，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解： ，， ． 将，代入得解得 二次函数的表达式为． 在二次函数的图象上， ，D． 设直线的表达式为， 把，代入得 解得， 直线的表达式为． （2）解：如图，过点作轴的平行线交于点． 点的横坐标为， 点的坐标为， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． （3）解：存在，点的坐标为或或或． ， 对称轴为直线，点的坐标为，设点的坐标为． ，，． 分三种情况： ①当为斜边时，，即． 解得，， 点的坐标为或． ②当为斜边时，，，解得， 点的坐标为． ③当为斜边时，， ，解得， 点的坐标为． 综上所述，存在点使得为直角三角形，且点的坐标为或或或． 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、二次函数与面积问题、二次函数与特殊三角形存在性质问题等，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 18．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值，并写出此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为 时，的值最小，最小值为 ． (4)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形的面积最大为16；点P的坐标为 (3)， (4)点的坐标为或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把，代入，求出b和c的值，即可得出函数解析式； （2）易得，设，则，求出，则，根据四边形的面积，结合二次函数的增减性，即可解答； （3）作C点关于x轴的对称点，连接与x轴相交于点N，此时的值最小，根据两点间距离公式即可求出的最小值，再求出直线的解析式为，即可得到点N的坐标； （4）设，根据两点之间距离公式得出，，，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式； （2）解：∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴当时，四边形的面积最大为16，此时点P的坐标为； （3）解：作C点关于x轴的对称点，连接与x轴相交于点N， 此时的值最小，， 设直线的解析式为，则， 解得：， 则直线的解析式为， 令， 解得：， 此时点； （4）解：设， ∵，， ∴，，， 当斜边为时，， 即，整理得：， 解得：； 当斜边为时，， 即，解得：； ∴ 当斜边为时，， 即，解得：； ∴ 综上：点的坐标为或或或． 19．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，抛物线顶点D的坐标为，连接，，，，抛物线对称轴与相交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：； (3)若点P是线段上的动点，将沿边翻折得到，是否存在点P，使得与重叠部分的图形为直角三角形？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)见解析； (3)存在点P， BP的长为或＋1或． 【分析】(1)设抛物线的表达式为，把代入，即可求解； (2) 由勾股定理逆定理得为直角三角形，由正切函数得，，即可求解； (3) ①于点P，沿着边翻折得到，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； ②当于点H时，与①同理可得，设，，即可求解； ③，当于点G时，作于点I，由勾股定理得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点D的坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 把代入得： ， 解得， ， ∴抛物线的表达式为． （2）证明：由抛物线的表达式知，点B，C的坐标分别为，， 由点B，C，D的坐标得， ， ， ， ， 即为直角三角形， ， 在中， ， 即． （3）解：存在点P，使得与重叠部分的图形为直角三角形． 设抛物线的对称轴交x轴于点F，． ， ， 设直线的解析式为，则有 ，解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ①如图1，于点P，沿着边翻折得到， ，， ， ，即，解得， ． ②当于点H时，如图2， 与①同理可得， ， 即， 解得，， 在中，设， 则， ， ， ，解得：， ． ③如图3，当于点G时，作于点I， 由①②可知， ， ， 由翻折的性质可知， ． ， ． ，， ， ， 即， 解得． 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数与角度综合问题，二次函数与特殊三角形综合问题，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定及性质，三角函数等；能熟练利用，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定及性质，三角函数进行求解是解题的关键． 20．（21-22九年级上·江苏泰州·期末）如图，点A在抛物线上，过A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，点C为抛物线上的任一点； (1)若点A的横坐标为﹣4，且△ABC为直角三角形时，求C点的坐标； (2)当A点变化时，是否总存在C点，使得△ABC是直角三角形，若是总存在，请说明理由；若不是总存在，请直接写出点A纵坐标m的取值范围； (3)若△ABC为直角三角形，AB边上的高为h， ①h的大小是否改变，若改变，请说明理由；不改变，请求出高的长度； ②若将抛物线的关系式由换成y＝ax2（a≠0），其余条件不发生改变，试猜想h与a的关系，并证明． 【答案】(1)或;(2)不是总存在，;(3)①不改变，h=2；②，证明见解析 【分析】（1）由已知易得点A与点B的坐标，设AB与y轴的交点为D点，设点C的坐标为，其中，连接DC，根据直角三角形的性质， 从而可得关于n的方程，解方程即可求得n，从而可求得点C的坐标； （2）由点A的纵坐标及函数解析式可求得A、B两点的坐标及点D的坐标，若存在点C，使△ABC为直角三角形，设点C的坐标为，其中，根据直角三角形的性质， 从而可得关于n的一元二次方程，解方程解即可求得点n的值，从而可以求得点C的坐标； （3）①由（2）中所求得n的值，计算，根据结果即可判断h是否改变； ②设点A的坐标为，由函数解析式可得B点的坐标，设AB与y轴的交点为D点，则可求得点D的坐标，设点C的坐标为，其中；连接DC，根据直角三角形的性质， 从而可得关于n的一元二次方程，解方程即可求得n的值，从而由即可得到h与a的关系． 【详解】（1）∵抛物线解析式为，且AB∥x轴 ∴A、B两点关于y轴对称 ∵点A的横坐标为﹣4 ∴当时， ∴A， ∴AB=4−(−4)=8 设AB与y轴的交点为D点，连接DC，如图 则D点为AB的中点 ∴D(0，8) 设点C的坐标为，其中 ∵△ABC为直角三角形，且DC为斜边AB边上的中线 ∴ ∵ 即 ∴ 解得：，（不合题意，舍去） 即 ∴ ∴点C的坐标为或 （2）总存在C点，使得△ABC是直角三角形 理由如下： ∵点A的纵坐标为m ∴ ∴ ∴， ∴ 设AB与y轴的交点为D点 则D点为AB的中点 ∴D(0，m) 若存在点C，使△ABC为直角三角形，连接DC，如图 设点C的坐标为，其中，且 ∵△ABC为直角三角形，且DC为斜边AB边上的中线 ∴ ∵ 即 ∴ ∵ ∴（舍去） 当，即时， 即 ∴点C的坐标为或 即当A点变化，且时，总存在C点，使得△ABC是直角三角形， （3）①h的大小不改变 由（2）得：（） ∴ ②猜想，证明如下： 设点A的坐标为，则B点的坐标 ∴ ∴ 设AB与y轴的交点为D点 则D点为AB的中点 ∴D(0，m) 连接DC，如图 设点C的坐标为，其中 ∵△ABC为直角三角形，且DC为斜边AB边上的中线 ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴（舍去） ∴ ∴ 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，直角三角形斜边上中线的性质，解一元二次方程等知识，灵活运用这些知识是关键，本题的方程中含有参量，对学生的运算能力有较高的要求，具有一定的综合性． 21．（23-24九年级上·广东惠州·月考）如图，直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过、，并与轴交于另一点，其顶点为， (1)求，的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求的周长；若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴是上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，的周长最小为 (3)或 【分析】（1）根据直线与轴、轴分别交于点、，进行计算得，，根据抛物线经过点、得，计算求出，的值即可； （2）由、关于对称轴对称，连接交对称轴于点，连接，，根据两点之间线段最短，即为使的周长最小的点，计算、，求出的最小周长即可； （3）设，根据，，得，，，当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得，，代入计算即可得出点的坐标． 【详解】（1）∵直线与轴、轴分别交于点、， ∴， ，解得：， ∴，． ∵抛物线经过、， ∴把，代入抛物线，得：， 解得：； （2）∵抛物线， ∴对称轴为， ∴， ∴． 如下图，连接交对称轴于点，连接， ∵、两点关于对称轴对称， ∴， ∴． ∵两点之间线段最短， ∴最小， ∴周长最小， ∵，， ∴设直线解析式为，把代入得：，解得：， ∴直线解析式为，当时，， ∴； ∴存在满足条件的点，此时，且， ∴的周长最小为； （3）设， ∵，， ∴， ， ， 当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得：， ， ， ， ， ，， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、勾股定理、最短路径问题，熟练掌握勾股定理和二次函数的性质是解题的关键． 22．（2023·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且与轴交于，两点，与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点在抛物线上，且在直线的下方，求到直线距离的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2)，;(3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）由题意得，根据对称轴为直线且与轴交于，两点，得，两点关于直线对称，进而得，设抛物线的解析式为，然后将点代入即可求解； （2）由待定系数法求出直线的解析式为，设点，过点作轴交于点，则，根据的面积求出最大距离，并求出此时点的坐标； （3）若是以为直角边的直角三角形，则直角顶点为点或点，可以根据勾股定理分两种情况讨论． 【详解】（1）解：， ， ， 抛物线的对称轴为直线，且与轴交于，两点， ，两点关于直线对称， ， 设抛物线解析式为：， 将点代入得，，解得，， ， 故抛物线解析式为：； （2）解：设直线的解析式为：， 将代入得，，解得， 直线的解析式为：， 设点，过点作轴交于点，则， ， ， ， 设点到直线的距离为， 则， ， ， 当时，最大值为：，， ， 到直线距离的最大值为，此时点的坐标为； （3）解：存在点，使得是以为直角边的直角三角形， 设， ， ， ， ， 情况1，当时（即点为直角顶点），此时和为直角边，为斜边， 则， ， 整理得，，解得：， 当时，点与点重合，不符合题意，舍去， 当时，， ； 情况2，当时（即点为直角顶点），此时和为直角边，为斜边， 则， ， 整理得，，解得：， 当时，点与点重合，不符合题意，舍去， 当时，， ； 综上所述，存在点，其坐标为或． 试卷第44页，共63页 试卷第45页，共63页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数压轴题之直角三角形存在问题点拨与精练 点拨： 一、考向点拨 中考二次函数压轴题的高频设问，多为解答题第2-3问，是勾股定理与坐标几何的综合应用： 1.基础模型：已知抛物线上的两点，在抛物线上/坐标轴上找第三点，使三点构成直角三角形。 2.动点背景：点在抛物线上或直线上运动，探究不同位置下直角三角形的存在情况。 3.综合变形：结合相似三角形、斜率垂直等性质，增加题目的难度。 二、思路点拨 1.解题通用步骤： 设动点坐标：设动点P(x,y)，其中y用抛物线解析式表示。 分三种情况讨论： ①∠A=90∘：AB⊥AC，利用勾股定理AB2+AC2=BC2或斜率乘积为−1列方程； ②∠B=90∘：BA⊥BC，同理列方程； ③∠C=90∘：CA⊥CB，同理列方程。 解方程，检验解是否符合动点的运动范围，舍去重合或共线的点。 2关键技巧：优先用勾股定理列方程，避免斜率计算时的无意义情况（垂直于x轴的直线无斜率）；注意直角顶点的所有可能性，防止漏解。 精练: 1．（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值； (3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（23-24九年级上·吉林松原·月考）如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求的面积； (3)当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时时，求出m的取值范围并写出这个定值； (4)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使是以为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2022·四川乐山·二模）如图1，已知菱形的边长为，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为，抛物线经过两边的中点． (1)求这条拋物线的函数解析式； (2)将菱形以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作于点E，交抛物线于点F，连接．设菱形平移的时间为t秒 ①是否存在这样的t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ②连接，以点F为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得，当落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（不要求写解答过程，只需直接写出答案即可） 4．（20-21九年级上·辽宁盘锦·月考）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标． (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最小，求此时点的坐标为__________； (3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线把的面积分成两部分，使，请求出点的坐标； (4)若为抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，正方形的边长为，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形绕点O顺时针旋转α后得到正方形，交y轴于点D，且D为的中点，抛物线过点、、． (1)填空： _____；抛物线的函数表达式是　　； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在x轴上时停止．设正方形落在x轴上方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围． 7．（2024·山东滨州·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，请求出的最小值． 8．（2024·四川南充·一模）如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线上位于第四象限内一动点，于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点（点M不与B重合），过点M作轴于N，是否存在点M，使为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（23-24九年级上·云南曲靖·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线的图象过点，并与直线相交于A、B两点． (1)求抛物线的解析式（关系式）； (2)过点A作交x轴于点C，求点C的坐标； (3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（22-23九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的横坐标； (3)点P是对称轴上的一动点，是否存在某一点P使P、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2015·山东临沂·一模）如图，抛物线与轴交于点和． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点， 轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形是平行四边形，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2023·青海西宁·二模）如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为，求的最大值； (3)设抛物线的顶点为，轴于点，在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2023·湖南怀化·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，抛物线经过点、，是线段的中点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的动点，当时，求点的横坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (4)抛物线上（下方）是否存在点，使得？若存在，求出点到轴的距离，若不存在，请说明理由． 14．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：平分； (3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 15．（23-24九年级上·四川泸州·月考）如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于的动点，过点作于点，交抛物线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的点，使线段的长有最大值？求这个最大值； (3)是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上一动点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图（甲），在x轴上是否存在点E，使得以E，B，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），动点P运动到什么位置时，P到距离的最大，求出此时P到距离的最大值及此时点P的坐标． 17．（24-25九年级下·山西·月考）综合与探究 如图1，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，与直线交于点，，已知，，且． (1)求点的坐标及直线的函数表达式． (2)是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，若点的横坐标为，试用含的代数式表示的面积，并求出当为何值时，的面积最大，最大面积为多少． (3)如图2，设抛物线的对称轴为，在直线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值，并写出此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为 时，的值最小，最小值为 ． (4)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，抛物线顶点D的坐标为，连接，，，，抛物线对称轴与相交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：； (3)若点P是线段上的动点，将沿边翻折得到，是否存在点P，使得与重叠部分的图形为直角三角形？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 20．（21-22九年级上·江苏泰州·期末）如图，点A在抛物线上，过A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，点C为抛物线上的任一点； (1)若点A的横坐标为﹣4，且△ABC为直角三角形时，求C点的坐标； (2)当A点变化时，是否总存在C点，使得△ABC是直角三角形，若是总存在，请说明理由；若不是总存在，请直接写出点A纵坐标m的取值范围； (3)若△ABC为直角三角形，AB边上的高为h， ①h的大小是否改变，若改变，请说明理由；不改变，请求出高的长度； ②若将抛物线的关系式由换成y＝ax2（a≠0），其余条件不发生改变，试猜想h与a的关系，并证明． 21．（23-24九年级上·广东惠州·月考）如图，直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过、，并与轴交于另一点，其顶点为， (1)求，的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求的周长；若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴是上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 22．（2023·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且与轴交于，两点，与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点在抛物线上，且在直线的下方，求到直线距离的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $