二次函数压轴题之平行四边形存在问题点拨与精练-2026年中考数学二轮复习专题讲义

二次函数压轴题之平行四边形存在问题点拨与精练 点拨： 一、考向点拨 中考二次函数压轴题的必考设问，多为解答题第3问，是坐标几何的核心应用： 1.基础模型：已知抛物线上的两点，在抛物线上/坐标轴上找另外两点，使四点构成平行四边形。 2.动点背景：两个点在抛物线上或直线上运动，探究平行四边形的存在情况。 3.综合变形：结合菱形、矩形等特殊平行四边形的性质，考查更复杂的存在性问题。 二、思路点拨 1.解题核心方法（中点坐标法）： 设点坐标：设四个点为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，其中两个点为已知点，另外两个为动点。 2.分三种情况讨论对角线： AB为对角线：中点重合，即，； AC为对角线：同理，中点重合； AD为对角线：同理，中点重合。 解方程，求出动点坐标，检验是否在题目给定的运动范围内。 3关键技巧：中点坐标法是最通用、最不易漏解的方法，优先使用；若已知两个定点，可分 “两点为邻边/两点为对角线” 两种情况讨论。 精练: 1．（2024·山东淄博·一模）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值； (3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (4)将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到一个新的抛物线，问在轴正半轴上是否存在一点，使得当经过点的任意一条直线与新抛物线交于，两点时，总有为定值？若存在，求出点坐标及定值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2);(3)存在，点的坐标为，，;(4)存在，定点，的值为 【分析】（1）把，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得答案； （2）根据抛物线解析式求出点坐标，利用待定系数法求出直线解析式，设，则，根据，及、两点坐标得出是等腰直角三角形，利用表示出的周长，利用二次函数的性质求出最大值即可得答案； （3）根据抛物线解析式求出对称轴为直线，点坐标为，点Q坐标为，根据平行四边形对角线中点的坐标相同，分、、为对角线三种情况，列方程组求出、的值即可得答案； （4）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设的解析式为，，，则，联立抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系用、、、分别表示和，代入，根据为定值得出值及定值即可． 【详解】（1）解：∵，在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为：． （2）∵抛物线的表达式为：， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得： ∴直线的解析式为， 设其中，则， ∴ ∵，， ∴ ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ∴的周长 ， ∴当时，的周长有最大值，． （3）由题意知，抛物线的对称轴为直线，，， 设点坐标为，点Q坐标为， ①当为对角线时，，解得：， ∴， ②当为对角线时，，解得：， ∴， ③当为对角线时，，解得：，解得：， 综上所述，存在点，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为，，． （4）当抛物线向左平移1个单位，向上平移4个单位后，得到新的抛物线，即， 设的解析式为，点坐标为，点坐标为，则， 联立新抛物线与直线的解析式得： ∴， ∴，， ， 同理，， ， ∵为定值， ∴，解得：， 当时，， ∴定点的值为4． 【点睛】本题考查二次函数的综合，包括待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像的平移、求一次函数解析式、平行四边形的性质、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，综合性强，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键 2．（23-24九年级下·山东菏泽·开学考试）如图，抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D． (1)求该抛物线的解析式； (2)点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），当点E在直线的下方运动时，求的面积的最大值及此时点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，在该抛物线上是否存在点P，使以C、E、P、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2)，;(3)存在，或或． 【分析】此题主要考查二次函数与四边形、三角形的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题，平行四边形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键． （1）将B、C两点分别代入解析式求解即可得； （2）过点E作轴的平行线交于点，将点B、的坐标代入一次函数确定函数解析式，然后设点，则点，得出，结合图象确定面积的函数表达式即可得出结果； （3）分三种情况进行讨论分析：a．当四边形为平行四边形时，则，；b．当四边形为平行四边形时，则，；c．当四边形为平行四边形时，则，，利用平行四边形的性质及中点点坐标的性质求解即可． 【详解】（1）将B、C两点分别代入解析式可得：，解得： ∴函数的表达式为：； （2）过点E作轴的平行线交于点， 设直线的解析式为， 将点B、的坐标代入一次函数表达式得：，解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∴， ∵，且， ∴当时，面积有最大值，最大值为， 当时， ∴此时点E的坐标为． （3）如图：、E，设，， a．当四边形为平行四边形时， 则，， ， 即 解得 当时， 所以 b．当四边形为平行四边形时， 则，， 则， 即 ， 当时， 所以 c．当四边形为平行四边形时， 则，， ， 即 解得 当时， 所以 所以，符合题意的点P有或或． 3．（25-26九年级上·山东东营·月考）二次函数的图象过，两点，与y轴相交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是第四象限内抛物线上的一动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标； (3)若点是平面内一点，是否存在以为顶点的平行四边形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2);(3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作于点Q，作于点N，交于点M，先求出直线的解析式为，设点，则点，，利用面积法可得，化为顶点式，即可求出取最大值时t的值，将t的值代入二次函数解析式即可求出点P的坐标； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，利用中点坐标公式，列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过，两点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：如图所示，作于点Q，作于点N，交于点M， 由（1）知二次函数的解析式为， 令，得， 点C的坐标为， 设直线的解析式为，将，代入， 得：，解得， 直线的解析式为． 设点，则点， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，取最大值， 此时，， 点P的坐标为； （3）解：设，，，， 当为对角线时，，解得：， ∴此时； 当为对角线时，，解得：， ∴此时； 当为对角线时，，解得：， ∴此时； 综上可知，点M的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数与一次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、求线段的最值、平行四边形的性质、中点坐标公式，解题的关键是综合运用上述知识，第3问难度较大，注意分类讨论，避免漏解． 4．（23-24九年级上·四川凉山·月考）如图，抛物线经过坐标轴上三点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)是直线上方抛物线上一动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1);(2)当时，的面积有最大值4，此时;(3)存在， 【分析】（1）求出、点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，设，则，可得，当时，的面积有最大值4，此时； （3）根据题意，设，结合，，根据平行四边形的对角线交点坐标，利用中点坐标公式列方程组求解即可求点坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过坐标轴上三点， 将代入得，解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：设直线的函数解析式为， 将代入得，解得，直线的函数解析式为， 过点作轴交于点，如图所示： 设，则， ， ， 由图像开口向下，当时，的面积有最大值4，此时； （3）解：存在点，使得四边形是平行四边形． ， 抛物线的对称轴为直线， 由题知，， 设， 当四边形是平行四边形时，为平行四边形的对角线，则，解得， ． 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，涉及待定系数法确定函数、二次函数最值、平行四边形性质及中点坐标公式等知识，熟练掌握二次函数的图像及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·月考）已知：抛物线分别交轴于、两点，交轴于点． (1)若顶点的横坐标为． ①求抛物线的解析式； ②如图①，直线分别与轴，轴交于、两点，将直线沿轴正方向平移个单位得直线，直线和抛物线相交于点、，是否存在，使四边形为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (2)如图②，若直线平行于交抛物线于点、，直线与直线交于点，若点在定直线上运动，求的值． 【答案】(1)①；②存在，使四边形为平行四边形；(2)． 【分析】（1）①根据顶点D的横坐标求出a的即可； ②求出直线的解析式为，联立，整理得：，其两根为，，由根与系数关系得：，，又由平行四边形的性质得可知，即可解得； （2）设点、的横坐标为、，，求出，，求出直线的解析式，直线的解析式为，联立抛物线， ，由根与系数的关系得①，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立方程组，整理得，即，结合点在定直线上运动即可求出的值． 【详解】（1）解：①∵抛物线的解析式为顶点D的横坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； ②存在，使四边形为平行四边形，理由如下： 当时，，当时，， ，， 将直线沿轴正方向平移个单位得直线， 直线的解析式为， 联立，整理得：，其两根为，， 由根与系数关系得：，， 四边形为平行四边形， 、为平行四边形的对角线， ，即， ， 解得； （2）解：设点、的横坐标为、， ， 令，则， 解得或， ，， 设直线的解析式为， ，解得， ， ， 设的解析式为，联立抛物线， 由根与系数的关系得①， 设直线的解析式为，代入、两点坐标得， 设直线的解析式为，代入、两点坐标得， 联立方程组，整理得，即 因为点在定直线上运动， ② 联立①②，得． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，图形平移的性质，用待定系数法求解析式，准确计算是解题是关键． 6．（23-24九年级下·云南昆明·开学考试）如图所示，抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式，点C及顶点M的坐标． (2)若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由． (3)直线交x轴于点E，若点P是线段上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，或或 (3)存在，或 【分析】（1）利用交点式直接求出抛物线的解析式，然后根据抛物线的解析式求出点C和顶点M的坐标即可； （2）先求出抛物线的对称轴为 ，设点 ，然后分三种情况：当为对角线时；当为对角线时；当为对角线时，利用中点公式，即可求解； （3）先求出点 ，再求出直线的解析式，可得到，然后两种情况：当 时和当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于两点 ∴， ∴顶点坐标为， 当时，， 点； （2）解：存在，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ， 根据（1）可知：点 ， 设点 ， ∵， 当为对角线时，另一条对角线为， ∴ ， 解得： ， ∴此时点； 当为对角线时，另一条对角线为， ∴ ， 解得： ， ∴此时点； 当为对角线时，另一条对角线为， ∴， 解得：， ∴此时点； 综上所述，点G的坐标为或或； （3）解：存在，理由如下： 如图，连接，， ∵， ∴点 ， 设直线的解析式为 ， 把点 ， ，代入得： ，解得：， ∴直线CM的解析式为 ， 当 时， ， ∴点 ， ∴，且， ∴， ∴， 设 ， 又∵点P在线段上， ∴ ， ∴ ， ， 当 时， ， 即 ，解得： ， ∴此时点 ； 当时， ， 即 ， 解得： ， ∴此时点 ， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形性质等知识，解决问题的关键是正确分类． 7．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图， 抛物线 与x轴交于、两点， 与y轴交于点C，连接，点P是抛物线对称轴上的一个动点，点Q是抛物线上的动点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在对称轴上运动时，求周长的最小值； (3)是否存在以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 ． 【答案】(1);(2);(3)存在, 点或或． 【分析】（1）利用抛物线与轴交点坐标，代入抛物线方程，求出，即可得解； （2）如图，为抛物线对称轴上的动点，连接，，，，求解，，，当三点共线时，可得周长的最小值为. （3）如图所示，分类讨论：当四边形为平行四边形时，设，利用点平移的坐标规律得到，然后把代入中即可得到Q点坐标；当四边形为平行四边形或四边形为平行四边形时，利用同样的方法即可求出对应Q点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线 与x轴交于、两点， ， 解得：， 抛物线解析式为． （2）解：如图，为抛物线对称轴上的动点，连接，，， ∴， ∵， ∴当，，抛物线的对称轴为直线， 即，而， ∴，， ， 当三点共线时，周长的最小值为. （3）解：存在．理由如下： ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设， 如图所示： 当四边形为平行四边形，由平移可得， 把代入得 ， 解得， ∴； 如图，当四边形为平行四边形时，由平移可得：， 把代入得 ， 解得， ∴； 如图，当四边形为平行四边形时， ∴，， ∴为对称轴与轴交点，，关于直线对称，， 此时满足，符合题意， ∴， 综上所述，满足条件的Q点坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；轴对称的性质，勾股定理的应用，平移的性质，会利用待定系数法求二次函数解析式；会运用点平移的坐标规律表示平行四边形的顶点坐标，连接坐标与图形性质． 8．（2025·湖北武汉·三模）已知，如图1，为平面直角坐标系的原点，过定点的直线与抛物线交于点（点在点左侧）． (1)若，则求直线的解析式； (2)若，试探究在平面直角坐标系中，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明原因； (3)如图2，分别过点作与抛物线均有唯一公共点的直线，直线的交点为，若，求的值． 【答案】(1);(2)存在，或或;(3)4或5 【分析】（1）将代入，求出k即可； （2）先求出定点，联立抛物线和直线，得到，则，由得到，则，那么直线，，，，则，再按照对角线分三种情况，结合平行四边形的性质求解； （3）设，联立直线与抛物线得到一元二次方程，则，设直线，与抛物线联立得到，由点作与抛物线均有唯一公共点，则，，那么直线，同理可得直线，联立两直线求得，则，由，结合两点间距离公式求解即可． 【详解】（1）解：存在，理由如下： 由题意得将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：由得， ∵直线过定点， ∴，解得：， ∴， 联立得：， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴直线， ∴，，， ∴， ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ①为对角线时， ， ∴， ∴； ②为对角线时， 则， ∴，直线 ∴，， ∴； ③为对角线时， 则， ∴， ∴，， ∴， 综上所述：存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或； （3）解：设， 联立得：， ∴， ∴， 设直线， 联立， 整理得：， ∵点作与抛物线均有唯一公共点， ∴，， ∴直线， 同理可得直线， ∴联立得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与直线的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的性质，两点间距离公式等知识点，难度大，计算复杂． 9．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知：如图1，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图2，点为该抛物线第四象限上的一点，连接，，使，请求出点的坐标； (3)点为该抛物线对称轴上的一点，问在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2);(3)存在；，， 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）在轴上截取，连接，过点作于，过点作轴于，证明，根据勾股定理得出，根据等积法求出，根据勾股定理得出，设，得出，，证明，得出，即可得出答案； （3）设，，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，分别根据中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：把点，点，点代入 得，解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：在轴上截取，连接，过点作于，过点作轴于，如图所示： ，， ， ， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 设， ，； 又， ， ， 又， ， ，即， 解得（舍去），， ； （3）解：抛物线的对称轴为：， 假设存在，设，， 根据解析（2）可知：，， 分两种情况讨论： 当为四边形的对角线时，根据中点坐标公式得： ，解得：， ∴此时； 当为四边形的对角线时，根据中点坐标公式得： ，解得：， ∴此时； 当为四边形的对角线时，根据中点坐标公式得： ， 解得：， ∴此时； 综上分析可知：点Q的坐标为，，． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求解析式，三角形面积问题，三角形相似的判定和性质，以及二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 10．（2024·甘肃平凉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，，连接，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点． 备用图 (1)求该抛物线的函数解析式． (2)在线段的下方是否存在点P，使得的面积最大？若存在，求点P的坐标及面积最大值． (3)在对称轴上是否存在点N，使得以点B，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点P的坐标为，的面积最大值为； (3)存在，N点坐标为或或． 【分析】（1）将点，代入抛物线的函数解析式求解，即可解题； （2）过点P作轴，交于点Q，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，设点，则点，表示出，利用二次函数的最值，得到的最大值，推出点P的坐标，进而得到的面积最大值； （3）根据以点B，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形，分以下三种情况讨论，①当，为对角线时，②当，为对角线时，③以，为对角线时，利用平行四边形对角线互相平分的性质求解，即可解题． 【详解】（1）解：将点，代入中， 有，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 如图，过点P作轴，交于点Q， 设直线的解析式为，把，代入， 可得，解得， 直线的解析式为， 设点，则点， 点P在直线的下方， ， ， 当时，有最大值，最大值为4， 此时点P的坐标为， 的面积最大值为； （3）解：存在，理由如下： 点N是对称轴上的一点，点P是抛物线上一点， 设N点坐标为，P点坐标为， 以点B，C，P，N为顶点的平行四边形： ①当，为对角线时， ，且，解得，， 此时N点坐标为； ②当，为对角线时， ，且，解得，， 此时N点坐标为； ③以，为对角线时， ，且，解得，， 此时N点坐标为． 综上，N点坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 11．（2024·四川内江·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点B． (1)求此抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，是否存在以点O、B、Q、P为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线为：； (2) (3)点的坐标为：）或． 【分析】（1）由题意设抛物线为，再进一步解答即可； （2）根据抛物线的解析式可得点的对称点为点，结合轴对称最短路径可得的周长为最小，根据点的坐标可求出直线的解析式是，由抛物线的对称轴为，代入直线的解析式即可求解； （3）根据平行四边形的判定和性质可得，设点，则，由此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为：， ∴对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴得对称点为点， ∴交抛物线的对称轴于点即为所求点的位置，即的周长为最小， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴，解得，， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 则点； （3）解：∵，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∴如图所示，设点，根据过点作轴的平行线交抛物线于点，四边形为平行四边形，则， ∴， ∴， ∴ 解得：，， ∴当时， ∴，即； 当时， ∴， 即 ∴点的坐标为：）或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质的综合，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 12．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点，点在第二象限的抛物线上．      (1)求抛物线的函数解析式； (2)当点的坐标为时，求的面积； (3)请过点作轴，交直线于点，是否存在点，使得四边形是平行四边形？如果存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)轴上，是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2);(3)存在，;(4)存在，，，， 【分析】（1）将点和代入解析式即可求解； （2）连接，可求，，由 即可求解； （3）用待定系数法可求直线的表达式为，设，由平行四边形的性质得，即可求解； （4）①为顶点时， 在轴上分别截取，即可求解；②为顶点时，由等腰三角形的性质得，即可求解；③为顶点时，过的中点作交轴于，作轴交轴于，可证，由相似三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线交轴于点和点， 交轴于点， ， 解得， ； （2）解：如图，连接， ， 令， 即， 解得，， ， ， ，， ， ，         ； （3）解：如图， ， 设直线的表达式为 ，解得 作轴，交于点， 设， ， 四边形是平行四边形， ， 解得， ， 点的坐标为； （4）解：①如图，为顶点时， 在轴上分别截取， ， ， ， ，； ②如图，为顶点时， ， ， ； ③如图，为顶点时， 过的中点作交轴于，作轴交轴于， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ， 解得：， ， ； ，，，． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，平行四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质等，掌握判定方法及性质，能根据等腰三角形的顶点不同进行分类讨论是解题的关键． 13．（22-23九年级上·河南濮阳·月考）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标； (3)图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2);(3)存在；点M的坐标为或或 【分析】（1）将A的坐标，点C的坐标代入，即可得抛物线的解析式为； （2）过P作轴于D，交于Q，过P作于H，由可得，故，是等腰直角三角形，可证明是等腰直角三角形，即知，当最大时，最大，待定系数法求出直线解析式为，设，则，，故当时，最大，即点P到直线的距离最大，此时； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设，，而，，分三种情况：①以、为对角线；②以、为对角线；③以、为对角线，分别根据中点坐标公式列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：将A的坐标，点C的坐标代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过P作轴于D，交于Q，过P作于H，如图所示： 在中，令得：， 解得：或， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为，将代入得， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴时，最大，即点P到直线的距离最大，此时； （3）解：存在，理由如下： 抛物线对称轴为直线， 设，，而，， ①以、为对角线，则、的中点重合，如图： ∴，解得：， ∴； ②以、为对角线，则、的中点重合，如图所示： ∴，解得， ∴； ③以、为对角线，则、中点重合，如图所示： ， 解得， ∴； 综上所述，M的坐标为：或或． 14．（21-22九年级下·山东枣庄·开学考试）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，与抛物线的对称轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)平面内是否存在点M，使得以M、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)、、 (3)或 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点和点，即可得到关于a、b的方程，从而可以求得a、b的值，然后即可写出抛物线的解析式； （2）利用平行四边形对角线互相平分的性质，分三种对角线情况列方程求解点； （3）根据抛物线的解析式，设点P的坐标，然后再根据是等腰直角三角形，得出是等腰直角三角形，再分类讨论，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， 解得， ∴抛物线的解析式为：； 将解析式配方得顶点式： ∴顶点D的坐标为； （2）存在， 令，则， ∴， 设点，根据平行四边形对角线互相平分的性质，分三种情况讨论： 情况1：以为对角线 则中点与中点重合： 解得： 即． 情况2：以为对角线 则中点与中点重合： 解得： 即． 情况3：以为对角线 则中点与中点重合： 解得： 即． 综上，存在满足条件的点，坐标为、、； （3）存在，理由如下： 当时，，所以，， ∴是等腰直角三角形， 以点P、Q、E为顶点的三角形与相似， ∴是等腰直角三角形， 设点P的坐标为，抛物线的对称轴为直线， 设BC的解析式为，将，代入得， ， 解得，，故BC的解析式为， 把代入得，，则E点坐标为， 如图，当E为直角顶点时，， 解得，，（舍去）， 把代入得，，则P点坐标为， 当Q为直角顶点时，PQ=QE，即， 解得，（舍去）， 把代入得，，则P点坐标为； 当P为直角顶点时，作PM⊥EQ于M，PM=ME，即， 解得，（舍去），则P点坐标为； 综上，P点坐标为或． 15．（21-22九年级下·湖北武汉·自主招生）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB． (1)如图1，当轴时， ①已知点A的坐标是（-2，1），求抛物线的解析式； ②若四边形AOBD是平行四边形，求的值． (2)如图2，若，，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②；(2)，理由见解析． 【分析】（1）①先确定点C的坐标，再用待定系数法求解即可；②先确定抛物线的顶点坐标，进而得出，再判断出，得出，即可求解； （2）作AM⊥y轴，BN⊥y轴，根据解析式求得顶点坐标，再根据得到，设B(3m，n)，利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①点A的坐标是（-2，1），轴 ∴C点的纵坐标为1， 由题意可得，C(0，1)， 将C(0，1)、A（-2，1）代入可得 ，解得 解析式为： ②由可得对称轴为， 点C坐标为（0，c）， 作DE⊥x轴，交AC于点F，如图1， 由题意可得：EF=OC=c，DE=，∴ 在平行四边形OADB中，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∴ （2）存在点A，使得四边形AOBD为平行四边形，理由如下： 如图2，作AM⊥y轴，BN⊥y轴， 由题意可得：抛物线解析式为，对称轴为，顶点坐标为， ∴ ∴ 设点B(3m，n)，则BN=3m，AM=5m， 由B平移到O与D平移到A，平移方式相同，可得A（-5m，c+1-n）， ∴CN=ON-OC=n-c，CM=OC-OM=c-(c+1-n)=n-1， ∴，解得 ∴ ∵四边形AOBD为平行四边形 ∴AB的中点即为DO的中点 ∴，解得 ∴ 将代入得： ，解得 ∴ 【点睛】此题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法求解析式，平行四边形的性质，相似三角形的性质等，构造出是解题的关键． 16．（2021·广东佛山·一模）如图，二次函数图象的顶点为坐标系原点，且经过点，一次函数的图象经过点和点． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）如果一次函数图象与轴相交于点，点在线段上，与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，求点的坐标； （3）当点为直线上的一个动点时，以点为顶点的四边形能成为平行四边形吗？如果不能成为平行四边形，请说明理由；如果能成为平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；；（2）点的坐标为；（3）能，点坐标为：或或 【分析】（1）用待定系数法可分别求得二次函数和一次函数的解析式； （2）易证，可得：，设点的坐标为，那么点的坐标为，可得DO、DE及CO的长度，从而可得关于m的方程，示得m，即可求得点D的坐标； （3）由于DE∥OC，故只需DE=OC即可，分点D在点E的上方和点E的下方两种情况加以考虑即可． 【详解】（1）设二次函数的解析式为，把代入得， ∴二次函数的解析式为； 设一次函数的解析式为， 把分别代入得，，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）轴，， ， ，即， 设点的坐标为，那么点的坐标为， ， 又∵由直线与轴交于点， ∴点的坐标为， ， 解得（不合题意，舍去），， ∴点的坐标为； （3）以点为顶点的四边形能成为平行四边形． 理由如下： 若，以点为顶点的四边形为平行四边形， ①当点在点上方，，得．（舍去）， ②当点在下方，，得． 当； 当． 所以当点坐标为：或或． 【点睛】本题是二次函数与几何的一道综合题，考查了用待定系数法求函数解析式，三角形相似的判定与性质，平行四边形的判定，方程和方程组的解法等知识，关键是设点D的坐标后，可得点E的坐标，从而可把DE、DO表示出来，从而根据关系式列出方程，注意分类讨论． 17．（2024·山西大同·模拟预测）综合与探究：如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第四象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接，当时，求点E的横坐标； (3)如图2，点M是的中点，点N在抛物线上，轴．在（2）中，当四边形为平行四边形时，试探究，在线段上是否存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2)点E的横坐标为或1;(3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据题意，证明，然后即可求解； （3）根据题意，画出相应的图象，然后利用分类讨论的方法即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：把和代入可得．解得． ∴抛物线的解析式为：； （2）直线中，令可得，解，得， ∴． 直线中，令，可得． ①分别过E，F向y轴作垂线，垂足为G，H，根据题意，可得，如图： ∵轴，轴， ∴和为直角三角形． 在和中，， ∴． ∴． 设，则， ∴，． 从而，． ∴．解，得（舍去）或． ②如图：同理可得． 解，得（舍去）或． ∴点E的横坐标为或1； （3）在线段上存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．点P的坐标为或． 理由：∵点M是的中点，，． ∴． ∵点N在抛物线上，轴． ∴． ∴． 在（2）中，当四边形为平行四边形时， ∵，，，， ∴．解，得（舍去）或． ∴，． 分两种情况： ①如图，当四边形为平行四边形时，点P的坐标为． ②如图，当四边形为平行四边形时，点P的坐标为． 在线段上存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．点P的坐标为或． 【点睛】本题是一道二次函数综合题目，主要考查二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答． 18．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线：与抛物线：关于y轴对称，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)写出抛物线的函数表达式，并求出的长； (2)在抛物线上是否存在一点P，在抛物线上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出此平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； (3)设抛物线与x轴相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．抛物线与y轴交于E，经过点A的直线与线段DE交于F，与y轴交于G，记的面积为，的面积为，若，求OG的长． 【答案】(1)函数表达式为，;(2)存在，20或12;(3) 【分析】（1）先根据轴对称的性质求出抛物线的解析式，再求出其与x轴的交点坐标，即可求得的长； （2）设点P的坐标为，根据平行四边形的性质，分两种情况讨论，分别列方程求解，即得答案； （3）设直线AF的函数表达式为，可求出，则，然后联立方程组求出点F的坐标，以及，的表达式，再根据列方程求解，即得答案． 【详解】（1）抛物线：， 因为抛物线：与抛物线：关于y轴对称， 所以抛物线的函数表达式为， 令，解得或， 即，， ∴； （2）（2）存在；理由如下： 以为边，且以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， ，.， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为或， 当点Q的坐标为时，，解得， 当时，，此时平行四边形ABQP的面积为20（如图1）； 当点Q的坐标为时，，解得， 当时，，此时平行四边形ABPQ的面积为12（如图2）； 综上，平行四边形的面积为20或12； （3）（3）令，解得或，即，. 如图3，设直线AF的函数表达式为， 直线AF经过点， ， ， 直线AF的函数表达式为，易得直线的函数表达式为， 联立，解得， 点F的坐标为， ， ， ，即， ， ， 解得或， 点的纵坐标为或（不合题意，舍去）， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，平行四边形的性质，二次函数与一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19．（2024·宁夏·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值； (3)如图点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2);(3)存在，或或或 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，进而得出抛物线的解析式； （2）令，可得，令，可得，则，利用待定系数法可求得的解析式为，根据题意可知点的坐标为，，把分别代入抛物线和直线的解析式，可得，，进而可得，，由轴可得轴，据此可证得，于是可得，即，则，由已知条件可得，由此可建立关于m的方程，解之即可； （3）由C、F的坐标可求得直线的解析式为，进而可得，当时，，解方程即可求得点的坐标为或，然后分情况讨论：当时，；当时，；分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得：，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ，， ， 根据题意得，点的坐标为，则， 把代入，得： ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入，得： ，解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 点的坐标为， ， ， 又轴， ∴轴， ， ， ， ， 又， ， 解得：，（不合题意，故舍去）， ∴的值为； （3）解：存在，点的坐标为或或或， 理由如下： 设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得：， 的解析式为：， 当时，， 点的坐标为， 又点是轴上方抛物线上的一点， 当时，， 解得：，， 点的坐标为或， 分情况讨论： 当点的坐标为时， ， 点的坐标为或； 当点的坐标为时， ， 点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 20．（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）如图1，抛物线交轴于两点，交轴于点，且． (1)求抛物线的解析式： (2)点在抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在请说明理由； (3)如图2，将抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线，直线交抛物线于两点，直线与抛物线都只有一个公共点，直线分别交轴于两点，若的面积为，求的值． 【答案】(1);(2)存在，或或;(3)2 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，待定系数法求函数的解析式，根与系数的关系是解题的关键． （1）由根与系数的关系可得，再由，分别求出，将点代入，即可函数的解析式： （2）设，根据平行四边形的对角线性质，分三种情况讨论即可求解： （3）先求平移后的抛物线，设，当时，，，设直线的解析式为，当时，根据直线与抛物线只有唯一公共点，可推导出，则直线的解析式为，求出点的坐标为，同理，直线的解析式为，点的坐标为，当时，结合，可得，再由的面积，求出的值为2． 【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，当时，， ， ， ， ， ， 将点代入， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： ， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 当是对角线时，， ， 解得， ； ②当是对角线时，， ， 解得， ； ③当是对角线时，， ∴， 解得：， 综上所述，点的坐标为或或； （3）解： ∴将抛物线向右平移1个单位长度，可以得到抛物线， 设， 当时，， ， 设直线的解析式为， 当时，， ∵直线与抛物线只有唯一公共点， ∴方程的解为， ， ， ∴直线的解析式为， 当时， 解得：， ∴点的坐标为， 同理，直线的解析式为，点的坐标为， 当时， 解得， 代入得， ∵， ， 的面积， 解得或(舍)， ∴的值为2． 试卷第2页，共56页 试卷第3页，共56页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数压轴题之平行四边形存在问题点拨与精练 点拨： 一、考向点拨 中考二次函数压轴题的必考设问，多为解答题第3问，是坐标几何的核心应用： 1.基础模型：已知抛物线上的两点，在抛物线上/坐标轴上找另外两点，使四点构成平行四边形。 2.动点背景：两个点在抛物线上或直线上运动，探究平行四边形的存在情况。 3.综合变形：结合菱形、矩形等特殊平行四边形的性质，考查更复杂的存在性问题。 二、思路点拨 1.解题核心方法（中点坐标法）： 设点坐标：设四个点为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，其中两个点为已知点，另外两个为动点。 2.分三种情况讨论对角线： AB为对角线：中点重合，即，； AC为对角线：同理，中点重合； AD为对角线：同理，中点重合。 解方程，求出动点坐标，检验是否在题目给定的运动范围内。 3关键技巧：中点坐标法是最通用、最不易漏解的方法，优先使用；若已知两个定点，可分 “两点为邻边/两点为对角线” 两种情况讨论。 精练: 1．（2024·山东淄博·一模）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值； (3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (4)将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到一个新的抛物线，问在轴正半轴上是否存在一点，使得当经过点的任意一条直线与新抛物线交于，两点时，总有为定值？若存在，求出点坐标及定值，若不存在，请说明理由． 2．（23-24九年级下·山东菏泽·开学考试）如图，抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D． (1)求该抛物线的解析式； (2)点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），当点E在直线的下方运动时，求的面积的最大值及此时点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，在该抛物线上是否存在点P，使以C、E、P、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·山东东营·月考）二次函数的图象过，两点，与y轴相交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是第四象限内抛物线上的一动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标； (3)若点是平面内一点，是否存在以为顶点的平行四边形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 4．（23-24九年级上·四川凉山·月考）如图，抛物线经过坐标轴上三点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)是直线上方抛物线上一动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·月考）已知：抛物线分别交轴于、两点，交轴于点． (1)若顶点的横坐标为． ①求抛物线的解析式； ②如图①，直线分别与轴，轴交于、两点，将直线沿轴正方向平移个单位得直线，直线和抛物线相交于点、，是否存在，使四边形为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (2)如图②，若直线平行于交抛物线于点、，直线与直线交于点，若点在定直线上运动，求的值． 6．（23-24九年级下·云南昆明·开学考试）如图所示，抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式，点C及顶点M的坐标． (2)若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由． (3)直线交x轴于点E，若点P是线段上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图， 抛物线 与x轴交于、两点， 与y轴交于点C，连接，点P是抛物线对称轴上的一个动点，点Q是抛物线上的动点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在对称轴上运动时，求周长的最小值； (3)是否存在以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 ． 8．（2025·湖北武汉·三模）已知，如图1，为平面直角坐标系的原点，过定点的直线与抛物线交于点（点在点左侧）． (1)若，则求直线的解析式； (2)若，试探究在平面直角坐标系中，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明原因； (3)如图2，分别过点作与抛物线均有唯一公共点的直线，直线的交点为，若，求的值． 9．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知：如图1，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图2，点为该抛物线第四象限上的一点，连接，，使，请求出点的坐标； (3)点为该抛物线对称轴上的一点，问在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2024·甘肃平凉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，，连接，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点． 备用图 (1)求该抛物线的函数解析式． (2)在线段的下方是否存在点P，使得的面积最大？若存在，求点P的坐标及面积最大值． (3)在对称轴上是否存在点N，使得以点B，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2024·四川内江·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点B． (1)求此抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，是否存在以点O、B、Q、P为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 12．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点，点在第二象限的抛物线上．      (1)求抛物线的函数解析式； (2)当点的坐标为时，求的面积； (3)请过点作轴，交直线于点，是否存在点，使得四边形是平行四边形？如果存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)轴上，是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（22-23九年级上·河南濮阳·月考）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标； (3)图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（21-22九年级下·山东枣庄·开学考试）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，与抛物线的对称轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)平面内是否存在点M，使得以M、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，请直接写出点P的坐标． 15．（21-22九年级下·湖北武汉·自主招生）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB． (1)如图1，当轴时， ①已知点A的坐标是（-2，1），求抛物线的解析式； ②若四边形AOBD是平行四边形，求的值． (2)如图2，若，，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（2021·广东佛山·一模）如图，二次函数图象的顶点为坐标系原点，且经过点，一次函数的图象经过点和点． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）如果一次函数图象与轴相交于点，点在线段上，与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，求点的坐标； （3）当点为直线上的一个动点时，以点为顶点的四边形能成为平行四边形吗？如果不能成为平行四边形，请说明理由；如果能成为平行四边形，请直接写出点的坐标． 17．（2024·山西大同·模拟预测）综合与探究：如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第四象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接，当时，求点E的横坐标； (3)如图2，点M是的中点，点N在抛物线上，轴．在（2）中，当四边形为平行四边形时，试探究，在线段上是否存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 18．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线：与抛物线：关于y轴对称，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)写出抛物线的函数表达式，并求出的长； (2)在抛物线上是否存在一点P，在抛物线上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出此平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； (3)设抛物线与x轴相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．抛物线与y轴交于E，经过点A的直线与线段DE交于F，与y轴交于G，记的面积为，的面积为，若，求OG的长． 19．（2024·宁夏·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值； (3)如图点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）如图1，抛物线交轴于两点，交轴于点，且． (1)求抛物线的解析式： (2)点在抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在请说明理由； (3)如图2，将抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线，直线交抛物线于两点，直线与抛物线都只有一个公共点，直线分别交轴于两点，若的面积为，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $