河南洛阳市2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷

2025—2026学年第二学期期中考试 高一数学试卷参芳答案 一、单选题 1-4 ACBD 5-8 CDCB 二、多选题 9.ACD 10.AD 11.BCD 三、填空题 12.8+42 13.49 1aI26 四、解答题 15.解：(1)设圆锥底面半径为r,圆柱底面半径为r', 因为过P0的中点O'作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱， .…2分 且圆在母线长”=受 …3分 六圆陆的表面积方：-2m+2如rr=2如（学+2加·受：号-对 …6分 (2)圆维/0的体积为K=3r,0p=子·（号）a=D …8分 挖去的圆柱体积为=π2.00=m·()2.a=1 232ma …10分 1 96a3 剩下几何体的体积V=V-V,三2T02Ta= …12分 b1 16.解：(1)与b方向相同的单位向量为e二1b=40 …2分 所以向量a在向量b上的投影向量为1a|·cos60°·e=6× 2×4b=b 1 1 4 …5分 2-12 (2)由已知得a·b=a1b1c0s60°=6×4× …6分 所以b·(a-3b)=a·b-3b2=12-3×16=-36 .7分 又因为1a-3b12=(a-3b)2=a2-6a·b+9b2=36-72+144=108,…9分 所以1a-3b1=√/108=63 …10分 高一数学答案第1页（共4页）（2026.4) 设b与a-3b的夹角为0(0°≤0≤180°) 则0-a0-兽 2 …12分 所以0=150°. …13分 17.解：(1)三=1+ai-（-1+ai)(2-i) a12+i …1分 (2+i)(2-i) -a-2+2a+ …3分 5 5 a-2=0 因为至是纯虚数，所以 5 …5分 2a+1 5 ≠0 解得a=2. …6分 (2)由(1)知，2=-1+2i, …7分 因为82是关于x的方程2x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根， 则2(-1+2i)2+m(-1+2i)+n=0, …8分 即(-6-m+n)+(-8+2m)i=0, …10分 所u9+200 …12分 ∫m=4 (n=10 …13分 18.解：(1)m∥n,.asinB=√3 bcosA, …2分 由正弦定理“=b 里sind=sing得asinB=bsin, …3分 .∴bsinA=3 bcosA,.sinA=√3cosA,即tanA=√3 …5分 :0<A<m,A=T =3 …6分 (2)点M为△ABC的内心，.AD为△ABC的角平分线， ·LBAD=∠CAD=T …7分 6 :=2 AB·AD·sin BAD,SAD=AC·AD·sin L CAD Sax=2乞AB,AC·sin∠BAC,而Sam+San=Sac, 子2君+2mg=m 1 …8分 6 整理得2(b+c)=√3bC …9分 高一数学答案第2页（共4页）(2026.4) 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA,可得b2+c2-bc=12 .(b+c)2-3bc=12, …10分 将3bc=2(b+c)代入可得，(b+c)2-23(b+c)-12=0 .…11分 解得b+c=√3±√15，：b+c>0,.b+c=√3+√15 …12分 .△ABC的周长为a+b+c=23+√3+√I5=35+√5 …13分 19.解：(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD,BCC平面ABCD, 平面ABCD∩平面PAD=AD. ∴.BC∥AD. …1分 取PA的中点F,连接BF,EF, :上是PD的中点，：EF∥0，且EF=方40 …2分 BC∥AD且BC三)AD、EE∥BG且EF=BC …3分 ∴.四边形EFBC为平行四边形，·.CE∥BF …4分 又BFC平面PAB,CE￠平面PAB, …5分 ∴.CE∥平面PAB. …6分 (2)解：线段AD上存在点N,使得MN∥平面PAB, …7分 理由如下： 取AD中点N,连接CN,EN. ·E,N分别为PD,AD的中点，∴EN∥PA,9分 .·EN平面PAB,PAC平面PAB, .EN∥平面PAB. …10分 M D 又CE∥平面PAB,CE∩EN=E,CE,ENC平面CEN, C.A B .平面CEN∥平面PAB. …11分 .·M是CE上的动点，MNC平面CEN,.MN∥平面PAB, …12分 ∴.线段AD上存在点N,且N是AD的中点，使得MW∥平面PAB. …13分 20解：(0)n为nc中点，而=证+c 21 …1分 又：G为△c的垂心，”花-子动：丽+C正， 1 .入=以= 3 …2分 2 1 2-3u=3-1=-3 …3分 3v G,P.0三点共线，·3+3 …4分 高一数学答案第3页（共4页）(2026.4) 又x>0,y>0, 1 、xy 会(5+2任5)=3（当且仅当-华即k宁y=1时承等号） …5分 x Y .4x+y的最小值为3. …6分 (3)命-币-d=丽-(}+4d)=(x-子)证-}4d 0-a0-4c=c-(兮丽+写d=-正+(y-子ad …7分 IAB1=1AC1=1,∠BAC=60°， 人丽花C10=1x1×行寸 …8分 1=[有正-d=(e-》洒-子-)丽C+c 1、 1 1:=[-号丽+Gc话-子3丽C+0aC g-台+号=y+写 1 ·1+16成=(g+)-(+0+号=(+-2g-(x++号 …10分 2)如女+1，即+y=3 1c11601=9-5g+号=9g-08 36 …11分 又x+y≥2√x灯，.3xy≥2， 。好≥子（当且仅当=y=子时取等号） .…12分 45 9>18 。当专政+网R得装小谊9×（号意名弓 即cP+60:的最小值为号 …13分 高一数学答案第4页（共4页）(2026.4)2025——2026学年第二学期期中考试 高一数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在木试卷上无效。 3.考试结束后，将木试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.设a，b都是非零向量，下列四个条件巾，使 $$\frac { a } { | a | } = \frac { b } { | b | }$$ 成立的充分条件是 A.a=2b B.a∥b C.a=-b D.a∥b 且 |a|=|b| 2.已知i是虚数单位， $$z _ { 1 } = a + b i \left( a ， b \in R \right) ，$$ ，复数 $$z _ { 2 }$$ 是 $$z _ { 1 }$$ 的共轭复数，则下列结论错误的是 $$A . z _ { 1 } + z _ { 2 } \in R$$ $$B . z _ { 1 } z _ { 2 } \in R$$ $$C . z _ { 1 } - z _ { 2 }$$ 为纯虚数 $$D . | z _ { 1 } | = | z _ { 2 } |$$ 长 3.下列说法正确的是 A.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B.棱锥的所有侧面都是三角形 C.过空间内不同的三点，有且只有一个平面 D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 4.如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折 痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方 形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同 把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图 2，是一个纸风车示意图，则 D $$A . \overrightarrow { O C } = \overrightarrow { O E }$$ E C $$B . \overrightarrow { O A } \cdot \overrightarrow { O B } > 0$$ A 6 $$C . \overrightarrow { O A } + \overrightarrow { O C } + \overrightarrow { O D } = 0$$ B $$D . \overrightarrow { O A } + \overrightarrow { O D } = 2 \overrightarrow { O E }$$ 图1 图2 5.已知圆台 $$O _ { 1 } O _ { 2 }$$ 的上、下底面面积分别为 4π，36π， ，其外接球球心 满足 $$\overrightarrow { O _ { 1 } O } = 3 \overrightarrow { O O _ { 2 } } ，$$ 圆台 $$O _ { 1 } O _ { 2 }$$ 的外接球体积与圆台 $$O _ { 1 } O _ { 2 }$$ 的体积之比为 $$A . \frac { 2 0 \sqrt 5 } { 1 3 }$$ $$B . \frac { 1 0 \sqrt 5 } { 1 3 }$$ $$C . \frac { 1 0 \sqrt { 1 0 } } { 1 3 }$$ $$D . \frac { 1 0 } { 1 3 }$$ 高一数学第1页(共4页)(2026.4) 6.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=1,a(2sinB-√5cosC)= 5co1,点G是△MBC的重心，且AG=Y,则△ABC的面积为 A.√5 日③ C.√5或25 3V3 D.4 或3 7.下列四个正方体图形中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,P分别为其所在棱的中点，能 得出AB∥平面MNP的图形的序号是 ④ ② ③ A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 8.在△ABC中，已知A店.AC=9,sinB=coAsinC,SAc=6,P为线段AB上的-点，且CP CA =X· +y· C正，则片+的最小值为 I CAI ICBIx y 6+ 3 2+3 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法中错误的为 A.已知a=（1,2),b=（1,1),且a与a+入b的夹角为锐角，则实数X的取值范 周是(-子+0) B向量e=(2,-3),e=(),-)不能作为平面内所有向量的一个基底 4 C.已知c≠0，且a·c=b·c,则a=b D.非零向量a和b满足1a1=|b1=|a-b1,则a与a+b的夹角为60 10.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若4 sinBcosC+4 sinCcosB=asinA,且 A=行，则下列说法正确的是 A.△ABC的外接圆的半径为43 B若△MBC只有-个解，则6的取值范围为1610<6<4，或6=号万 C者日为锐角，则：的取值范图为(，8) D.△ABC面积的最大值为4√3 高一数学第2页（共4页)（2026.4) 11.在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D中，P,Q分别为棱AB,BC的中点，则以下四个 结论正确的是 A.棱C,D,上存在一点M,使得AM∥平面B,PQ B点E在线段PQ上，则B,E+DE的最小值是3,2 C.过A,C,且与平面B,PQ平行的平面截正方体所得 截面面积为？ D.过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图，已知∠x'0'y'=135°，直角梯形0'A'B'C'是一个 B 水平放置的四边形OABC的直观图，且O'A'=O'C'=2, O'A'∥B'C',A'B'⊥B'C',则四边形OABC的周长 为 13.复数z满足1z+3+4i1=2,则z的最大值是 14.在锐角△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，S为△ABC的面积， 且a2=2S+(b-c)2,则3sin2B+2sin2 二的取值范围是 sinBsinC 四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(12分) 如图，圆锥P0的底面直径和高均是α，过P0的中点0'作平行于底面的截面，以该截 面为底面挖去一个圆柱， (1)求圆柱的表面积； (2)求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积. T方 16.（13分) 已知向量a,b满足Ia1=6,1b1=4,a与b的夹角为60° (1)求向量a在向量b上的投影向量； (2)求b与a-3b的夹角， 高一数学第3页（共4页）（2026.4) 17.(13分) 设复数a,=2+i,2=ai-1(a∈R),且2是纯虚数. (1)求实数a的值； (2)若a2是关于x的方程2x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，求实数m,n的值. 18.(13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点M为△ABC的内心， 已知a=25,向量m=(a,cosA),n=(√3b,sinB),且m∥n. (1)求角A的大小： (2)延长AM交BC于点D,若AD=2,求△ABC的周长. 19.(13分) 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD,BC= 2AD,E是PD的中点 (1)求证：CE∥平面PAB; (2)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点 N,使MN∥平面PAB?说明理由. 20.（13分) 如图，在△ABC中，D是BC的中点，G是△ABC的重心，过点G的直线与边AB,AC分 别相交于点P,Q. A=xAB(x >0),AQ=yAc(y >0). (1)若AG=AB+uAC,求2入-3μ的值； (2)求4x+y的最小值； (3)若△ABC是边长为1的等边三角形，求GP2+G0的最小值 高一数学第4页（共4页）（2026.4)