福建宁德市2025-2026学年第二学期高二适应性练习数学试卷

**基本信息** 以函数性质与立体几何应用为核心，通过生活情境题与探究性问题，考查抽象能力、空间观念及模型意识，实现基础巩固与能力提升的衔接。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|3/30|函数单调性、线面垂直证明、概率计算|结合社区垃圾分类数据建模，考查数据意识与运算能力，设置梯度提问，从基础证明到创新应用|

2025-2026学年第二学期适应性练习 高二数学 (满分：150分练习时间：150分钟) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则a+6-8c为 A.(14-33) B.(14-3,-7) c.(10,-3,-1) D.(10,-3,3) 2,已知某质点的位移S与时间：满足函数关系式S(=2+1,则当△趋近于0时， S+△M)-SD趋近于 A.3 B.4 c.5 D.6 3.如图，空间四边形OABC中，点M和点N分别在OA和BC上，且满足 OM=2⑦，BN=N记，则下列向量与M瓜是共线向量的是 Ao-3丽+0c B.-40A+30B+30C C.0A+0B-OC D.40A+40B-30C 4.已知函数y=f(x)的导函数y=f()的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象大致为 y=f(x) 木米 5.已知函数f(x)=x3+ac2+bx+a2在x=1处有极值10，则f(2)= A.11 B.17 C.18 D.11或18 6.已知00.0Lo0,C0,对四点共面，则习的最大值为 B C.1 D.2 高二数学第1页共4页 7.已知函数f(x)=e-alnx是增函数，则实数a的取值范围为 （m B.（-00) C.（-o,0] ( 8,函数f(x)=l山(1-x)+x2-cosx的零点的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题的选项中有多 项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错得0分， 9.已知空间向量a=(x,1,1),6=(x+1,2x,2),c=(x-1,-2,2x) A.当a∥i时，x=1 B.当<a,c>为钝角时，-2<x<1且x≠-1 C.存在实数x,使得a⊥b D.存在实数x,使得{a,,©为空间的一组基 10.设函数f(x)=2x2-2ar2-1,则 A当a>时，闪有三个零在 B.当a>0时，x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,使得点(0，f0)为曲线y=f(x)的对称中心 D.存在a,使得过点 ) 为曲线y=fx)的切线有三条 11.“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧，如图所示，曲线y=©在点(0,1D处的切线方程 为y=x+1,易知，除切点(0,1)外，y=©图象上其余所有的点均在y=x+1的上方，故有 e≥x+1.显然，选择的切点不同，所得不等式也不同.请根据以上材料，判断下列命题 中正确的是 A.次>0，hx21-J B.x>0,e-n(x+2)>0 C.Vx>0,sinx51-x n.a>aae+ax22ha+号 高二数学第2页共4页 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.点A(2,3,1)关于坐标平面xOy对称的点的坐标是 13.曲线y=上过点L,0)的切线方程为 x=t 14.在空间直角坐标系中，曲线C的方程为 y=lnt+1)+1,(t为参数，t>-1),点P在 2=2 曲线C上，直线l过坐标原点且1的一个方向向量4=（山，1,0），则点P到直线1的最短距离 为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤 15.(13分) 如图，已知四棱柱ABCD-AB,CD的底面ABCD是正方形，BB=3,BA=2, C8A-ξ，B8-号 (1)求异面直线BD与CA所成角的大小： (2)求CA的长. 16.(15分) 已知函数闭-x-专· (1)求y=fx)在点(L,J()处的切线方程， (2)设函数g(x)=∫(x),求g(x)的单调区间： (3)求f(x)的极值点个数 17.(15分) 某工厂生产正四棱锥形状的精密零件，为防止运输时随碰损坏，需要给每个零件定制专 用的球形保护包装盒，要求正四棱锥的所有顶点都在球面上（即正四棱锥内接于该球）， 已知球形包装盒的半径为3，正四棱锥的侧棱长1满足3≤1≤3√万， (1)用侧棱长！表示该摆件的体积Ψ； (2)在保证零件完全适配球形包装盒的前提下，如何设计侧棱长I,使得零件的体积 最大？求出此时零件的体积V及对应的侧棱长L, 高二数学第3页共4页 18.(17分) 如图，在三棱锥S-ABC中，SC⊥底面ABC,AC⊥BC,CE=2EB=4,AC=3, D为棱AB上的点，CD=ED (1)求证：DE⊥平面SCD: (2)设SD与底面ABC所成角的正切值为 2 (i)求面ASD与面SCD所成的二面角的正弦值： (i)棱SE上是香存在点P,使得点P到面MSD的距离为压？若存在，确定点P 14 的位置：若不存在，请说明理由。 19.(17分) 已知函数f()=x-a血1+x). (1)讨论f(x)的单调性： (2)当x>0时，f(x)≥0，求a的取值范围： C3)设nmeN,证明：号+t +++m+年++ 十 P+1√2+2 高二数乎第4页共4页2025-2026学年第二学期适应性练习高二数学 参考答案及评分标准 说明： 1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考.如果考 生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细 则. 2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有 出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部 分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半：如果后继部分的解答有较严重 的错误，就不再给分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1.A2.B3.B4.D 5.C6.A7.C 8.B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9.ACD 10.BC 11.ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.（2,3,-1) 13.4x+y-4=0(或y=-4x+4) 14. v2 2 第8题解析： 法1：函数fx)的定义域为(-o,1) fW+2rmx 当x=0时，f'x)=-1+0+0<0 当x∈(m,0)时，1，<-1,2x<0,-1<inx<1,所以f)<0 x-1 当co侧时2x+-43-0-e3-250 综上，x∈（o,l)时，f(x)<0 所以函数f(x)在（仁o,l)上单调递减 因为f0k0,f八)广元1+2x-1>0,所以两数f)在（←o上只有-个零点 高二数学答案第1页共9页 法2：函数f(x)=n(1-x)+x2-cosx的零点的个数 即函数片=cosx与函数y,=n(1-x)+x2图象交点的个数 2',1+2x2x+<0,<1 1-x 所以y2在（∞1）单调递减，且x=0时y2=0 又y=cosx∈[-l1] 由图可知两函数交点个数是一个 第11题解析： 对于选项A,令1=n二，代人e≥1+1得e≥1n上+1，整理得nx≥1-1，A正确： 1 对于选项B,由e≥x+1得e-ln(x+2)≥x+1-ln(x+2) 令fc)=x+1-血(x+2,则x>0时，f(x)=1- >0 x+2 所以f(x)在(0，+o)上单调递增，所以f(x)>f(0)=1-ln2>0,B正确： 对打选项C存在x-分使得n1不成立，c错误 对于选项D,令f(x)=ae+a-x,由f(x)=ae-l=0得x=-lna 因为a>0,所以fx)=f-na)=alea+a-(-lna)=1+a2+lna 3 因此只需证：1+a2+na>2na+三， 2 1 化简等价不等式：a2-lna- >0 2 自A得，n221即-ha≥l-a,所以a-a号a+-a)号-a号 1. 即正：Ga+片0，令g回)-。-a+片则lo-8日-0，D确 2)4 高二数学答案第2页共9页 第14题解析： Pt,lnt+1)+1,t,则oP=,1nt+1)+1,t） OP在l上的投影长m= 可，上+hG++ √2 点P到直线1的距离d=-2=+-6+1-川 记e6)=,-hf生-少，由gf)=4+e+1-a(+） 2 可知lnt≤t-1,则lnt+1)≤t,则t+1-nt+1)>0 所以t∈(-1,0)，g't)<0,g(x)单调递减；t∈(0，+o∞)，g')>0,g()单调递增 所以80=8o)-子所以f=0时，d=5 2 四、解答题 15.解：(1)BD=BC+BA ....1分 CA=CD+DA+AA BA-BC+BB ...2分 因为BD.C4=(BC+BA·(BA-BC+BB】 BC.BA-BC'+BC.BB,+BA'-BA.BC+BA.BB, --c+BCBcos(BC.B.+cosBi.BB. -2+2x3x(2+2x3x0 .5分 所以BD⊥CA ..6分 所以异面直线BD与C4所成角为 .7分 因为CA=CA=BA-BC+BB) .8分 =BA'+BC+BB,-2BA-BC+2BA.BB,-2BC.BB, .9分 =BM+BC+BB+2ABB,cos(⑧M,BB〉2BCBB卜osBc,BB) =22+22+32+2×2×3× =29 ...12分 所以CA的长为V29. 13分 高二数学答案第3页共9页 16.解：()f)=1-】 分 f'倒-1- 2分 er f'1)=1… .3分 所以y=f(x)在点(1∫(1)处的切线方程y-1+二=x-1…4分 即y=x (或ex-ey-1=0) …5分 2)gx)=f')=1-1=x 烟-2号 .6分 令g(x)=0得x=2… .7分 x∈(-o,2),g(x)>0,gx)单调递增 x∈(2，+∞)，g(x)<0,g(x)单调递减 .8分 所以8()的单调递增区间为（一∞，2），单调递减区间为(2，十∞)9分 (3)由(2)得g(x)在(-∞，2)上单调递增 82=1+>0 .10分 又g(0)=0 .11分 则x∈(-oo,0),f'(x)=8x)<g(0)=0:x∈(0,2)，f'()=8)>8(0)=0 所以f(x)在(-0∞，2)上有一个极值点12分 又由(2)得gx)在(2，+∞)上单调递减 82=1+>0 x→+o∞，f'(x)=8x)>0 .13分 所以f()在(2，十∞)上无极值点14分 综上所述，∫x)的极值点个数是1个15分 17.解：(1)设该正四棱锥的高为h,底面正方形的边长为a, 9=(h-3+1a 2 由题意可知 .2分 12=+a 联立以上方程组可得h=二，a2=P-h 6 136-,3≤1≤336分 324 高二数学答案第4页共9页 (2)令x=,则y=36-,9≤x≤27 7分 324 构造f(x)=x2(36-x),9≤x≤27 f'(x)=3x(24-x)… ……8分 令f”(x)=0得x=24或x=0(舍去)… 9分 [9,24) 24 (24,27] f'(x) × 0 f() 单调递增 最大 单调递减 ..11分 所以f(x)mm=f(24).12分 r-/-2到.24x1264 ..13分 324-182 182 3 此时由12=24得1=2W614分 64 所以当侧棱长为1=26时，零件的体积最大，此时体积为 ..15分 3 18.(1)证明：SC⊥底面ABC,DEC面ABC.SC⊥DE1分 又D为棱AB上的点，CD=ED,取CE的中点M..DM⊥CB,又AC⊥BC∴.DM∥AC 又CM=Ms,CB=2B=4:BM-3C:DM=专4C=2 3 cD=DE=22,cD2+DE2=CE2CD DE.. 又SC∩CD=C ∴.DE⊥平面SCD .4分 (2)(i):SC⊥底面ABC,.:.SD与底面ABC所成角为∠SDC .在ASDC中，tam∠SDC=SC=2 CD 2 .5分 又CD=2W2.SC=2.… ..6分 高二数学答案第5页共9页 如图，以CA,CB,C下为x轴，y轴，z轴，以1为单位长度，建立空间直角坐标系C-3z B D 则S(0,0,2,A(3,0,0),D2,2,0),E(0,4,0) .7分 DE=(-2,2,0)、=(-3,0,2),AD=(-1,2,0） .9分 设面ASD的一个法向量n=(x,y,2) n⊥AS 即2而0，即 -3x+2==0 由 n⊥AD n AD=0 -x+2y=0 取x=2,可得n=(2,1,3)10分 又由(1)可知DE为平面SCD的一个法向量 设面ASD与面SCD所成的二面角为日 cosd=cos(D驱，l DE.n -4+2V7 DE. 2W2×1414 ..12分 .'sin0=v1-cos 0= 3W21 14 ……13分 ∴面ASD与面SCD所成的二面角的正弦值为3 14 (i)假设存在点P,使得点P到面AD的距离为14 14 设SP=SE0≤≤1)，由(i)可得SE=(0,4,-2 .S乎=25亚=(0,4元，-2 ….14分 又由(i)可知面ASD的一个法向量n=(2,1,3) ∴点P到面ASD的距离d= s_ 4元-62_14 14 14 .16分 入=)，P为SB的中点 ....17分 高二数学答案第6页共9页 19.解：1)要使函数f(x)=x-an(1+x)有意义，定义域为(1，+o)…1分 12 …2分 令f'(x)=0得x=a-1… …3分 ①当a≤0时，a-1≤-1 xE（l,+o),f(x)≥0，f(x单调递增… …4分 ②当a>0时，a-1>-1 x∈(1，a-1),f'(x)<0,f(x)单调递减：x∈(a-1,+o),f'(x)>0,f(x)单调递增5分 综上所述：a≤0时，f(x)在(l,+n)上单调递增，无减区间： a>0时，f(x)在(l,a-1)上单调递减，f(x)在(a-l,+o)上单调递增. (2)因为x>0,f(x)≥0，所以f(x)≥0 ①当a≤0时，由(1)得f(x)在(0，+n)单调递增 所以∫()>∫(0)=0，符合题意…6分 ②当0<a≤1时，a-1≤0，由(1)得f(x)在(0，+m)单调递增 所以∫(x)>∫(0)=0，符合题意…7分 ③当a>1时，a-1>0,由(1)得fx)在(0，a-1)单调递减，在(a-1,+w)单调递增 所以fx)mn=∫(a-1=a-1-alna之0… …8分 构造g(a)=a-l-alna(a>1,g(a)=-hna,令g'(a=0得a=e a∈1，e),g(a>0,g(a单调递增；a∈(e,+o∞)，g'(a)<0,g(a单调递减 所以8(ax=ge)=-1<0a>1) 所以8(a)≤8(ams<0,不符合题意，舍去…9分 综上所述，☑≤1… …10分 高二数学答案第7页共9页 11+.+1<n(n+1) 3)先证立* 十…十 n+1 当n=1时不等式显然成立 当n≥2时，要证+++1 11 <n(n+l) 23 +1 即证1 <h(n+l)-nnll分 n+1 即证L<h+） n+1气n 令x=1+1,x>1即证1-1<nx 1 即证1-x<ln二，0<x<1 即证1-x<-nx,0<x<1 即证lnx<x-1,0<x<1. …12分 由(2)知a≤1，x>0,f(x)≥0 所以a=1时，x>0,x-n(x+1)≥0 构造函数h(x)=x-ln(x+1),-1<x<0 R(x)=1-1=x<0 x+1x+1 所以h(x)=x-ln(x+1)在(-1,0)单调递减 所以h(x)>h(0)=0 所以h(x)>h(0)=0,-1<x<0 所以x-n(x+1)>0,-1<x<0 所以x-1-nx>0,0<x<1 所以lnx<x-1,0<x<1… …13分 所以<ha+ n+1 高二数学答案第8页共9页 接下来证明(n+1)+i空+2 1 十··十 √n2+n 即证ln(n+l)-lnn< 1 …15分 √n2+n 即证lh 、n√n+n 令=分，>1即En<x n+1 1 即证2lnx<x- yX>1 …16分 构造函数m(x)=2hx-x+,x>l m1÷-山-0 x2 所以m(x)=2nx-x+上在(L,+o)单调递减 所以m(x)<(1)=0 所以2nx-x+1<0,x>1 所以2血x<t-1, ,x>1 所以血(n+1)<一1+1 1 十 V12+1V22+2Vm+n …17分 所吃+六a-产+ 11 11 1 高二数学答案第9页共9页