8.6.3.1平面与平面垂直的判定导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8.6.3-1平面与平面垂直的判定【导学】 【导学目标】 1.理解二面角及其平面角的定义并会求一些简单二面角的大小； 2.理解两平面垂直的定义； 3.掌握两个平面垂直的判定定理并能应用判定定理证明面面垂直问题. 【导学重点】理解二面角及其平面角的定义. 【导学难点】熟练运用判定定理证明面面垂直. 【知识要点】 知识点一：　二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． (2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱， ②两个半平面叫做二面角的面． (3)画法： 　　　　　 (4)记法：二面角 或P－AB－Q. (5)二面角的平面角：若有①Ol；②OAα，OBβ；③OAl，OBl， 则二面角α－l－β的平面角是. 知识点二：平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直 ①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②画法： ③记作：. (2)判定定理 文字语言 一个平面经过另一个平面的一条垂线， 则这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α，⇒α⊥β 典型例题 题型一：二面角的概念及求法 【例1-1】如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB. (1)求二面角A­PD­C平面角的度数； (2)求二面角B­PA­D平面角的度数； (3)求二面角B­PA­C平面角的度数． 【例1-2】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求二面角B­A1C1­B1的正切值． 【方法归纳】 一.几何法求二面角「万能四步法」 1.定棱：明确二面角的公共棱； 2.找垂：在棱上找一点，分别在两个面内作棱的垂线； 3.证角：证明两条垂线的夹角就是平面角； 4.算值：放入直角三角形，求sin/cos/tan。 二.正方体必记结论（直接秒题） 1.侧棱⊥底面，所有侧棱与底面直线都垂直； 2.正方形对角线互相垂直，中点连线⊥对角线； 3.面对角线与棱夹角：450； 4.体对角线与棱夹角正切值：2. 题型二：平面与平面垂直的判定 【例2-1】如图，圆柱中，AB是底面圆上的一条直径，P，Q分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与A，B两点重合. 证明：平面平面； 【例2-2】已知三棱柱中，，，， 求证：平面平面 【例2-3】如图，在几何体中，互相平行，四边形与四边形 是全等的等腰梯形，平面平面，，点分别为的中点. 证明：平面平面; 题型三 线面垂直、面面垂直的综合应用 【例3-1】如图所示，已知三棱锥P­ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC. (1)求证：平面PAC⊥平面ABC； (2)若M为PB的中点，求三棱锥M­BCD的体积． 【例3-2】如图，在三棱锥P­ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点． (1)求证：DE∥平面PAC； (2)求证：AB⊥PB； (3)若PC＝BC，求二面角P­AB­C的大小． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8.6.3-1平面与平面垂直的判定【导学】【解析】 【导学目标】 1.理解二面角及其平面角的定义并会求一些简单二面角的大小； 2.理解两平面垂直的定义； 3.掌握两个平面垂直的判定定理并能应用判定定理证明面面垂直问题. 【导学重点】理解二面角及其平面角的定义. 【导学难点】熟练运用判定定理证明面面垂直. 【知识要点】 知识点一：　二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． (2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱， ②两个半平面叫做二面角的面． (3)画法： 　　　　　 (4)记法：二面角 或P－AB－Q. (5)二面角的平面角：若有①Ol；②OAα，OBβ；③OAl，OBl， 则二面角α－l－β的平面角是. 知识点二：平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直 ①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②画法： ③记作：. (2)判定定理 文字语言 一个平面经过另一个平面的一条垂线， 则这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α，⇒α⊥β 典型例题 题型一：二面角的概念及求法 【例1-1】如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB. (1)求二面角A­PD­C平面角的度数； (2)求二面角B­PA­D平面角的度数； (3)求二面角B­PA­C平面角的度数． 【证明】(1) ∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD.又四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD. ∵PA∩AD=A，PA,AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD. 过A作AE⊥PD于E，连接CE.∵CD⊥平面PAD，AE⊂平面PAD， ∴CD⊥AE.又AE⊥PD，PD∩CD=D， PD,CD⊂平面PDC，∴AE⊥平面PDC， ∴AE⊥CE. ∴∠AEC是二面角A−PD−C的平面角. 设PA=AB=a，则PD=. 由S△PAD=PA⋅AD=PD⋅AE， 得AE=. 又CD=a，CD⊥平面PAD， ∴CE=，AC=. 在△AEC中，由余弦定理：cos∠AEC= ∴∠AEC=600， 即二面角A−PD−C的平面角为600. (2) ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB，PA⊥AD. ∴∠BAD是二面角B−PA−D的平面角. 又四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=900，即二面角B−PA−D的平面角为900。 (3) ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB，PA⊥AC. ∴∠BAC是二面角B−PA−C的平面角. 又四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴∠BAC=450， 即二面角B−PA−C的平面角为450. 【例1-2】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求二面角B­A1C1­B1的正切值． 【证明】设正方体的棱长为a，取A1C1的中点O，连接B1O、BO. 因为A1B1C1D1是正方形，所以B1O⊥A1C1（正方形对角线互相垂直）. 因为正方体中BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1. 又B1O∩BB1=B1，所以A1C1⊥平面BOB1，因此A1C1⊥BO. 所以∠BOB1就是二面角B−A1C1−B1的平面角. 在正方形A1B1C1D1中，B1O=A1C1=a. 正方体中BB1=a，且BB1⊥平面A1B1C1D1， 所以BB1⊥B1O，即△BB1O是直角三角形. 在Rt△BB1O中：tan∠BOB1=. 即二面角B­A1C1­B1的正切值为.​ 【方法归纳】 一.几何法求二面角「万能四步法」 1.定棱：明确二面角的公共棱； 2.找垂：在棱上找一点，分别在两个面内作棱的垂线； 3.证角：证明两条垂线的夹角就是平面角； 4.算值：放入直角三角形，求sin/cos/tan。 二.正方体必记结论（直接秒题） 1.侧棱⊥底面，所有侧棱与底面直线都垂直； 2.正方形对角线互相垂直，中点连线⊥对角线； 3.面对角线与棱夹角：450； 4.体对角线与棱夹角正切值：2. 题型二：平面与平面垂直的判定 【例2-1】如图，圆柱中，AB是底面圆上的一条直径，P，Q分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与A，B两点重合. 证明：平面平面； 【分析】根据直径所对的角为直角得到⊥，由线面垂直得到⊥，从而得到线面垂直，面面垂直； 【解析】因为是底面圆上的一条直径， 所以⊥， 因为⊥底面圆，， 所以⊥底面圆， 因为底面圆，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面； 【例2-2】已知三棱柱中，，，， 求证：平面平面 【分析】作出辅助线，由菱形得到，结合得到线面垂直，进而得到，结合得到线面垂直，从而证明出面面垂直； 【解析】在三棱柱中，四边形是平行四边形，而， 则平行四边形是菱形，连接， 如图，则有， 因为，，平面， 所以平面，而平面，则， 由，得，又，平面， 从而得平面，又平面，所以平面平面； 【例2-3】如图，在几何体中，互相平行，四边形与四边形 是全等的等腰梯形，平面平面，，点分别为的中点. 证明：平面平面; 【分析】根据已知有，结合面面垂直的性质有平面，进而有，取BE的中点M，连接，易得，最后由线面、面面垂直的判定证结论； 【解析】如图，因为四边形是等腰梯形，点G为的中点，点H为的中点， 所以，又平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以， 取BE的中点M，连接，则四边形是边长为2的菱形， 所以，又，所以， 因为且都在面内，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 题型三 线面垂直、面面垂直的综合应用 【例3-1】如图所示，已知三棱锥P­ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC. (1)求证：平面PAC⊥平面ABC； (2)若M为PB的中点，求三棱锥M­BCD的体积． 【解析】(1) ∵∠ACB=900，D为AB中点， ∴CD=AD=BD=21​AB=10. ∵△PDB是正三角形，∴PD=BD=AD=10，∠PDB=600， ∴△PAD中，AD=PD，∠PDA=1200， 由余弦定理得：PA2=AD2+PD2−2AD⋅PDcos1200=102+102−2×10×10×(−)=300， ∴PA=. 又∵PA⊥PC，PD∩PC=P，∴PA⊥平面PDC， ∴PA⊥CD. ∵CD⊥AC，PA∩AC=A， ∴CD⊥平面PAC. 又∵CD⊂平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC (2)∵M为PB中点，∴M到平面BCD的距离是P到平面BCD距离的. 由 (1) 知PD⊥平面ABC（PD⊥AB，平面PAC⊥平面ABC）， P到平面ABC的高为h=PD⋅sin600=， ∴M到平面BCD的距离h′=. S△BCD=S△ABC=×××4=， ∴VM−BCD=S△BCD⋅h′=××=. 【例3-2】如图，在三棱锥P­ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点． (1)求证：DE∥平面PAC； (2)求证：AB⊥PB； (3)若PC＝BC，求二面角P­AB­C的大小． 【证明】(1) ∵D，E分别是AB，PB的中点， ∴DE是△PAB的中位线，∴DE∥PA. 又∵DE⊂平面PAC，PA⊂平面PAC， 根据线面平行判定定理，∴DE∥平面PAC. (2)∵PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB. 又∵AB⊥BC，PC∩BC=C，PC,BC⊂平面PBC，根据线面垂直判定定理， ∴AB⊥平面PBC. ∵PB⊂平面PBC，∴AB⊥PB. (3) 由(2)知，AB⊥PB，AB⊥BC， ∴∠PBC是二面角P−AB−C的平面角. ∵PC⊥平面ABC，∴PC⊥BC，即△PCB为直角三角形. 又∵PC=BC，∴△PCB是等腰直角三角形， ∴∠PBC=450， 即二面角P−AB−C的大小为450. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $