精品解析：2026年山东省青岛职教高考青岛市第二次质量检测试卷数学试题

2026年职教高考青岛市第二次质量检测试卷 数学试题 2026.04 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出.） 1. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）. A. 或 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集运算的定义即可求解. 【详解】图中阴影部分表示的集合是集合A与集合B的交集， 交集是指同时属于两个集合的元素组成的集合，所以取两个集合的公共部分. 已知集合，， 所以. 故选：B 2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数几何意义得，再利用共轭复数定义即可得解. 根据题意，则. 故选：D. 3. 已知是等比数列，，，则公比等于（　 　） A. － B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式即可得解. 【详解】因为即. 解得. 故选:. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的意义，以及零次幂的底数不能为0即可求解. 【详解】要使函数有意义，则, 解得，即函数的定义域为. 故选：D. 5. 余弦函数在区间（ ）上单调递减. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合余弦函数的单调性，即可判断求解. 【详解】因为余弦函数的单调减区间为，单调增区间为， 故余弦函数在上单调递增，在上单调递减，故选项A不符合题意； 故余弦函数在上单调递减，在上单调递增，故选项B不符合题意； 故余弦函数在区间上单调递减，故选项C符合题意； 故余弦函数在上单调递增，故选项D不符合题意； 故选：C. 6. 计算：（ ）. A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合对数的运算，即可求解. 【详解】. 故选：C. 7. 如果函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，那么称函数是区间上的“可变函数”，区间叫作“可变区间”.若函数是区间上的“可变函数”，则“可变区间”为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性以及可变函数的定义求解即可. 【详解】是开口向上的二次函数，对称轴为， 因此的单调递减区间是，即区间必须是的子集， 在区间上单调递增， 区间和区间都包含的部分，当时为增函数，不符合要求， 区间上整体是增函数，不符合要求，直接排除A、B、C， 对化简得在定义域内恒为增函数，满足“在上是增函数”， 选项D中整个区间都在的减区间内，符合“可变区间”的定义. 故选：D. 8. 不等式“”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合绝对值不等式的解法，及充分性、必要性的概念，即可求解. 【详解】由题意，若，解得或， 故“”不是“”的充分条件； 若，则一定成立，故“”是“”的必要条件； 故不等式“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 9. 已知直线的方程为，则的倾斜角为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将直线方程化成斜截式，即可得到直线的斜率，进而可求出倾斜角. 【详解】， 则直线的斜率为， 设倾斜角为，则， 因为， 所以. 故选：A. 10. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断的图像，再由替换x可得的图像，即可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 说明函数在上的图像在x轴的上方， 则， 且方程的两根为，1， 将上式的x换为， 得方程为， 即， 故其两根为，， 故函数开口向下，图像与x轴的交点为， 图像大致为C. 故选:C. 11. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的性质，再根据条件，即可求出结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以对称轴为， 又，所以， 则， 所以， 所以. 故选：C. 12. 在青岛奥帆中心举行的帆船比赛中，运动员借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果称为视风风速.视风风速是真风与船行风的向量和，其中船行风与船速大小相等、方向相反.某时刻运动员甲测得的视风风速向量与船速向量如图所示（图中线段长度代表速度大小，单位：），则该时刻的真风速度大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，画图表示出真风速度，由此求解即可. 【详解】根据题意可得， ∴该时刻的真风速度大小为. 故选：C. 13. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程为（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，此距离即为圆的半径，然后根据圆的标准方程得出答案即可. 【详解】圆心到直线的距离，即圆的半径为3， 所以所求圆的方程为：. 故选：D. 14. 已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第4项与第8项的二项式系数相等可得出，由此求出的值，再由二项式系数的性质即可解答. 【详解】因为的展开式的通项为， 又第4项与第8项的二项式系数相等， 所以，所以，即二项式系数和为， 因为二项式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等， 所以二项式中奇数项的二项式系数和为. 故选：D. 15. 已知角的终边过点，则等于（ ）. A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的定义，结合两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为角的终边过点，所以， 则. 故选：D. 16. 有3个红球和3个黑球，两组球的编号均为1，2，3，从这6个球中随机取出2个，则取出球的编号互不相同的概率是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解出事件的总数，再求解编号相同的方法数，由此求解概率即可. 【详解】从3个红球和3个黑球，随机取出2个，方法数为种， 取出球的编号相同的方法数为种， ∴则取出球的编号互不相同的概率是. 故选：A. 17. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点.若，则弦的长度为（ ）. A. 8 B. 9 C. 11 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的性质即可求解. 【详解】抛物线属于抛物线方程的标准形式（开口向右）， 得， 抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 即. 故选：C. 18. 设函数，，则实数的值为（ ）. A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合分段函数解析式，求出和的值，分类讨论和两种情况，代入即可求解. 【详解】因为函数，， 又，所以， 当时，，解得； 当时，，解得，舍去； 所以. 故选：B. 19. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，且，则等于（ ）. A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合正弦定理边角互化，二倍角公式及余弦定理，即可求解. 【详解】因为，所以， 因为中，，所以， 所以，解得， 又，， 所以，即， 又，所以. 故选：D. 20. 在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，且平面，则线段长度的最大值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行以及面面平行找到的轨迹，再求解即可. 【详解】正方体棱长为2，点为中点.取中点中点中点， 连接，由题意，， 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 点在侧面上，且平面，则的轨迹为， 所以， ， 因为，即四边形为平行四边形， 所以，且， 又平面，平面，所以， 在中，， 由，则， 故因为 在线段上运动， 当位于点时，最短为， 当位于点时，最长为. 故选：A. 第Ⅱ卷（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 计算的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由展开计算即可求解. 【详解】. 故答案为：. 22. 某一中职学校有高一年级1200人，高二年级1600人，高三年级2000人，若采用分层抽样的办法从三个年级共抽取120人，则高一年级抽取_____人． 【答案】30 【解析】 【分析】利用分层抽样的抽样比求人数即可. 【详解】因为某一中职学校共有人，从中抽取抽取120人， 所以抽样比，则抽取高一年级人数人， 故答案为：. 23. 一个几何体的三视图如图所示（单位：），俯视图为半圆，主视图和左视图为矩形，则该几何体的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】先还原几何体，再根据圆柱的表面积公式求解即可. 【详解】根据三视图可知，该几何体为半圆柱，如图， 由此可知，底面圆直径为，即半径为，高为， ∴上下底面的面积为，侧面积为， 截面矩形的面积为， ∴该几何体的表面积为. 故答案为：. 24. 某学校开设3门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这7门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______种（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】根据计数原理结合组合数的计算即可求解. 【详解】首先选修2门时，则有种选法， 其次选修3门时，则有种选法， 所以不同选课方案共有种. 故答案为：. 25. 已知为双曲线：（，）左支上一点，，分别为双曲线的右顶点和左焦点，，若，则双曲线的离心率为______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据双曲线的定义以及余弦定理求解即可. 【详解】 因为，，所以是等边三角形， 则，根据双曲线的定义， 在中， 即， 可化为，得到， 解得，进而. 故答案为：4. 三、解答题（本大题共5个小题，共40分.请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 26. 已知函数是偶函数，当时，（，且）的图像过点. （1）求实数的值； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据把点代入解析式即可求解. （2）根据偶函数的定义，对数函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为的图像过点，所以，解得. 【小问2详解】 由（1）得，时，，因为函数是偶函数，所以. 则当时，，无意义，故，即定义域为. 当时，则，解得； 当时，，解得. 所以不等式的解集为. 27. 为推动乡村振兴，某学校电子商务专业的学生组建网络直播团队，销售本地特色助农产品.已知第1天的销量为500件，从第2天开始，每天比前一天多售出20件，每件农产品的利润为2元. （1）求第10天的日销量； （2）若该团队计划连续直播销售20天，求这20天的总利润. 【答案】（1）680件 （2）27600元 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合等差数列的应用，及等差数列的通项公式，即可求解； （2）根据题意，结合等差数列的应用，及等差数列的前n项和公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意，每天的销量构成等差数列，首项为，公差为， 所以， 即第10天的日销量为680件； 【小问2详解】 由题意，这20天的总销量为件， 所以总利润为元. 28. 已知向量，，函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，角所对的边分别为，且，.若，求的面积. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标，结合向量的线性运算，求出函数的解析式，利用正余弦的二倍角公式以及辅助角公式进行化简，再根据正弦函数的单调区间，即可代入求解. （2）根据题意，结合函数解析式，先求出角B的值，再根据三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为向量，， 则， 所以函数 ， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，即，所以， 解得，又，所以， 所以，又，， 所以的面积为. 29. 如图，在四棱锥中，已知平面，四边形为边长为1的正方形，，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）添加辅助线，先证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）根据等体积法，即三棱锥的体积即为的体积，由此求解即可. 【小问1详解】 取的中点E，连接，如图， ∵点，分别是，的中点， ∴，且， ∵点为的中点， ∴， 在正方形中，，且， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面； 【小问2详解】 ∵， 又∵平面，则平面， ∴为平面的高，且， ∵， ∴， ∴三棱锥的体积为. 30. 已知椭圆（）经过点，为椭圆的右顶点，点为坐标原点，且的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线与椭圆交于，，点关于原点的对称点为，若，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）2或 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程中，再结合三角形的面积列式即可求解. （2）设，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，由可得，结合向量垂直的坐标表示列式求出m的值，即可求解. 【小问1详解】 将点代入椭圆（）中为①， 又的面积为，即②， 联立①②解得，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，由题意可得，直线的斜率不为， 可设直线的方程为， 因为点关于原点的对称点为，则 联立直线与椭圆方程，化简为， 则，因为，所以B在线段的垂直平分线上， 又为线段的中点，则，所以，即， 则有，整理为， 代入得，即，解得， 所以直线的方程为或， 整理为或，所以直线的斜率为2或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年职教高考青岛市第二次质量检测试卷 数学试题 2026.04 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出.） 1. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）. A. 或 B. C. D. 或 2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（   ） A. B. C. D. 3. 已知是等比数列，，，则公比等于（　 　） A. － B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 余弦函数在区间（ ）上单调递减. A. B. C. D. 6. 计算：（ ）. A. B. C. D. 2 7. 如果函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，那么称函数是区间上的“可变函数”，区间叫作“可变区间”.若函数是区间上的“可变函数”，则“可变区间”为（ ）. A. B. C. D. 8. 不等式“”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知直线的方程为，则的倾斜角为（ ）. A. B. C. D. 10. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 11. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）. A. B. C. D. 12. 在青岛奥帆中心举行的帆船比赛中，运动员借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果称为视风风速.视风风速是真风与船行风的向量和，其中船行风与船速大小相等、方向相反.某时刻运动员甲测得的视风风速向量与船速向量如图所示（图中线段长度代表速度大小，单位：），则该时刻的真风速度大小为（ ） A. B. C. D. 13. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程为（       ） A. B. C. D. 14. 已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A. B. C. D. 15. 已知角的终边过点，则等于（ ）. A. B. 3 C. D. 16. 有3个红球和3个黑球，两组球的编号均为1，2，3，从这6个球中随机取出2个，则取出球的编号互不相同的概率是（ ）. A. B. C. D. 17. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点.若，则弦的长度为（ ）. A. 8 B. 9 C. 11 D. 15 18. 设函数，，则实数的值为（ ）. A. B. C. 2 D. 19. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，且，则等于（ ）. A. 2 B. 3 C. D. 20. 在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，且平面，则线段长度的最大值为（ ）. A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 计算的值为___________. 22. 某一中职学校有高一年级1200人，高二年级1600人，高三年级2000人，若采用分层抽样的办法从三个年级共抽取120人，则高一年级抽取_____人． 23. 一个几何体的三视图如图所示（单位：），俯视图为半圆，主视图和左视图为矩形，则该几何体的表面积为______. 24. 某学校开设3门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这7门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______种（用数字作答）. 25. 已知为双曲线：（，）左支上一点，，分别为双曲线的右顶点和左焦点，，若，则双曲线的离心率为______. 三、解答题（本大题共5个小题，共40分.请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 26. 已知函数是偶函数，当时，（，且）的图像过点. （1）求实数的值； （2）求不等式的解集. 27. 为推动乡村振兴，某学校电子商务专业的学生组建网络直播团队，销售本地特色助农产品.已知第1天的销量为500件，从第2天开始，每天比前一天多售出20件，每件农产品的利润为2元. （1）求第10天的日销量； （2）若该团队计划连续直播销售20天，求这20天的总利润. 28. 已知向量，，函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，角所对的边分别为，且，.若，求的面积. 29. 如图，在四棱锥中，已知平面，四边形为边长为1的正方形，，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 30. 已知椭圆（）经过点，为椭圆的右顶点，点为坐标原点，且的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线与椭圆交于，，点关于原点的对称点为，若，求直线的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $