第23卷 数列的实际应用-考点训练卷 2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第23卷 数列的实际应用 考点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知数列的通项公式为，则该数列的前10项的和为（    ） A．60 B．64 C．68 D．72 【答案】C 【分析】分别求出数列前10项的值求和即可. 【详解】由题意得，， 所以该数列的前10项的和为. 故选：C. 2．数列中，，且与是方程的根，则为（    ） A．9 B． C．0 D．6 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出，进而即可求解. 【详解】因为与是方程的两根. 所以. 所以. 故选：D. 3．数列，则数列前项和（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据，裂项求和，即可. 【详解】， . 故选：D. 4．在数列中，已知，且，则正整数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将化简为，然后运用裂项相消法代入，即可求解. 【详解】已知，且， 则， 即，得， 所以. 故选：A. 5．已知数列满足：，，，则数列前项的和为（   ） A．0 B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据可求出前7项，从而可知数列是周期数列，最后求出数列前项的和即可． 【详解】∵，，， ∴，， ，， ，， ∴数列是以6为周期的周期数列， ∵， ∴数列前项的和． 故选：A． 6．数列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2，，其相邻的两个1被2隔开，第对1之间有个2，则数列的前209项的和为 A．279 B．289 C．399 D．409 【答案】C 【分析】根据题意，根据数列的性质，先把数列分组，每组中，第一个数为1，其他均为2，且第n组中，有n+1个数；得到209是前19行的和，进而得到所有项的和. 【详解】根据题意，先把数列分组， 第一组为1，2，有2个数， 第二组为1，2，2，有3个数， 第三组为1，2，2，2，有4个数， … 第n组中，第一个数为1，其他均为2，有n+1个数，即每组中，第一个数为1，其他均为2，则前n组共有个数， 当n=19时，恰好前19行有209个数， 前19行有19个1，有209-19=190个2，则这些数的和为：19+ 故答案为C． 【点睛】本题考查数列的求和，注意要先根据数列的规律进行分组，综合运用等差数列前n项和公式与分组求和的方法，进行求和． 7．某学校阶梯教室有22排座位，从第二排起，每一排比前一排多2个座位，最后一排有64个座位，则这个阶梯教室共有座位（    ） A．946个 B．964个 C．982个 D．1008个 【答案】A 【分析】根据题意判断每排座位数构成等差数列，根据公差和末项先求首项，再根据等差数列求和公式易得答案. 【详解】根据题意可知每排座位数构成等差数列，不妨设为，公差为， 因为某学校阶梯教室有22排座位，每一排比前一排多2个座位，所以， 因为最后一排有64个座位，所以， 因为，即，解得， 所以这个阶梯教室共有座位. 故选：A. 8．某工厂2018年全年产值为万元. 因工厂进行了技术革新，从2019年起每年产值比上一年增加，则该工厂2024 年全年产值为（    ） A．万元 B． 万元 C．万元 D． 万元 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为2018年全年产值为万元.，从2019年起每年产值比上一年增加， 则该工厂的年产值构成等比数列，且首项， 2018年为第一项，则2024年为数列的第七项， 所以该工厂2024 年全年产值为. 故选：D. 9．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（年）所著．程少年时，读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣.岁起便在长江中下游一带经商，因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名师，搜集很多数学书籍，刻苦钻研，时有心得，终于在他岁时，完成了《算法统宗》这本著作．该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”根据诗词的意思，可得塔的最底层共有灯（    ） A．盏 B．盏 C．3盏 D．1盏 【答案】A 【分析】将每层塔的灯数看成等比数列，再由等比数列的前项和公式列方程求解出顶层的灯的数量，再由等比数列的通项公式求值即可. 【详解】由题意，设这个塔顶层有盏灯， 则每层塔的灯数为一个首项为，公比为2的等比数列， 且其前7项和为，所以， 解得，所以这个塔的最底层有（盏）． 故选：A. 10．1682年，英国天文学家哈雷发现一颗卫星的运行曲线和1531年、1607年的彗星惊人地相似，他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归．这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年．下列时间范围中，最有可能出现哈雷彗星的时间段是（   ）    A．2041～2042年 B．2051～2052年 C．2061～2062年 D．2081～2082年 【答案】C 【分析】根据题意列出数列通项公式，再解不等式求出符合要求的，即可求出哈雷彗星在内的具体回归时间. 【详解】由题可得：哈雷彗星的后续回归时间可表示为：， 根据选项可得：当时，即， 且，所以， 则哈雷彗星在内的回归时间为：. 故选：C. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．数列的前6项和是__________. 【答案】 【分析】根据裂项相消法求解数列的前项和即可. 【详解】设该数列为.则. 所以. 故答案为：. 12．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了________里. 【答案】96 【分析】由题意可知，每天所走路程为等比数列，利用等比数列求和公式求得第一天走的路程，进而求出第二天走的路程即可. 【详解】由题意可知，每天所走路程形成等比数列， 由题意可设该等比数列首项为即第一天走的路程，公比， 由题意，一个人6天走了378里路， 由等比数列求和公式可得， 解得，则， 即第二天走了里. 故答案为：. 13．小王同学学习英语单词，第一天学会了8个，以后每一天都比前一天多学会3个，小王同学20天共学会_____________个英语单词． 【答案】 【分析】将实际数学问题转化成等差数列模型,利用等差数列前项求和公式易得答案. 【详解】由题意得第一天学会了8个,所以, 以后每一天都比前一天多学会3个,所以, 所以小王同学20天共学会的英语单词为. 故答案为:. 14．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13，则成等差数列，则这四个数为___________． 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式和等差数列的性质求解. 【详解】设这四个数分别为， 则成等差数列， 由题意可得 ， 所以这四个数为：， 故答案为： 15．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天种2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数为___________天． 【答案】6 【分析】由题可知，每天植树的棵数构成等比数列，根据等比数列的求和公式，列不等式可求解. 【详解】设每天植树的棵数组成的数列为，由题意可得， 是以2为首项，2为公比的等比数列，则 , 所以. 由于，且， 所以，即n的最小值为6，需要的最少天数为6天. 故答案为： 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．如图1为行的视力检查表，人站在5米远处检查视力，从上往下，已知第一行的视力记录为，后面每一行的视力记录比前一行增加，图2所示为正方形“E”字视标.第一行“E”字视标边长为毫米，往后每一行中的“E”字视标边长是前一行的倍. (1)检查视力时，小王同学的左眼只能看见第行以及上面各行的“E”，问小王左眼的视力记录应为多少？ (2)求第5行中的“E”字视标边长；（精确到毫米） (3)已知每一行（最后一行除外）的视标底端与下一行视标顶端的距离都为毫米，那么第一行视标顶端到最后一行视标底端的距离为多少毫米？（精确到毫米） 【答案】(1) (2)毫米 (3) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求解即可. （2）根据等比数列的通项公式求解即可. （3）根据等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）由题意可知，行的视力检查表的视力记录从上到下 构成以为首项，为公差的等差数列， 则有. 则. 所以小王左眼的视力记录应为. （2）由题意可知，行的视力检查表的各行的“E”字视标边长从上到下 构成以为首项，为公比的等比数列， 则有. 所以（毫米）. 所以第5行中的“E”字视标边长为毫米. （3）设的前项和为， 则. （毫米） 所以第一行视标顶端到最后一行视标底端的距离为毫米. 17．设是公差不为0的等差数列，，成等比数列． (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的公差为，然后根据已知条件列方程可求出，从而可求出通项公式， （2）由（1）得，再利用裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）设的公差为， 因为成等比数列，所以 又因为，所以，所以． 因为，所以，所以，得， 故． （2）因为， 所以 ． 18．已知数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据已知条件求出的表达式，再利用与的关系求解； （2）先根据的通项公式求出的通项公式，再利用分组求和法求解. 【详解】（1）由，得解得 所以. 当时，； 当时，. 经验证，当时，满足. 因此，数列的通项公式为. （2）因为， 所以 . 因此，数列的前项和. 19．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年更换10000辆燃油性公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换为电力型和混合动力型公交车，今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力性公交车400辆，计划以后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型公交车每年比上一年多投入a辆， (1)求经过n年，该市被更换的公交车总数； (2)若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列前项和公式与等差数列前项和公式可求； （2）令（1）中所得式子中求解即可. 【详解】（1）设，分别为第年投入的电力型公交车，混合动力型公交车数量， 由题可知，因为今年初投入了电力型公交车128辆，以后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%， 则为首项为，公比为的等比数列， 混合动力性公交车400辆，混合动力型公交车每年比上一年多投入a辆， 则为首项为，公差为的等差数列， 则的前项和， 则的前项和， 则经过n年，该市被更换的公交车总数； （2）若计划年内完成全部更换， 则， 所以， 由计算器解得，，因为， 则， 若该市计划7年内完成全部更换，a的最小值为. 试卷第1页，共3页 第 12 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第23卷 数列的实际应用 考点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知数列的通项公式为，则该数列的前10项的和为（    ） A．60 B．64 C．68 D．72 2．数列中，，且与是方程的根，则为（    ） A．9 B． C．0 D．6 3．数列，则数列前项和（    ） A． B．1 C． D． 4．在数列中，已知，且，则正整数（    ） A． B． C． D． 5．已知数列满足：，，，则数列前项的和为（   ） A．0 B．1 C．5 D． 6．数列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2，，其相邻的两个1被2隔开，第对1之间有个2，则数列的前209项的和为 A．279 B．289 C．399 D．409 7．某学校阶梯教室有22排座位，从第二排起，每一排比前一排多2个座位，最后一排有64个座位，则这个阶梯教室共有座位（    ） A．946个 B．964个 C．982个 D．1008个 8．某工厂2018年全年产值为万元. 因工厂进行了技术革新，从2019年起每年产值比上一年增加，则该工厂2024 年全年产值为（    ） A．万元 B． 万元 C．万元 D． 万元 9．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（年）所著．程少年时，读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣.岁起便在长江中下游一带经商，因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名师，搜集很多数学书籍，刻苦钻研，时有心得，终于在他岁时，完成了《算法统宗》这本著作．该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”根据诗词的意思，可得塔的最底层共有灯（    ） A．盏 B．盏 C．3盏 D．1盏 10．1682年，英国天文学家哈雷发现一颗卫星的运行曲线和1531年、1607年的彗星惊人地相似，他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归．这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年．下列时间范围中，最有可能出现哈雷彗星的时间段是（   ）    A．2041～2042年 B．2051～2052年 C．2061～2062年 D．2081～2082年 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．数列的前6项和是__________. 12．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了________里. 13．小王同学学习英语单词，第一天学会了8个，以后每一天都比前一天多学会3个，小王同学20天共学会_____________个英语单词． 14．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13，则成等差数列，则这四个数为___________． 15．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天种2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数为___________天． 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．如图1为行的视力检查表，人站在5米远处检查视力，从上往下，已知第一行的视力记录为，后面每一行的视力记录比前一行增加，图2所示为正方形“E”字视标.第一行“E”字视标边长为毫米，往后每一行中的“E”字视标边长是前一行的倍. (1)检查视力时，小王同学的左眼只能看见第行以及上面各行的“E”，问小王左眼的视力记录应为多少？ (2)求第5行中的“E”字视标边长；（精确到毫米） (3)已知每一行（最后一行除外）的视标底端与下一行视标顶端的距离都为毫米，那么第一行视标顶端到最后一行视标底端的距离为多少毫米？（精确到毫米） 17．设是公差不为0的等差数列，，成等比数列． (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和． 18．已知数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 19．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年更换10000辆燃油性公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换为电力型和混合动力型公交车，今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力性公交车400辆，计划以后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型公交车每年比上一年多投入a辆， (1)求经过n年，该市被更换的公交车总数； (2)若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值； 试卷第1页，共3页 第 12 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $