专题5 一元二次不等式（讲义）-2027年云南省（职教高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年云南省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年云南省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题5 一元二次不等式 【复习目标】 1. 会借助二次函数的图像和一元二次方程的根，求解一元二次不等式； 2. 会通过数学建模，解决与一元二次不等式有关的简单实际问题； 3. 能认识一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系，并会根据三者之间的关系解决有关的数学问题； 4. 会应用一元二次不等式解决分式不等式。 【考点1 一元二次方程】 1.定义 等号两边是整式，只含一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做 。使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的 。 2.一般形式：ax² + bx + c = 0 (a≠0)其中 ax² 为二次项，a为二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；c为常数项 3.求解方法 (1) ：通过配方将方程化为的形式，再用直接开平方法求解。适用类型：所有一元二次方程（尤其是二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程） (2) ：求根公式的推导：通过配方法，对一般形式推导得：当 时，根为.根的判别式①∆>0：方程有两个不相等的实数根；② ∆=0：方程有两个相等的实数根；③ ∆<0：方程无实数根. (3)因式分解法：①提公因式；②十字相乘法. 【即时训练】 1．一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 2．若方程有实数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的解为（ ） A．或 B．或1 C．或6 D．6或1 4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A．2 B．0 C． D． 5．当时，一元二次方程有几个实数解（    ） A．0 B．2 C．3 D． 6．已知两数的和为6，这两个数的差的绝对值为8，那么以这两个数为根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 7．一元二次方程有实数解的条件是（　　） A． B． C． D． 【考点2 一元二次不等式】 1、含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为 ．其一般形式为. 2、一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式方程之间的关系： 二次函数 的图像 一元二方程 的根 两个不相等的实数根 () 两个相等的实数根 无实根 的解集 的解集 一元二次不等式解集口诀：大于取两边，大于大数，小于小数；小于取中间. 【即时训练】 8．不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 9．不等式解集为（   ） A． B．或 C． D．或 10．不等式解集是（   ） A． B．或 C． D．或 11．不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 12．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 13．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．若某商店将进货单价为元的商品按每件元出售.则每天可销售件.现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润.已知这种商品的售价每提高元，销售量就要减少件，那么要保证该商品每天的利润在元以上，售价应定为（    ） A．元 B．元到元之间 C．元 D．元到元之间 15．若关于的一元二次不等式的解集为，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 16．从面积为6的圆中挖去一个边长为的正方形，剩余面积大于2，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 17．某种杂志原来以每本元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少本，若使提价后的销售总收入不低于万元，应该确定的价格元的取值范围为（ ） A． B． C． D．或 18．关于x的不等式的解集是，则等于（      ） A． B．7 C． D．5 19．已知不等式的解集为R，则m的取值范围是（    ） A．R B． C． D． 20．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【考点3 分式不等式】 1、 形如的不等式称为 。 2、 分式不等式的解法： （1） （除化乘：正数×正数＞0或负数×负数＞0） （2） （分式的分母≠0） 【即时训练】 21．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 22．不等式的解集是（    ）． A．或 B． C．或 D． 23．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 24．不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 25．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 26．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 27．不等式 的解集为（     ） A． B． C．或 D． 28．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 29．不等式的解集是（   ） A． B． C． D．R 30．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 31．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1.（2026云南）不等式(x-4)(x+3)>0的解集是（    ） A.{x|x≤-3或x≥4} B.{x|x<-3或x>4} C.{x|-3≤x≤4} D.{x|-3<x<4} 2（2025云南）不等式组的解集是（    ） A． B． C．或 D． 3.（2025云南）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4.（2024云南）不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5.（2023云南）不等式的解集是（    ） A. B. C. 或 D. 或 6.（2023云南）一商场把某商品按标价的八折出售（即优惠），仍可获利（相对于进货价），若该商品的标价为每件110元，则每件的进货价应是（ ）元． A. 70 B. 75 C. 80 D. 85 7.（2023云南）解不等式 8.（2022云南）解不等式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年云南省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年云南省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题5 一元二次不等式 【复习目标】 1. 会借助二次函数的图像和一元二次方程的根，求解一元二次不等式； 2. 会通过数学建模，解决与一元二次不等式有关的简单实际问题； 3. 能认识一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系，并会根据三者之间的关系解决有关的数学问题； 4. 会应用一元二次不等式解决分式不等式。 【考点1 一元二次方程】 1.定义 等号两边是整式，只含一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解（根）。 2.一般形式：ax² + bx + c = 0 (a≠0)其中 ax² 为二次项，a为二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；c为常数项 3.求解方法 (1)配方法：通过配方将方程化为的形式，再用直接开平方法求解。适用类型：所有一元二次方程（尤其是二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程） (2)公式法：求根公式的推导：通过配方法，对一般形式推导得：当 时，根为.根的判别式①∆>0：方程有两个不相等的实数根；② ∆=0：方程有两个相等的实数根；③ ∆<0：方程无实数根. (3)因式分解法：①提公因式；②十字相乘法. 【即时训练】 1．一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的解法求解即可. 【详解】一元二次方程可化简为， 解得或，即. 故选：C. 2．若方程有实数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次方程根的判别式及一元二次不等式的解法求解. 【详解】若方程有实数解， 所以，即，解得或， 则实数a的取值范围是. 故选：D. 3．一元二次方程的解为（ ） A．或 B．或1 C．或6 D．6或1 【答案】C 【分析】根据一元二次方程求解即可； 【详解】因为，所以，解得或. 所以一元二次方程的解为或6. 故选：C 4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的判别式来确定的值. 【详解】因为方程有两个相等的实数根， 所以，即，解得， 故选：C. 5．当时，一元二次方程有几个实数解（    ） A．0 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解集及其根与系数的关系即可求解. 【详解】由题意得，当时，一元二次方程有2个实数解. 故选：B. 6．已知两数的和为6，这两个数的差的绝对值为8，那么以这两个数为根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出两个数及大小关系，再根据题意列等式求出两根，构造出一元二次方程并化简即可得到答案. 【详解】不妨设这两个数为， 则由题意可得，，解得， 则以这两个数为根的一元二次方程是， 即. 故选：B. 7．一元二次方程有实数解的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次方程解的个数与系数的关系即可得解. 【详解】因为方程有实数解. 所以. 所以即. 解得或. 故. 故选:. 【考点2 一元二次不等式】 1、含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式．其一般形式为. 2、一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式方程之间的关系： 二次函数 的图像 一元二方程 的根 两个不相等的实数根 () 两个相等的实数根 无实根 的解集 的解集 一元二次不等式解集口诀：大于取两边，大于大数，小于小数；小于取中间. 【即时训练】 8．不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】不等式可化为， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 9．不等式解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式，解得. 因此解集为. 故选：A. 10．不等式解集是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由不等式可化为，解得或， 所以不等式解集为或. 故选：D. 11．不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】不等式解得或， 即不等式的解集为或. 故选：D. 12．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式，即， 解得， 则不等式的解集为. 故选：A. 13．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的恒成立的概念，即可求解. 【详解】当时，恒成立，满足题意； 当时，须满足，解得； 当时，无条件使得不等式对一切实数都成立； 综上所述，的取值范围为. 故选:C. 14．若某商店将进货单价为元的商品按每件元出售.则每天可销售件.现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润.已知这种商品的售价每提高元，销售量就要减少件，那么要保证该商品每天的利润在元以上，售价应定为（    ） A．元 B．元到元之间 C．元 D．元到元之间 【答案】B 【分析】由题意列出关系式，并解不等式. 【详解】设售价为，利润为， 则， 由题意， 即， 解得， 即售价应定为元到元之间， 故选：B. 15．若关于的一元二次不等式的解集为，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法，再结合一元二次不等式的解集为空集，即可求解. 【详解】由题意知一元二次不等式的解集为， 函数的图像开口向上， 且方程没有实数根， . 故选：A. 16．从面积为6的圆中挖去一个边长为的正方形，剩余面积大于2，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将剩余面积表示出来，再根据题意列不等式即可. 【详解】从面积为6的圆中挖去一个边长为的正方形，剩余面积为， 因为剩余面积大于2，则有. 故选：B 17．某种杂志原来以每本元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少本，若使提价后的销售总收入不低于万元，应该确定的价格元的取值范围为（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】提价后杂志的定价设为元，提价后的销售量为万本，根据提价后的销售总收入不低于万元列不等式求解即可. 【详解】提价后杂志的定价设为元， 由题意可知，提价后的销售量为（万本）， 所以总收入为，因为销售的总收入不低于万元， 所以列不等式为：，即， 整理得，解得， 故选：C. 18．关于x的不等式的解集是，则等于（      ） A． B．7 C． D．5 【答案】A 【分析】根据题意，结合根与系数的关系即可求解. 【详解】因为关于x的不等式的解集是， 所以当时，， 则， ， 所以， 故选：A 19．已知不等式的解集为R，则m的取值范围是（    ） A．R B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，二次方程的判别式小于零，据此即可求解. 【详解】已知不等式的解集为R， 则有方程的判别式满足， 即， 所以m的取值范围是， 故选：B 20．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系可求解. 【详解】不等式可化为 因为二次项系数为，对应的方程有两个相等的实根， 所以不等式的解集为. 故选：A. 【考点3 分式不等式】 1、 形如的不等式称为分式不等式。 2、 分式不等式的解法： （1） （除化乘：正数×正数＞0或负数×负数＞0） （2） （分式的分母≠0） 【即时训练】 21．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式不等式求解即可. 【详解】因为. 所以即. 所以且. 解得. 所以原不等式的解集为. 故选：B. 22．不等式的解集是（    ）． A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】解分式不等式即可解得. 【详解】由题，不等式， 可化为，解得. 故选：B 23．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可解得. 【详解】由，得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 24．不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据分式不等式的解法，结合一元二次不等式的解法求解. 【详解】不等式，即， ∴，即， ∴， ∴不等式的解集为． 故选：B． 25．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式不等式的解法，结合题意即可求解． 【详解】因为，则，解得， 即不等式的解集为． 故选：D． 26．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式不等式求解即可解得. 【详解】由题不等式， 等价于， 解得， 故选：D 27．不等式 的解集为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据分式不等式的解法，求解即可. 【详解】由，等价于，解得， 故解集为. 故选：D. 28．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】不等式可转化为， 解得，即， 所以不等式的解集为. 故选：D. 29．不等式的解集是（   ） A． B． C． D．R 【答案】C 【分析】将分式不等式化为一元二次不等式即可求解. 【详解】由题意得，不等式等价于，解得或. 即不等式的解集是. 故选：C. 30．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】解分式不等式易得答案. 【详解】不等式， 当时，，所以无解， 当时，，所以， 所以不等式的解集为. 故选：A. 31．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】等价于， 即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 1.（2026云南）不等式(x-4)(x+3)>0的解集是（    ） A.{x|x≤-3或x≥4} B.{x|x<-3或x>4} C.{x|-3≤x≤4} D.{x|-3<x<4} 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式解法即可求解. 【详解】因为 所以x<-3或x>4 故选：B. 2（2025云南）不等式组的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的解法求解即可. 【详解】已知不等式组， 则，解得， 所以不等式组的解集是， 故选：D. 3.（2025云南）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由不等式， 得，即， 解得或， 所以不等式的解集是或， 故选：B. 4.（2024云南）不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据分式不等式的求解方法即可得解. 【详解】由题意可得：， 解得，即， 所以不等式的解集为. 故选：. 5.（2023云南）不等式的解集是（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题意得，， ， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：C. 6.（2023云南）一商场把某商品按标价的八折出售（即优惠），仍可获利（相对于进货价），若该商品的标价为每件110元，则每件的进货价应是（ ）元． A. 70 B. 75 C. 80 D. 85 【答案】C 【分析】设该商品的进价是元．则实际售价是．然后根据题意列出方程，从而求解. 【详解】解：设该商品进价是元， 由题意得：， 解得：. 故选：C. 7.（2023云南）解不等式 【答案】 【分析】根据指数函数的性质与二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为， 所以， 由指数函数的单调性可得: , , , ， 所以不等式的解集. 故答案为：. 8.（2022云南）解不等式. 【答案】 【分析】根据不等式的性质与二次不等式的解法即可得解. 【详解】 ， 所以可化为， 所以，即，解得， 故原不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $