天津市十二区重点学校2026年高三毕业班联考（二）数学试卷

2026年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（二） 数学参考答案 一、选择题：每小题5分，满分45分 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 答案B B D A D C A D 二、填空题：每小题5分，共30分.（两空中对一个得3分，对两个得5分） 1+71 10.10*0 11.-5 12.(x+1+(6y-1}=5 13 14.3- 5 15.(-0,-1]U[3,+0) 26 三、解答题：本大题5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分14分) 解：(I)解法一8 因为4=25，根据正弦定理得a=25b,…1分 sin B 即b=a 2W3 根据余弦定理c2=a2+b2-2 ab cos C …2分 a2=12 …3分 a=2W3 …4分 解法二： 因为n4-2W5,根据正弦定理得4=25b, …1分 sin B 根据余弦定理c2=a2+b2-2 bcos C …2分 则(W72=(2W5b2+b2-2×2√3b2c0s2 6 b2=1,b=1 …3分 .a=23 …4分 (Ⅱ)（皿）解法一： 23 (Ⅱ)根据正弦定理 a …5分 sin A sin C 得sinA sin 6 所以解得sinA=V …6分 > 第1页共10页 ():a=2√5b,b=1 由余弦定理可得： b2+c2-a22W7 ∴.c0SA= (公式1分，结果1分) …8分 2bc > cos24=1-2sin?=1 (公式1分，结果1分) …10分 sin 24=2sin Acos4=43 7 (公式1分，结果1分) …12分 sin(24-C)=sin(24-)=sin 2Acos -cos24sim2=(-4W5)×V3_1×113 6 6 6 727214 (公式1分，结果1分) …14分 (Ⅱ)（Ⅲ）解法二： (Ⅱ)a=25,b=1 由余弦定理可得： cos4=6+c2-a2-25 (公式1分，结果1分) …6分 2bc 7 A是△ABC的内角，…7分 .sin 4=v1-cos2d=21 …8分 > (II)cos24=1-2sin24=1 7 (公式1分，结果1分) …10分 sin 24-2sin Acos=43 7 (公式1分，结果1分) …12分 sin(24-C)=sin(24-)=sin2Acos -cos24sin(3)x3x113 61 6 6 727214 (公式1分，结果1分) …14分 第2页共10页 17.（本小题满分15分) 解：（I)证明：以A为原点，AB,AD,AA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系 A-2. …1分 (221 则40,00，B2,0.0),c5,50）,D0,5,),A0.0,),C22 (坐标对1个给1分，全对给2分) …3分 设平面ABD的一个法向量为=(x,y,z), BA=（2,0,1),BD=(2,2,0), m·BA=0 -√2x+z=0 则 m·BD=0 -√2x+√2y=0 令x=1,则y=1,z=√2， 则平面4BD的一个法向量为m=(1,1,②)： .4分 又因为AC m=V24C,所以AC, 所以AC⊥平面ABD …5分 (I)设平面CBD的一个法向量为=(x,y,乙)， BC, √2 2’2 BD=(←√2，N2,0, n.BC =0 -x+ 则 2 .BD=0 y+z=0,令x=1,则y=1,z=0, -V2x+V2y=0 则平面C,BD的一个法向量为n=(1,1,0). …6分 设平面ABD与平面CBD夹角为日，则 cos6=cos(,n)日 m.n 2√2 …8分 m.i 222 (公式和结果各1分) 所以平面4BD与平面CBD夹角的余弦值为 …9分 (设角和答话有其一即可，均未写扣1分) 第3页共10页 (Ⅲ)解法一： 因为点H在棱AA上，设AH=h,h∈[0,1]， g4e=r4eD青-Ak5x5=号 …11分 (公式和结果各1分) 解得h=2」 3, 所以H=0a到 …12分 平面CBD的一个法向量为n=(1,1,0), 设直线CH与平面C,BD所成角为a,则 cos(C瓯， cHi.n -2W2 3W10 sin a= cn V2+2+4 10, …14分 9 (公式和结果各1分) 所以直线CH与平面CBD所成角的正弦值为30 10 …15分 (设角和答话有其一即可，均未写扣1分) 解法二： 因为点H在棱AA上，设AH=h,h∈[0，] B丽-（√2,0，)，平面4BD的一个法向量为m=(1,1,V2), Bi.m-V2+√2h 点H到平面ABD的距离d= -1+h …10分 2 √2 由题意可得BD=2,BA=DA=V3,点A到BD的距离为√3-1=√5，…11分 √29 因为heQ小，解得A=子 防以=〔Q0》 …12分 以下解法同解法一。 第4页共10页 18.（本小题满分15分) 解：(I)由题意可得 c-1 [a=2 a 2 2b=2√5 ，解得b=√5， (方程组和结果各1分) …2分 a2=b2+c2 c=1 所以椭圆的方程为 +y=1. …3分 43 (Ⅱ)解法一： 由题意可知直线AB的斜率不为0，F,(1,O), 设直线AB的方程为x=y+1,Ax,y)1<X<2),Bx,y,),则C(k,-y,).没写x的范围不扣分 [x=y+1 由方程组 E+-1 整理得(3m2+4)y2+6y-9=0, …4分 43 △=36m2-43m2+4)(9)>0, -61 -9 月+y=3n+4'y=3m+4’ …5分 直线BC的方程为y+y=+出(x-x), ……6分 x2-x 令y=0,得 x=当色-)+=5+丝.20%+0s+ …7分 y+y y+y y+y -18m -2muy+1=3m2+4+1=4. …8分 2+y -6 3m2+4 所以P(4O),PE=3, …9分 直线CR的方程为y=y(x+1), x+1 直线AB的方程为x=y+1, 联立方程解得y=一立，x=+1=, 所以M …10分 思路一： 因为F(1,0),F1,0),1<x<2 第5页共10页 1+x+31- 以网及 +x}+y 4 2+ 2 …11分 …12分 w店-1-亚 0-x+31- 4 2、 …13分 …14分 2+2- PE|+M-M=3+ 2 2=4 …15分 思路二： 设点Mk,）,则天=，头=-x,=-上， …11分 x。 x。 71 2 因为点c(k,y)在椭圆上，所以子+号=1，则) yo …12分 4.3 3 得12x,2-4y2=3，即1 6=1(6>0) 3 …13分 44 所以点M在以耳，F,为焦点，实轴长为1的双曲线的右支上运动， 所以M-M=1, …14分 PE+M-M的值为4. …15分 解法二：因为F(1,O),由题意可知直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x,y)(<x<2),B(x,y,),则C(x,y,).没写x,的范围不扣分 [y=k(x-1) 由方程组二+少-1'整理得（伙+3列-8+松-12=0， …4分 4+3 8k244k+342-12)>0,飞+4+35=41 …5分 4k2+3 直线BC的方程为y+y=+当(K-x) …6分 X2-X 令y=0,得 =(-)+X=-2-+ …7分 v+y y2+y(x2+x)-2 第6页共10页 8k2-24-8k2 23 8k2-8k2-6 4 …8分 4k2+3 所以P(40),PE=3 …9分 直线cg的方程为y益，直发4他的方程为y=-), 跃方程解得片”头 所以M …10分 以下解法同解法一。 19.（本小题满分15分) 解：(I)设{a}的公差为d(d≠O),{bn}的公比为q, 1+d+q=0 由4=b=1,a+b2=0,a4=b得： 即1+3d=1+d2,…1分 1+3d=q 整理得d2=d,所以d=1或d=0(舍)，从而q=-2, …2分 所以a=n,bn=(-2)-1: …4分 (Ⅱ)(1)解法一： C,=a.b.=(-2)-1,所以当n为奇数时，cn>0,当n为偶数时，cn<0, c,c,2d!,所以d.= n:2-1,n为奇数 又d={dc.<d- Cn,为奇数 …5分 Cn-'n为偶数 (n-1)·2-2,n为偶数 2 所以∑d,=d+d,+d+d,++d-1+d, =G+G+C3+C3++C2a-1+C2m-1=2(G+C3++C2n-) =2(1×2°+3×22++(2n-1)22m-2) …6分 4克d=20×2+3×2++(2n-3到2-+(2m-l02） 所以-3之d=20+2×2++2×2:-(2m-22) f=1 -20+8-2x2 --(2n-1)22m) …7分 1-4 1012n-10)4 3 3 所以克402m-104+0 …8分 t=1 9 第7页共10页 解法二： C.=a,b。=(-2)-1,所以当n为奇数时，cn>0,当n为偶数时，c.<0, c,n为奇数n:2-1,n为奇数 …5分 c.-,n为偶数(n-1):2”-2,n为偶数 所以d.-1+d,n=(2n-1)4-1+(2n-1)4-1=2(2n-1)4- …6分 所u之a-d+4+4+d+-dd.-20x+3x++20r） 42d=20×4+3x49++2m-3)4+2n-04 -3a=20+2x4+…+2x42m4=21482xf …7分 1-4 =10_Q2n-10)4 3 3 所以24=02n-10)410 22 …8分 =1 )设a,)的公差为m,因为d=6≥1， diy C<da- 所以d≥d-1(k=2,3,,n),所以≥0， 又因为c=a.∈W,所以m∈N, …9分 ①若=1，则i,=k,即c=k(k=1,2,,m时，d。=k(k=1,2,,m,满足{d}为等差数列， 将此时满足条件的c,}记作c),则T”=立c0=”+D。 …10分 =1 2 ②若m=0,则d=n(k=1,2,,),满足{dn}为等差数列， 此时，C2C3,cn可以是1,2，，n-1的任意一个排列，即满足条件的数列{cn}有(n-1)!个，记作 {c2cm-+}, …11分 且x”"0=2a--0 …12分 2 ③若m≥2，则dn=d1+(n-1)≥2d1+n+n-2>n,这与dn≤n矛盾，所以此时{dn}不存在，即不 存在数列{cn}使得{dn}是公差大于等于2的等差数列： …13分 综上所述，满足条件的{cn}的个数为M=(n-1)+1个， …14分 且之70=0+1D[-4_n+)4n+1) …15分 1 2 2 第8页共10页 20.(本小题满分16分) 解：(I)f(x)=xe-x2-2x,f(0)=0,切点为(0,0) --1分 f'(x)=(x+1)ex-2x-2,.f'(0)=-1, ---2分 则曲线f(x)在x=0处的切线方程为x+y=0 ----3分 (I)f'(x)=(x+1)e-2ar-2a=(x+1)(e*-2a, ----4分 ①当a≤0时，f(x)=0,得x=-1, 由f(x)<0,得x<-1;f"(x)>0,得x>-1, 则f(x)在(-o,-1)上单调递减，在(-1，+0)上单调递增， 函数fw)在x=-1处取得极小值f(-)=-上+a=0,a=1不符合题意； -----5分 当a>0时，由f'(x)=0,得x=-1或x=ln(2a, ②当0<2a<】,即ln(2m)<-1时， 由f"(x)>0,得x<h(2)或x>-1:由f'(x)<0,得lh(2<x<-1, 则f(x)在(-o,n(2a)上单调递增，在(ln(2a),-1)单调递减，在(-1，+o)上单调递增， 函数6在x=1处取得极小值八-)-+a<0,不符合愿意；-…6分 ®当2a=。,即h(2四=-1时，)20恒成立，函数/)无极值，不符合题意；…7分 ④当2a>名，即h(2>-1时，由f)>0,得x<-1或x>h(2a:由f)<0,得-1<x<h2a, 则f(x)在(-m,-1)上单调递增，在(-1，ln(2)单调递减，在(ln(2a,+o)上单调递增， 1 则函数f在x=ln(20处取得极小值fn(2a)=-④l血(2@]=0，解得a=2,符合题意， 所以实数a的值为； -8分 (Ⅲ)因为g(x)=sinx·f(x)-x2=xe*sinx-x2,令g(x)=0,即xe*sinx-x2=0 :x>0所以等价于e*sinx-x=0,令G(x)=e'sinx-x, 当xe(2k-1),2m),k∈Z时，G(x)=e'sinx-x<0恒成立，此时G(x)无零点，---9分 当x∈[2hc,(2k+1)π]，k∈Z时，G(x)=e(sinr+cosx)-1,G'(x)=2 *COSx ⑥若k=0,则xe0,小，G田在0牙 上单调递增，在5可上单调递减， 第9页共10页 而G0=0G原G0=0G()=e-1<0,放存在e行，使c0,)=0, 当x∈(0，t)时，G()>0,当x∈(to,)时，G(x)<0 故G(x)在(0，t)上单调递增，在(to,π)上单调递减， -10分 而G0)=0.c学>0G(0,6e受，故G)=cmr￥的零点e学，-1分 (ii当x∈「2m,(2n+1)π，n∈Z,n≥1时，因为G'(x)=2 2COSx 所以G(国在[2,2+受上单调造增，在[D+子2x+对上单调道减， 所以G(2nx)=e2r-1>0,G'(2nx+)>G(0)>0,G(2nπ+）)=-e2*+-1<0 故存在tn∈(2n元+T,2n元+)，使G)=0, 2 当x∈(2nπ，tn)时，G(x)>0,当x∈(tn2nπ+π)时，G'(x)<0 故G(x)在(21π，t)上单调递增，在(tn,2π+)上单调递减，---12分 以Gen)=2mr<0,G(2②mx+=e3-2nx+>0( 由v(x)=e-x,v'(x)=e*-l>0在x∈(0，+o)时，所以v(x)单调递增，v(x)=e-x>0, 又因为Gt,)>G(2n元+)>0，G(21元+)=-(21元+π)<0 故G()=esn-x的零点e2m2nx+孕，ane（2mr+72nr+和-l3分 由0有24e2z-3,2x-,s2∈(2,2nx+），-14分 :x,是G(x)=e'sinx--x的零点，即G(y)=esinx-x=0sinK=。 令W,因为u6),Xe+）,i<0 所以()在(1，+∞)上单调递减，又因为：>x1>2 2>x2）,sinx=即等价于in1>sin。-l15分 ex sinx=sin (4n-1)->sinxa 而cao+22+, .(4-1)元-x2m-1>2u，故2m1+x2n<(4n-1)元 -16分 第10页共10页2026年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（二) 数学试卷 本试卷分第1卷（选择题）和第1卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考 试结束后，上交答题卡 第I卷（选择题，共45分） 注意事项： 1.答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定位置上， 2.第1卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑. 一.选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符 合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上， (1)已知集合A={x∈N-2<x<4,B={0,1,2,3,4},则A∩B= (A){1,2,3} (B){0,1,2,3} (c){1,2,3,4} 0(D){0,1,2,3,4} (2)已知a,BeR,则“cosa=cosB”是“B=a+2m,keZ”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是 (A))=-x+ (B)f(x)=x2 (C)f()=nx+ (D)f(x)=x+sinx “x-1 4设0=2，b=lg吃 2 =log2c,则a,b,c的大小关系为 (A)b<a<c (B)c<b<a (C)b<c<a (D)a<e<b 数学试卷第」页共6页 鬟田扫全任 --。-。。22-。。一 (5)芯片作为集成电路上的载体广泛应用于手机和航天等多个领域.某公司根据市场调研与统 计得到，从2019年至2025年在芯片技术上的研发投入x(亿元)与收益y(亿元)的数据统计如 下： 个收待化九) 70 60 50 .(850 10.56)13.58) 40 6.42) 30 431)】 20 3.22) 10 213 O 23456789101川1213姗发入亿元 由上图发现可以用一元线性回归模型刻画收益与投入的关系.根据以上信息，如下判断错误 的为 (A)该公司收益数据的极差为45 (B)该公司收益数据的中位数为42 (C)可推断y与x两个变量正线性相关 (D)若2026年投入16亿元，则收益一定为80亿元 (6)已知函数f()=2sin(ox+)@>0,k习到的部分图象 如右图，则下列说法正确的是 (A)(答0是函数y=f)的一个对称中心 B)在区间-引单 (C)f(x)的图象可以由函数g(x)=2sinx的图象向右平移”个单位长度后，再将图象上所 6 有点的横坐标缩短到原来的行（纵坐标不变)得到 (D)f(x)的图象可以由函数g(x)=2sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变）后，再将图象向右平移”个单位长度得到 12 数学试卷第2页共6页 蠡田扫全 2-222 (7)己知数列{a},a=1,对任意的p,9eN都有0*g=0,+a,若am1+am2+…+4m%=68 (m∈N),则m的值为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 )已知双曲线二-Q>0,6>0的左、右焦点分别为（和月，右顶点为4.过五 斜率为-35的直线1，点M在直线1上.若∠M5=120,△MR5,为等腰三角形，则双曲线 的离心率为 (A)2 (B) 3-2 (C)3 (D) 5-2 (9)如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，三棱锥D-A,BC,和B-AD,C的公共部分形成的几何 体为.若2的体积记为V,2的内切球的体积记为'2，则V:'2= D (A)6:π (B)4W5:π (C)4W2:元 (D)33:π 数学试卷第3页共6页 影巴全赶 -…2…-222- 第Ⅱ卷（非选择题，共105分） 二，填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将正确的答案填写到答题纸上，题中 包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分. (10)1是虚数单位，复数：满足：=21，则复数：的共轭复数三= 3+i (11)(x+y(x-y)°的展开式中x2y的系数是 (用数字作答) (12)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为1，点M在1上(M在第二象限)，以M为圆心 的圆经过点F,若直线2x+y-4=0与圆M相切，则圆M的标准方程为 (13)甲、乙两人进行多轮猜谜比赛，每轮比赛两人各答一题.己知每轮比赛中，甲、乙猜对的 概率分别为和}，每轮比赛中两人猜对与否互不影响，每轮结果互不影响。在一轮比赛中， 42 恰有一人猜对的概率为 若两轮比赛中只有两次猜对，则这两次都是乙猜对的概 率为】 (14)已知△ABC是边长为2的正三角形，D、E分别为线段BC、DC的中点，F为线段AE 上任意一点，若BF=BA+IBC,则31+4μ= 若BM=BF,则BM,DM的 2 最小值为 (15)已知a,b∈R,函数f(x)=x2-ax-b在[0,1]的最大值为M.若M≥1对任意b恒成立， 则a的取值范围为 数学试卷第4页共6页 影田全任 -。-。。22--一 三.解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 (16)(本小题满分14分) 在△MC中，角瓜C所对的边分别为a,bc.已知合5，C=爱c=5, sinB (1）求a的值： (Ⅱ)求sinA的值： (Il)求sin(2A-C)的值. (17)(本小题满分15分) 如图，在四棱台ABCD-A,B,CD,中，AA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为V2的正方形， A4=AC=1. (I)求证：AC,⊥平面ABD: B (IⅡ)求平面ABD与平面CBD夹角的余弦值： (IⅢ)己知点H在棱AA上，且三棱锥H-ABD的体积 为。 求直线CH与平面CBD所成角的正弦值. (18)(本小题满分15分) @知椭圆￥+名虹@>b>0的左、右焦点分别为和乃，离心率为，短轴长为2E (I)求椭圆的方程： (Ⅱ)过点F的动直线与椭圆相交于A,B两点，设点A关于x轴对称的点为C(B在C的 左侧)，直线BC与x轴相交于点P,直线CF与AB相交于点M,求PF+ME-ME的值. 数学试卷第5页共6页 S扫描全能王 额3元人■直用的日mAe -…2…-222- (19)(本小题满分15分) 己知{a}是公差不为0的等差数列，{b,}是等比数列，a,=b=1,a,+b=0,a,=b. (1)求{a,}和{b}的通项公式： ()若a}与c}满足关系：d=G,且当n≥2aeN)时d,=6≥ cn<d 则称数列{d}是由数列{c}生成的“不减数列”. (i）若cn=a,bn,求{dn}的前2n项和： (ii){c}满足以下两个条件：①{c}为n(n>2)项有穷数列，且G=a,(k=1,2,,), 其中i,,…,n是1,2，…，n的任意一个排列：②{d,}为等差数列.若满足条件的{c}的个数 为M,并将不同的c}记作{}0=1,2，M),且70=之c0,求立7”. (20)(本小题满分16分) 已知aeR,函数f(x)=xe'-ar2-2ar. (】)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (Ⅱ)若f(x)有极小值，且极小值为0，求a的值： (Ⅲ)当a=0时，函数g(x)=sinx·f(x)-x2在(0，+o)上的零点按从小到大排列构成一个 数列，记为{xn(neN),求证：x+xn<(4n-l)元. 数学试卷第6页共6页 圈巴全赶 2。-22--