综合测试卷（一）-《数学 拓展模块一 下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一 下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 计算 sin75°cos15°+cos75°sin15° 的值是（ ） A. 0  B. ​  C. ​​  D. 1 2. 已知等差数列 {an​} 中，a1​=2，a3​=8，则公差 d=（ ） A. 2  B. 3  C. 4 D. 6 3. 从5名男生和3名女生中任选2人，则恰好选到1名男生的概率是（ ） A. ​  B. ​  C. ​  D. ​ 4. 若 tanθ =2，则 的值是（ ） A. −2  B. 2  C. ​  D. −​ 5. 在等比数列 {an​} 中，a2​=4，a4​=16，则公比 q=（ ） A. ±2  B. 2  C. −2  D. ±4 6. 下列各式中，正确的是（ ） A. cos(α+β)=cosα+cosβ B. cos2α=1−2sin2α C. sin2α=2sinα D. sin(α−β)=sinα−sinβ 7. 从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字，组成两位数，则这样的两位数共有（ ） A. 20个  B. 16个  C. 12个  D. 10个 8. 已知随机变量 XB(10,0.3)，则 E(X)=（ ） A. 3  B. 0.3  C. 10  D. 0.7 9. 函数 y=2sin(2x+​) 的最小正周期是（ ） A. π  B. 2π  C. ​  D. 4π 10. 已知等差数列 {an​} 中，a1​+a3​=10，a2​+a4​=14，则a5​=（ ） A. 11  B. 12  C. 13  D. 14 11. 某射手射击一次，命中目标的概率为0.8，则他射击3次恰好命中2次的概率是（ ） A. 0.384  B. 0.512  C. 0.128  D. 0.096 12. 化简 sin2αtanα 的结果是（ ） A. 2sin2α  B. 2cos2α  C. sin2α  D. cos2α 13. 数列 {an​} 的前 n 项和 Sn​=n2+2n，则 a3​=（ ） A. 7  B. 8  C. 9  D. 10 14. 将4本不同的书分给3个人，每人至少1本，则不同的分法有（ ） A. 36种  B. 24种  C. 72种  D. 48种 15. 已知随机变量 X 的分布列为： X 1 2 3 P 0.2 0.5 0.3 则 D(X)=（ ） A. 0.49  B. 0.41  C. 0.81  D. 1.21 16. 函数 y=cos2x−sin2x 的值域是（ ） A. [−1,1]  B. [0,1]  C. [−​,​]  D. [−2,2] 17. 在等比数列 {an​} 中，a1​=1，公比 q=2，则前5项和S5​=（ ） A. 31  B. 32  C. 63  D. 64 18. 某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50,4)，则长度在46到54之间的概率约为（ ） （参考数据：P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.9545） A. 0.6827  B. 0.9545  C. 0.9973  D. 0.8413 19. 已知 sinα=，α 为第二象限角，则 tanα=（ ） A. −​  B.   C. −​  D.  20. 若 ​=10，则 n=（ ） A. 4  B. 5  C. 6  D. 7 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21. 计算：cos15°cos45°−sin15°sin45°= ________。 22. 已知数列 {an​} 中，a1​=1，an+1​=2an​+1，则 a3​= ________。 23. 在 (1+x)5 的展开式中，x2 的系数为 ________。 24. 随机变量 XN(0,1)，已知 Φ(1)≈0.8413，则 P(−1<X<1)≈ ________。 25. 从5名男生和4名女生中选3人组成一个小组，要求至少有一名女生，则不同的选法有________ 种。 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26. （8分）已知 sinα=​，α 为第二象限角，求 cos2α 和 sin2α 的值。 27. （9分）已知等差数列 {an​} 中，a2​=5，a5​=14。 （1）求数列的通项公式 an​； （2）求数列的前 n 项和 Sn​。 28. （9分）有3名男生和2名女生站成一排拍照。 （1）求5人排成一排，女生不相邻的排法数； （2）求5人排成一排，甲、乙两人必须相邻的排法数。 29. （9分）某射手进行射击训练，每次射击命中目标的概率为0.7，且各次射击相互独立。 （1）求射击3次恰好命中2次的概率； （2）求射击3次至少命中2次的概率。 30. （10分）已知随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 P a 0.3 0.5 （1）求 a 的值； （2）求 E(X) 和 D(X)。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一 下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 计算 sin75°cos15°+cos75°sin15° 的值是（ ） A. 0  B. ​  C. ​​  D. 1 【答案】D 【分析】考查两角和的正弦公式。 【详解】原式 =sin(75°+15°)=sin90°=1。故选D 2. 已知等差数列 {an​} 中，a1​=2，a3​=8，则公差 d=（ ） A. 2  B. 3  C. 4 D. 6 【答案】B 【分析】考查等差数列通项公式。 【详解】a3​=a1​+2d，即 8=2+2d，解得 d=3。故选B 3. 从5名男生和3名女生中任选2人，则恰好选到1名男生的概率是（ ） A. ​  B. ​  C. ​  D. ​ 【答案】B 【分析】考查组合概率计算。 【详解】总情况 ​=28，选1男1女：​×​=15，概率 P=。故选B 4. 若 tanθ =2，则 的值是（ ） A. −2  B. 2  C. ​  D. −​ 【答案】A 【分析】考查同角三角函数关系及齐次式化简。 【详解】原式 = =​= −2。故选A 5. 在等比数列 {an​} 中，a2​=4，a4​=16，则公比 q=（ ） A. ±2  B. 2  C. −2  D. ±4 【答案】A 【分析】考查等比数列通项公式。 【详解】a4​=a2​q2，即 16=4q2，q2=4，q=±2。故选A 6. 下列各式中，正确的是（ ） A. cos(α+β)=cosα+cosβ B. cos2α=1−2sin2α C. sin2α=2sinα D. sin(α−β)=sinα−sinβ 【答案】B 【分析】考查二倍角公式及和差角公式的记忆。 【详解】A、C、D均为常见错误，B为正确公式：cos2α=cos2α−sin2α=1−2sin2α。 7. 从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字，组成两位数，则这样的两位数共有（ ） A. 20个  B. 16个  C. 12个  D. 10个 【答案】B 【分析】考查排列数的应用（首位不能为0）。 【详解】十位有4种选法（1,2,3,4）,个位有4种选法（剩余4个数字）,共4×4=16个。故选B 8. 已知随机变量 XB(10,0.3)，则 E(X)=（ ） A. 3  B. 0.3  C. 10  D. 0.7 【答案】A 【分析】考查二项分布的期望公式。 【详解】E(X)=np=10×0.3=3。故选A 9. 函数 y=2sin(2x+​) 的最小正周期是（ ） A. π  B. 2π  C. ​  D. 4π 【答案】A 【分析】考查正弦型函数的周期公式。 【详解】T==​=π。故选A 10. 已知等差数列 {an​} 中，a1​+a3​=10，a2​+a4​=14，则a5​=（ ） A. 11  B. 12  C. 13  D. 14 【答案】A 【分析】考查等差数列的性质。 【详解】设公差为d，则a1​+a3​=2a1​+2d=10，即 a1​+d=5；a2​+a4​=(a1​+d)+(a1​+3d)=2a1​+4d=14，即 a1​+2d=7。解得 d=2，a1​=3，则 a5​=a1​+4d=3+8=11。故选A 11. 某射手射击一次，命中目标的概率为0.8，则他射击3次恰好命中2次的概率是（ ） A. 0.384  B. 0.512  C. 0.128  D. 0.096 【答案】A 【分析】考查独立重复试验概率公式。 【详解】P=​×(0.8)2×(0.2)1=3×0.64×0.2=0.384。故选A 12. 化简 sin2αtanα 的结果是（ ） A. 2sin2α  B. 2cos2α  C. sin2α  D. cos2α 【答案】A 【分析】考查三角恒等变换。 【详解】sin2αtanα=2sinαcosα​=2sin2α。故选A 13. 数列 {an​} 的前 n 项和 Sn​=n2+2n，则 a3​=（ ） A. 7  B. 8  C. 9  D. 10 【答案】A 【分析】考查 an​ 与 Sn​ 的关系。 【详解】a3​=S3​−S2​=(9+6)−(4+4)=15−8=7。故选A 14. 将4本不同的书分给3个人，每人至少1本，则不同的分法有（ ） A. 36种  B. 24种  C. 72种  D. 48种 【答案】A 【分析】考查分组分配问题。 【详解】先分组：将4本书分成“2,1,1”三组，分组方法 ​​=​=6种， 再分给3个人有 ​=6种，故总数为 6×6=36种。故选A 15. 已知随机变量 X 的分布列为： X 1 2 3 P 0.2 0.5 0.3 则 D(X)=（ ） A. 0.49  B. 0.41  C. 0.81  D. 1.21 【答案】A 【分析】考查方差的计算。 【详解】E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=0.2+1.0+0.9=2.1，E(X2)=1×0.2+4×0.5+9×0.3=0.2+2.0+2.7=4.9，D(X)=E(X2)−[E(X)]2=4.9−4.41=0.49。故选A 16. 函数 y=cos2x−sin2x 的值域是（ ） A. [−1,1]  B. [0,1]  C. [−​,​]  D. [−2,2] 【答案】A 【分析】考查二倍角公式及余弦函数的值域。 【详解】y=cos2x，值域为 [−1,1]。故选A 17. 在等比数列 {an​} 中，a1​=1，公比 q=2，则前5项和S5​=（ ） A. 31  B. 32  C. 63  D. 64 【答案】A 【分析】考查等比数列前 n 项和公式。 【详解】S5​=​=​=31。故选A 18. 某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50,4)，则长度在46到54之间的概率约为（ ） （参考数据：P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.9545） A. 0.6827  B. 0.9545  C. 0.9973  D. 0.8413 【答案】B 【分析】考查正态分布的 2σ 原则。 【详解】μ=50，σ=2，区间 4654 对应 μ±2σ，概率约为0.9545。故选B 19. 已知 sinα=，α 为第二象限角，则 tanα=（ ） A. −​  B.   C. −​  D.  【答案】A 【分析】考查同角三角函数关系及象限符号。 【详解】cosα=−1−(​)2​=−​，tanα=​=​=−​。故选A 20. 若 ​=10，则 n=（ ） A. 4  B. 5  C. 6  D. 7 【答案】B 【分析】考查组合数公式。 【详解】​=10，n(n−1)=20，解得 n=5 或n=−4（舍），故 n=5。故选B 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21. 计算：cos15°cos45°−sin15°sin45°= ________。 【答案】 【分析】考查两角和的余弦公式。 【详解】原式 = cos(15°+45°)=cos60°=​。 22. 已知数列 {an​} 中，a1​=1，an+1​=2an​+1，则 a3​= ________。 【答案】7 【分析】考查递推数列求项。 【详解】a2​=2×1+1=3，a3​=2×3+1=7。 23. 在 (1+x)5 的展开式中，x2 的系数为 ________。 【答案】10 【分析】考查二项式定理。 【详解】Tr+1​=xr，令 r=2，系数为 ​=10。 24. 随机变量 XN(0,1)，已知 Φ(1)≈0.8413，则 P(−1<X<1)≈ ________。 【答案】0.6826 【分析】考查标准正态分布的对称性。 【详解】P(−1<X<1)=2Φ(1)−1=2×0.8413−1=0.6826。 25. 从5名男生和4名女生中选3人组成一个小组，要求至少有一名女生，则不同的选法有 ________ 种。 【答案】74 【分析】考查组合问题（用补集法）。 【详解】总选法​=84，无女生（全是男生）选法 =10，至少1女生 84−10=74。 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26. （8分）已知 sinα=​，α 为第二象限角，求 cos2α 和 sin2α 的值。 【答案】cos2α=−​，sin2α=−​ 【分析】考查二倍角公式及象限符号判断。 【详解】α 为第二象限角，sinα=​，则 cosα=−1−(​)2 ​=−​。 cos2α=cos2α−sin2α=(−​)2−(​)2=​−​=−​。sin2α=2sinαcosα=2×​×(−​)=−​。 27. （9分）已知等差数列 {an​} 中，a2​=5，a5​=14。 （1）求数列的通项公式 an​； （2）求数列的前 n 项和 Sn​。 【答案】（1）an​=3n−1；（2）Sn​= 【分析】考查等差数列通项公式和前 n 项和公式。 【详解】（1）设公差为 d，则 a5​−a2​=3d=14−5=9，d=3。a1​=a2​−d=5−3=2，故 an​=2+(n−1)×3=3n−1。 （2）Sn​===​=。 28. （9分）有3名男生和2名女生站成一排拍照。 （1）求5人排成一排，女生不相邻的排法数； （2）求5人排成一排，甲、乙两人必须相邻的排法数。 【答案】（1）72种；（2）48种 【分析】考查排列中的插空法和捆绑法。 【详解】（1）先排3名男生，有 =6 种排法，产生4个空位。从4个空位中选2个插入女生，有=12 种排法。故总数为 6×12=72 种。 （2）将甲、乙两人捆绑视为一个整体，与其余3人共4个元素排列，有 =24 种排法，甲、乙内部有 ​=2 种排法，故总数为 24×2=48 种。 29. （9分）某射手进行射击训练，每次射击命中目标的概率为0.7，且各次射击相互独立。 （1）求射击3次恰好命中2次的概率； （2）求射击3次至少命中2次的概率。 【答案】（1）0.441；（2）0.784 【分析】考查独立重复试验概率公式。 【详解】（1）P=×(0.7)2×(0.3)1=3×0.49×0.3=0.441。 （2）至少命中2次 = 命中2次 + 命中3次。 P(命中3次)=(0.7)3=0.343，P=0.441+0.343=0.784。 30. （10分）已知随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 P a 0.3 0.5 （1）求 a 的值； （2）求 E(X) 和 D(X)。 【答案】（1）a=0.2；（2）E(X)=1.3，D(X)=0.61 【分析】考查分布列的性质、期望和方差的计算。 【详解】（1）由概率和为1得：a+0.3+0.5=1，a=0.2。 （2）E(X)=0×0.2+1×0.3+2×0.5=0+0.3+1.0=1.3。E(X2)=02×0.2+12×0.3+22×0.5=0+0.3+2.0=2.3， D(X)=E(X2)−[E(X)]2=2.3−(1.3)2=2.3−1.69=0.61。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $