综合测试卷（三）-《数学 拓展模块一 下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一 下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 计算cos75cos15°−sin75°sin15° 的值是（ ） A. 0  B. ​  C. ​​  D. 1 2. 已知等差数列 {an​} 中，a2​=7，a5​=16，则 a8​=（ ） A. 25  B. 24  C. 23  D. 22 3. 从7名学生中选3人参加演讲比赛，则不同的选法有（ ） A. 21种  B. 35种  C. 42种  D. 210种 4. 若 tanθ=2，则 =（ ） A. ​  B. ​  C. ​  D. ​ 5. 等比数列 {an​} 中，a2​=9，a5​=243，则 a4​=（ ） A. 27  B. 54  C. 81  D. 108 6. 函数 y=2sin(−​) 的周期是（ ） A.   B. ​  C. 3π  D. 6π 7. 将4名医生分配到3所医院，每所医院至少1人，则不同的分配方案有（ ） A. 36种  B. 72种  C. 24种  D. 48种 8. 已知随机变量 X∼B(10,0.2)，则D(X)=（ ） A. 1.6  B. 2  C. 0.16  D. 1.2 9. 函数 y=sinxcosx 的最小正周期是（ ） A. π  B. 2π  C. 2π​  D. 4π 10. 已知等比数列 {an​} 中，a1​=3，公比 q=−2，则 S4​=（ ） A. −15  B. −9  C. 9  D. 15 11. 某产品合格率为0.9，现抽取3件，则至少2件合格的概率是（ ） A. 0.972  B. 0.243  C. 0.729  D. 0.9 12. 化简 ​ 的结果是（ ） A. tanα  B. cotα  C. tan2α  D. cot2α 13. 数列{an​} 的前 n 项和Sn​=2n−1，则 a4​=（ ） A. 8  B. 7  C. 9  D. 15 14. 从2名男生和4名女生中选3人，则选出的3人全是女生的概率是（ ） A. ​  B. ​  C. ​  D.  15. 已知随机变量 X 的分布列为： X −2 0 2 P 0.2 0.5 0.3 则 E(X)=（ ） A. 0.2  B. 0.4  C. 0.6  D. 0.8 16. 若cosα=​，α 为第四象限角，则sinα=（ ） A. ​  B. −  C. ​  D. − 17. 等差数列 {an​} 中，a3​+a5​+a7​=21，则 a5​=（ ） A. 5  B. 6  C. 7  D. 8 18. 某班成绩服从正态分布 N(70,64)，则成绩在62到78之间的概率约为（ ） A. 0.6827  B. 0.9545  C. 0.9973  D. 0.5 19. 已知 tanα=​，α 为第三象限角，则 sinα=（ ） A. ​  B. −​  C. ​  D. − 20. 若 =30，则 n=（ ） A. 5  B. 6  C. 7  D. 8（ ） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21. 计算：cos105°sin15°= ________。 22. 已知数列{an​} 中，a1​=2，an+1​=2an​，则 a5​= ________。 23. 在 (1−2x)4 的展开式中，x2 的系数为 ________。 24. 随机变量 X∼N(3,16)，则E(X)= ________。 25. 从6名男生和4名女生中选5人，要求至少有3名男生，则不同的选法有 ________ 种。 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26. （8分）已知 sinα=​，α 为第二象限角，求 tan2α 的值。 27. （9分）已知等比数列{an​} 中，a3​=8，a6​=64。 （1）求数列的通项公式 an​； （2）求数列的前6项和 S6​。 28. （9分）有4名男生和4名女生站成一排。 （1）求男生和女生相间排列的概率； （2）求任意两名女生都不相邻的概率。 29. （9分）某厂生产的产品中，一级品率为0.8，二级品率为0.2，现随机抽取3件。 （1）求恰好有2件一级品的概率； （2）求至少有一件一级品的概率。 30. （10分）已知随机变量 X 的分布列为： X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 （1）求 E(X) 和D(X)； （2）求 Y=−2X+5 的期望和方差。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一 下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 计算cos75cos15°−sin75°sin15° 的值是（ ） A. 0  B. ​  C. ​​  D. 1 【答案】A 【分析】考查两角和的余弦公式。 【详解】原式 = cos(75°+15°)=cos90°=0。故选A 2. 已知等差数列 {an​} 中，a2​=7，a5​=16，则 a8​=（ ） A. 25  B. 24  C. 23  D. 22 【答案】A 【分析】考查等差数列通项公式。 【详解】a5​−a2​=3d=9，d=3，a8​=a5​+3d=16+9=25。故选A 3. 从7名学生中选3人参加演讲比赛，则不同的选法有（ ） A. 21种  B. 35种  C. 42种  D. 210种 【答案】B 【分析】考查组合数公式。 【详解】​=35。故选B 4. 若 tanθ=2，则 =（ ） A. ​  B. ​  C. ​  D. ​ 【答案】A 【分析】考查齐次式化简。 【详解】原式 =​=​=​。故选A 5. 等比数列 {an​} 中，a2​=9，a5​=243，则 a4​=（ ） A. 27  B. 54  C. 81  D. 108 【答案】C 【分析】考查等比数列通项公式。 【详解】a5​=a2​⋅q3，即 243=9q3，q3=27，q=3，a4​=a2​⋅q2=9×9=81。故选C 6. 函数 y=2sin(−​) 的周期是（ ） A.   B. ​  C. 3π  D. 6π 【答案】D 【分析】考查正弦型函数周期公式。 【详解】T==​=6π。故选D 7. 将4名医生分配到3所医院，每所医院至少1人，则不同的分配方案有（ ） A. 36种  B. 72种  C. 24种  D. 48种 【答案】A 【分析】考查分组分配问题。 【详解】将4人分成“2,1,1”三组，分组方法 ​​=​=6 种，再分配 ​=6 种， 共6×6=36 种。故选A 8. 已知随机变量 X∼B(10,0.2)，则D(X)=（ ） A. 1.6  B. 2  C. 0.16  D. 1.2 【答案】A 【分析】考查二项分布方差公式。 【详解】D(X)=np(1−p)=10×0.2×0.8=1.6。故选A 9. 函数 y=sinxcosx 的最小正周期是（ ） A. π  B. 2π  C. 2π​  D. 4π 【答案】A 【分析】考查二倍角公式及周期。 【详解】y=​sin2x，周期 T==π。故选A 10. 已知等比数列 {an​} 中，a1​=3，公比 q=−2，则 S4​=（ ） A. −15  B. −9  C. 9  D. 15 【答案】A 【分析】考查等比数列前 n 项和公式。 【详解】S4​===−15。故选A 11. 某产品合格率为0.9，现抽取3件，则至少2件合格的概率是（ ） A. 0.972  B. 0.243  C. 0.729  D. 0.9 【答案】A 【分析】考查独立重复试验。 【详解】P=​×0.92×0.1+0.93=3×0.81×0.1+0.729=0.243+0.729=0.972。故选A 12. 化简 ​ 的结果是（ ） A. tanα  B. cotα  C. tan2α  D. cot2α 【答案】B 【分析】考查二倍角公式化简。 【详解】​==cotα。故选B 13. 数列{an​} 的前 n 项和Sn​=2n−1，则 a4​=（ ） A. 8  B. 7  C. 9  D. 15 【答案】A 【分析】考查 an​ 与 Sn​ 的关系。 【详解】a4​=S4​−S3​=(16−1)−(8−1)=15−7=8。故选A 14. 从2名男生和4名女生中选3人，则选出的3人全是女生的概率是（ ） A. ​  B. ​  C. ​  D.  【答案】A 【分析】考查组合概率。 【详解】总选法 ​=20，全女生 ​=4，概率 P=​=​。故选A 15. 已知随机变量 X 的分布列为： X −2 0 2 P 0.2 0.5 0.3 则 E(X)=（ ） A. 0.2  B. 0.4  C. 0.6  D. 0.8 【答案】A 【分析】考查期望计算。 【详解】E(X)=(−2)×0.2+0×0.5+2×0.3=−0.4+0+0.6=0.2。故选A 16. 若cosα=​，α 为第四象限角，则sinα=（ ） A. ​  B. −  C. ​  D. − 【答案】B 【分析】考查同角三角函数关系及象限符号。 【详解】sinα=−​=−。故选B 17. 等差数列 {an​} 中，a3​+a5​+a7​=21，则 a5​=（ ） A. 5  B. 6  C. 7  D. 8 【答案】C 【分析】考查等差数列性质。 【详解】a3​+a5​+a7​=3a5​=21，a5​=7。故选C 18. 某班成绩服从正态分布 N(70,64)，则成绩在62到78之间的概率约为（ ） A. 0.6827  B. 0.9545  C. 0.9973  D. 0.5 【答案】A 【分析】考查正态分布的 1σ 原则。 【详解】μ=70，σ=8，区间 62∼78 对应μ±σ，概率约为0.6827。故选A 19. 已知 tanα=​，α 为第三象限角，则 sinα=（ ） A. ​  B. −​  C. ​  D. − 【答案】B 【分析】考查同角三角函数关系及象限符号。 【详解】tanα=，设 sinα=4k，cosα=3k，由 sin2α+cos2α=1 得 16k2+9k2=25k2=1，k2=，k=±​。 第三象限角 sinα<0，故 sinα=−​。故选B 20. 若 =30，则 n=（ ） A. 5  B. 6  C. 7  D. 8 【答案】B 【分析】考查排列数公式。 【详解】​=n(n−1)=30，解得 n=6 或 n=−5（舍），故n=6。故选B 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21. 计算：cos105°sin15°= ________。 【答案】 【分析】考查积化和差公式。 【详解】cos105°sin15°=[sin(105°+15°)−sin(105°−15°)]​=[sin120°−sin90°]​=(​​−1)​=。 22. 已知数列{an​} 中，a1​=2，an+1​=2an​，则 a5​= ________。 【答案】32 【分析】考查等比数列。 【详解】公比 q=2，a5​=a1​×24=2×16=32。 23. 在 (1−2x)4 的展开式中，x2 的系数为 ________。 【答案】24 【分析】考查二项式定理。 【详解】通项Tr+1​=​(−2x)r，令 r=2，系数为 ​×(−2)2=6×4=24。 24. 随机变量 X∼N(3,16)，则E(X)= ________。 【答案】3 【分析】考查正态分布参数。 【详解】X∼N(μ,σ2)，μ=3，故 E(X)=3。 25. 从6名男生和4名女生中选5人，要求至少有3名男生，则不同的选法有 ________ 种。 【答案】186 【分析】考查组合问题。 【详解】 3男2女：​×​=20×6=120；4男1女：​×​=15×4=60；5男：​=6；共 120+60+6=186。 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26. （8分）已知 sinα=​，α 为第二象限角，求 tan2α 的值。 【答案】 【分析】考查二倍角正切公式。 【详解】α 为第二象限角，sinα=​，则 cosα=−​，tanα=−​。tan2α==​=​​=​×​=​。 27. （9分）已知等比数列{an​} 中，a3​=8，a6​=64。 （1）求数列的通项公式 an​； （2）求数列的前6项和 S6​。 【答案】（1）an​=2n；（2）S6​=126 【分析】考查等比数列通项和求和。 【详解】（1）a6​=a3​⋅q3，即 64=8q3，q3=8，q=2。a1​===2，故 an​=2×2n−1=2n。 （2）S6​===126。 28. （9分）有4名男生和4名女生站成一排。 （1）求男生和女生相间排列的概率； （2）求任意两名女生都不相邻的概率。 【答案】（1）；（2） 【分析】考查排列与概率。 【详解】总排法 =40320。 （1）男女相间有两种模式：男女男女男女男女 或 女男女男女男女男。先排男生 ​=24，再排女生​=24，共 2×24×24=1152 种。概率 P=​ =​。 （2）先排4名男生 =24，产生5个空位，选4个空位插入女生​=120，共 24×120=2880 种。概率 P=​=​。 29. （9分）某厂生产的产品中，一级品率为0.8，二级品率为0.2，现随机抽取3件。 （1）求恰好有2件一级品的概率； （2）求至少有一件一级品的概率。 【答案】（1）0.384；（2）0.992 【分析】考查独立重复试验。 【详解】（1）P=​×0.82×0.21=3×0.64×0.2=0.384。（2）P=1−(0.2)3=1−0.008=0.992。 30. （10分）已知随机变量 X 的分布列为： X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 （1）求 E(X) 和D(X)； （2）求 Y=−2X+5 的期望和方差。 【答案】（1）E(X)=2.4，D(X)=0.84；（2）E(Y)=0.2，D(Y)=3.36 【分析】考查期望、方差计算及线性变换性质。 【详解】（1）E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=0.2+0.6+1.2+0.4=2.4。 E(X2)=1×0.2+4×0.3+9×0.4+16×0.1=0.2+1.2+3.6+1.6=6.6，D(X)=6.6−(2.4)2=6.6−5.76=0.84。 （2）E(Y)=−2E(X)+5=−4.8+5=0.2，D(Y)=4D(X)=4×0.84=3.36。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $