第七章 数列（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一 下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第七章 数列 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1． 已知数列 {an​} 的通项公式为 an​=3n−2，则 a5​=（ ） A. 10   B. 11   C. 12   D. 13 【答案】D 【分析】直接代入 n=5 计算。 【详解】a5​=3×5−2=15−2=13。故选D。 2. 等差数列{an​} 中，a2​=7，a5​=16，则公差 d=（ ） A. 2   B. 3   C. 4   D. 5​​ 【答案】B 【分析】利用 a5​=a2​+3d 求解。 【详解】 16=7+3d，解得 3d=9，d=3。故选B。 3. 在等比数列{an​} 中，a3​=8，a6​=64，则公比 q=（ ） A. 2   B. −2   C. ±2   D. 4 【答案】A 【分析】 考查an=am​qn-m。 【详解】 注意 q 为正实数时取2，若允许负数，即 64=8q3，，则 q3=8 ，q=2。故选A。 4. 等差数列{an​} 的前 n 项和为 Sn​，若 S6​=48，则 a3​+a4​=（ ） A. 12   B. 14   C. 16   D. 18 【答案】C 【分析】考查等差数列的性质：若m+n=p+q,则am​+an​=ap+aq。 【详解】 等差数列中，a1​+a6​=a2​+a5​=a3​+a4​， S6​==3(a3​+a4​)，故 a3​+a4​=16。故选C。 5. 等比数列 {an​} 中，a1​=3，q=−2，则 S4​=（ ） A. −15   B. 15   C. −9   D. 9 【答案】A 【分析】考查等比数列前n项和公式。 【详解】S4​=​=​=−15。故选A。 6. 若三个数 2,x,8 成等比数列，则 x=（ ） A. ±4   B. 4   C.  −4   D. 16​ 【答案】A 【分析】等比中项，注意等比数列中项可正可负。 【详解】x2=2×8=16，故x=±4，故选A。 7. 等差数列 {an​} 中，a2​+a8​=20，则 S9​=（ ） A. 80   B. 90   C. 100   D. 110 【答案】B 【分析】考查等差中项与等差数列种若项数和相等，即m+n=p+q,则am+an=ap+aq。 【详解】a2​+a8​=2a5​=20，所以 a5​=10，S9​=​=9a5​=90。故选B。 8. 已知数列 {an​} 满足a1​=2，an+1​=2an​+1，则 a3​=（ ） A. 5   B. 7   C. 9   D. 11 【答案】D 【分析】递推求值。 【详解】a2​=2×2+1=5，a3​=2×5+1=11。故选D。 9. 等比数列 {an​} 中，a1​=1，S3​=13，则公比 q=（ ） A. 3   B. −4   C. 3 或 −4   D. 4 或 −3 【答案】C 【分析】考查等比数列逐项相加求和  【详解】S3​=1+q+q2=13，即 q2+q−12=0，解得q=3 或q=−4。故选C。 10. 在等差数列{an​} 中，a1​=10，d=−2，则数列的前 n 项和 Sn​ 的最大值为（ ） A. 25   B. 30   C. 35   D. 40 【答案】B 【分析】考查等差数列前n项和公式。 【详解】Sn​=[20+(n−1)(−2)]=​(22−2n)=n(11−n)，这是关于 n 的二次函数，开口向下， 对称轴 n=5.5，取 n=5 或 6 时最大，即S5​=5×6=30， S6​=6×5=30，最大值为30。故选B。 11. 已知等比数列 {an​} 中，a3​=4，a6​=32，则 a9​=（ ） A. 64   B. 128   C. 256   D. 512 【答案】C 【分析】考查等比数列通项公式。  【详解】a6​=a3​q3，32=4q3，q3=8，q=2，则 a9​=a6​q3=32×8=256。故选C。 12.  等差数列{an​} 的前 n 项和为 Sn​，若 S3​=9，S6​=36，则 S9​=（ ） A. 81   B. 90   C. 99   D. 108 【答案】A 【分析】考查等差数列前n项和性质：Sk​,S2k​−Sk​,S3k​−S2k,…成等差数列。 【详解】 S3​,S6​−S3​,S9​−S6​ 成等差数列，即 9, 27, S9​−36 成等差，公差为18， 所以 S9​−36=27+18=45，S9​=81。故选A。 13. 某商品价格从今年起每年比上一年降低10%，设今年价格为 a 元，则第5年该商品的价格为（ ）元。 A. a(1−0.14)   B. a(1−0.15)   C.  a0.94   D.  a0.95 【答案】C 【分析】考查等比数列通项公式。 【详解】每年降价10%，即价格为上一年的0.9倍，等比数列，第1年（今年）为 a， 则第5年是第4年后，即 a×0.94。故选C。 14. 已知数列{an​} 满足a1​=1，an+1​=，则 a4​ =（ ） A. ​   B.  ​   C. ​   D. ​ 【答案】B 【分析】递推求值。 【详解】a2​==​，a3​===​，a4​==​=​。故选B。 15. 设等差数列{an​} 的前 n 项和为 Sn​，若 S5​=15，则a3​=（ ） A. 1   B. 2   C. 3   D. 4 【答案】C 【分析】考查等差数列中，S2n−1​=(2n−1)an。 【详解】S5​=5a3​=15，故 a3​=3​。故选C。 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 16．在等差数列{an​} 中，a1​=5，a4​=14，则 a6​= ______。 【答案】20 【分析】考查等差数列通项公式得应用。 【详解】先求公差 d==​=3，则 a6​=a1​+5d=5+15=20。 17. 在等比数列{an​} 中，a1​=3，q=2，则 S5​= ______。 【答案】90 【分析】考查等比数列前n项和公式 【详解】S5​===3×31=93。 18. 已知数列{an​} 中，a1​=2，an+1​=an​+2n，则 a5​= ______。 【答案】22 【分析】考查数列递推公式的应用。 【详解】累加或递推：a2​=2+2=4，a3​=4+4=8，a4​=8+6=14，a5​=14+8=22。 19. 设 Sn​ 为等比数列 {an​} 的前 n 项和，若a2​=2， a5​=16，则 S6​= ______。 【答案】63 【分析】考查等比数列通项公式的应用。 【详解】由a5​=a2​q3 得 16=2q3，q3=8，q=2， a1​=​​=1，则S6​=​=26−1=63。 20. 在等差数列{an​} 中，a1​=1，a3​=5，则数列{an​} 的前10项和 S10​= ______。 【答案】100 【分析】考查等差数列通项公式和前n项和公式的综合应用。 【详解】公差 d==2，a10​=1+9×2=19，S10​=​=5×20=100。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21. （本题 10 分）已知等差数列{an​} 中，a2​=8，a5​=17。 （1）求数列{an​} 的通项公式； （2）求数列{an​} 的前 n 项和 Sn​，并求 Sn​ 的最小值。 【答案】（1）an​=3n+2； （2）Sn​=，最小值为 S1​=5（因为 a1​=5>0，递增数列，最小值在n=1 时取得）。 【分析】（1）列方程求a1​,d；（2）由an​>0 判断最小值在首项。 【详解】（1）设公差为 d，则 a2​=a1​+d=8，a5​=a1​+4d=17，相减得 3d=9，d=3，代入得 a1​=5。所以 an​=5+(n−1)×3=3n+2。 （2）Sn​==​。由于an​=3n+2>0 对所有 n≥1 成立，数列单调递增，故 Sn​ 的最小值为 S1​=5。 22. （本题 10 分）已知等比数列 {an​} 中，a2​=9，a5​=243。 （1）求数列{an​} 的通项公式； （2）若bn​=​，求数列{bn​} 的前 n 项和 Tn​。 【答案】（1）an​=3n；（2）Tn​=。 【分析】（考查等比数列通项公式的应用，与对数运算的综合应用。 【详解】（1）q3==​=27，q=3，a1​=​​=3，所以an​=3×3n−1=3n。 （2）bn​= =n，则{bn​} 是首项为1，公差为1的等差数列，Tn​=​=​。 23. （本题 10 分）某工厂为落实环保政策，计划从今年起减少污染物排放量。已知今年排放量为100吨，计划每年排放量比上一年减少5%（即每年减少5%）。 （1）求第5年该工厂的污染物排放量（精确到0.1吨）； （2）求从今年起，前5年累计排放总量（精确到0.1吨）。 【答案】（1）约 81.5 吨；（2）约 452.6 吨。  【分析】考查等比数列通项公式和前n项和公式。 【详解】（1）首项a1​=100，公比 q=0.95，a5​=100×0.954≈100×0.8145=81.45≈81.5（吨）。 （2）S5​=100×= 452.438125 ，四舍五入452.4吨。 24. （本题 10 分）已知数列{an​} 的前 n 项和为Sn​，且满足Sn​=2an​−1。 （1）求a1​,a2​,a3​ 的值； （2）证明数列{an​} 是等比数列，并求其通项公式； （3）求数列 {an​} 的前n 项和Sn​。 【答案】（1）a1​=1， a2​=2， a3​=4；（2）an​=2n−1；（3）Sn​=2n−1。 【分析】（1）将n=1,2,3 带入Sn​=2an​−1求解；（2）由 Sn​=2an​−1 得 Sn−1​=2an−1​−1， 相减得an​=2an​−2an−1​，即 an​=2an−1​，故等比；（3）直接求和。 【详解】（1）当 n=1 时，S1​=a1​=2a1​−1，解得 a1​=1。 当 n=2 时，S2​=a1​+a2​=1+a2​=2a2​−1，解得 1+a2​=2a2​−1，即a2​=2。 当 n=3 时，S3​=1+2+a3​=3+a3​=2a3​−1，解得 a3​=4。 （2）当 n≥2 时，Sn​=2an​−1，Sn−1​=2an−1​−1，两式相减得 an​=2an​−2an−1​，即an​=2an−1​。所以 {an​} 是首项a1​=1，公比 q=2 的等比数列，通项 an​=2n−1。 （3）Sn​==2n−1。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一 下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第七章 数列 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1． 已知数列 {an​} 的通项公式为 an​=3n−2，则 a5​=（ ） A. 10   B. 11   C. 12   D. 13 2. 等差数列{an​} 中，a2​=7，a5​=16，则公差 d=（ ） A. 2   B. 3   C. 4   D. 5​​ 3. 在等比数列{an​} 中，a3​=8，a6​=64，则公比 q=（ ） A. 2   B. −2   C. ±2   D. 4 4. 等差数列{an​} 的前 n 项和为 Sn​，若 S6​=48，则 a3​+a4​=（ ） A. 12   B. 14   C. 16   D. 18 5. 等比数列 {an​} 中，a1​=3，q=−2，则 S4​=（ ） A. −15   B. 15   C. −9   D. 9 6. 若三个数 2,x,8 成等比数列，则 x=（ ） A. ±4   B. 4   C.  −4   D. 16​ 7. 等差数列 {an​} 中，a2​+a8​=20，则 S9​=（ ） A. 80   B. 90   C. 100   D. 110 8. 已知数列 {an​} 满足a1​=2，an+1​=2an​+1，则 a3​=（ ） A. 5   B. 7   C. 9   D. 11 9. 等比数列 {an​} 中，a1​=1，S3​=13，则公比 q=（ ） A. 3   B. −4   C. 3 或 −4   D. 4 或 −3 10. 在等差数列{an​} 中，a1​=10，d=−2，则数列的前 n 项和 Sn​ 的最大值为（ ） A. 25   B. 30   C. 35   D. 40 11. 已知等比数列 {an​} 中，a3​=4，a6​=32，则 a9​=（ ） A. 64   B. 128   C. 256   D. 512 12.  等差数列{an​} 的前 n 项和为 Sn​，若 S3​=9，S6​=36，则 S9​=（ ） A. 81   B. 90   C. 99   D. 108 13. 某商品价格从今年起每年比上一年降低10%，设今年价格为 a 元，则第5年该商品的价格为（ ）元。 A. a(1−0.14)   B. a(1−0.15)   C.  a0.94   D.  a0.95 14. 已知数列{an​} 满足a1​=1，an+1​=，则 a4​ =（ ） A. ​   B.  ​   C. ​   D. ​ 15. 设等差数列{an​} 的前 n 项和为 Sn​，若 S5​=15，则a3​=（ ） A. 1   B. 2   C. 3   D. 4 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 16．在等差数列{an​} 中，a1​=5，a4​=14，则 a6​= ______。 17. 在等比数列{an​} 中，a1​=3，q=2，则 S5​= ______。 18. 已知数列{an​} 中，a1​=2，an+1​=an​+2n，则 a5​= ______。 19. 设 Sn​ 为等比数列 {an​} 的前 n 项和，若a2​=2， a5​=16，则 S6​= ______。 20. 在等差数列{an​} 中，a1​=1，a3​=5，则数列{an​} 的前10项和 S10​= ______。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21. （本题 10 分）已知等差数列{an​} 中，a2​=8，a5​=17。 （1）求数列{an​} 的通项公式； （2）求数列{an​} 的前 n 项和 Sn​，并求 Sn​ 的最小值。 22. （本题 10 分）已知等比数列 {an​} 中，a2​=9，a5​=243。 （1）求数列{an​} 的通项公式； （2）若bn​=​，求数列{bn​} 的前 n 项和 Tn​。 23. （本题 10 分）某工厂为落实环保政策，计划从今年起减少污染物排放量。已知今年排放量为100吨，计划每年排放量比上一年减少5%（即每年减少5%）。 （1）求第5年该工厂的污染物排放量（精确到0.1吨）； （2）求从今年起，前5年累计排放总量（精确到0.1吨）。 24. （本题 10 分）已知数列{an​} 的前 n 项和为Sn​，且满足Sn​=2an​−1。 （1）求a1​,a2​,a3​ 的值； （2）证明数列{an​} 是等比数列，并求其通项公式； （3）求数列 {an​} 的前n 项和Sn​。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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