第六章 三角计算（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一 下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第六章 三角计算 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1． 已知 sinα=，α∈(2π​,π)，则cos(3π​−α) 的值为（ ） A. ​​   B. ​​   C.    D. − 2. 化简sin15cos15°cos30° 的结果是（ ） A. ​   B. ​​   C. ​   D. ​​ 3. 已知tan(α+β)=3， 2tan(α−β)=2，则tan2α=（ ） A.    B. −​   C. 1   D. −1 4. 函数 y=sin(2x−3π​) 的图象的一条对称轴方程是（ ） A. x=   B. x=​   C. x=π​   D. x= 5. 在 △ABC 中，a=2，b=3，cosC=​，则c=（ ） A. ​   B.    C. 3   D. 2 6. 已知sin(​−x)=​，则sin2x=（ ） A. ​   B. ​   C. ​   D. ​ 7. 在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若 a=1，b=​，A=30°，则 B=（ ） A. 60°   B. 60° 或 120°   C. 30° 或150°   D. 120° 8. 函数 y=2sinxcosx−2sin2x 的最小正周期是（ ） A.    B. π   C. 2π   D. 4π 9. 在 △ABC 中，若sin2A+sin2B<sin2C，则 △ABC 的形状是（ ） A. 锐角三角形  B. 直角三角形  C. 钝角三角形  D. 不能确定 10. 已知 cosα​，则 cos2α=（ ） A.    B.   C. ​   D. 11. 函数y=sin(2x+) 的单调递增区间是（ ） A. [−π​+kπ, ​+kπ], k∈Z   B. [−+kπ, π+kπ], k∈Z C. [−π​+2kπ, +2kπ], k∈Z   D. [−+2kπ, π​+2kπ], k∈Z 12. 在 △ABC 中，a,b,c 分别为角A,B,C 的对边，且 ​=，则 △ABC 一定是（ ） A. 等腰三角形   B. 直角三角形   C. 等腰直角三角形   D. 等腰或直角三角形 13. 已知sinα+cosα=​，则sin2α=（ ） A. ​   B. −​   C. ​   D. −​ 14. 在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c，若 a=2，b=3，c=4，则△ABC 的面积为（ ） A. ​​   B. ​​   C. ​​   D.  15. 函数f(x)=​sin2x+cos2x 的图象可以由函数g(x)=2sin2x 的图象（ ）得到。 A. 向左平移  个单位   B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 ​ 个单位   D. 向右平移​ 个单位 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 16．已知tanα=2，则 ______。 17. 在△ABC 中，a=7，b=5，c=3，则最小角的正弦值为______。 18. 函数y=cos2x−sin2x 的最小正周期是______。 19. 已知 sinα=​，α 为第二象限角，则tan(α+​) = ______。 20. 函数y=sin(2x −) 在区间 [0,​] 上的值域是______。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21. （本题 10 分）已知函数f(x)=sin2x+​sinxcosx+2cos2x，x∈R。 （1）求函数 f(x) 的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数 f(x) 在区间[−,] 上的最大值和最小值。 22. （本题 10 分）在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c，且满足2bcosC=2a−c。 （1）求角 B 的大小； （2）若 b=2，求△ABC 面积的最大值。 23. （本题 10 分）在平面四边形 ABCD 中，AB=2，BC=3，CD=4，DA=5，∠ABC=120。 （1）求对角线 AC 的长； （2）求sin∠ACD 的值。 24. （本题 10 分）已知函数 f(x)=2sinxcosx+2cos2x−1。 （1）求函数 f(x) 的对称中心； （2）在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c，且 f(A)=1，a=​，b=1，求△ABC 的面积。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一 下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第六章 三角计算 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1． 已知 sinα=，α∈(2π​,π)，则cos(3π​−α) 的值为（ ） A. ​​   B. ​​   C.    D. − 【答案】C 【分析】利用同角三角函数关系求出 cosα，再代入两角差的余弦公式。 【详解】由 sinα=53​，α∈(2π​,π)，得 cosα=−1−sin2α​=−54​。 所以 cos(3π​−α)=cos3π​cosα+sin3π​sinα=​×(−​)+​​×=​+​​ =。故选C。 2. 化简sin15cos15°cos30° 的结果是（ ） A. ​   B. ​​   C. ​   D. ​​ 【答案】B 【分析】连续使用二倍角公式 sin2θ=2sinθcosθ。 【详解】原式 = ​⋅2sin15°cos15°⋅cos30°=​sin30°cos30°=​×​×​​=。故选B。 3. 已知tan(α+β)=3， 2tan(α−β)=2，则tan2α=（ ） A.    B. −​   C. 1   D. −1 【答案】D 【分析】 注意2α=(α+β)+(α−β)，用两角和的正切公式。 【详解】tan2α=tan[(α+β)+(α−β)]=​ =​ = −​ =−1。故选D。 4. 函数 y=sin(2x−3π​) 的图象的一条对称轴方程是（ ） A. x=   B. x=​   C. x=π​   D. x= 【答案】C 【分析】正弦函数 y=sinx 的对称轴为x=​+kπ，令 2x −​ =+kπ 解出 x。 【详解】令 2x −​ =+kπ，则 2x =π​+kπ， x =π​+。取k=0 得x=π​。故选C。 5. 在 △ABC 中，a=2，b=3，cosC=​，则c=（ ） A. ​   B.    C. 3   D. 2 【答案】C 【分析】直接应用余弦定理 c2=a2+b2−2abcosC。 【详解】c2=22+32−2×2×3×​=4+9−4=9，所以 c=3。故选C。 6. 已知sin(​−x)=​，则sin2x=（ ） A. ​   B. ​   C. ​   D. ​ 【答案】A 【分析】利用诱导公式和二倍角公式：sin2x=cos(−2x)=cos[2(​−x)]=1−2sin2(−x)。 【详解】sin2x=1−2×()2=1−​ = 。故选A。 7. 在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若 a=1，b=​，A=30°，则 B=（ ） A. 60°   B. 60° 或 120°   C. 30° 或150°   D. 120° 【答案】B 【分析】正弦定理，注意 b>a 时 B 可能有两解。  【详解】由得sinB=​×​=​​。因为 b>a，所以B>A，故 B=60° 或120°。故选B。 8. 函数 y=2sinxcosx−2sin2x 的最小正周期是（ ） A.    B. π   C. 2π   D. 4π 【答案】B 【分析】化简为y=Asin(2x+φ)+B 形式，周期T==π。 【详解】y=sin2x−(1−cos2x)=sin2x+cos2x−1=​sin(2x+4π​)−1，周期T=π。故选B。 9. 在 △ABC 中，若sin2A+sin2B<sin2C，则 △ABC 的形状是（ ） A. 锐角三角形  B. 直角三角形  C. 钝角三角形  D. 不能确定 【答案】C 【分析】正弦定理边化角：sinA=​ 等，得a2+b2<c2，再由余弦定理得cosC<0。 【详解】由正弦定理得 a2+b2<c2，故cosC =​ <0，C 为钝角。故选C。 10. 已知 cosα​，则 cos2α=（ ） A.    B.   C. ​   D. 【答案】B 【分析】直接应用二倍角公式cos2α=2cos2α−1。 【详解】cos2α=2×(​)2−1=​−1=−​。故选B。 11. 函数y=sin(2x+) 的单调递增区间是（ ） A. [−π​+kπ, ​+kπ], k∈Z   B. [−+kπ, π+kπ], k∈Z C. [−π​+2kπ, +2kπ], k∈Z   D. [−+2kπ, π​+2kπ], k∈Z 【答案】A 【分析】令2x+3π​∈[−2π​+2kπ, 2π​+2kπ]，解出 x。 【详解】由−​+2kπ≤2x+​≤​+2kπ 得−π​+2kπ≤2x≤​+2kπ，即−π​+kπ≤x≤+kπ。故选A。 12. 在 △ABC 中，a,b,c 分别为角A,B,C 的对边，且 ​=，则 △ABC 一定是（ ） A. 等腰三角形   B. 直角三角形   C. 等腰直角三角形   D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】利用正弦定理将=​，得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B。 【详解】由=​ 得sinAcosA=sinBcosB，所以sin2A=sin2B。故2A=2B 或2A+2B=π，即 A=B 或 A+B=。所以为等腰或直角三角形。故选D。 13. 已知sinα+cosα=​，则sin2α=（ ） A. ​   B. −​   C. ​   D. −​ 【答案】B 【分析】两边平方得 1+sin2α=​。 【详解】(sinα+cosα)2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α=​，所以sin2α=−​。故选B 14. 在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c，若 a=2，b=3，c=4，则△ABC 的面积为（ ） A. ​​   B. ​​   C. ​​   D.  【答案】A 【分析】已知三边，先用余弦定理求一角余弦，再求正弦，最后用面积公式S=​absinC 【详解】cosC​=​，则 sinC==​​。 所以 S=​×2×3×​​=。故选A。 15. 函数f(x)=​sin2x+cos2x 的图象可以由函数g(x)=2sin2x 的图象（ ）得到。 A. 向左平移  个单位   B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 ​ 个单位   D. 向右平移​ 个单位 【答案】C 【分析】辅助角公式 f(x)=2sin(2x+​)=2sin[2(x+​)]，平移变换针对 x。 【详解】f(x)=2(​​sin2x+​cos2x)=2sin(2x+​)=2sin[2(x+)]，所以将g(x)=2sin2x 向左平移 个单位得f(x)。故选C。 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 16．已知tanα=2，则 ______。 【答案】 【分析】分子分母同除以cosα 化为关于tanα 的齐次式。 【详解】原式=​=​=。 17. 在△ABC 中，a=7，b=5，c=3，则最小角的正弦值为______。 【答案】 【分析】小边对小角，最小角为 C。先用余弦定理求cosC，再求sinC。 【详解】cosC=​​，所以 sinC=​=​​ =​​ =。 18. 函数y=cos2x−sin2x 的最小正周期是______。 【答案】π 【分析】利用二倍角余弦公式 y=cos2x，周期 T==π。 【详解】y=cos2x−sin2x=cos2x，所以最小正周期 T=π 19. 已知 sinα=​，α 为第二象限角，则tan(α+​) = ______。 【答案】​​（或等化简形式） 【分析】先求 cosα，再求 tanα，然后利用两角和的正切公式。 【详解】因为 α 为第二象限角，sinα=​，所以cosα=−=−， tanα=​=−=−​​。则tan(α+)=​ =​=​​=​==​​=​​。 20. 函数y=sin(2x −) 在区间 [0,​] 上的值域是______。 【答案】[−​​,1] 【分析】先求 2x−​ 的取值范围，再根据正弦函数图象求值域。 【详解】当 x∈[0,​] 时，2x∈[0,π]，则 2x−∈[−,π​]。正弦函数在[−​,​] 上递增，在 [,] 上递减。sin(−)=−​​，sin​=1，sin = 。所以值域为 [−​​,1]。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21. （本题 10 分）已知函数f(x)=sin2x+​sinxcosx+2cos2x，x∈R。 （1）求函数 f(x) 的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数 f(x) 在区间[−,] 上的最大值和最小值。 【答案】（1）最小正周期 T=π；单调递减区间为 [​+kπ, ​+kπ], k∈Z。 （2）最大值为 ​，最小值为 1。 【分析】先降幂、辅助角公式化简为 f(x)=Asin(2x+φ)+B 形式，再求解。 【详解】（1）f(x)​= sin2x+​sinxcosx+2cos2x= (sin2x+cos2x)+cos2x+​sinxcosx =1+​+sin2x =1++​cos2x+​​sin2x =+​cos2x+​​sin2x=+sin​cos2x+cossin2x =​+sin(2x+).​所以最小正周期 T==π。令 +2kπ≤2x+≤π​+2kπ，得 ​+2kπ≤2x≤+2kπ， 即+kπ≤x≤+kπ。故单调递减区间为  [​+kπ, ​+kπ], k∈Z。（2）当x∈[−​,​] 时， 2x+∈[−​,​]。2x+​ = − 时取最小值 −​，在 2x+= 时取最大值 1。 所以f(x)=+sin(2x+) 的最大值为 ​+1=，最小值为 ​+(−​)=1。 22. （本题 10 分）在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c，且满足2bcosC=2a−c。 （1）求角 B 的大小； （2）若 b=2，求△ABC 面积的最大值。 【答案】（1）B=；（2）最大面积为​。 【分析】（1）利用余弦定理将cosC 用边表示，化简得边的关系，再用余弦定理求 B；或利用正弦定理边化角。（2）利用余弦定理和基本不等式求 ac 的最大值，进而求面积。 【详解】（1）由2bcosC=2a−c，代入余弦定理cosC=​，得 2b=2a−c，即=2a−c，所以 a2+b2−c2=2a2−ac，整理得b2=a2+c2−ac。 由余弦定理 b2=a2+c2−2accosB，得 −2accosB=−ac，所以 cosB=​，故B=​。 （2）由 b=2，B=60∘，得 4=a2+c2−ac≥2ac−ac=ac，所以ac≤4，当且仅当a=c=2 时取等。 面积 S=​acsinB =​ac​​=​​ac≤×4=​。故最大面积为 ​。 23. （本题 10 分）在平面四边形 ABCD 中，AB=2，BC=3，CD=4，DA=5，∠ABC=120。 （1）求对角线 AC 的长； （2）求sin∠ACD 的值。 【答案】（1）AC=；（2）sin∠ACD=  【分析】（1）在 △ABC 中，用余弦定理求AC； （2）在△ACD 中，已知三边 AC,CD,DA，用余弦定理求cos∠ACD，再求正弦。 【详解】（1）在△ABC 中，AB=2，BC=3，∠ABC=120，由余弦定理： AC2=AB2+BC2−2ABBCcos120=4+9−2×2×3×(−​)=13+6=19，所以 AC=。 （2）在 △ACD 中，AC=， CD=4， DA=5。 由余弦定理：cos∠ACD=​=​=​=​。 所以sin∠ACD=​====​​=​​=。 24. （本题 10 分）已知函数 f(x)=2sinxcosx+2cos2x−1。 （1）求函数 f(x) 的对称中心； （2）在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c，且 f(A)=1，a=​，b=1，求△ABC 的面积。 【答案】（1）对称中心为 (−+, 0), k∈Z；（2）面积为​​。 【分析】（1）化简f(x)=sin2x+cos2x=​sin(2x+4π​)，令2x+​=kπ 得对称中心横坐标； （2）由 f(A)=1 求 A，再用正弦定理或余弦定理求 c，最后用面积公式。 【详解】（1）f(x)=sin2x+cos2x=2​sin(2x+​)。 令 2x+4π​=kπ，得 x=−8π​+2kπ​, k∈Z。所以对称中心为 (−+, 0)。 （2）由 f(A)=1 得 ​sin(2A+​)=1，即 sin(2A+​)=​​。因为 0<A<π，所以2A+​∈(, )。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $