第九章 随机变量及其分布（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一 下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第九章 随机变量及其分布 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1． 下列变量中，不是离散型随机变量的是（ ） A. 掷一枚骰子出现的点数 B. 某路口一天内经过的汽车数量 C. 某人的身高 D. 某医院一天内接诊的病人数 【答案】C 【分析】考查离散型随机变量的。 【详解】离散型随机变量的取值可以一一列举出来，身高可以取任意实数，属于连续型随机变量。故选C。 X 1 2 3 P 0.2 0.5 p 2. 已知随机变量 X 的分布列为 则 p 的值为（ ） A. 0.1   B. 0.2   C. 0.3   D. 0.4 【答案】C 【分析】考查分布列的性质。 【详解】 分布列概率之和为1，0.2+0.5+p=1，得 p=0.3。故选C。 3. 设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)=，k=1,2,3，则 a 的值为（ ） A. ​   B. ​   C. ​   D. ​ 【答案】A 【分析】 考查分布列的性质。 【详解】 概率和为1：a(​+​+​)=a⋅​=1，得 a=。故选A。 4. 已知 X∼B(5,31​)，则 P(X=2) 的值为（ ） A.    B. ​   C. ​   D. ​ 【答案】A 【分析】 考查二项分布公式 P(X=k)=pk(1−p)n−k。 【详解】 P(X=2)=​=10××​=。故选A。 X -1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.4 0.1 5. 设随机变量 X 的分布列为 则 E(X)=（ ） A. 0.4   B. 0.5   C. 0.6   D. 0.7 【答案】A 【分析】期望公式E(X)= x1p1+ x2p2+…+ xnpn。 【详解】 E(X)=(−1)×0.2+0×0.3+1×0.4+2×0.1=−0.2+0+0.4+0.2=0.4。故选A。 6. 若随机变量 X 服从二项分布 B(n,p)，且 E(X)=6，D(X)=2.4，则n,p 的值分别为（ ） A.  n=10,p=0.6   B.  n=15,p=0.4   C.  n=20,p=0.3   D.  n=30,p=0.2 【答案】A 【分析】考查二项分布 E(X)=np，D(X)=np(1−p)。 【详解】由 np=6，np(1−p)=2.4，得 6(1−p)=2.4， 1−p=0.4，p=0.6，则n==10。故选A。 X 0 1 2 P 7. 已知随机变量 X 的分布列为 则 D(X)=（ ） A.    B.    C. ​   D. ​ 【答案】A 【分析】考查离散型随机变量的方差  【详解】先求 E(X)=0×​+1×​+2×​=​+​=​， D(X)=(0)2+(1)2(2)2=1−=1−=​。故选A。 8. 设随机变量 X∼N(1,4)，则P(1≤X≤3) 约等于（ ）（附： P(μ−σ≤X≤μ+σ)=0.6827） A. 0.3414   B. 0.4772   C. 0.6827   D. 0.9545 【答案】A 【分析】考查随机变量概率 【详解】X∼N(1,4)，则 μ=1，σ=2。区间 [1,3]=[μ,μ+σ]，对应概率为P(μ≤X≤μ+σ)=​P(μ−σ≤X≤μ+σ)==0.34135。故选A。 9. 一盒中有10个大小相同的球，其中6个红球，4个白球。从中随机取出3个球，则取出的红球数 X 的期望为（ ） A. 1.2   B. 1.5   C. 1.8   D. 2.0​ 【答案】C 【分析】超几何分布。 【详解】E(X)=n⋅=3×​=1.8。故选C。 10. 已知随机变量 X 的分布列为P(X=k)=，k=1,2,3,4，则 E(X)=（ ） A. 2   B. 2.5   C. 3    D. 3.5 【答案】C 【分析】考查数学期望。 【详解】先验证概率和：​=1，期望E(X)= ===3。故选C。 11. 设随机变量 X 服从二项分布B(4,​)，则 P(X≥3)=（ ） A. ​   B. ​   C. ​   D. ​ 【答案】C 【分析】考查二项分布的概率 【详解】P(X=3)=C43​(21​)4=4×161​=164​， P(X=4)=(21​)4=161​，和 =。故选C。 12. 已知随机变量 X 的分布列如下，则 E(2X+1)=（ ） X 0 1 2 P 0.2 0.5 0.3 ​​ A. 1.6   B. 2.2   C. 3.2   D. 4.2 【答案】C 【分析】考查离散型随机变量的均值 【详解】E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=0+0.5+0.6=1.1，则 E(2X+1)=2E(X)+1=2.2+1=3.2。故选C。 13. 设随机变量 X∼N(0,1)，Φ(x) 为标准正态分布函数，则P(∣X∣≤1)=（ ） A. 2Φ(1)−1   B. Φ(1)−Φ(−1)   C. Φ(1)−Φ(0)   D. 2Φ(1) 【答案】A 【分析】考查标准正态分布Φ(x)的性质。 【详解】P(∣X∣≤1)=P(−1≤X≤1)=Φ(1)−Φ(−1)=Φ(1)−[1−Φ(1)]=2Φ(1)−1。 故选A。 14. 某射击运动员每次击中目标的概率为0.8，独立射击4次，则恰好击中3次的概率为（ ） A. 0.4096   B. 0.1536   C. 0.2048   D. 0.3072 【答案】A 【分析】考查伯努利公式 【详解】 二项分布 P(X=3)=​(0.8)3(0.2)1=4×0.512×0.2=4×0.1024=0.4096。故选A。 15. 已知随机变量 X 的分布列为 P(X=n)=，n=1,2,3，则常数 c 的值为（ ） A. 1   B. ​   C.    D.  【答案】C 【分析】考查离散型随机变量分布列的性质 【详解】概率和：​=c(+​+​)=c(​+​+​)=c⋅​=c⋅​=c​=1，得 c=​。故选C。 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) X -1 0 1 P 0.3 0.5 0.2 16．已知随机变量 X 的分布列为 E(X)= ______。 【答案】0.1 【分析】考查均值。 【详解】E(X)=(−1)×0.3+0×0.5+1×0.2=−0.3+0.2=−0.1。 17. 设随机变量 X∼B(3,​)，则 P(X=2)= ______。 【答案】 【分析】考查二项分布。 【详解】P(X=2)=​=3×​=​。 18. 已知随机变量 X 的方差 D(X)=4，则 D(2X−3)= ______。 【答案】16 【分析】考查随机变量 的方差。 【详解】D(2X−3)=22D(X)=4×4=16。 19. 已知随机变量X∼N(2,σ2)，且 P(X<4)=0.8，则P(0<X<4)= ______。 【答案】0.6 【分析】考查正态分布对称性。 【详解】 P(X<2)=0.5，P(2<X<4)=P(X<4)−0.5=0.3，则P(0<X<4)=2×0.3=0.6。 20. 一袋中有3个红球、2个白球，从中不放回地依次取2个球，则取到的红球数 X 的期望 E(X)= ______。 【答案】1.2 【分析】考查超几何分布。 【详解】 N=5,M=3,n=2， E(X)=n⋅​=2×=1.2。 X 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.4 0.2 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21. （本题 10 分）已知随机变量 X 的分布列为 （1）求E(X) 和 D(X)； （2）求 E(2X+1) 和 D(2X+1)。 【答案】（1）E(X)=1.7，D(X)=0.81；（2）E(2X+1)=4.4，D(2X+1)=3.24。 【分析】考查随机变量的均值和方差 【详解】（1）E(X)=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=0+0.3+0.8+0.6=1.7。 E(X2)=02×0.1+12×0.3+22×0.4+32×0.2=0+0.3+1.6+1.8=3.7。D(X) =3.7−1.72=0.81。 （2）E(2X+1)=2E(X)+1=2×1.7+1=4.4。D(2X+1)=4×0.81=3.24。 22. （本题 10 分）某射手每次射击命中目标的概率为0.6，且各次射击相互独立。现连续射击4次，设命中次数为 X。 （1）求 X 的分布列； （2）求 X 的数学期望和方差。 【答案】（1）P(X=k)=​(0.6)k(0.4)4−k,k=0,1,2,3,4，具体值： P(X=0)=0.0256，P(X=1)=0.1536，P(X=2)=0.3456，P(X=3)=0.3456，P(X=4)=0.1296。 （2）E(X)=2.4，D(X)=0.96。 【分析】考查分布列、数学期望和方差 【详解】（1）X∼B(4,0.6)， P(X=0)=0.44=0.0256， P(X=1)=C41​×0.6×0.43=4×0.6×0.064=0.1536， P(X=2)=C42​×0.62×0.42=6×0.36×0.16=0.3456， P(X=3)=C43​×0.63×0.4=4×0.216×0.4=0.3456， P(X=4)=0.64=0.1296。 （2）E(X)=np=4×0.6=2.4， D(X)=np(1−p)=4×0.6×0.4=0.96。 23. （本题 10 分）某工厂生产某种零件，其直径（单位：mm）服从正态分布 N(20,0.04)。 （1）求直径在 [19.8,20.2] 内的概率； （2）若从该批零件中随机抽取一件，求其直径大于20.1 mm的概率。 （附：Φ(1)=0.8413，Φ(0.5)=0.6915，Φ(2)=0.9772） 【答案】（1）0.6827；（2）0.3085。 【分析】考查正态分布 【详解】由题意μ=20，σ=0.04​=0.2。 （1）区间  [19.8,20.2]=[μ−σ,μ+σ]，概率为0.6827。 （2）P(X>20.1)=P(0.2X−20​>0.220.1−20​)=P(Z>0.5)=1−Φ(0.5)=1−0.6915=0.3085。 24. （10分）袋中有大小相同的4个白球和2个红球，现从中不放回地依次抽取2个球，记 X 为取到的红球个数。 （1）求 X 的分布列； （2）求 X 的数学期望和方差。 【答案】（1）P(X=0)===0.4， P(X=1)=​​=​， P(X=2)=​​=​。 （2）E(X)=​， D(X)=​。 【分析】考查分布列、数学期望和方差 【详解】（1）总取法 ​=15；X=0：取2白， ​=6，P==0.4。 X=1：1白1红，​=8，P=；X=2：2红，​=1，P=。 X 0 1 2 P 0.4 （2）E(X)=0×+1×+2×==​。E(X2)=02×​+12×​+22×​=+​=​=。 D(X) =−=​−​=​=​ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一 下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第九章 随机变量及其分布 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1． 下列变量中，不是离散型随机变量的是（ ） A. 掷一枚骰子出现的点数 B. 某路口一天内经过的汽车数量 C. 某人的身高 D. 某医院一天内接诊的病人数 X 1 2 3 P 0.2 0.5 p 2. 已知随机变量 X 的分布列为 则 p 的值为（ ） A. 0.1   B. 0.2   C. 0.3   D. 0.4 3. 设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)=，k=1,2,3，则 a 的值为（ ） A. ​   B. ​   C. ​   D. ​ 4. 已知 X∼B(5,31​)，则 P(X=2) 的值为（ ） A.    B. ​   C. ​   D. ​ X -1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.4 0.1 5. 设随机变量 X 的分布列为 则 E(X)=（ ） A. 0.4   B. 0.5   C. 0.6   D. 0.7 6. 若随机变量 X 服从二项分布 B(n,p)，且 E(X)=6，D(X)=2.4，则n,p 的值分别为（ ） A.  n=10,p=0.6   B.  n=15,p=0.4   C.  n=20,p=0.3   D.  n=30,p=0.2 X 0 1 2 P 7. 已知随机变量 X 的分布列为 则 D(X)=（ ） A.    B.    C. ​   D. ​ 8. 设随机变量 X∼N(1,4)，则P(1≤X≤3) 约等于（ ）（附： P(μ−σ≤X≤μ+σ)=0.6827） A. 0.3414   B. 0.4772   C. 0.6827   D. 0.9545 9. 一盒中有10个大小相同的球，其中6个红球，4个白球。从中随机取出3个球，则取出的红球数 X 的期望为（ ） A. 1.2   B. 1.5   C. 1.8   D. 2.0​ 10. 已知随机变量 X 的分布列为P(X=k)=，k=1,2,3,4，则 E(X)=（ ） A. 2   B. 2.5   C. 3    D. 3.5 11. 设随机变量 X 服从二项分布B(4,​)，则 P(X≥3)=（ ） A. ​   B. ​   C. ​   D. ​ 12. 已知随机变量 X 的分布列如下，则 E(2X+1)=（ ） X 0 1 2 P 0.2 0.5 0.3 ​​ A. 1.6   B. 2.2   C. 3.2   D. 4.2 13. 设随机变量 X∼N(0,1)，Φ(x) 为标准正态分布函数，则P(∣X∣≤1)=（ ） A. 2Φ(1)−1   B. Φ(1)−Φ(−1)   C. Φ(1)−Φ(0)   D. 2Φ(1) 14. 某射击运动员每次击中目标的概率为0.8，独立射击4次，则恰好击中3次的概率为（ ） A. 0.4096   B. 0.1536   C. 0.2048   D. 0.3072 15. 已知随机变量 X 的分布列为 P(X=n)=，n=1,2,3，则常数 c 的值为（ ） A. 1   B. ​   C.    D.  二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) X -1 0 1 P 0.3 0.5 0.2 16．已知随机变量 X 的分布列为 E(X)= ______。 17. 设随机变量 X∼B(3,​)，则 P(X=2)= ______。 18. 已知随机变量 X 的方差 D(X)=4，则 D(2X−3)= ______。 19. 已知随机变量X∼N(2,σ2)，且 P(X<4)=0.8，则P(0<X<4)= ______。 20. 一袋中有3个红球、2个白球，从中不放回地依次取2个球，则取到的红球数 X 的期望 E(X)= ______。 X 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.4 0.2 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21. （本题 10 分）已知随机变量 X 的分布列为 （1） 求E(X) 和 D(X)； （2） （2）求 E(2X+1) 和 D(2X+1)。 22. （本题 10 分）某射手每次射击命中目标的概率为0.6，且各次射击相互独立。现连续射击4次，设命中次数为 X。 （1）求 X 的分布列； （2）求 X 的数学期望和方差。 23. （本题 10 分）某工厂生产某种零件，其直径（单位：mm）服从正态分布 N(20,0.04)。 （1）求直径在 [19.8,20.2] 内的概率； （2）若从该批零件中随机抽取一件，求其直径大于20.1 mm的概率。 （附：Φ(1)=0.8413，Φ(0.5)=0.6915，Φ(2)=0.9772） 24. （10分）袋中有大小相同的4个白球和2个红球，现从中不放回地依次抽取2个球，记 X 为取到的红球个数。 （1）求 X 的分布列； （2）求 X 的数学期望和方差。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $