第九章 随机变量及其分布（A卷·基础巩固卷）-《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一 下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第九章 随机变量及其分布 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列变量中，属于离散型随机变量的是（ ） A. 某同学的身高 B. 某班级的人数 C. 某零件的直径 D. 某段时间内的平均气温 2. 设离散型随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，下列表格中，能作为X的分布列的是（ ） A. B. X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.2 X 1 2 3 4 P 0.1 0.3 0.4 0.2 C. D. X 1 2 3 4 P -0.1 0.4 0.4 0.3 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.3 0.1 3. 若离散型随机变量X的分布列为X:0 ,1; P:0.6 0.4，则P(X=0)的值为（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 1 D. 0 4. 离散型随机变量X的数学期望E(X)的意义是（ ） A. X的取值中最大的数 B. X的取值中最小的数 C. X取值的平均值 D. X取值的概率之和 X 1 2 P 0.5 0.5 5. 设离散型随机变量X的分布列为， 则E(X)的值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 0.5 6. 下列关于方差D(X)的说法，正确的是（ ） A. 方差越大，随机变量的取值越集中 B. 方差越小，随机变量的取值越集中 C. 方差的取值为负数 D. 方差与数学期望的单位相同 7. 设离散型随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=0.7，则P(X=0)的值为（ ） A. 0.7 B. 0.3 C. 1 D. 0 8. 下列试验中，随机变量X服从二项分布的是（ ） A. 连续抛掷一枚硬币，直到出现正面为止，记录抛掷次数X B. 从一批产品中随机抽取5件，记录正品的件数X（每件产品是正品的概率相同） C. 测量某同学的身高X D. 记录某段时间内某路口的车流量X 9. 若随机变量X~B(n,p)（二项分布），其中n=5，p=0.2，则P(X=0)的值为（ ） A. 0.85 B. 0.2 C. 5×0.2×0.8 D. 1-0.8 10. 正态分布曲线的形状由参数σ决定，下列说法正确的是（ ） A. σ越大，曲线越“瘦高” B. σ越小，曲线越“矮胖” C. σ越大，曲线越“矮胖” D. σ与曲线的形状无关 11. 若随机变量X服从正态分布N(μ,σ)，则正态曲线关于直线（ ）对称 A. x=0 B. x=μ C. x=σ D. x=σ2 X 2 3 4 P 0.3 0.5 0.2 12. 设离散型随机变量X的分布列为， 则D(X)的计算步骤正确的是（ ） A. 先求E(X)，再用D(X)= [x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+[x3-E(X)]2p3计算 B. 直接用D(X)=[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+[x3-E(X)]2p3 C. D(X)=x1P1+x2P2+x3P3 D. D(X)=[x1P1]2+[x2P2]2+[x3P3]2 13. 已知随机变量X服从两点分布，且E(X)=0.6，则P(X=1)的值为（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.36 D. 0.64 14. 若随机变量X~B(4,0.5)（二项分布），则E(X)的值为（ ） A. 4 B. 0.5 C. 2 D. 1 15. 下列关于正态分布的说法，正确的是（ ） A. 正态分布是离散型随机变量的分布 B. 标准正态分布的μ=0，σ=1 C. 正态曲线与x轴围成的面积随μ变化而变化 D. 正态分布的取值范围是[0,1] 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). X 0 1 2 P 0.2 a 0.3 16．若离散型随机变量X的分布列为， 则a的值为__________。 X 1 3 5 P 0.4 0.3 0.3 17. 设离散型随机变量X的分布列为， 则E(X)的值为__________。 18. 已知随机变量X服从两点分布，P(X=1)=0.8，则D(X)的值为__________。 19. 若随机变量X~B(5,0.4)（二项分布），则D(X)的值为__________。 20. 标准正态分布N(0,1)中，正态曲线关于直线__________对称。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) X 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.4 0.2 21. 已知离散型随机变量X的分布列为： 求：（1）P(X≤2)；（2）E(X)；（3）D(X)。 22. 某射手每次射击击中目标的概率为0.6，每次射击相互独立，连续射击3次，设X表示击中目标的次数，求： （1）X的分布列；（2）E(X)；（3）D(X)。 23. 已知离散型随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=0.3，求： （1）P(X=1)；（2）E(X)；（3）D(X)。 24. 已知随机变量X服从正态分布N(10,2)，回答下列问题： （1）写出该正态分布的参数μ和σ； （2）判断正态曲线的对称轴； （3）说明σ=2对曲线形状的影响。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一 下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第九章 随机变量及其分布 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列变量中，属于离散型随机变量的是（ ） A. 某同学的身高 B. 某班级的人数 C. 某零件的直径 D. 某段时间内的平均气温 【答案】B 【分析】本题考查离散型随机变量的定义。 【详解】A选项，身高可以取任意实数（如165.5cm、165.6cm），无法一一列举，是连续型随机变量；B选项，班级人数只能取正整数（如40人、41人），可以一一列举，是离散型随机变量；C选项，零件直径可以取任意实数，无法一一列举，是连续型随机变量；D选项，平均气温可以取任意实数，无法一一列举，是连续型随机变量。综上，答案为B。 2. 设离散型随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，下列表格中，能作为X的分布列的是（ ） A. B. X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.2 X 1 2 3 4 P 0.1 0.3 0.4 0.2 C. D. X 1 2 3 4 P -0.1 0.4 0.4 0.3 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.3 0.1 【答案】B 【分析】本题考查离散型随机变量分布列的性质，核心考点为分布列的两个必备条件：①所有概率P(X=x)≥0；②所有概率之和为1。 【详解】逐一验证选项：A选项，概率之和为0.2+0.3+0.4+0.2=1.1≠1，不符合；B选项，所有概率均为正数，且0.1+0.3+0.4+0.2=1，符合分布列性质；C选项，有概率-0.1<0，不符合；D选项，概率之和为0.2+0.3+0.3+0.1=0.9≠1，不符合。综上，答案为B。 3. 若离散型随机变量X的分布列为X:0 ,1; P:0.6 0.4，则P(X=0)的值为（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 1 D. 0 【答案】B 【分析】本题考查离散型随机变量分布列的读取。 【详解】由分布列可知，当X=0时，对应的概率P(X=0)=0.6；当X=1时，P(X=1)=0.4。题目直接询问P(X=0)，直接读取对应概率即可。答案为B。 4. 离散型随机变量X的数学期望E(X)的意义是（ ） A. X的取值中最大的数 B. X的取值中最小的数 C. X取值的平均值 D. X取值的概率之和 【答案】C 【分析】本题考查数学期望的定义。 【详解】数学期望E(X)是离散型随机变量X所有可能取值与其对应概率的乘积之和，本质是X取值的平均值（加权平均）。A选项，X取值中最大的数是最大值，与期望无关；B选项，X取值中最小的数是最小值，与期望无关；C选项，符合数学期望的意义；D选项，X取值的概率之和为1，是分布列的性质，不是期望的意义。答案为C。 X 1 2 P 0.5 0.5 5. 设离散型随机变量X的分布列为， 则E(X)的值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 0.5 【答案】B 【分析】本题考查数学期望的简单计算。 【详解】根据数学期望公式，E(X)=1×0.5 + 2×0.5 = 0.5 + 1 = 1.5。计算时注意，每个取值乘以其对应概率，再求和。答案为B。 6. 下列关于方差D(X)的说法，正确的是（ ） A. 方差越大，随机变量的取值越集中 B. 方差越小，随机变量的取值越集中 C. 方差的取值为负数 D. 方差与数学期望的单位相同 【答案】B 【分析】本题考查方差的意义和性质。 【详解】A选项，方差越大，随机变量的取值偏离期望越远，越分散，错误；B选项，方差越小，随机变量的取值偏离期望越近，越集中，正确；C选项，方差是平方项的加权和，取值一定是非负数，错误；D选项，数学期望与随机变量单位相同，方差是单位的平方，单位不同，错误。答案为B。 7. 设离散型随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=0.7，则P(X=0)的值为（ ） A. 0.7 B. 0.3 C. 1 D. 0 【答案】B 【分析】本题考查两点分布的性质。 【详解】 两点分布的随机变量只有两个可能取值：0和1，根据分布列性质，P(X=0)+P(X=1)=1。已知P(X=1)=0.7，因此P(X=0)=1-0.7=0.3。答案为B。 8. 下列试验中，随机变量X服从二项分布的是（ ） A. 连续抛掷一枚硬币，直到出现正面为止，记录抛掷次数X B. 从一批产品中随机抽取5件，记录正品的件数X（每件产品是正品的概率相同） C. 测量某同学的身高X D. 记录某段时间内某路口的车流量X 【答案】B 【分析】本题考查二项分布的定义。 【详解】A选项，抛掷次数X的取值是无限可列的，且不是n次独立重复试验，不服从二项分布；B选项，抽取5件产品是5次独立重复试验，每次试验只有“正品”和“次品”两种结果，且每件是正品的概率相同，符合二项分布条件，X服从二项分布；C选项，身高X是连续型随机变量，二项分布是离散型分布，不服从；D选项，车流量X的取值无固定的n次试验，不服从二项分布。答案为B。 9. 若随机变量X~B(n,p)（二项分布），其中n=5，p=0.2，则P(X=0)的值为（ ） A. 0.85 B. 0.2 C. 5×0.2×0.8 D. 1-0.8 【答案】A 【分析】本题考查二项分布的概率公式。 【详解】二项分布概率公式为P(X=k)=p0(1-p)5-0，其中=1。当n=5，p=0.2，k=0时，P(X=0)=1×0.2×(1-0.2)5=1×1×0.85=0.85。答案为A。 10. 正态分布曲线的形状由参数σ决定，下列说法正确的是（ ） A. σ越大，曲线越“瘦高” B. σ越小，曲线越“矮胖” C. σ越大，曲线越“矮胖” D. σ与曲线的形状无关 【答案】C 【分析】本题考查正态分布曲线的性质。 【详解】参数σ是标准差，决定曲线的形状。σ越大，曲线越“矮胖”，表示随机变量的取值越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示随机变量的取值越集中。A、B、D选项均错误，C选项正确。 11. 若随机变量X服从正态分布N(μ,σ)，则正态曲线关于直线（ ）对称 A. x=0 B. x=μ C. x=σ D. x=σ2 【答案】B 【分析】本题考查正态分布曲线的对称性。 【详解】正态分布N(μ,σ)的曲线是一条对称的钟形曲线，对称轴为直线x=μ（即数学期望所在的直线）。A选项x=0是标准正态分布（μ=0）的对称轴，不是所有正态分布的对称轴；C、D选项与对称轴无关。答案为B。 X 2 3 4 P 0.3 0.5 0.2 12. 设离散型随机变量X的分布列为， 则D(X)的计算步骤正确的是（ ） A. 先求E(X)，再用D(X)= [x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+[x3-E(X)]2p3计算 B. 直接用D(X)=[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+[x3-E(X)]2p3 C. D(X)=x1P1+x2P2+x3P3 D. D(X)=[x1P1]2+[x2P2]2+[x3P3]2 【答案】A 【分析】本题考查方差的计算方法。 【详解】A选项步骤正确；B选项缺少平方和概率相乘，错误；C选项是数学期望的计算公式，错误；D选项公式完全错误，不符合方差定义。答案为A。 13. 已知随机变量X服从两点分布，且E(X)=0.6，则P(X=1)的值为（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.36 D. 0.64 【答案】A 【分析】本题考查两点分布的数学期望。 【详解】 两点分布的数学期望公式为E(X)=p，其中p是随机变量取1时的概率（即P(X=1)=p），取0时的概率为1-p。已知E(X)=0.6，因此p=0.6，即P(X=1)=0.6。答案为A。 14. 若随机变量X~B(4,0.5)（二项分布），则E(X)的值为（ ） A. 4 B. 0.5 C. 2 D. 1 【答案】C 【分析】本题考查二项分布的数学期望。 【详解】 二项分布X~B(n,p)的数学期望公式为E(X)=np。已知n=4，p=0.5，因此E(X)=4×0.5=2。答案为C。 15. 下列关于正态分布的说法，正确的是（ ） A. 正态分布是离散型随机变量的分布 B. 标准正态分布的μ=0，σ=1 C. 正态曲线与x轴围成的面积随μ变化而变化 D. 正态分布的取值范围是[0,1] 【答案】B 【分析】本题考查正态分布的基本概念。 【详解】A选项，正态分布是连续型随机变量的分布，错误；B选项，标准正态分布是正态分布的特殊形式，参数μ=0，σ=1，正确；C选项，正态曲线与x轴围成的面积恒为1，与μ、σ无关，错误；D选项，正态随机变量的取值范围是全体实数（-∞,+∞），错误。答案为B。 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). X 0 1 2 P 0.2 a 0.3 16．若离散型随机变量X的分布列为， 则a的值为__________。 【答案】0.5 【分析】本题考查离散型随机变量分布列的性质。 X 1 3 5 P 0.4 0.3 0.3 【详解】根据分布列的性质，所有概率之和为1，即0.2 + a + 0.3 = 1。化简得0.5 + a = 1，解得a=0.5。 17. 设离散型随机变量X的分布列为， 则E(X)的值为__________。 【答案】2.8 【分析】本题考查数学期望的计算。 【详解】根据期望公式，E(X)=1×0.4 + 3×0.3 + 5×0.3 = 0.4 + 0.9 + 1.5 = 2.8。 18. 已知随机变量X服从两点分布，P(X=1)=0.8，则D(X)的值为__________。 【答案】0.16 【分析】本题考查两点分布的方差计算。 【详解】 两点分布的方差公式为D(X)=p(1-p)，已知p=0.8，因此D(X)=0.8×(1-0.8)=0.8×0.2=0.16。 19. 若随机变量X~B(5,0.4)（二项分布），则D(X)的值为__________。 【答案】1.2 【分析】本题考查二项分布的方差计算。 【详解】二项分布X~B(n,p)的方差公式为D(X)=np(1-p)。已知n=5，p=0.4，因此D(X)=5×0.4×(1-0.4)=5×0.4×0.6=1.2。 20. 标准正态分布N(0,1)中，正态曲线关于直线__________对称。 【答案】x=0 【分析】本题考查标准正态分布的性质。 【详解】标准正态分布是正态分布的特殊形式，参数μ=0，σ=1。根据正态曲线的对称性，正态曲线关于直线x=μ对称，因此标准正态分布的对称轴为x=0。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) X 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.4 0.2 21. 已知离散型随机变量X的分布列为： 求：（1）P(X≤2)；（2）E(X)；（3）D(X)。 【答案】（1）0.8；（2）1.7；（3）0.81。 【分析】本题综合考查离散型随机变量的概率、数学期望和方差的计算。 【详解】（1）求P(X≤2)：P(X≤2)表示X取0、1、2时的概率之和，即P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)。 代入数据：0.1 + 0.3 + 0.4 = 0.8。 （2）求E(X)：根据数学期望公式E(X)=x1P1+x2P2+x3P3+x4P4，代入数据： E(X)=0×0.1 + 1×0.3 + 2×0.4 + 3×0.2 = 0 + 0.3 + 0.8 + 0.6 = 1.7。 （3）求D(X)：先求E(X)=0×0.1 + 1×0.3 + 2×0.4 + 3×0.2 = 0 + 0.3 + 1.6 + 1.8 = 3.7。 再代入方差公式：D(X)=3.7 - (1.7) 2= 3.7 - 2.89 = 0.81。 综上，（1）0.8；（2）1.7；（3）0.81。 22. 某射手每次射击击中目标的概率为0.6，每次射击相互独立，连续射击3次，设X表示击中目标的次数，求： （1）X的分布列；（2）E(X)；（3）D(X)。 【答案】（1）分布列见详解；（2）1.8；（3）0.72。 【分析】本题考查二项分布的综合应用。 【详解】（1）确定X的分布类型及分布列： 连续射击3次，每次射击是独立重复试验，击中目标的概率p=0.6，未击中的概率1-p=0.4，因此X~B(3,0.6)（二项分布），X的可能取值为0，1，2，3。 根据二项分布概率公式P(X=k)=×0.6k×0.41-k（k=0,1,2,3），计算各概率： P(X=0)=×0.60×0.43=1×1×0.064=0.064； P(X=1)=×0.61×0.42=3×0.6×0.16=0.288； P(X=2)=×0.62×0.41=3×0.36×0.4=0.432； P(X=3)=×0.63×0.40=1×0.216×1=0.216。 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因此，X的分布列为： （2）求E(X)： 二项分布的期望公式为E(X)=np，n=3，p=0.6，因此E(X)=3×0.6=1.8。 （3）求D(X)： 二项分布的方差公式为D(X)=np(1-p)，代入数据：D(X)=3×0.6×0.4=0.72。 综上，（1）分布列如上；（2）1.8；（3）0.72。 23. 已知离散型随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=0.3，求： （1）P(X=1)；（2）E(X)；（3）D(X)。 【答案】（1）0.7；（2）0.7；（3）0.21。 【分析】本题考查两点分布的综合计算。 【详解】（1）求P(X=1)： 两点分布的随机变量只有0和1两个取值，根据分布列性质，P(X=0)+P(X=1)=1。 已知P(X=0)=0.3，因此P(X=1)=1-0.3=0.7。 （2）求E(X)：两点分布的期望公式为E(X)=p（其中p=P(X=1)），因此E(X)=0.7。 （3）求D(X)：两点分布的方差公式为D(X)=p(1-p)，p=0.7， 因此D(X)=0.7×(1-0.7)=0.7×0.3=0.21。 综上，（1）0.7；（2）0.7；（3）0.21。 24. 已知随机变量X服从正态分布N(10,2)，回答下列问题： （1）写出该正态分布的参数μ和σ； （2）判断正态曲线的对称轴； （3）说明σ=2对曲线形状的影响。 【答案】（1）μ=10，σ=2；（2）对称轴为x=10； （3）σ=2表示曲线“矮胖”，随机变量X的取值相对分散。 【分析】本题考查正态分布的基本性质。 【详解】（1）确定正态分布的参数μ和σ：正态分布的标准表示为N(μ,σ)，其中μ是均值，σ是方差，σ是标准差。已知X~N(10,2)，因此μ=10，σ=4，σ=2。 （2）判断正态曲线的对称轴： 正态分布曲线的核心性质是关于直线x=μ对称，已知μ=10，因此该正态曲线的对称轴为直线x=10。 （3）说明σ=2对曲线形状的影响： 正态曲线的形状由参数σ决定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示随机变量的取值越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示随机变量的取值越集中。 本题中σ=2，说明该正态曲线相对“矮胖”，随机变量X的取值围绕μ=10分布，偏离均值的程度相对较大，取值较为分散。 综上，（1）μ=10，σ=2；（2）对称轴为x=10；（3）σ=2使曲线“矮胖”，X的取值相对分散。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $