第八章 排列组合（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一 下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第八章 排列组合 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1． 从甲地到乙地有3条不同的公路，从乙地到丙地有4条不同的公路，从甲地经乙地到丙地，不同的走法共有（ ） A. 7种   B. 12种   C. 16种   D. 64种 2. 用数字1,2,3可以组成没有重复数字的三位数的个数是（ ） A. 3   B. 6   C. 9   D. 27​​ 3. 从5名学生中选出2人担任班长和副班长（职务不同），不同的选法有（ ） A. 10种   B. 20种   C. 25种   D. 30种 4. 从5名学生中选出2人参加某项活动，不同的选法有（ ） A. 10种   B. 20种   C. 25种   D. 30种 5. 在 (1+x)5 的展开式中，x3 的系数是（ ） A. 5   B. 10   C. 15   D. 20 6. 从3名男同学和2名女同学中选出2人参加演讲比赛，恰好选出1男1女的选法有（ ） A. 3种   B. 5种   C. 6种   D. 10种​ 7. 某班有30名学生，要从中选出3人分别参加语文、数学、英语竞赛（每人限报一科），不同的报名方案有（ ） A. 30×29×28   B. 303   C.    D. 330 8. 在 (2x−1)6 的展开式中，含 x4 项的系数是（ ） A. −240   B. 240   C. −160   D. 160 9. 从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，其和为偶数的概率是（ ） A.    B. ​   C. ​   D. ​ 10. 将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案有（ ） A. 24种   B. 36种   C. 48种   D. 72种 11. 在 (x+​)8 的展开式中，常数项是（ ） A. 28   B. 56   C. 70   D. 112 12.  从6名男生和4名女生中选出3人，要求至少有1名女生，则不同的选法有（ ） A. 100种   B. 120种   C. 140种   D. 160种 13. 用0,1,2,3,4可以组成无重复数字的五位偶数的个数是（ ） A. 48   B. 60   C. 72   D. 96 14. 若 ​=10，则n=（ ） A. 4   B. 5   C. 6   D. 7 15. 在 (1−2x)7 的展开式中，二项式系数最大的项是第（ ）项。 A. 2   B. 4   C. 6   D. 8 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 16．从4本不同的书中任取2本，有______种不同的取法。 17. 在 (x+2)5 的展开式中，x3 的系数是______。 18. 从3名医生和6名护士中选出2人组成医疗小组，要求至少有一名医生，则不同的选法有______种。 19. 用数字0,1,2,3可以组成无重复数字的三位数的个数是______。 20. 已知 =35，则 n= ______。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21. （本题 10 分）有6本不同的书，分别求下列情况下的分配方案数： （1）平均分成3组，每组2本； （2）分给甲、乙、丙三人，每人2本。 22. （本题 10 分）已知在 (x+​)n 的展开式中，第4项的二项式系数为20。 （1）求 n 的值； （2）求展开式中含 x3 的项的系数。 23. （本题 10 分）某班有30名学生，其中10名女生，20名男生。现要选出5人组成志愿者小组，求： （1）恰好有3名女生的选法有多少种？ （2）至少有1名女生的选法有多少种？ 24. （本题 10 分）已知 (1+2x)n 的展开式中，前三项的二项式系数之和为37。 （1）求 n 的值； （2）求展开式中系数最大的项。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一 下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第八章 排列组合 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1． 从甲地到乙地有3条不同的公路，从乙地到丙地有4条不同的公路，从甲地经乙地到丙地，不同的走法共有（ ） A. 7种   B. 12种   C. 16种   D. 64种 【答案】B 【分析】考查分步计数原理。 【详解】第一步从甲到乙有3种，第二步从乙到丙有4种，根据分步乘法计数原理， 共有3×4=12种。故选B。 2. 用数字1,2,3可以组成没有重复数字的三位数的个数是（ ） A. 3   B. 6   C. 9   D. 27​​ 【答案】B 【分析】考查三个数字全排列。 【详解】 三位数即三个数字的排列，有=3!=6 个。故选B。 3. 从5名学生中选出2人担任班长和副班长（职务不同），不同的选法有（ ） A. 10种   B. 20种   C. 25种   D. 30种 【答案】B 【分析】 考查排列问题。 【详解】 先选班长有5种，再选副班长有4种，分步得20种，即​=5×4=20。故选B。 4. 从5名学生中选出2人参加某项活动，不同的选法有（ ） A. 10种   B. 20种   C. 25种   D. 30种 【答案】A 【分析】考查组合问题。 【详解】 不考虑顺序，​==10。故选A。 5. 在 (1+x)5 的展开式中，x3 的系数是（ ） A. 5   B. 10   C. 15   D. 20 【答案】B 【分析】考查二项式定理，通项 Tr+1​=​xr。 【详解】 令 r=3，系数 ​=10。故选B。 6. 从3名男同学和2名女同学中选出2人参加演讲比赛，恰好选出1男1女的选法有（ ） A. 3种   B. 5种   C. 6种   D. 10种​ 【答案】C 【分析】考查分步计数。 【详解】选男 ​=3，选女 ​=2，共 3×2=6。故选C。 7. 某班有30名学生，要从中选出3人分别参加语文、数学、英语竞赛（每人限报一科），不同的报名方案有（ ） A. 30×29×28   B. 303   C. C303​   D. 330 【答案】A 【分析】考查排列。  【详解】选3人并分配不同科目，相当于从30人中选3人排列，即​=30×29×28。故选A。 8. 在 (2x−1)6 的展开式中，含 x4 项的系数是（ ） A. −240   B. 240   C. −160   D. 160 【答案】B 【分析】考查二项式展开式的通项公式。 【详解】通项 Tr+1​=​(2x)6−r(−1)r，令 6−r=4 得r=2，系数 ×24×(−1)2=15×16=240。故选B。 9. 从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，其和为偶数的概率是（ ） A.    B. ​   C. ​   D. ​ 【答案】A 【分析】总和为偶数需两数同奇或同偶。 【详解】奇数有3个（1,3,5），偶数有2个（2,4）。总取法 ​=10，同奇 ​=3，同偶 ​=1，共4种，概率=。故选A。 10. 将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案有（ ） A. 24种   B. 36种   C. 48种   D. 72种 【答案】B 【分析】先分组再分配。 【详解】先分组再分配。4人分成3组，一组2人，另两组各1人，分组方式有 ​=6 种（因为两个1人组无顺序），然后将3组分配到3所学校有 3!=6 种，共 6×6=36。故选B。 11. 在 (x+​)8 的展开式中，常数项是（ ） A. 28   B. 56   C. 70   D. 112 【答案】C 【分析】考查通项公式的应用。 【详解】通项 Tr+1​=x8−r(​)r=​x8−2r，令 8−2r=0 得 r=4，常数项 ​=70。故选C。 12.  从6名男生和4名女生中选出3人，要求至少有1名女生，则不同的选法有（ ） A. 100种   B. 120种   C. 140种   D. 160种 【答案】A 【分析】考查组合问题。 【详解】总选法 ​=120，不含女生的选法 ​=20，所以至少1女生有 120−20=100。故选A。 13. 用0,1,2,3,4可以组成无重复数字的五位偶数的个数是（ ） A. 48   B. 60   C. 72   D. 96 【答案】B 【分析】排列组合数的综合应用。 【详解】个位为0或2或4。分两类：个位为0时，其余4位全排列 ​=24；个位为2或4时，先选个位有2种，首位不能为0，从剩余4个数中选1个非0数作首位有 ​=3 种，中间三位全排列 ​=6，所以 2×3×6=36。共 24+36=60。故选B。 14. 若 ​=10，则n=（ ） A. 4   B. 5   C. 6   D. 7 【答案】B 【分析】组合公式的应用。 【详解】 ​=​=10，即 n(n−1)=20，解得 n=5（负舍）。故选B。 15. 在 (1−2x)7 的展开式中，二项式系数最大的项是第（ ）项。 A. 2   B. 4   C. 6   D. 8 【答案】B 【分析】考查二项式展开式的二项式系数的规律。 【详解】二项式系数最大项为中间项，n=7 为奇数，中间两项第4、5项系数相等且最大，展开式第 k+1 项，最大项为 k=3 或 4。故选B。 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 16．从4本不同的书中任取2本，有______种不同的取法。 【答案】6 【分析】考查组合数。 【详解】组合数 ​=6。 17. 在 (x+2)5 的展开式中，x3 的系数是______。 【答案】40 【分析】考查通项公式Tr+1​=​xn−r2r。 【详解】通项 Tr+1​=​x5−r2r，令 5−r=3 得r=2，系数 ​×22=10×4=40。 18. 从3名医生和6名护士中选出2人组成医疗小组，要求至少有一名医生，则不同的选法有______种。 【答案】24 【分析】考查组合数。 【详解】总选法 ​=36，无医生（全护士）选法 ​=15，所以至少一名医生36−15=21。 19. 用数字0,1,2,3可以组成无重复数字的三位数的个数是______。 【答案】18 【分析】考查排列组合数的应用。 【详解】首位不能为0，先选首位有 ​=3 种，再从剩下3个数字中选2个排列到后两位有  ​=6，共3×6=18。 20. 已知 =35，则 n= ______。 【答案】7 【分析】考查组合数公式的应用。 【详解】 ​=​ =35，即 n(n−1)(n−2)=210，试根得 n=7。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21. （本题 10 分）有6本不同的书，分别求下列情况下的分配方案数： （1）平均分成3组，每组2本； （2）分给甲、乙、丙三人，每人2本。 【答案】（1）15种；（2）90种。 【分析】（1）平均分组有重复，需除以组数的阶乘；（2）先分组再分配，或直接排列。 【详解】（1）将6本书平均分成3组，每组2本，分组方法数为​​​​=​=15。 （2）分给甲、乙、丙三人，每人2本，相当于将6本书按2,2,2分配给人（有序），方法数为 ​​​​​=15×6×1=90。 22. （本题 10 分）已知在 (x+​)n 的展开式中，第4项的二项式系数为20。 （1）求 n 的值； （2）求展开式中含 x3 的项的系数。 【答案】（1）n=6；（2）60。 【分析】（1）第4项的二项式系数为 ​=20，解得 n=6； （2）写出通项，令 x 指数为3求 r。 【详解】（1）由题意 ​=20，即 ​=20，n(n−1)(n−2)=120，解得 n=6（经验证 6×5×4=120）。 （2）展开式通项 Tr+1​=x6−r(​)r=2r=2r。 令 6−=3，即 =3，解得 r=2。系数为​×22=15×4=60。 23. （本题 10 分）某班有30名学生，其中10名女生，20名男生。现要选出5人组成志愿者小组，求： （1）恰好有3名女生的选法有多少种？ （2）至少有1名女生的选法有多少种？ 【答案】（1）​×​=120×190=22800 种； （2）总选法 ​ 减去全男生 ​，即 142506−15504=127002 种。 【分析】（1）分步计数；（2）用补集法。 【详解】（1）选3女 ​=120，选2男 ​=190，共 120×190=22800。 （2）总选法 ​=142506，全男生选法​=15504，所以至少1女有 142506−15504=127002。 24. （本题 10 分）已知 (1+2x)n 的展开式中，前三项的二项式系数之和为37。 （1）求 n 的值； （2）求展开式中系数最大的项。 【答案】（1）n=8；（2）第6项 T6​=1792x5  【分析】（1）前三项二项式系数为​,​,​，其和 1+n+=37，解得 n=8。（2）设第r+1 项系数为 2r，比较相邻项系数。 【详解】（1）由题意 1+n+=37，即 2+2n+n(n−1)=74，整理得n2+n−72=0，解得n=8 或n=−9（舍），故 n=8。 （2）展开式通项Tr+1​= (2x)r=2rxr，系数为 2r。由 ​​=​=​×2。 令1 得 ​×21，即16−2rr+1，153r，r5。所以当r=0,1,2,3,4,5 时系数递增，r=5 时系数最大。所以系数最大项为第6项（r=5）即 T6​=1792x5。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $