第3练 集合之间的关系《数学》基础模块上册（高教版第三版）《一课一练》 （原卷版+解析版）

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块下册（高教版第三版） 第一章 集合 第 3 练 集合之间的关系 一、选择题 1．下列关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合、集合与集合之间的关系即可得解. 【详解】由于中不含有任何元素，故错误，故A项错误； 空集不含有任何元素，，故B，C错误； 空集是空集的子集，即，D正确. 故选：D. 2．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合和集合的关系与元素与集合的关系易得答案. 【详解】因为， f故A，B，C错误，D选项正确. 故选：D. 3．已知集合，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系以及集合之间的关系求解即可. 【详解】因为集合， 所以， 则选项ABC不正确，选项D正确. 故选：D. 4．已知集合，集合，则集合与集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合与集合的关系，以及元素与集合的关系，即可解得. 【详解】因为集合，集合， 集合所有元素都在集合中，即集合是集合的子集，所以，选项C正确，选项D错误， 又“”表示元素与集合的关系，即选项A，B错误. 故选：C. 5．已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合元素与集合、集合与集合之间的关系，即可求解. 【详解】因为集合， 所以, 所以选项错误，选项B正确. 故选：B. 6．已知集合，则 A的子集个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】首先确定集合中元素的个数，再由集合的子集的个数公式求值即可. 【详解】已知集合中有个元素， 所以A的子集个数为个， 故选：A. 7．设集合是偶数，是整数，则与的关系是（   ） A． B． C． D．无包含关系 【答案】C 【分析】根据集合之间的关系即可得解. 【详解】因为集合是偶数， 是整数， 所以整数包含偶数，故. 故选：C. 二、填空题 8．用符号“ ”“ ”“ ”或“ ”表示下列关系:0_____ ； _____ ； _____ . 【答案】 【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系填空即可. 【详解】0是整数，故， 所有的正整数都是有理数，故， 空集是任何一个集合的子集，， 故答案为：，，. 9．子集: （1）定义:一般地，如果集合 的每一个元素都是集合 的元素，则称集合 是集合 的子集. 记作_____ 或_____，读作“_____”，或“_____”. 注:任何一个集合都是_____的子集，记作_____. （2）空集是_____集合的子集，记作_____. 【答案】 包含于 包含 它本身 任何 【分析】根据子集的概念和性质填空即可. 【详解】定义:一般地，如果集合 的每一个元素都是集合 的元素， 则称集合 是集合 的子集， 记作或， 读作“包含于”或“包含”， 任何一个集合都是它本身的子集，记作， 空集是任何集合的子集，记作. 故答案为：，，包含于，它本身，，任何，. 10．用适当的符号（，，，，）填空：____，____. 【答案】 【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系求解即可. 【详解】，. 故答案为：；. 11．设集合，，且，则的值为________． 【答案】或 【分析】根据子集的概念列方程求解即可. 【详解】已知集合，， 由得，或，且，， 解得，或， 解得，不符合题意舍去， 所以的值为或， 经检验，为或时，满足题意. 故答案为：或. 12．已知集合，，若，则______. 【答案】0 或 或 【分析】根据子集的概念，可得或，解方程并检验集合中元素的互异性即可得解. 【详解】由，，且可得： ①当，解得或. 若时，，，符合； 若时，，，符合； ②当，解得或. 若时，不满足集合中元素的互异性，舍去； 若时，，，符合； 综上所述，或或. 故答案为：0 或 或 三、解答题 13．设 . (1)用列举法表示集合 ； (2)写出集合所有的真子集. 【答案】(1) (2)，，,，，， 【分析】（1）根据集合和特殊数集的定义，列出所有元素即可得解. （2）根据真子集的定义求解. 【详解】（1）因为，且，所以满足条件的自然数为0、1、2. 故. （2）集合的真子集为： ，，，，，，. 14．已知集合，，且，求实数的值. 【答案】或或 【分析】根据集合的包含关系求解参数即可； 【详解】由，因式分解得，解得或，所以. 因为， 当时，无解，此时. 当时，则. 若，则；若，则. 综上，或或. 15．设，，其中，如果，求实数的取值范围． 【答案】或. 【分析】先化简集合，由，可得，结合判别式和韦达定理，解方程或不等式即可得到所求范围. 【详解】， 因为，所以， 所以或或或， 因为集合， 当，判别式小于，即，解得； 当或时，判别式等于，，解得，代入得，满足题意； 当，判别式大于，，解得； 综上所述，实数的取值范围是或. 第 4 练 交集 一、选择题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的运算即可求解. 【详解】由题意得，. 故选：B. 2．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的表示、交集的概念及运算可求解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：C 3．若集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合， 由交集的定义可得. 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义及运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以，即. 故选：. 5．若集合，集合，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的概念运算即可. 【详解】已知集合， 集合， 所以， 故选：C. 6．已知集合，，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑，找出的范围，再算出补集即可. 【详解】不妨考虑，得，且， 则可列出不等式组，解得， 所以，有. 故选：C. 7．下列命题中正确的个数是（    ） （1）绝对值不大于5的正整数组成的集合是无限集；（2）若集合，，则；（3）方程的解组成的集合有1个真子集. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据题意，结合集合的分类、交集的运算、元素与集合的关系、真子集的概念，即可判断求解. 【详解】因为绝对值不大于5的正整数组成的集合是，是有限集，不是无限集， 故（1）说法错误； 因为集合，， 所以, 所以，故（2）说法错误； 因为，又， 所以方程的解组成的集合是， 因为没有真子集，故（3）说法错误； 故正确命题的个数是0个. 故选：A. 二、填空题 8．若集合，，则________. 【答案】 【分析】根据集合中的条件写出对应元素再求交集即可解得 【详解】由题 则 故答案为： 9．设集合，若，则a的值为 _________． 【答案】或1 【分析】根据交集的基本性质，即可求解集合中元素的未知数. 【详解】∵集合，， 所以集合B中含有元素和， ∴或， ∴或． 故答案为：或1． 10．已知集合，且，则中元素的个数为______个. 【答案】 【分析】根据集合元素的特征，求出，即可判断. 【详解】因为，且， 所以， 则中元素的个数为个. 故答案为： 11．给定集合，，定义一种运算或且，试用列举法写出集合________. 【答案】 【分析】先根据交集的概念求解，再根据新定义求解即可. 【详解】∵集合，， ∴， ∵新运算或且， ∴即只保留在A或B中，但不在两者交集中的元素， ∴集合. 故答案为：. 12．已知集合，若，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据交集的概念结合一元二次方程的求解参数即可. 【详解】因为集合，若， 所以方程在R上无解， 则有，且，解得， 所以则实数的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 13．立德中学开运动会，设是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学}，是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求. 【答案】是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}. 【解析】根据交集定义直接求解即可. 【详解】由交集定义可知：是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 14．已知集合，若，且，求实数的值． 【答案】或或 【分析】由可得，再根据子集的概念求出集合的子集，再分别使，和求出的值即可. 【详解】由可得， ，． 又，或或， ①当时，有，解得， ②当时，有，解得， ③当时，由韦达定理得，解得， 综上所述，或或. 15．已知集合，若，求实数的所有取值所组成的集合． 【答案】 【分析】由可得，由集合包含关系的定义可知，为空集或的元素均为的元素，分类讨论后即可得到所有实数的值组成的集合. 【详解】因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，，，因为， 所以或，解得或，符合题意； 综上可得，实数的所有取值组成的集合为． 第 5 练 并集 一、选择题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集的概念运算即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 2．（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的运算中并集的定义求解. 【详解】实数集包含整数集，所以两者的并集为. 故选：C. 3．若集合，则（    ）. A． B． C．或. D． 【答案】C 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】因为集合， 则或. 故选：C. 4．已知集合，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合并集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为集合， 所以. 故选：B. 5．下列各式错误的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】D 【分析】根据交集的运算律可得A正确；由交集和并集的运算可知B正确；由并集和子集的定义可判断C正确；取，，可判断D错误. 【详解】对A选项，根据交集运算的交换律可得，故正确； 对B选项，由于，故正确； 对C选项，由于中包含集合与集合中所有的元素，所以，故正确； 对D选项，取，，，满足条件，但，故错误. 故选：D 6．下列关系：.其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，结合常用数集的范围，及交集、并集的概念和运算，即可判断求解. 【详解】根据交集的性质，可得， 又，，所以；； 故正确的个数为3个. 故选：C. 7．设集合，若，则（ ） A．-3 B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】则，因为 ，所以 ， 所以，解得：或. 当时，，，，不符合条件. 当时，，，，符合条件. 综上，. 二、填空题 8．已知集合，集合，则_________. 【答案】 【分析】先用列举法表示集合，再求得并集. 【详解】∵解方程得到， 解方程，即，得到或. ∴集合，集合， ∴. 故答案为： 9．已知集合，，则________ ， ________. 【答案】 【分析】根据交集及补集的定义即可得解. 【详解】集合，，则，， 故答案为：；. 10．已知集合，则满足的集合B的个数为________． 【答案】4 【分析】根据并集的概念及运算可求解. 【详解】∵，，则，， ∴集合B可能为，，，，所以集合B的个数为4． 故答案为：4 11．若已知集合，，且，则______. 【答案】2 【分析】根据并集的结果确定集合中的值，经过检验可确定的值. 【详解】已知，集合，集合， 因为是由所有属于或者属于的元素所组成的集合， 若，则不符合题意， 所以，可得， 当时，集合，集合，此时，满足条件； 当时，集合，集合，此时，不满足，所以舍去， 综上，. 故答案为：2. 12．已知集合，若，集合可能的个数是______. 【答案】 【分析】根据集合以及集合与的并集，可知集合里一定含有元素，进而找出满足条件的集合所有可能的情况即可. 【详解】因为，， 所以集合里一定有元素， 因此集合可能为： ，共8个， 故答案为：. 三、解答题 13．已知集合，且，求. 【答案】 【分析】根据集合的交集结果求出，再解方程求出集合，最后求集合的并集易得答案. 【详解】因为， ，将代入方程， ，解得 ， 又， ， 14．已知全集，集合，，求，，． 【答案】，， 【分析】根据集合的交并补的运算计算即可. 【详解】因为， 又因为全集， 所以， 因为集合，， 所以， . 15．已知集合，，且，求实数的值 【答案】，，. 【分析】根据，求出值，进而求出集合，结合一元二次方程的解法即可得解. 【详解】集合，，且， 所以，则，解得， 所以，解得或，所以， 所以，则，解得， 综上所述，，，. 第 6 练 补集 一、选择题 1．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合的补集运算即可得解. 【详解】因为， ， 所以. 故选：A. 2．全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的补集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 3．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合交集与补集定义，先算出，再算出即可. 【详解】因为，，所以， 又，则. 故选：. 4．设，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的并集、补集的概念求解即可. 【详解】因为，， 所以， 又因为， 所以. 故选：D. 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合交集、并集、补集的概念、性质和运算，即可判断求解. 【详解】由题意画出韦恩图，如图所示： 因为，所以，故A错误； 因为，，所以，故B正确； 因为，故C错误； 因为，，所以，故D错误． 故选：B． 6．设，已知两个非空集合，满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，作出韦恩图即可求解. 【详解】由题意得，作出韦恩图：    满足，即. 故选：B. 7．已知全集，集合，如图阴影部分表示的集合是（ ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由韦恩图得阴影部分为，利用集合的运算即可求解. 由韦恩图得阴影部分为， 因为，所以， 所以 故选：D. 二、填空题 8．若 ，则___________， ___________． 【答案】 【分析】根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：, 9．设全集，若，，，则__，__． 【答案】 {1，3，5，7} {2，3，4，6，8} 【分析】直接利用韦恩图即可得结果. 【详解】U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}， 由题意如图所示 由韦恩图可知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，6，8} 故答案为：{1，3，5，7}；{2，3，4，6，8} 10．设全集，，，则______. 【答案】 【分析】根据补集的概念及运算求出集合和集合的补集，再结合交集的概念及运算即可得答案. 【详解】因为，，， 所以，， 因此， 故答案为：. 11．已知或，，若，则m的取值范围是______. 【答案】 【分析】首先由补集的概念得出，再由列不等式求解即可. 【详解】已知或， 则，且， 由， 可得，解得， 所以则m的取值范围是. 故答案为：. 12．已知集合或，．若，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据补集的定义求出，结合交集的定义即可得解. 【详解】集合或，则， ，， 所以， 则的取值范围为， 故答案为：. 三、解答题 13．设全集，集合．求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的定义求解； （2）根据并集与补集的定义求解. 【详解】（1）集合， 则. （2）全集，， 则. 14．设为100个连续正整数的集合，已知其中2的倍数有50个，3的倍数有33个，6的倍数有16个，如何利用这些数据求出中不能被3整除的奇数的个数？ 【答案】33 【分析】分析集合之间的关系，由可得. 【详解】记，， 则，， 是能被3整除的偶数，， 是不能被3整除的奇数， 由题知， 因为， 所以中不能被3整除的奇数有100-67=33个. 15．设全集，集合，集合，求． 【答案】答案见解析 【分析】利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以或， 或， 或，或， 所以或， 或. 第 7 练 集合测验 一、选择题 1．已知集合，，若，则实数（    ） A． B． C．或 D．或－1或0 【答案】D 【分析】根据两集合的并集结果知道两集合的包含关系分类讨论易得答案. 【详解】因为，集合，， 当时，所以无解，即符合题意， 当时，所以， 当时，所以. 故选：D. 2．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的交集运算即可得解. 【详解】由集合，集合， 可知. 故选：C. 3．下列集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据相等集合的概念逐项分析即可. 【详解】选项A中两集合表示的点不同，不是同一集合， 选项B中，集合中的元素相同，是同一集合， 选项C中，集合为图象上所有点的坐标，集合为的的取值，不是同一集合， 选项D中，集合为两个实数2，3组成的集合，集合中只有一个元素即点，不是同一集合， 故选：B. 4．已知集合，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集求解即可. 【详解】集合，. 故选：B. 5．已知全集，集合，如图阴影部分表示的集合是（ ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由韦恩图得阴影部分为，利用集合的运算即可求解. 由韦恩图得阴影部分为， 因为，所以， 所以 故选：D. 6．设集合，若，则（ ） A．-3 B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】则，因为 ，所以 ， 所以，解得：或. 当时，，，，不符合条件. 当时，，，，符合条件. 综上，. 7．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象.数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样.目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”､“卡普雷卡尔黑洞”､“自恋性数字黑洞”等.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则的真子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据自恋数的概念得到集合，结合交集的概念得到，即可求解. 【详解】一位正整数的自恋数：设这个一位正整数是（1到9）， 则，对所有都成立， 所以， ， 所以，其真子集有个. 故选：C. 二、填空题 8．在直角坐标系中，第二和第三象限所有的点组成的集合为_________． 【答案】, 【分析】根据集合的表示方法即可求解. 【详解】因为第二象限和第三象限中的点的横坐标小于零， 且不包含坐标轴上的点， 所以第二和第三象限所有的点组成的集合为且. 故答案为：,. 9．某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则__________. 【答案】19 【分析】设出集合，根据集合之间的关系，得到，求出答案. 【详解】设集合分别表示围棋爱好者，足球爱好者，全班学生组成全集， 就是两者都爱好的，要使中人数最多，则， 要使中人数最少，则，即，解得， . 故答案为：19 10．已知集合，，若，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【分析】利用集合间的基本关系计算即可. 【详解】由题意可知. 故答案为：. 11．下列关系式：①; ②; ③; ④; ⑤中，正确的是___________. 【答案】④⑤ 【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系逐项分析即可. 【详解】，故①错误， ，故②错误， 的元素是和，的元素是有序数对， 两个集合不存在包含关系，故③错误， ，故④正确， ，故⑤正确， 所以正确的有④⑤， 故答案为：④⑤. 12．已知集合，若，集合可能的个数是______. 【答案】 【分析】根据集合以及集合与的并集，可知集合里一定含有元素，进而找出满足条件的集合所有可能的情况即可. 【详解】因为，， 所以集合里一定有元素， 因此集合可能为： ，共8个， 故答案为：. 三、解答题 13．设全集，集合或，集合，求阴影部分表示的集合． 【答案】 【分析】根据韦恩图可得，阴影部分表示集合，结合集合交集，补集的运算即可求解. 【详解】由韦恩图可得，阴影部分即集合， 因为全集，集合或，集合， ， ． 即阴影部分表示的集合为. 14．设全集，集合，，若，求实数的取值集合． 【答案】 【分析】根据集合间的关系以及补集的运算，并由分情况讨论集合是否为空集的情况. 【详解】当时，则，解得， 此时，因为，显然成立， ∴满足条件， 当时，即， ∴或， ∵，那么有或， 解得或， 又，可得. 综上可得. 四、证明题 15．设关于的方程的解集为． （1）求证：中至少有2个元素； （2）若中有3个元素，求的值及中3个元素之和． 【答案】（1）证明见解析；（2）；当时，中3个元素之和为；当时，中3个元素之和为3． 【分析】（1）将方程去绝对值，进而通过判别式法判定方程根的个数，最后解决问题； （2）结合（1），根据题意再利用判别式法求出a，进而解得答案. 【详解】（1）方程等价于或． 记方程的解集为， 因为，所以中含有2个元素． 又因为，所以中至少有2个元素． （2）记方程的解集为，由（1）知，中恰有1个元素． 所以，因此，． 当时，，中2个元素之和为-2，所以中3个元素之和为； 当时，，中2个元素之和为2，所以中3个元素之和为3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块下册（高教版第三版） 第一章 集合 第 3 练 集合之间的关系 一、选择题 1．下列关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，集合，则集合与集合的关系是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，则 A的子集个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 7．设集合是偶数，是整数，则与的关系是（   ） A． B． C． D．无包含关系 二、填空题 8．用符号“ ”“ ”“ ”或“ ”表示下列关系:0_____ ； _____ ； _____ . 9．子集: （1）定义:一般地，如果集合 的每一个元素都是集合 的元素，则称集合 是集合 的子集. 记作_____ 或_____，读作“_____”，或“_____”. 注:任何一个集合都是_____的子集，记作_____. （2）空集是_____集合的子集，记作_____. 10．用适当的符号（，，，，）填空：____，____. 11．设集合，，且，则的值为________． 12．已知集合，，若，则______. 三、解答题 13．设 . (1)用列举法表示集合 ； (2)写出集合所有的真子集. 14．已知集合，，且，求实数的值. 15．设，，其中，如果，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $