【解答题专项】05函数2026年湖南省对口招生考试《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦函数核心概念与性质，通过分层题型构建从基础到综合的逻辑训练体系，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|5题|定义域、奇偶性判断、解析式求解|从函数定义出发，构建概念生成链条| |性质应用|6题|单调性分析、最值求解、不等式证明|以性质推导为核心，形成方法应用逻辑| |实际与综合|4题|消毒模型、数列结合、图像应用|结合现实情境与跨知识综合，体现数学语言表达|

2026年湖南省对口招生考试 解答题专项 （五）函数 一、解答题 1．已知函数． （1）求的定义域及的定义域． （2）判断并证明的奇偶性． 【答案】（1），（2）奇函数 【分析】考查函数的相关性质 【解析】（1）∵函数，所以 所以，所以函数的定义域为 所以，所以，所以函数的定义域是。 （2）是奇函数 证明：∵函数的定义域为，∴定义域关于原点对称 ∴是奇函数 2．为了预防流感，某学校对教室用过氧乙酸熏蒸进行消毒．已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为 (a为常数)，如图所示． (1)从药物释放开始，写出y与t的函数关系式； (2)据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室． 【答案】（1） （2）36分钟 【分析】考查分段函数的相关性质 【解析】(1)由图象可知，当0≤t≤0.1时，y＝10t； 当t＝0.1时，由，得a＝0.1， ∴当t>0.1时，. ∴ (2)由题意可知，，解得t>0.6，即这次消毒0.6×60＝36(分钟)后，学生才能进教室. 3．已知函数的图象经过点， （1）试求的值； （2）若不等式在有解，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】考查指数函数的相关性质 【解析】（1），解得，所以. （2）在有解等价于在 设由得则， 令则， 又在上为增函数， 所以所以. 4．已知函数，其中，记函数的定义域为. （1）求函数的定义域； （2）若函数的最大值为，求的值； 【答案】(1)（-2，1）(2). 【分析】考查对数函数的相关性质 【解析】（1）要使函数有意义：则有，解得－2＜x＜1,∴ 函数的定义域D为（-2，1） （2） 因为 ,所以 因为，所以， 5．已知， （1）设，求t的最大值与最小值； （2）求的最大值与最小值． 【答案】（1）最大值为9，最小值为1（2）最大值为67，最小值3 【分析】考查函数的相关性质 【解析】（1）设，则最小值为，最大值为， 即t的最大值为9，最小值为1； （2）设，则最小值为，最大值为， 函数转化为， 当时，最小为， 当时，最大为64+3=67， 即的最大值为67，最小值3． 6．已知函数的图像过点（0，）求： （1）函数的解析式 （2）的值 【答案】（1） （2） 【分析】考查函数的相关性质 【解析】（1）因为函数的图像过点（0，），，解得a=1， 所以函数的解析式。 （2）因为，所以 7． 已知二次函数经过点（1，0）（0，3），且区间[1,5]上是增函数，且其。 1. 求函数的解析式； (2)求不等式的解集。 【答案】（1）f(x)= （2）f(x)+f(-x)=1 【分析】主要考查二次函数解析式的求解方法及结合不等式知识的综合计算 【解析】（1）依据题意可知；又因为函数图像经过（1，0）（0，3），代入函数解析式得：，所以解析式； （2），解得x＜0或x＞2，故不等式解集为。 8． 【答案】（1） （2） 【分析】主要考查二次函数解析式的求解方法及结合不等式知识的综合计算 【解析】（1）由函数解析式可知，函数表示的图像为抛物线，且开口向上，图像在上单调递减，要求其对称轴在递减区间的右侧，即；故实数m的取值范围为。 （2）由题意知恒成立， 推出不等式组： 所以。 9．已知二次函数图象的对称轴为直线，且，。 （1）求的解析式； （2）求在上的值域。 【答案】（1）；（2）。 【分析】（1）利用二次函数的对称轴和所过的点，列方程组求解即可； （2）确定在上的单调性，进而求出值域. 【解析】（1）设，则由题意得解得， ； （2），， ∴当时，；当时，， 在上的值域为。 10．已知函数。A (1)求实数a的值； (2), 【答案】（1）a= （2） 【分析】综合考查指数函数、对数函数、函数单调性和极值及与一元二次不等式的相结合及具体应用 【解析】（1）讨论a的值。当0＜a＜1 时，函数f（x）在区间[-2,4]上减函数，即f（x）max=f（-2）=16，a-2=16,解得a=； a＞1 时，函数f（x）在区间[-2,4]上增函数，即f（x）max=f（4）=16，a4=16,解得a=2；综上所述，a=或a=2。 由题意可知：， 又有（1）中a=或a=2，所以a=2。题设不等式可等价为， 即0＜1-2t≤2，解得； 所以实数t的取值范围为。 11、已知二次函数的图象如右图（－2，3） . x y O （0,2） . （1）求解析式； （2）讨论的单调性。 【答案】（1） （2）二次函数在上是增函数，在是减函数. 【分析】综合考查二次函数单调性 【解析】（1）由已知可设二次函数解析式为 把点（0，2）代入所设解析式得： （2）由图象可知二次函数在上是增函数，在是减函数. 12、已知函数y＝. (1)求此函数的定义域；(2)确定函数的单调区间． 【答案】（1）x≥8（2）单调递增区间为(－∞，3]，单调递减区间为[3，＋∞) 【分析】综合考查二次函数定义域以及单调性 【解析】(1)设u＝x2－6x＋17，由于函数y＝()u及u＝x2－6x＋17的定义域都是R，故函数y＝()x2－6x＋17的定义域为R.因为u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8． (2)函数u＝x2－6x＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意的x1，x2∈[3，＋∞)，且x1＜x2，有u1＜u2，从而()u1＞()u2，即y1＞y2，所以函数y＝()x2－6x＋17在[3，＋∞)上是减函数，同理可知y＝()x2－6x＋17在(－∞，3]上是增函数．所以，函数的单调递增区间为(－∞，3]，单调递减区间为[3，＋∞)． 13、已知f(x)＝2x2＋2bx＋c，当x＝－1时，f(x)有最小值－8. (1)求b，c的值； (2)解f(x)>0. 【答案】（1）（2）x<－3或x>1时f(x)>0 【分析】综合考查二次函数相关性质 【解析】(1)原函数可化为f(x)＝2(x＋)2＋c－，根据题意可知－＝－1，∴b＝2，又∵c－＝－8，∴c＝－6，故. (2)根据题(1)的结果可得函数为f＝2－8，令f(x)＝0，解得两根为x1＝－3，x2＝1，所以当x<－3或x>1时f(x)>0. 14、 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx满足条件：①f(0)＝f(1)；②f(x)的最小值为－. (1)求函数f(x)的解析式； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝f(n)＋1，求数列{an}的通项公式． 【答案】（1）（2）x<－3或x>1时f(x)>0 【分析】综合考查二次函数相关性质 【解析】(1)由于f＝f，所以－＝，a＋b＝0，f(x)的最小值为－知＝－，解得a＝，b＝－，因此函数的解析式是f(x)＝x2－x； (2)Sn＝n2－n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n－1，将n＝1代入an中，得a1＝0≠1.∴数列{an}的通项公式an＝. 15、已知二次函数f＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有两个交点，它们之间的距离是6，且对称轴方程是x＝1，与y轴的交点为(0，8)． (1)求函数的解析式； (2)若点P(x，y)是二次函数图像上的任意一点，求u＝y2＋的最小值． 【答案】（1）－x2＋2x＋8（2） 【分析】综合考查二次函数相关性质 【解析】　(1)由题意：图像与x轴交点为(4，0)，(－2，0)，可设f(x)＝a(x＋2)(x－4)，代入坐标(0，8)得a＝－1，∴f(x)＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8； (2)∵y＝－x2＋2x＋8＝－(x－1)2＋9，∴y≤9，(x－1)2＝9－y， ∴u＝y2＋(x－1)2＝y2＋(9－y)＝y2－y＋9，∴当y＝时，umin＝－＋9＝. 16、已知函数f(x)＝log0.2(x2＋2x－3)． (1)求f(x)的定义域； (2)若f(x)≥log0.2(x2－4)，求x的取值范围． 【答案】（1）{x|x<－3或x>1} （2）(－∞，－3)． 【分析】综合考查对数函数相关性质 【解析】　(1)由对数函数性质有：x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1， 所以函数f(x)＝log0.2(x2＋2x－3)的定义域为{x|x<－3或x>1}； (2)由log0.2(x2＋2x－3)≥log0.2(x2－4)，又因为0<0.2<1， 有，解得x<－3，即x的取值范围是(－∞，－3)． 17、设二次函数y＝(lga－1)x2－10x＋c的顶点在直线x＝5上． (1)求实数a的值； (2)若y恒大于0，求实数c的取值范围． 【答案】（1）a＝100 （2）(25，＋∞)． 【分析】综合考查对数函数相关性质 【解析】　(1)由题意可得，－＝5，∴a＝100； (2)由(1)知y＝x2－10x＋c，∵y恒大于0，∴Δ＝(－10)2－4c<0，得c＞25，即c的取值范围是(25，＋∞)． 18．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足下列条件： ①当x∈R时，f(x)的最小值为0，且f(x－1)＝f(－x－1)成立； ②当x∈[－2，2]时，f(x)有最大值6. (1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)>2(x＋1)． 【答案】（1）f(x)＝x2＋x＋ （2）{x|x＞2或x＜－1} 【分析】综合考查二次函数相关性质 【解析】　(1)∵f(x－1)＝f(－x－1)，∴二次函数对称轴为x＝－1又∵f(x)有最小值0，∴a＞0且顶点为(－1，0)，由图像得x∈时，fmax＝f(2)＝6，∴可设f(x)＝a(x＋1)2，代入(2，6)得a＝，∴f(x)＝(x＋1)2＝x2＋x＋； (2)f(x)＞2(x＋1)，∴(x＋1)2＞2(x＋1)，∴(x＋1)＞0，∴(x＋1)(x－2)＞0，∴x＞2或x＜－1，∴解集为{x|x＞2或x＜－1}． 19、已知函数 （1）画出函数的图象； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）根据指数函数的图象特点作出的图象，再根据一次函数的特点作出的图象即可；（2）当时，解不等式，当，解不等式即可求解. 【详解】（1）函数的图象如图所示： （2）， 当时， ，可得：， 当，，可得：， 所以的解集为：， 所以的取值范围为. 20、已知函数，． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求方程的解． 【答案】（1）奇函数 （2） 【分析】（1）由题目条件及函数奇偶性的定义直接判断即可. （2）把代入后，按对数的运算法则求解即可. 【解析】（1）函数为奇函数，因为的定义域为，的定义域为， 所以的定义域为，即的定义域关于原点对称，又，， 所以函数为奇函数. 由， 即，， ，所以，解得. 所以方程的解为. 试卷第1页，共3页 试卷第10页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖南省对口招生考试 解答题专项 （五）函数 一、解答题 1．已知函数． （1）求的定义域及的定义域． （2）判断并证明的奇偶性． 2．为了预防流感，某学校对教室用过氧乙酸熏蒸进行消毒．已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为 (a为常数)，如图所示． (1)从药物释放开始，写出y与t的函数关系式； (2)据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室． 3．已知函数的图象经过点， （1）试求的值； （2）若不等式在有解，求的取值范围. 4．已知函数，其中，记函数的定义域为. （1）求函数的定义域； （2）若函数的最大值为，求的值； 5．已知， （1）设，求t的最大值与最小值； （2）求的最大值与最小值． 6．已知函数的图像过点（0，）求： （1）函数的解析式 （2）的值 7． 已知二次函数经过点（1，0）（0，3），且区间[1,5]上是增函数，且其。 1. 求函数的解析式； (2)求不等式的解集。 8． 9．已知二次函数图象的对称轴为直线，且，。 （1）求的解析式； （2）求在上的值域。 10．已知函数。A (1)求实数a的值； (2), 11、已知二次函数的图象如右图（－2，3） . x y O （0,2） . （1）求解析式； （2）讨论的单调性。 12、已知函数y＝. (1)求此函数的定义域；(2)确定函数的单调区间． 13、已知f(x)＝2x2＋2bx＋c，当x＝－1时，f(x)有最小值－8. (1)求b，c的值； (2)解f(x)>0. 14、 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx满足条件：①f(0)＝f(1)；②f(x)的最小值为－. (1)求函数f(x)的解析式； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝f(n)＋1，求数列{an}的通项公式． 15、已知二次函数f＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有两个交点，它们之间的距离是6，且对称轴方程是x＝1，与y轴的交点为(0，8)． (1)求函数的解析式； (2)若点P(x，y)是二次函数图像上的任意一点，求u＝y2＋的最小值． 16、已知函数f(x)＝log0.2(x2＋2x－3)． (1)求f(x)的定义域； (2)若f(x)≥log0.2(x2－4)，求x的取值范围． 17、设二次函数y＝(lga－1)x2－10x＋c的顶点在直线x＝5上． (1)求实数a的值； (2)若y恒大于0，求实数c的取值范围．． 18．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足下列条件： ①当x∈R时，f(x)的最小值为0，且f(x－1)＝f(－x－1)成立； ②当x∈[－2，2]时，f(x)有最大值6. (1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)>2(x＋1)． 19、已知函数 （1）画出函数的图象； （2）若，求的取值范围 20、已知函数，． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求方程的解 试卷第1页，共3页 试卷第6页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $