专题24 抛物线（练习）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题24 抛物线 一、选择题 1．焦点坐标为的抛物线的标准方程是（ ） A． B． C． D． 2．已知抛物线，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 3．抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． D． 4．抛物线的焦点到直线的距离是（ ） A． B．2 C．3 D．1 5．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．若抛物线焦点坐标为，则抛物线的标准方程为 ． 7．抛物线的焦点坐标是 . 8．已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 . 9．与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是 . 三、解答题 10．分别根据下列条件，求抛物线的标准方程． （1）准线方程是； （2）抛物线的焦点是双曲线的左顶点. 11．抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的左顶点，求抛物线的方程. 12．已知抛物线：上一点到其焦点的距离为2，求抛物线的标准方程. 一、选择题 13．若抛物线上一点到焦点距离为，则点的横坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 14．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴上，抛物线上一点到焦点距离为6，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 15．已知点为抛物线上的一点，且抛物线的准线方程为，则m的值为（   ） A．4 B．4或 C．2 D．2或 16．垂直于轴的直线交抛物线于两点，且，则该抛物线的焦点到直线的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 17．过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，若以为直径的圆与直线相切，则拋物线的方程是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 18．顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，过的抛物线方程为 . 19．已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上且到x轴的距离为3，则 . 20．如图，吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一段，宽，高，根据图中的坐标系，可得这条抛物线的准线方程为 ． 21．已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为 . 三、解答题 22．已知抛物线的顶点为原点，焦点为，准线方程为，在抛物线上有一点到抛物线焦点的距离，求点的坐标． 23．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上. （1）求点的坐标和抛物线的准线方程； （2）过点的直线与抛物线交于两个不同点，若的中点为，求的面积. 24．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，抛物线上一点到焦点的距离为3. (1)求抛物线C的标准方程； (2)过抛物线C的焦点作直线与抛物线C交于M、N两点，若直线l的斜率为，求弦长； (3)在（）的条件下，求（为坐标原点）的面积. 1．（2021年·河南对口升学高考第22题）已知抛物线经过点，，，求证：. 2．（2019年·河南对口升学高考第7题）抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题24 抛物线 一、选择题 1．焦点坐标为的抛物线的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，的焦点坐标为，A错误； 对于B，的焦点坐标为，B错误； 对于C，的焦点坐标为，C错误； 对于D，的焦点坐标为，D正确， 故选：D. 2．已知抛物线，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的准线方程求解即可解得. 【详解】因为抛物线的标准方程为，则， 所以抛物线的准线方程为． 故选：D． 3．抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线方程确定p的值，进而确定准线方程. 【解析】由，得， 故所求准线方程为, 故选：C. 4．抛物线的焦点到直线的距离是（ ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【解析】由抛物线得焦点， 点到直线的距离. 故选：D. 5．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，结合抛物线方程先求得准线方程，将点代入抛物线方程，求得m的值，继而求得点P到准线的距离，结合抛物线的概念，即可求解. 【详解】因为抛物线， 所以准线方程为， 又点在抛物线上，即， 解得， 所以点到准线的距离为， 所以. 故选：B. 二、填空题 6．若抛物线焦点坐标为，则抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的标准方程的求法即可求解. 【详解】由题意得，抛物线焦点坐标为，则抛物线的开口朝右， ，解得，所以标准方程为. 故答案为：. 7．抛物线的焦点坐标是 . 【答案】 【解析】抛物线化成标准形式为：， 所以焦点坐标为：， 故答案为：. 8．已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 . 【答案】 【解析】因为点在抛物线上， 代入抛物线中得，解得，所以 故抛物线的准线方程为， 所以到的准线的距离为. 故答案为：. 9．与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】由抛物线的定义可得平面内与点和直线的距离相等的点的轨迹为抛物线， 且为焦点，直线为准线， 设抛物线的方程为，可知，解得， 所以该抛物线方程是， 故答案为：. 三、解答题 10．分别根据下列条件，求抛物线的标准方程． （1）准线方程是； （2）抛物线的焦点是双曲线的左顶点. 【答案】(1)；(2) 【解析】解：（1）准线方程为， 所以抛物线方程开口向上，且，得， 所以抛物线方程是； （2）双曲线方程，左顶点为， 所以抛物线的焦点为，抛物线的开口向左，，， 所以抛物线方程是. 11．抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的左顶点，求抛物线的方程. 【答案】 【分析】先将双曲线化为标准式，得到双曲线中心和左顶点坐标，即可求得抛物线方程. 【详解】因为双曲线可化为， 则，即，则其左顶点为， 所以抛物线的焦点为， 故抛物线的方程为. 12．已知抛物线：上一点到其焦点的距离为2，求抛物线的标准方程. 【答案】 【解析】解：的焦点为， 因为点在抛物线上，带入点及由两点间的距离公式可得： ，解得， 所以，抛物线的标准方程为：. 一、选择题 13．若抛物线上一点到焦点距离为，则点的横坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先确定抛物线的焦点坐标，再利用焦半径公式求得，再将点代入抛物线方程即可得解. 【详解】因为抛物线方程可化为，则其焦点为， 依题意，设点的坐标为，， 因为点到焦点距离为， 所以，则（正值舍去）， 将点代入，得，解得. 故选：C. 14．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴上，抛物线上一点到焦点距离为6，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意设抛物线方程为，根据抛物线定义求出的值即可. 【详解】∵抛物线的顶点在原点，对称轴为轴上，点在抛物线上， ∴抛物线的开口向左，所以设抛物线方程为， ∴抛物线的准线方程为， ∵抛物线上一点到焦点距离为6，且点到焦点距离与到准线的距离相等， ∴，解得， ∴抛物线方程为， 故选：B. 15．已知点为抛物线上的一点，且抛物线的准线方程为，则m的值为（   ） A．4 B．4或 C．2 D．2或 【答案】B 【分析】首先根据准线方程求出抛物线的标准方程，再将点P代入求解即可. 【详解】由题意可知抛物线的准线方程为．所以， 则抛物线的标准方程为，将代入，解得或． 故选：B. 16．垂直于轴的直线交抛物线于两点，且，则该抛物线的焦点到直线的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先根据直线垂直于轴，以及交抛物线的弦长，得到交点坐标和直线方程，结合抛物线方程得到焦点坐标和准线方程，即可求解. 【详解】因为直线垂直于轴，交抛物线于两点，且， 所以， 代入抛物线，即，故直线为， 抛物线的焦点为，准线为， 即抛物线的焦点到直线的距离是， 故选：D 17．过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，若以为直径的圆与直线相切，则拋物线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，结合圆的性质即可求解. 【详解】设， 由抛物线可知准线方程为， 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离， 点A到准线的距离， 点B到准线的距离， 所以， 以AB为直径的圆的圆心横坐标为， 因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即， 所以拋物线的方程是， 故选：C 二、填空题 18．顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，过的抛物线方程为 . 【答案】 【分析】根据题意设抛物线的方程，将点代入方程求出值即可. 【详解】设抛物线的方程为， 将点代入得： ，解得， 所以抛物线方程为：. 故答案为：. 19．已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上且到x轴的距离为3，则 . 【答案】5 【分析】根据题设可得、，再由抛物线定义求结果. 【解析】由题设，则，而， 根据抛物线的定义知，. 故答案为：5. 20．如图，吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一段，宽，高，根据图中的坐标系，可得这条抛物线的准线方程为 ． 【答案】 【分析】设抛物线标准方程为，再根据题意将抛物线上的点代入，求出的值，即可确定准线方程. 【详解】由题意可知，抛物线开口向上，对称轴为轴， 设抛物线标准方程为， 由鱼腹部分宽，高可得， 将点代入得，解得， 所以准线方程为， 故答案为：. 21．已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为 . 【答案】5 【解析】由题意，抛物线的准线为，焦点坐标为， 过点向准线作垂线，垂足为，则， 当共线时，和最小；过点向准线作垂线，垂足为， 则，所以最小值为5， 故答案为：5. 三、解答题 22．已知抛物线的顶点为原点，焦点为，准线方程为，在抛物线上有一点到抛物线焦点的距离，求点的坐标． 【答案】或 【分析】根据抛物线的准线方程，抛物线的定义即可求解. 【详解】因为抛物线的准线方程为，所以该抛物线的焦点在轴上，且，得， 故抛物线的方程为． 设，因为，且与点到准线的距离相等， 所以，则，所以点的坐标为或． 23．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上. （1）求点的坐标和抛物线的准线方程； （2）过点的直线与抛物线交于两个不同点，若的中点为，求的面积. 【答案】（1），；（2） 【解析】解：（1）∵在抛物线上，， ∴点的坐标为，抛物线的准线方程为； （2）设 的坐标分别为，则， 由和可得， ∴直线的方程为 ， 点到直线的距离， . 24．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，抛物线上一点到焦点的距离为3. (1)求抛物线C的标准方程； (2)过抛物线C的焦点作直线与抛物线C交于M、N两点，若直线l的斜率为，求弦长； (3)在（）的条件下，求（为坐标原点）的面积. 【答案】(1). (2). (3). 【分析】（）根据题意设出抛物线方程，结合抛物线定义列出方程求出值即可得解. （）根据题意求出抛物线焦点坐标，结合直线的点斜式方程求出直线方程，联立方程组利用韦达定理及弦长公式即可得解. （）根据点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上， 设抛物线的标准方程为， 其准线方程为， 因为点到焦点的距离为3，则点到准线的距离为3，即，解得， 所以抛物线C的标准方程为. （2）由（）知抛物线的焦点， 因为直线过焦点且斜率为，所以直线方程为， 联立方程组得， 设，， 所以，，则， 弦长. （3）因为直线方程为， 所以原点到直线的距离为， 因为， 所以. 1．（2021年·河南对口升学高考第22题）已知抛物线经过点，，，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为抛物线经过点，， 所以分别带入点，得， ①， ②， 两式相减得：， 因为，所以两边同时消去， 得：，即：，故得证. 2．（2019年·河南对口升学高考第7题）抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】抛物线的焦点坐标为：，准线方程为：， 所以焦点到准线的距离为：4， 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $