专题24 抛物线（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题24 抛物线 【复习目标】 1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程和图像性质. 2. 会用抛物线的定义和性质解决问题. 【考点1 抛物线的定义及标准方程】 1. 抛物线的定义 (1)抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． (2)抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 2. 抛物线的标准方程 开口向右：（） 开口向左：（） 开口向上：（） 开口向下：（） 【即时训练】 1．若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，即可得解. 【解析】因为点到直线和它到点的距离相等， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 设其方程为，则，可得， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 2．已知抛物线：上一点到其焦点的距离等于，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可知，， 故选：C. 3．已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（ ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】C 【解析】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6， 所以点M到y轴的距离为. 故选：C． 4．抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将抛物线化成标准方程求出值即可得解. 【详解】抛物线，所以， 所以焦点到准线的距离是， 故选：. 5．已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由抛物线C：可得，则准线方程为， 于是，解得． 故选：B． 6．若抛物线上的一点A到焦点的距离为2，则点A的纵坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将抛物线方程标准化，可得其准线方程 ，运用抛物线的定义转化求解即可. 【解析】将标准化为，所以抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离. 如图所示， 所以，解得. 故选：C. 7．已知抛物线的焦点为F，点M在C上，若M到直线的距离为6，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据抛物线方程求出准线方程，结合抛物线定义求解即可. 【详解】由抛物线可得，则准线方程为， 又因为准线到直线的距离为1，M到直线的距离为6， 所以点M到准线的距离为， 由抛物线定义可知，M到焦点的距离为：． 故选：B. 8．抛物线上有两个点，焦点，已知，则线段的中点到轴的距离是（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即可求出线段中点的横坐标，即得到答案. 【解析】由已知可得抛物线的准线方程为， 设点的坐标分别为和， 由抛物线的定义得，即， 线段中点的横坐标为， 故线段的中点到轴的距离是. 故选：. 9．如图所示，已知抛物线上的动点到抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义将的最小值转化为焦点到直线的距离，即可求解. 【详解】 因为抛物线方程为， 所以焦点，准线方程为 ， 根据抛物线的定义， 其最小值为焦点到直线的距离， 即， 所以的最小值是. 故选：A. 10．已知抛物线上的点到的距离等于到直线的距离，求抛物线的标准方程. 【答案】 【解析】解：由题意抛物线的焦点，准线方程是，，， 所以的标准方程为：. 【考点2 抛物线的性质】 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 【即时训练】 1．抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线的标准方程可求解. 【解析】由，可知抛物线的焦点在的正半轴上，又，所以， 所以抛物线的准线方程为. 故选：B. 2．抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得，且抛物线的开口向下， 故焦点坐标为，故焦点坐标为， 故选：D. 3．抛物线的对称轴是直线（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为抛物线：，所以其关于轴对称， 即对称轴为直线， 故选：D． 4．已知抛物线经过点，则的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出，进而求出焦点坐标. 【解析】依题意，，解得， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：B. 5．关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 【答案】A 【解析】对选项A，，开口向左，故A正确； 对选项B，，焦点为，故B错误； 对选项C，，准线方程为，故C错误； 对选项D，，对称轴为轴，故D错误. 故选：A. 6．抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】抛物线的焦点坐标为：，准线方程为：， 所以焦点到准线的距离为：4， 故选：C. 7．下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛物线的开口朝下，说明其焦点在轴的负半轴上， 则其满足标准方程 ，又焦点到准线的距离， 所以该抛物线的标准方程为， 故选：B. 8．对抛物线，下列描述正确的是（ ） A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 【答案】A 【解析】抛物线方程，化成标准方程形式， 可得其开口向上，焦点坐标为， 故选：A. 9．若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得出关于的等式，即可得解. 【解析】对于抛物线，，可得，，故该抛物线的焦点为， 由题意可知，椭圆的右焦点为，则，解得， 故选：B. 10．已知抛物线（）的焦点F与双曲线的一个焦点重合. （1）求抛物线C的方程； （2）过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，求线段的中点M到准线的距离. 【答案】(1) (2)3 【解析】解：(1)∵双曲线的焦点坐标为， 又抛物线（）的焦点， ∴，即. ∴抛物线C的方程为. (2)设，，由抛物线定义， 知， ∴，于是线段的中点M的横坐标是1， 又准线方程是， ∴点M到准线的距离等于. 1．（2021年·河南对口升学高考第22题）已知抛物线经过点，，，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为抛物线经过点，， 所以分别带入点，得， ①， ②， 两式相减得：， 因为，所以两边同时消去， 得：，即：，故得证. 2．（2019年·河南对口升学高考第7题）抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】抛物线的焦点坐标为：，准线方程为：， 所以焦点到准线的距离为：4， 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题24 抛物线 【复习目标】 1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程和图像性质. 2. 会用抛物线的定义和性质解决问题. 【考点1 抛物线的定义及标准方程】 1. 抛物线的定义 (1)抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． (2)抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 2. 抛物线的标准方程 开口向右：（） 开口向左：（） 开口向上：（） 开口向下：（） 【即时训练】 1．若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知抛物线：上一点到其焦点的距离等于，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（ ） A．6 B．5 C．4 D． 4．抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A．1 B． C． D． 5．已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 6．若抛物线上的一点A到焦点的距离为2，则点A的纵坐标是（ ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为F，点M在C上，若M到直线的距离为6，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．抛物线上有两个点，焦点，已知，则线段的中点到轴的距离是（ ） A．1 B． C．2 D． 9．如图所示，已知抛物线上的动点到抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 10．已知抛物线上的点到的距离等于到直线的距离，求抛物线的标准方程. 【考点2 抛物线的性质】 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 【即时训练】 1．抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． D． 2．抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 3．抛物线的对称轴是直线（ ） A． B． C． D． 4．已知抛物线经过点，则的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 5．关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 6．抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 7．下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（ ） A． B． C． D． 8．对抛物线，下列描述正确的是（ ） A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 9．若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（ ） A． B． C． D． 10．已知抛物线（）的焦点F与双曲线的一个焦点重合. （1）求抛物线C的方程； （2）过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，求线段的中点M到准线的距离. 1．（2021年·河南对口升学高考第22题）已知抛物线经过点，，，求证：. 2．（2019年·河南对口升学高考第7题）抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $