专题23 双曲线（练习）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题23 双曲线 一、选择题 1．已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上的一点，，则（  ） A． B． C．或 D．或 2．已知双曲线的离心率为3，焦点为和，则该双曲线的方程为（  ） A． B． C． D． 3．已知焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（  ） A． B． C．2 D． 4．关于双曲线，下列说法错误的是（  ） A．虚轴长为 B．顶点坐标为 C．离心率为 D．焦点坐标为 5．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 6．双曲线的实轴长是 . 7．已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为 . 8．焦点在y轴上，焦距等于12，实轴长为6的双曲线的标准方程是 . 9．曲线是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为 . 三、解答题 10．已知双曲线：，求双曲线的实轴长、虚轴长、顶点、焦点、离心率、渐近线方程. 11．已知双曲线的离心率是双曲线的两个焦点，且 (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线渐近线方程. 12．双曲线的右焦点为，若双曲线的一条渐近线方程为且，求双曲线的方程． 一、选择题 13．已知双曲线的离心率，且该双曲线的顶点是椭圆的焦点，则双曲线C的标准方程为（  ） A． B． C． D． 14．已知离心率为3的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（  ） A．13 B．21 C．29 D．31 15．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则实数m的值为（  ） A． B． C． D． 16．已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则下列说法不正确的是（  ） A．的离心率为 B．的标准方程为 C．的渐近线方程为 D．直线经过的一个焦点 17．已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 18．已知双曲线的离心率为，则 . 19．过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是 . 20．设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 21．已知双曲线（，），，是左、右两个焦点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为 ． 三、解答题 22．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，，焦点在x轴上； (2)焦点为，，且； (3)，． 23．已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上. （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 24．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，，且过点 (1)求双曲线的方程； (2)求的面积. 1．（2025年·河南对口升学高考第16题）已知双曲线的渐近线方程是，则_________. 2．（2023年·河南对口升学高考第19题）若方程表示双曲线，求m的取值范围． 3．（2023年·河南对口升学高考第21题）已知点在双曲线上，求点P到双曲线右焦点的距离． 4．（2020年·河南对口升学高考第8题）双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5．（2019年·河南对口升学高考第20题）已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，求双曲线的标准方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题23 双曲线 一、选择题 1．已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上的一点，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】首先由双曲线的标准方程得出的值，再根据双曲线的定义求值即可. 【详解】由双曲线可得，， 因为点是双曲线上的一点，则， 则，解得或， 故选：C. 2．已知双曲线的离心率为3，焦点为和，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合焦点坐标和离心率，可确定焦点的位置，并求得c和a的值，继而求得，即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为3，焦点为和， 所以，且焦点在轴上， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 3．已知焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合双曲线的渐近线方程可得，结合之间的关系，即可化简求解. 【详解】因为焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为， 所以，所以， 解得. 故选：D. 4．关于双曲线，下列说法错误的是（    ） A．虚轴长为 B．顶点坐标为 C．离心率为 D．焦点坐标为 【答案】D 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程，即可确定焦点位置，求出的值，继而求得虚轴长、顶点坐标、离心率、焦点坐标，即可判断求解. 【详解】因为双曲线， 所以焦点坐标在轴上，且， 所以， 所以， 所以虚轴长，故选项A正确，不符合题意； 所以顶点坐标为，故选B正确，不符合题意； 所以离心率，故选项C正确，不符合题意； 所以焦点坐标为，故选项D错误，符合题意； 故选：D. 5．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线标准方程的特点列出不等式即可得解. 【详解】因为方程表示双曲线， 则，解得， 所以的取值范围是， 故选：． 二、填空题 6．双曲线的实轴长是 【答案】 【分析】根据双曲线标准方程得到，即可求实轴长. 【详解】因为， 则，，； 故答案为：. 7．已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据已知条件求得，从而求得双曲线的标准方程. 【解析】依题意，，所以， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 8．焦点在y轴上，焦距等于12，实轴长为6的双曲线的标准方程是 . 【答案】 【分析】根据双曲线的性质，结合焦点位置、实轴长和焦距求出、的值，进而得到双曲线的标准方程. 【详解】已知双曲线实轴长是，因为实轴长为，所以，解得， 已知双曲线焦距等于12，因为焦距为，所以，解得， 所以， 因为双曲线焦点在轴上，其标准方程为（，）， 代入可得， 故答案为：. 9．曲线是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据焦点在轴上的双曲线的标准方程的特征得到不等式组，即可得解. 【解析】方程，表示焦点在轴上的双曲线， ， ． 故答案为： 三、解答题 10．已知双曲线：，求双曲线的实轴长、虚轴长、顶点、焦点、离心率、渐近线方程. 【答案】，，，，，. 【分析】利用双曲线的方程求得，再利用双曲线的性质进行求解即可. 【详解】， 双曲线的标准方程为：， 由双曲线的标准方程可知，焦点在轴，， 则， 故实轴长为，虚轴长为， 顶点为，焦点为 离心率为，渐近线方程为： 故答案为：，，，，，. 11．已知双曲线的离心率是双曲线的两个焦点，且 (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线渐近线方程. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据双曲线的离心率和焦点坐标求方程； （2）根据双曲线的渐近线方程进行求解. 【解析】解：（1）由题意，且，解得， 所以双曲线的标准方程为 （2），焦点在轴上， 故渐近线方程为 12．双曲线的右焦点为，若双曲线的一条渐近线方程为且，求双曲线的方程． 【答案】 【分析】由条件列出方程组求出，即可得出双曲线方程． 【解析】解：∵双曲线的右焦点为， 双曲线的一条渐近线方程为且， ∴且，而，∴， ∴所求双曲线方程为． 一、选择题 13．已知双曲线的离心率，且该双曲线的顶点是椭圆的焦点，则双曲线C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由椭圆的标准方程求出椭圆焦点，即双曲线的顶点，再结合离心率求出，即可写出方程. 【详解】双曲线的焦点在轴上， 又该双曲线的顶点是椭圆的焦点， 椭圆的焦点坐标为，即， 所以该双曲线的顶点坐标为，即， 又双曲线的离心率，所以， 所以双曲线C的标准方程为. 故选：C. 14．已知离心率为3的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（   ） A．13 B．21 C．29 D．31 【答案】C 【分析】由双曲线离心率为3可得，根据双曲线与椭圆焦点相同，得，求解可得. 【解析】由题意解得，所以． 故选：C． 15．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出两双曲线的渐近线方程，利用双曲线有相同的渐近线列方程求解即可. 【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程为． 对于双曲线，所以，解得， 所以双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为， 结合题意知，解得． 故选：B. 16．已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则下列说法不正确的是（   ） A．的离心率为 B．的标准方程为 C．的渐近线方程为 D．直线经过的一个焦点 【答案】C 【解析】由题意得：双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，即， 则，解得：，则，解得：， 所以的离心率为，A正确； 的标准方程为，B正确； 的渐近线方程为，C错误； 在直线上，故经过的一个焦点，D正确. 故选：C. 17．已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再根据向量数量积公式化简，结合点在双曲线上，可得最值. 【解析】设，且，即， 又直线过原点，且双曲线关于坐标原点对称， 可得与关于坐标原点对称， 则， 所以，， 即， 又， 即的最小值为， 故选：B. 二、填空题 18．已知双曲线的离心率为，则 【答案】4 【分析】根据双曲线方程得到的值，再根据离心率公式列方程求解即可. 【详解】易知双曲线方程中， ，，则， 且由，可得， 离心率， 解得：. 故答案为：. 19．过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是 . 【答案】24 【解析】由双曲线定义知：， 所以，， 而，故， 故的周长为， 故答案为：24. 20．设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 【答案】1 【分析】根据题意结合双曲线对于可得，，结合勾股定理可得，即可得面积. 【解析】由双曲线方程可得， 不妨设，则，， 若，则，可得， 即，则， 所以的面积为. 故答案为：1. 21．已知双曲线（，），，是左、右两个焦点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】由题意知是底角为的等腰三角形，再由等腰三角形的性质求出，再由双曲线的定义得出的关系，确定离心率即可. 【详解】由， 可知是底角为的等腰三角形， 则， 所以， 由双曲线定义，得， 即，所以离心率． 故答案为：. 三、解答题 22．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，，焦点在x轴上； (2)焦点为，，且； (3)，． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【分析】（1）求得，由此求得双曲线的标准方程. （2）求得，由此求得双曲线的标准方程. （3）根据双曲线焦点所在坐标轴进行分类讨论，由此求得双曲线的标准方程. 【解析】解：（1）， 双曲线的焦点在轴上， 所以双曲线的标准方程为 （2）， 双曲线的焦点在轴上， 所以双曲线的标准方程为 （3）当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为， 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为. 23．已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上. （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 【答案】(1)；(2)-4 【解析】解：（1）依题又， 所以，， 故双曲线的方程为. （2）由已知得，，设， 于是，， 因此， 由于，所以当时，取得最小值，为. 24．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，，且过点 (1)求双曲线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）利用双曲线参数关系及点在双曲线上列方程求，即得方程. （2）根据所得双曲线方程确定，且到轴距离为，结合三角形面积公式求面积即可. 【详解】（1）由且，则， 又点在双曲线上，则，解得， 所以， 即双曲线的方程为. （2）根据题意作出图像，因为，所以， ，而到轴距离为， 所以的面积为. 1．（2025年·河南对口升学高考第16题）已知双曲线的渐近线方程是，则_________. 【答案】 【分析】由双曲线方程可知，其焦点在轴，根据焦点在轴的渐近线方程，代入求解即可. 【详解】对于双曲线，其渐近线方程为， 已知渐近线方程是，所以. 故答案为：. 2．（2023年·河南对口升学高考第19题）若方程表示双曲线，求m的取值范围． 【答案】 【分析】由双曲线方程的结构特征列关于的一元二次不等式求解即可. 【解析】根据题意得 解得 所以m的取值范围是. 3．（2023年·河南对口升学高考第21题）已知点在双曲线上，求点P到双曲线右焦点的距离． 【答案】6或14 【分析】根据双曲线的定义和两点距离公式求解即可. 【解析】根据题意在抛物线上可得 即, 所以或, 即点P的坐标为或, 又因为双曲线的右焦点为, 所以或. 4．（2020年·河南对口升学高考第8题）双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由双曲线的标准方程知：，， 焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为：， 所以该双曲线的渐近线方程为：， 故选：D. 5．（2019年·河南对口升学高考第20题）已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，求双曲线的标准方程. 【答案】 【解析】解：椭圆方程可化简为：，， 设双曲线的标准方程为：，因为双曲线经过点， 所以把该点带入双曲线方程得：，又因为， 联立可解得或（舍），， 所以双曲线的标准方程为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $