专题23 双曲线（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题23 双曲线 【复习目标】 1. 理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程和图像性质. 2. 会用双曲线的性质解决问题. . 【考点1 双曲线的定义及标准方程】 1. 双曲线的定义 （1）定义 一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. （2）集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. （3）说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. ①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; ②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 2. 双曲线的标准方程 焦点在轴上：（）；焦点在轴上：（） 【即时训练】 1．双曲线上一点到该双曲线的一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】根据双曲线定义直接可得解. 【解析】由已知双曲线，可知，， 设双曲线的两焦点分别为，， 不妨设， 则, 解得或， 又双曲线上的点到焦点的距离， 所以， 故选：A. 2．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程，根据双曲线定义得到，得到，求出双曲线方程. 【解析】由题意得：双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为， ，故，又， 故， 故双曲线的标准方程为：. 故选：C. 3．已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用特例法、双曲线的定义以及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【解析】若，则，此时，点的轨迹是线段的垂直平分线， 所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”； 若动点的轨迹是双曲线，则为定值， 所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”. 因此，“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的必要不充分条件. 故选：B. 4．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆方程可得其顶点与焦点，结合双曲线标准方程，可得答案. 【解析】由椭圆，则左右顶点分别为与， 由，则左右焦点分别为与， 设双曲线方程为，则，，解得， 所以可得. 故选：B. 5．已知动点满足，则动点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的左支 D．双曲线的右支 【答案】D 【分析】根据所给式子，满足双曲线线的定义，且为双曲线的右支，即可得解. 【解析】表示： 动点到两定点，的距离之差等于2， 而，由双曲线的定义，知动点的轨迹是双曲线的右支． 故选：D. 6．曲线：，则“”是“曲线表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要性的定义，结合曲线方程及双曲线方程的特征判断条件间的推出关系，即可得答案. 【解析】当时，显然，即曲线表示双曲线，充分性成立； 而时，，此时也是双曲线，必要性不成立； 所以“”是“曲线表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 7．与椭圆共焦点且过的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程可得焦点坐标，设双曲线方程为，根据题意列式求解即可. 【解析】由椭圆方程可知，即焦点坐标为， 设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线方程为. 故选：C. 8．在双曲线的标准方程中，若，则其标准方程是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】双曲线的标准方程有两种情形，一是焦点在x轴，另一种焦点在y轴，根据a与b写出标准方程即可． 【解析】在双曲线的标准方程中，， 当双曲线的焦点在x轴上时，它的标准方程是； 当双曲线的焦点在y轴上时，它的标准方程是. 所以双曲线标准方程是或. 故选：D. 9．双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线上，若，则 . 【答案】6 【解析】由双曲线方程得，由双曲线定义得， 故答案为：6． 10．已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线上一点到的距离之差的绝对值等于，求该双曲线的标准方程． 【答案】 【分析】设标准方程为，由题意可得再结合即可求出，得到双曲线的标准方程． 【解析】解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为， 因为，所以，又因为，所以， 故双曲线的标准方程为：. 【考点2 双曲线的性质】 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， 间的关系 【即时训练】 1．双曲线的焦距是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】由双曲线的标准方程求得，进而得解. 【详解】对于双曲线，有， 所以，则， 故双曲线的焦距为. 故选：C. 2．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的标准方程和渐近线方程即可得解. 【详解】对于双曲线（）， 其渐近线方程的公式为， 双曲线1中，， 因为，所以， 将代入渐近线方程公式， 可得渐近线方程为. 故选：B. 3．若双曲线的一个焦点为，则（   ） A． B． C． D．8 【答案】D 【分析】根据的关系计算可解． 【解析】因为双曲线的一个焦点为， 所以，所以，解得． 故选：D． 4．已知双曲线的离心率为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的离心率公式可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【解析】因为双曲线的离心率为， 则，且，解得. 故选：A. 5．已知双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件求出的值，根据双曲线中的关系求出的值，利用双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】由题意可知，则， 所以，即， 所以离心率． 故选：A. 6．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据双曲线的渐近线方程即可计算. 【解析】由题设知，，解得. 故选：A. 7．已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离心率求出，再根据双曲线的渐近线方程即可得解. 【解析】设双曲线的方程为， 因为，所以，则， 所以渐近线方程为. 故选：C. 8．双曲线与有相同的（   ） A．离心率 B．渐近线 C．实轴长 D．焦点 【答案】D 【解析】对于双曲线可得：焦点在轴上，, 则离心率，渐近线，实轴长，焦点， 对于双曲线可得：焦点在轴上，， 则离心率，渐近线，实轴长，焦点 ∴ABC错误，D正确， 故选：D． 9．已知双曲线的焦距为，点在的一条渐近线上，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为焦距为，故半焦距为，故， 因为在一条渐近线上，故，解得， 故双曲线方程为：， 故选：B. 10．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，离心率为，两顶点间的距离为6； (2)以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的标准方程. （2）根据椭圆的焦点和顶点，求得双曲线的，从而求得双曲线的标准方程. 【解析】解：（1）设双曲线的方程为. 由，，得，，， 所以双曲线的方程为. （2）由题意可知，双曲线的焦点在轴上. 设双曲线的方程为，则，，， 所以双曲线的方程为. 1．（2025年·河南对口升学高考第16题）已知双曲线的渐近线方程是，则_________. 【答案】 【分析】由双曲线方程可知，其焦点在轴，根据焦点在轴的渐近线方程，代入求解即可. 【详解】对于双曲线，其渐近线方程为， 已知渐近线方程是，所以. 故答案为：. 2．（2023年·河南对口升学高考第19题）若方程表示双曲线，求m的取值范围． 【答案】 【分析】由双曲线方程的结构特征列关于的一元二次不等式求解即可. 【解析】根据题意得 解得 所以m的取值范围是. 3．（2023年·河南对口升学高考第21题）已知点在双曲线上，求点P到双曲线右焦点的距离． 【答案】6或14 【分析】根据双曲线的定义和两点距离公式求解即可. 【解析】根据题意在抛物线上可得 即, 所以或, 即点P的坐标为或, 又因为双曲线的右焦点为, 所以或. 4．（2020年·河南对口升学高考第8题）双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由双曲线的标准方程知：，， 焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为：， 所以该双曲线的渐近线方程为：，故选：D. 5．（2019年·河南对口升学高考第20题）已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，求双曲线的标准方程. 【答案】 【解析】解：椭圆方程可化简为：，， 设双曲线的标准方程为：，因为双曲线经过点， 所以把该点带入双曲线方程得：，又因为， 联立可解得或（舍），， 所以双曲线的标准方程为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题23 双曲线 【复习目标】 1. 理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程和图像性质. 2. 会用双曲线的性质解决问题. . 【考点1 双曲线的定义及标准方程】 1. 双曲线的定义 （1）定义 一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. （2）集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. （3）说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. ①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; ②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 2. 双曲线的标准方程 焦点在轴上：（）；焦点在轴上：（） 【即时训练】 1．双曲线上一点到该双曲线的一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离是（   ） A． B． C．， D．， 2．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知动点满足，则动点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的左支 D．双曲线的右支 6．曲线：，则“”是“曲线表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．与椭圆共焦点且过的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 8．在双曲线的标准方程中，若，则其标准方程是（   ） A． B． C． D．或 9．双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线上，若，则 . 10．已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线上一点到的距离之差的绝对值等于，求该双曲线的标准方程． 【考点2 双曲线的性质】 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， 间的关系 【即时训练】 1．双曲线的焦距是（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 2．双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．若双曲线的一个焦点为，则（   ） A． B． C． D．8 4．已知双曲线的离心率为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（   ） A． B． C． D．3 7．已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 8．双曲线与有相同的（   ） A．离心率 B．渐近线 C．实轴长 D．焦点 9．已知双曲线的焦距为，点在的一条渐近线上，则的方程为（   ） A． B． C． D． 10．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，离心率为，两顶点间的距离为6； (2)以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点. 1．（2025年·河南对口升学高考第16题）已知双曲线的渐近线方程是，则_________. 2．（2023年·河南对口升学高考第19题）若方程表示双曲线，求m的取值范围． 3．（2023年·河南对口升学高考第21题）已知点在双曲线上，求点P到双曲线右焦点的距离． 4．（2020年·河南对口升学高考第8题）双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5．（2019年·河南对口升学高考第20题）已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，求双曲线的标准方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $