专题22 椭圆（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题22 椭圆 【复习目标】 1. 理解椭圆的定义，掌握椭圆标准方程及各个参数的求法. 2. 熟练掌握椭圆的性质，并会用椭圆的性质解决问题. 【考点1 椭圆的定义及方程】 1. 椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 2. 椭圆的标准方程： 焦点在轴上：（）；焦点在轴上：（） 【即时训练】 1．已知焦点在y轴上的椭圆C的长轴长为6，焦距为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．9 3．已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的焦点在轴上，短轴长为6，离心率为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A．（－3，1） B．（－3，5） C．（4，5） D． 7．求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（ ） A． B． C．或 D． 8．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 9．椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的倍，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 10．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，离心率为； (2)一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为6，2. 【考点2 椭圆的性质】 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 【即时训练】 1．椭圆的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 2．椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．已知椭圆，则椭圆的短轴长为（ ） A． B． C．2 D．4 4．已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是（ ） A． B．或 C．或 D．或 5．已知椭圆的短轴长为4，则（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．椭圆的一个焦点是，则的值是（ ） A． B．2 C．3 D．4 7．设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点为，，上、下顶点分别，，若四边形为正方形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．若椭圆的焦距为6，则k的值为 . 10．已知椭圆C：（）的右顶点为，且为其上一点，求椭圆C的方程及离心率. 1．（2026年·河南对口升学高考第20题）椭圆的长轴端点到两焦点的距离分别为16，4，求椭圆标准方程，长轴长、离心率。 2．（2025年·河南对口升学高考第9题）若方程表示椭圆，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 3．（2024年·河南对口升学高考第16题）已知椭圆的离心率，则_________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题22 椭圆 【复习目标】 1. 理解椭圆的定义，掌握椭圆标准方程及各个参数的求法. 2. 熟练掌握椭圆的性质，并会用椭圆的性质解决问题. 【考点1 椭圆的定义及方程】 1. 椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 2. 椭圆的标准方程： 焦点在轴上：（）；焦点在轴上：（） 【即时训练】 1．已知焦点在y轴上的椭圆C的长轴长为6，焦距为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为，又由已知得，根据的关系可求得椭圆的标准方程. 【详解】由题意，焦点在y轴上的椭圆C的标准方程可设为， 因为，所以， 所以椭圆C的标准方程为． 故选：A. 2．P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．9 【答案】A 【解析】对椭圆方程变形得， 易知椭圆长半轴的长为4，由椭圆的定义可得， 又，故， 故选：A. 3．已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】将代入椭圆的方程求得，然后由椭圆的定义得出结果. 【详解】将代入椭圆的方程，得， 所以椭圆的焦点在轴上，且，则. 故选：B. 4．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为焦点坐标为和，所以. 椭圆经过点，且焦点在x轴上，所以， 所以，则椭圆的标准方程为. 故选：A. 5．已知椭圆的焦点在轴上，短轴长为6，离心率为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆的短轴长可求解b的值，再由椭圆的离心率可得a与c的关系，再由椭圆中的关系即可求解. 【详解】因为椭圆的短轴长为6，即， 又椭圆的离心率为，即， 又因为在椭圆中，所以， 解得，又椭圆焦点在轴上， 故椭圆的标准方程为． 故选：B. 6．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A．（－3，1） B．（－3，5） C．（4，5） D． 【答案】 【解析】由题设，，可得， 故选：A. 7．求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（ ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分析可知，，对椭圆的焦点位置进行分类讨论，将点的坐标代入椭圆方程，求出的值，即可得出椭圆的标准方程. 【解析】由题意可知，， 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为， 将点的坐标代入椭圆方程可得，解得， 此时，椭圆的标准方程为； 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为， 将点的坐标代入椭圆方程可得，解得， 此时，椭圆的标准方程为. 综上所述，椭圆的标准方程为或. 故选：C. 8．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的离心率和面积公式即可求解. 【详解】因为焦点，在轴上， 设椭圆方程为， 由题意可知，椭圆的面积， 离心率，又因为， 所以， 所以椭圆方程为：， 故选：D 9．椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的倍，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】当椭圆的焦点在轴上时，由题意过点，故，，椭圆方程为， 当椭圆的焦点在轴上时，，，椭圆方程为， 故选：C. 10．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，离心率为； (2)一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为6，2. 【答案】(1)； (2)或. 【解析】解：(1)由题设，，则，， 又焦点为， 所以椭圆标准方程为. (2)由题设，，则，故， 所以椭圆标准方程为或. 【考点2 椭圆的性质】 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 【即时训练】 1．椭圆的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆的标准方程可知：，，，， 焦点在Y轴上，所以椭圆的焦点坐标为， 故选：C. 2．椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知椭圆中，，，， 故离心率， 故选：A． 3．已知椭圆，则椭圆的短轴长为（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据椭圆标准方程直接求解即可. 【解析】由题意，椭圆,, 所以,故短轴长为. 故选：B. 4．已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是（ ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】因为椭圆的焦距是2，所以， 当椭圆焦点在轴上，，所以， 当椭圆焦点在轴上，，所以，故A，C，D错误. 故选：B. 5．已知椭圆的短轴长为4，则（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据短轴长求得，讨论大小及椭圆定义求参数. 【解析】由的短轴长为4，得，即，则， 若，则，显然矛盾； 若，则． 经验证，当时，椭圆的短轴长为4， 故选：B. 6．椭圆的一个焦点是，则的值是（ ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】椭圆的一个焦点是，焦点在轴上， ，，，． 故选：B. 7．设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数关系得到，，由椭圆定义得到方程，求出离心率. 【解析】因为P是C上的点，且，， 所以，， 又， 故，解得. 故选：D 8．已知椭圆的左、右焦点为，，上、下顶点分别，，若四边形为正方形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据椭圆的性质得出四边形各顶点的坐标，再结合正方形的性质得到、、的关系，最后根据椭圆离心率公式求解离心率. 【详解】因为椭圆， 所以，，其中，，， 因为四边形为正方形，所以（为坐标原点）， 可得，，则， 又，得到， 即离心率. 故选：B. 9．若椭圆的焦距为6，则k的值为 . 【答案】31或49 【解析】因为椭圆的焦距为6，所以c＝3． 当椭圆的焦点在x轴上时，因为，，所以，解得k＝31； 当椭圆的焦点在y轴上时，因为，，所以，解得k＝49． 综上所述，k的值为31或49． 故答案为：31或49 10．已知椭圆C：（）的右顶点为，且为其上一点，求椭圆C的方程及离心率. 【答案】，； 【解析】解：由题设，， 又在椭圆上，则，可得， 所以椭圆C的方程， 故离心率为. 1．（2026年·河南对口升学高考第20题）椭圆的长轴端点到两焦点的距离分别为16，4，求椭圆标准方程，长轴长、离心率。 【答案】答案见解析 【解析】椭圆上长轴端点到两焦点的距离分别为16，4 所以长轴端点到两焦点距离：a+c=16，a-c=4，解得a=10，c=6 标准方程： (焦点在x轴)或 (焦点在y轴) 长轴长：2a=20 离心率： ． 2．（2025年·河南对口升学高考第9题）若方程表示椭圆，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程，即可列式求解. 【详解】因为方程表示椭圆， 所以须满足，即， 解得且， 故选：D. 3．（2024年·河南对口升学高考第16题）已知椭圆的离心率，则_________． 【答案】3或 【分析】分析椭圆焦点在轴或者轴上的情况，再根据离心率计算. 【解析】椭圆方程为，焦点可能在轴或者轴上. 当焦点在轴上时，，则，， 则离心率，则，得到，. 当焦点在轴上，，此时，，. 则离心率，则，即，故，得到. 故答案为：3或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $