专题21 直线与圆的位置关系（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题21 直线与圆的位置关系 【复习目标】 1. 理解直线与圆及圆与圆的位置关系，并掌握其判断方法. 2. 掌握弦长公式，并会求弦长. 【考点1 直线与圆的位置关系】 1. 直线与圆的位置关系 位置关系 图示 公共点个数 几何特征 代数特征(解的个数) 相离 0 d>r 无实数解 相切 1 d＝r 两组相同实数解 相交 2 d<r　 两组不同实数解 2. 计算直线被圆截得的弦长为的方法： ①求弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 【即时训练】 1．若直线 与圆 相切，则 的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求解. 【详解】圆，圆心为，半径， 直线 与圆 相切， 所以圆心到直线距离 ， 得 ． 故选：B. 2．直线与圆相切，则（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】由直线与圆的相切关系，列出式子解得答案. 【详解】圆的圆心为，半径, 由于直线与圆相切， 所以可得， 解得或， 故选：B. 3．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】B 【分析】由圆心到直线的距离与半径比较即可得出结论. 【详解】易知圆的圆心坐标为，半径为1． 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离． 故选：B． 4．直线被圆截得的弦长是（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标与半径，根据点到直线的距离公式及弦长公式即可得解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 直线，圆心到直线的距离为， 所以弦长为， 故选：. 5．圆上一动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若直线与圆相离，则圆上一动点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【详解】易知圆的圆心坐标为，半径． 因为圆心到直线的距离为，可得直线与圆相离， 所以圆上一动点到直线的距离的最小值为． 故选：A． 6．直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．由的取值确定 【答案】B 【分析】通过计算圆心到直线的距离，再与圆的半径比较大小，从而判断直线与圆的位置关系. 【详解】由圆，可知圆心为，半径， 因为圆心为到直线的距离： ， 所以直线与圆相切. 故选：B 7．若圆的圆心在坐标原点，且圆与直线相切，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相切的性质求出圆的半径，再根据圆心以及半径求解圆的标准方程. 【详解】坐标原点到直线的距离为， 因为圆与直线相切，所以圆的半径为. 因为圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程. 故选：B. 8．圆心为且与直线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆与直线相切的性质求出圆的半径，再结合圆的标准方程的形式来求解圆的方程. 【详解】圆心为的圆与直线相切， 则圆心到直线的距离， 即， 所以圆的标准方程为， 故选：D. 9．若直线被圆所截弦长是，则实数m的值是（   ） A．2 B．3 C．5 D．3或5 【答案】D 【分析】根据圆的标准方程，点到直线的距离公式，结合弦长公式即可求解. 【详解】把圆转化为标准方程得， 则圆心坐标为，半径，所以圆心到直线的距离， 因为弦长等于，即，解得或． 故选：D. 10．经过圆上的一点的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标，结合两点间的斜率公式及垂直关系求出切线的斜率，利用直线的点斜式方程即可得解. 【详解】圆，设圆心为，则， 则，所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 故选：. 11．直线与圆的位置关系是（ ） A．相切 B．相交但不过圆心 C．相离 D．相交且过圆心 【答案】A 【解析】求圆心到直线的距离，与圆的半径比较大小，即可得出结果. 【解析】因为的圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切. 故选：A. 12．已知圆方程为，证明：过点的圆的切线方程为. 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为点在圆上，设圆心坐标为点，点设为点， ，所以所要求的切线方程的斜率为：， 由点斜式方程可得：， 化简即得，得证. 【考点2 圆与圆的位置关系】 位置关系 图示 (R>r) 公共点个数 几何特征(O1O2＝d) 代数特征(两个圆的方程组成的方程组的解的个数) 外离 0 d>R＋r 无实数解 外切 1 d＝R＋r 两组相同实数解 相交 2 R－r<d<R＋r 两组不同实数解 内切 1 d＝R－r 两组相同实数解 内含 0 d<R－r 无实数解 【即时训练】 1．若圆：，圆：，则圆和圆的位置关系是（ ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【答案】B 【分析】先将圆的方程化为标准方程，从而得到两圆的圆心坐标和半径，再计算两圆的圆心距， 根据圆心距与两圆半径的关系判断两圆的位置关系. 【解析】圆：的圆心为，半径. 圆：， 所以圆心为，半径. 所以与 的距离为： . 因为，所以圆和圆的位置关系是外切. 故选：B. 2．圆与圆的位置关系为（ ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【解析】由与圆， 可得圆心，半径， 则， 且， 所以， 所以两圆相交， 故选：A. 3．圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为C1(－1,2)，半径为2， 圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圆心为C2(3,2)，半径为2， 两圆的圆心距|C1C2|＝4＝2＋2，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和， 故两圆外切，公切线的条数为3， 故选：C. 4． 已知点在圆上，则直线与圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】B 【解析】由题意得， 又，即直线与圆相切， 故选：B. 5．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是（ ） A． B． C． D．5 【答案】B　 【解析】由题意，知2r＝ ＝，r＝， 故选：B. 6．已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【解析】由题意得，圆圆心，半径为7； 圆，圆心，半径为4， 两圆心之间的距离为，因为， 故这两圆的位置关系是相交， 故选：B. 7．圆与圆外切，则实数_________． 【答案】9 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则, 根据题意可得：， 即，∴ 故答案为：9． 8．圆的圆心坐标为，且过点 （1）求圆的方程； （2）判断直线与圆的位置关系，说明理由.如果相交，则求弦长． 【答案】（1）；（2）直线与圆相交；. 【解析】（1）由圆心、圆上点坐标求半径，进而写出圆的方程； （2）由点线距求到直线距离，可知直线与圆相交，进而应用几何法求弦长即可. 【解析】解：（1）圆的半径． 故圆的方程为． （2）圆心到直线的距离，即， 直线与圆相交，可知弦长为． 1．（2025年·河南对口升学高考第6题）圆与直线的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相离 C. 相交且经过圆心 D. 相交且不经过圆心 【答案】C 【分析】由圆的方程先求出圆心坐标和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系，即可判断求解. 【详解】因为圆的方程为， 所以圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交且经过圆心. 故选：C. 2．（2025年·河南对口升学高考第22题）已知直线和圆，求证：直线与圆相离. 【答案】证明见解析 【分析】先确定圆心坐标和半径，计算圆心到直线距离，与圆的半径比较，确定直线与圆的关系. 【详解】将圆化为标准方程， 圆心坐标为，半径， 则圆心到直线，即距离， 因为，即，所以直线与圆相离. 3．（2024年·河南对口升学高考第15题）在平面直角坐标系中，圆与一条直线l相离，M为圆上任意一点，已知M到l的最短距离为4，则M与l的最长距离为_________． 【答案】 【分析】根据当圆与直线相离时，圆上的点到直线的最长距离为，最短距离为.根据题意代入距离求解即可. 【解析】设圆心到直线的距离为d，已知圆的半径， 则M到直线的最小距离为，最大距离为． 故答案为：. 4．（2023年·河南对口升学高考第8题）直线和圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交且过圆心 C. 相离 D. 相交但不过圆心 【答案】A 【分析】求出圆心到直线的距离，再跟半径进行比较即可判断其位置关系. 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为 ，因， 所以直线和圆相切. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题21 直线与圆的位置关系 【复习目标】 1. 理解直线与圆及圆与圆的位置关系，并掌握其判断方法. 2. 掌握弦长公式，并会求弦长. 【考点1 直线与圆的位置关系】 1. 直线与圆的位置关系 位置关系 图示 公共点个数 几何特征 代数特征(解的个数) 相离 0 d>r 无实数解 相切 1 d＝r 两组相同实数解 相交 2 d<r　 两组不同实数解 2. 计算直线被圆截得的弦长为的方法： ①求弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 【即时训练】 1．若直线 与圆 相切，则 的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．直线与圆相切，则（     ） A． B．或 C． D．或 3．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 4．直线被圆截得的弦长是（    ） A． B．1 C． D．4 5．圆上一动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．由的取值确定 7．若圆的圆心在坐标原点，且圆与直线相切，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 8．圆心为且与直线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 9．若直线被圆所截弦长是，则实数m的值是（   ） A．2 B．3 C．5 D．3或5 10．经过圆上的一点的切线方程是（   ） A． B． C． D． 11．直线与圆的位置关系是（ ） A．相切 B．相交但不过圆心 C．相离 D．相交且过圆心 12．已知圆方程为，证明：过点的圆的切线方程为. 【考点2 圆与圆的位置关系】 位置关系 图示 (R>r) 公共点个数 几何特征(O1O2＝d) 代数特征(两个圆的方程组成的方程组的解的个数) 外离 0 d>R＋r 无实数解 外切 1 d＝R＋r 两组相同实数解 相交 2 R－r<d<R＋r 两组不同实数解 内切 1 d＝R－r 两组相同实数解 内含 0 d<R－r 无实数解 【即时训练】 1．若圆：，圆：，则圆和圆的位置关系是（ ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 2．圆与圆的位置关系为（ ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 3．圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4． 已知点在圆上，则直线与圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 5．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是（ ） A． B． C． D．5 6．已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 7．圆与圆外切，则实数_________． 8．圆的圆心坐标为，且过点 （1）求圆的方程； （2）判断直线与圆的位置关系，说明理由.如果相交，则求弦长． 1．（2025年·河南对口升学高考第6题）圆与直线的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相离 C. 相交且经过圆心 D. 相交且不经过圆心 2．（2025年·河南对口升学高考第22题）已知直线和圆，求证：直线与圆相离. 3．（2024年·河南对口升学高考第15题）在平面直角坐标系中，圆与一条直线l相离，M为圆上任意一点，已知M到l的最短距离为4，则M与l的最长距离为_________． 4．（2023年·河南对口升学高考第8题）直线和圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交且过圆心 C. 相离 D. 相交但不过圆心 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $