专题20 圆（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题20 圆 【复习目标】 1. 理解圆的定义，掌握圆的标准方程和一般方程. 2. 理解点和圆的位置关系. 【考点1 圆的方程】 1. 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 2. 圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 3. 圆的一般式方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【即时训练】 1．圆的圆心坐标和半径分别为 （      ） A．， B．， C．， D．， 2．圆的面积是（    ） A． B． C． D． 3．以点为圆心，半径为1的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．圆心为且和轴相切的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 5．以点，，为直径的两个端点的圆的方程为（     ） A． B． C． D． 6．如图所示，已知圆，则（    ） A．1 B． C．2 D． 7．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的标准方程为（     ） A．(x－2)2＋(y－3)2＝16 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝16 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝16 D．(x＋2)2＋(y＋3)2＝16 8．经过三点的圆的标准方程是（     ） A． B． C． D． 9．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知圆的圆心在轴上，经过点和点，求圆的方程. 【考点2 点与圆的位置关系】 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 【即时训练】 1．下列点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 2．若点在圆外，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 3． 已知圆的方程是，则点（     ） A．在圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外 4．已知圆的标准方程是，则点（     ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不能确定 5．若点不在圆的外部，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．点与圆的位置关系为（     ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与的值有关 7．已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是（     ） A．点P在圆C内 B．点P在圆C外 C．点P在圆C上 D．无法确定 8．已知原点O在圆的外部，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为 ． 10．已知圆心在点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系． 1．（2021年·河南对口升学高考第21题）求经过点且与两坐标轴相切的圆的方程. 2．（2020年·河南对口升学高考第21题）已知圆的圆心在轴上，经过点和点，求圆的方程. 3．（2018年·河南对口升学高考第21题）求半径为1，圆心在第一象限，且分别与轴和直线相切的圆的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题20 圆 【复习目标】 1. 理解圆的定义，掌握圆的标准方程和一般方程. 2. 理解点和圆的位置关系. 【考点1 圆的方程】 1. 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 2. 圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 3. 圆的一般式方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【即时训练】 1．圆的圆心坐标和半径分别为 （      ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】首先将圆的方程进行配方转化为标准方程，再求解圆心以及半径. 【详解】将圆的方程配方得. 所以圆的圆心为，半径为3. 故选：B. 2．圆的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的一般式方程化为标准方程求出半径，代入圆的面积公式即可得解. 【详解】圆化为标准方程为， 所以圆的半径为，圆的面积为， 故选：. 3．以点为圆心，半径为1的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心和半径确定圆的方程即可. 【详解】以点为圆心， 半径为1的圆的标准方程为， 故选：B. 4．圆心为且和轴相切的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心与轴相切确定半径长，再由圆心，半径写出圆的方程即可. 【详解】已知圆的圆心为且和轴相切， 所以圆的半径长为， 所以圆的标准方程是， 故选：B. 5．以点，，为直径的两个端点的圆的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点间距离公式和中点坐标公式，即可求解. 【详解】由题意知点，，为直径的两个端点， 则， 半径， 圆心坐标为， 所以圆的方程为. 故选：D. 6．如图所示，已知圆，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，得到其半径，进而结合图象即可得解. 【详解】因为圆可化为， 所以圆的半径为，由图可知. 故选：D. 7．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的标准方程为（     ） A．(x－2)2＋(y－3)2＝16 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝16 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝16 D．(x＋2)2＋(y＋3)2＝16 【答案】C 【解析】将x2＋y2＋4x－6y－3＝0配方， 易得(x＋2)2＋(y－3)2＝16. 故选：C. 8．经过三点的圆的标准方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆的标准方程：，将点代入即可求解. 【解析】设圆， 则， 解得， 所以圆的标准方程为. 故选：B. 9．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设出对称圆的方程，再根据对称的性质求解即可. 【详解】由圆得：圆心为，半径为1， 由直线得其斜率为1， 设对称圆方程为，其圆心为， 则两圆心连线所在直线的斜率为， 两圆心连线的线段中点在上， 故，解得，即对称圆的圆心为， 则对称圆方程为. 故选：A. 10．已知圆的圆心在轴上，经过点和点，求圆的方程. 【答案】 【解析】解：由题意可设圆心坐标为：，圆的标准方程为：， 把点和点分别带入圆的标准方程得：， 联立方程组可解得， 所以圆的方程为：. 【考点2 点与圆的位置关系】 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 【即时训练】 1．下列点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合点到圆心的距离，与半径比较，即可判断求解. 【详解】因为，所以点在圆内，故选项A符合题意； 因为，所以点在圆外，故选项B不符合题意； 因为，所以点在圆外，故选项C不符合题意； 因为，所以点在圆外，故选项D不符合题意； 故选：A. 2．若点在圆外，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据圆的方程求出圆心半径，再求点与圆心的距离，与半径比大小即可求解. 【详解】圆即， 则由可得：， 且圆的圆心，半径， 点与圆心的距离为：， 因为点在圆外，所以， 即，解得， 综上，. 故选：B. 3． 已知圆的方程是，则点（     ） A．在圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外 【答案】C 【分析】把点的坐标代入圆标准方程，由与的大小关系判断． 【解析】因为，所以点P在圆内． 故选：C． 4．已知圆的标准方程是，则点（     ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不能确定 【答案】B 【分析】求出点到圆心的距离与圆的半径比较大小即可 【解析】圆 的圆心为，半径为2， 因为， 所以点在圆内. 故选：B 5．若点不在圆的外部，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点不在圆的外部， 所以且， 化简得： ，解得：. 故选：B. 6．点与圆的位置关系为（     ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与的值有关 【答案】A 【解析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【解析】    在圆外 故选： 7．已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是（     ） A．点P在圆C内 B．点P在圆C外 C．点P在圆C上 D．无法确定 【答案】A 【解析】由题意，a＋b＝1，ab＝－， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8， ∴点P在圆C内， 故选：A. 8．已知原点O在圆的外部，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据原点在圆外部及方程表示圆，得到不等式，求出k的取值范围. 【解析】由，得，则，解得， 又原点O在圆的外部，所以，故. 故选：D 9．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为 ． 【答案】(－，) 【解析】∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部， ∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－<m<， 故答案为：(－，). 10．已知圆心在点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系． 【答案】(x＋3)2＋(y＋4)2＝25；P1(－1,0)在圆内；P2(1，－1)在圆上；P3(3，－4)在圆外 【解析】解：因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点， 所以圆的半径r＝＝5，所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25. 因为|P1C|＝＝＝2<5，所以P1(－1,0)在圆内； 因为|P2C|＝＝5，所以P2(1，－1)在圆上； 因为|P3C|＝＝6>5，所以P3(3，－4)在圆外． 1．（2021年·河南对口升学高考第21题）求经过点且与两坐标轴相切的圆的方程. 【答案】或 【解析】解：根据题意可设圆心坐标为：，半径为：， 圆的标准方程为：，带入点，可解得：， 所以该圆的方程为：或. 2．（2020年·河南对口升学高考第21题）已知圆的圆心在轴上，经过点和点，求圆的方程. 【答案】 【解析】解：由题意可设圆心坐标为：，圆的标准方程为：， 把点和点分别带入圆的标准方程得：， 联立方程组可解得，所以圆的方程为：. 3．（2018年·河南对口升学高考第21题）求半径为1，圆心在第一象限，且分别与轴和直线相切的圆的方程. 【答案】或 【解析】解：由题意可设圆心为：，圆的标准方程为：， 因为圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离等于半径：， 解得或， 所以所求圆的方程为：或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $