专题19 两条直线的位置关系（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题19 两条直线的位置关系 【复习目标】 1. 掌握两条直线的平行、垂直位置关系和斜率之间的关系. 2. 掌握点到直线的距离和两平行线之间的距离公式. 【考点1 两直线的位置关系】 1. 两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在. 2. 两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于； 反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点： (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 3. 另有结论： 设 ，则 （1）； （2） ； （3） 与 重合； （4） 与 相交. 4. 直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 【即时训练】 1．过点且与直线平行的直线方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得解. 【解析】设过点且与直线平行的直线方程是， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：A. 2．直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【分析】根据直线垂直的条件即可判断. 【详解】已知直线斜率为， 直线的斜率不存在， 所以直线与直线垂直， 故选：C. 3．过直线与直线的交点，且倾斜角为的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先联立方程得到两直线的交点，再根据点斜式方程求解即可. 【详解】联立，解得，即两直线交点为， 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 由直线的点斜式方程可知，直线方程为，即. 故选：C. 4．直线与直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．重合 【答案】A 【分析】根据直线垂直的条件判断即可. 【详解】直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为， 所以这两条直线的位置关系为垂直． 故选：A． 5．已知直线与直线平行，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两条平行直线间的距离公式，即可求解. 【详解】由题意知直线与直线平行， 且， 所以两直线间的距离． 故选：A. 6．若直线与垂直，则实数的值为（   ） A． B． C．0 D．10 【答案】D 【分析】根据两条直线互相垂直的条件求解即可. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得. 故选：D. 7．若直线与直线互相垂直，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据直线的一般方程求出斜率，再由两直线垂直列出等量关系即可解得. 【详解】由题，直线的斜率为． 又知直线与直线互相垂直， 所以直线的斜率为，即，解得． 故选：B 8．已知直线与直线没有公共点，则实数等于（   ） A．1 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据两条直线平行的条件列方程求解即可. 【详解】因为直线与直线没有公共点， 所以两条直线平行，故有，解得． 故选：D. 9．与直线垂直且过点的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知直线l的斜率为2，则所求直线方程的斜率为， 设直线方程为，因为直线过点， 所以，则直线方程为， 整理得 故选：C. 10．已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】联立，解得， ∴直线x﹣y+2＝0和2x+y+1＝0的交点为（﹣1，1）， 又直线l和直线x﹣3y+2＝0垂直，∴直线l的斜率为﹣3． 则直线l的方程为y﹣1＝﹣3（x+1），即3x+y+2＝0， 故选：A． 11．若直线与直线平行，则（     ） A．或 B． C． D．0 【答案】C 【解析】由题意得：，且，解得：. 故选：C． 12．已知三条边所在的直线方程分别为，，，则边上的高所在直线方程为： . 【答案】 【解析】由，解得点坐标为． 因为直线的斜率为，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为，即． 故答案为：. 【考点2 距离公式】 1. 点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线：的距离. 2. 两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 【即时训练】 1．两条平行直线：，：之间的距离是（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用平行直线间的距离公式即可得解. 【解析】因为：，：， 所以它们之间的距离为. 故选：B. 2．原点到直线间的距离是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式直接求值即可. 【解析】原点到直线间的距离是：. 故选：A. 3．已知直线，，则与间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由平行线间的距离公式可知，与间的距离为， 故选：A. 4．已知点，直线：，则点到直线的距离为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式计算即可. 【解析】已知点，直线，则点到直线l的距离, 故选：. 5．点到直线的距离的最小值为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】点到直线的距离为：， 所以当，即时，取得最小值为． 故选：C． 6．两直线：与：间的距离为 . 【答案】1 【解析】因为直线：与：平行， 由两平行线间的距离公式可得：， 故答案为：. 7．若两平行直线和之间的距离为，则c的值是 . 【答案】2或 【解析】由两直线平行知，，解得， 即直线可化为， 又两平行线之间的距离为， 所以，解得c＝2或－6. 故答案为：2或－6. 8．已知点到直线的距离不大于，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】解：点到直线的距离， ， 所以的取值范围是. 1．（2026年·河南对口升学高考第10题）两平行线4-3y+10=0与4x-3y-6=0的距离是（ ） A.2 B. C. D. 【答案】 C 【解析】两平行线距离公式： 直线4x-3y+10=0与4x-3y-6=0的距离, 正确公式： 故 故选：C． 2．（2025年·河南对口升学高考第15题）若直线与垂直，则_________. 【答案】 【分析】根据直线与垂直时，即可求解参数. 【详解】因为直线与垂直， 所以，即， 解得. 故答案为：1 3．（2022年·河南对口升学高考第16题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为__________. 【答案】1 【解析】点，直线为：， 由点到直线的距离公式得：， 故答案为：1. 4．（2021年·河南对口升学高考第16题）在平面直角坐标系中，原点到直线的距离等于 . 【答案】 【解析】原点坐标为：，直线方程为：， 根据点到直线的距离公式可得：， 故答案为：. 5．（2020年·河南对口升学高考第17题）在平面直线坐标系中，原点到直线的距离等于 . 【答案】 【解析】原点坐标为：，直线方程为：， 根据点到直线的距离公式可得：， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题19 两条直线的位置关系 【复习目标】 1. 掌握两条直线的平行、垂直位置关系和斜率之间的关系. 2. 掌握点到直线的距离和两平行线之间的距离公式. 【考点1 两直线的位置关系】 1. 两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在. 2. 两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于； 反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点： (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 3. 另有结论： 设 ，则 （1）； （2） ； （3） 与 重合； （4） 与 相交. 4. 直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 【即时训练】 1．过点且与直线平行的直线方程是（     ） A． B． C． D． 2．直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 3．过直线与直线的交点，且倾斜角为的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．直线与直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．重合 5．已知直线与直线平行，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 6．若直线与垂直，则实数的值为（   ） A． B． C．0 D．10 7．若直线与直线互相垂直，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 8．已知直线与直线没有公共点，则实数等于（   ） A．1 B． C．4 D． 9．与直线垂直且过点的直线方程为（     ） A． B． C． D． 10．已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 11．若直线与直线平行，则（     ） A．或 B． C． D．0 12．已知三条边所在的直线方程分别为，，，则边上的高所在直线方程为： . 【考点2 距离公式】 1. 点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线：的距离. 2. 两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 【即时训练】 1．两条平行直线：，：之间的距离是（     ） A．1 B． C． D．2 2．原点到直线间的距离是（     ） A． B． C．1 D． 3．已知直线，，则与间的距离为（     ） A． B． C． D． 4．已知点，直线：，则点到直线的距离为（     ） A．1 B．2 C． D． 5．点到直线的距离的最小值为（     ） A．4 B． C． D． 6．两直线：与：间的距离为 . 7．若两平行直线和之间的距离为，则c的值是 . 8．已知点到直线的距离不大于，求实数的取值范围． 1．（2026年·河南对口升学高考第10题）两平行线4-3y+10=0与4x-3y-6=0的距离是（ ） A.2 B. C. D. 2．（2025年·河南对口升学高考第15题）若直线与垂直，则_________. 3．（2022年·河南对口升学高考第16题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为__________. 4．（2021年·河南对口升学高考第16题）在平面直角坐标系中，原点到直线的距离等于 . 5．（2020年·河南对口升学高考第17题）在平面直线坐标系中，原点到直线的距离等于 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $