专题18 直线的方程（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题18 直线的方程 【复习目标】 1. 掌握中点坐标公式和两点间距离公式及斜率、倾斜角的关系. 2. 掌握直线方程的几种常用形式，特别是点斜式和斜截式方程的运用. 【考点1 距离公式】 1．数轴上A，B两点的距离 数轴上点A的坐标为，点B的坐标为，则A，B两点间的距离：． 2．两点间的距离公式 在平面直角坐标系中，两点，之间的距离公式为：. 3．线段的中点坐标公式 若点A，B的坐标分别为，，线段AB的中点M的坐标为：. 【即时训练】 1．已知两点、，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由两点的距离公式即可得解. 【详解】由两点、， 知. 故选：B. 2．若，两点间的距离为7，则的值可以是（   ） A．11 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为，两点间的距离为7， 即，所以， 所以或. 故选：D. 3．已知线段的端点及中点，则点的坐标（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 ，的端点及中点， 则 ，解得：，故点的坐标为， 故选：B. 4．点关于点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点对称的性质，结合中点坐标公式即可得解. 【详解】因为所求点与点关于点对称， 所以点是所求点与点的中点， 则所求点的坐标为，即. 故选：A. 5．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是（     ） A.2 B.3 C. D. 【答案】C 【解析】由中点坐标公式可得，BC边的中点D. 由两点间的距离公式得|AD|＝＝. 故选：C. 6．已知的顶点分别为，，，则AB边上的中线长为 ． 【答案】 【解析】由已知，， 设AB的中点为D，AB的中点D坐标为 ， 故答案为：. 7．已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，再由两点之间的距离公式列方程求解即可. 【详解】设，因为，，且， 所以， 即 解得，故． 故答案为：. 8．已知点，线段的中点为，则 ． 【答案】 【分析】利用平面直角坐标系中的中点坐标公式即可求解. 【详解】因为点，线段的中点为， 所以，解得， 即. 故答案为： 【考点2 直线的方程】 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为． (2)斜率：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即．当直线平行于x轴或者与x轴重合时k＝0；当直线的倾斜角为锐角时k>0；当直线的倾斜角为钝角时k<0；倾斜角为90°的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．　 (3)经过两点，()的直线的斜率公式为． 2．直线方程的几种形式 (1)截距：直线l与x轴交点(a，0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距，直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距（注：截距不是距离）． (2)直线方程的四种形式： 名称 方程 适用范围 点斜式 存在 斜截式 存在 截距式 且 一般式 (A，B不同时为0) 平面直角坐标系内的所有直线 【即时训练】 1．过点和的直线斜率为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合斜率的计算公式，即可求解. 【详解】因为直线过点和， 所以直线的斜率为. 故选：B. 2．直线的斜率为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】由直线平行于轴可得倾斜角为，进而可得斜率. 【详解】直线平行于轴，倾斜角为，所以直线的斜率为. 故选：B. 3．直线在轴上的截距为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】令即可求解直线在轴上的截距. 【详解】直线为， 令，则有，解得， 所以直线在轴上的截距为3. 故选：C. 4．直线l经过点，倾斜角为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合直线斜率与倾斜角之间的关系，可求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可代入求解. 【详解】直线的倾斜角为，∴直线的斜率， 又直线过点， 直线方程为，即. 故选：B. 5．过点且斜率为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线的点斜式方程即可得解. 【详解】因为直线过点且斜率为， 所以直线方程为，即. 故选：A. 6．经过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中所给点可求出直线斜率，再根据一点坐标即可写出直线的点斜式方程. 【详解】因为点，， 所以经过点，的直线斜率为， 所以经过点，的直线方程是， 即. 故选：A. 7．已知直线过点，且与轴平行，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据与轴平行的直线方程为，即可解答. 【详解】已知直线过点，且与轴平行， 则直线的方程是， 故选：A. 8．直线l过原点，斜率是直线的斜率的2倍，则直线l的方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，先求出直线l的斜率，结合直线过原点，即可求解. 【详解】因为直线的斜率是3， 又直线l的斜率是直线的斜率的2倍， 所以直线l的斜率，又直线l过原点， 所以直线l的方程为，即. 故选：A. 9．已知直线的方程为，则直线的斜率和在轴上的截距分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将直线方程转化为斜截式方程，求解斜率和截距即可. 【详解】由直线的方程为可得， 所以直线的斜率，在轴上的截距， 故选：D. 10．直线经过的定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线方程变形，通过令含参数的项的系数为，求出定点的坐标. 【详解】由直线，可得， 根据直线的点斜式方程可知，直线过点. 故选：B 11．分别求出过点且满足下列条件的直线方程： （1）斜率； （2）与轴平行； （3）与轴垂直. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】解：（1）∵直线过点，且斜率， ∴直线的方程为， 化简得. （2）∵直线过点，且与轴平行， ∴，故直线的方程为. （3）∵直线过点，且与轴垂直， ∴直线的方程为． 12．根据下列条件写出直线方程，并化为一般式： (1)斜率是且经过点； (2)经过两点； (3)在轴上的截距分别为，. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）利用直线的点斜式方程进行求解即可； （2）利用直线的两点式方程进行求解即可； （3）利用直线的截距式方程进行求解即可. 【解析】解：（1）由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为，化为一般式方程为； （2）由直线的两点式方程可知，所求直线方程为，化为一般式方程为； （3）由直线的截距式方程可知，所求直线方程，化为一般式方程为. 1．（2024年·河南对口升学高考第20题）直线方程先向下平移2个单位，再向右平移1个单位与y轴交于点P，最后以P点为中心顺时针旋转，求变化后最终的直线方程． 【答案】 【分析】根据直线平移变换进行与的操作，求出平移变换后的直线的斜率和倾斜角以及与y轴的交点，再求旋转后的直线斜率，点斜式求直线方程即可. 【解析】平移之后直线为，即 与y轴相交于点，此时斜率，倾斜角， 则旋转后的直线的倾斜角为，斜率为，且经过点 所求直线方程为即. 2．（2023年·河南对口升学高考第7题）已知直线l经过点且与直线垂直，则直线l的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】先将直线的斜率，又因垂直求得斜率，点斜式代入即可. 【解析】因为直线的斜率为，直线l与直线垂直， 所以直线l的斜率为，又因为直线l经过点， 代入点斜式为， 整理为. 故选：A. 3．（2022年·河南对口升学高考第7题）已知直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，得， 则的斜率为，倾斜角为， 所以的倾斜角， 故选：A. 4．（2022年·河南对口升学高考第21题）已知直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程. 【答案】 【解析】解法一：直线化为斜截式即， 斜率为，所求直线与该直线垂直，故斜率， 由直线方程的点斜式可得， 化简可得直线的方程为， 解法二：直线与直线垂直，可设， 将代入上式，可得，从而， 故直线的方程为. 5．（2020年·河南对口升学高考第7题）直线经过点，且与轴垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为直线经过点，且与轴垂直， 所以直线的方程为：， 故选：A. 6．（2019年·河南对口升学高考第15题）直线在轴上的截距为 . 【答案】 【解析】令，，所以直线在轴上的截距为：. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题18 直线的方程 【复习目标】 1. 掌握中点坐标公式和两点间距离公式及斜率、倾斜角的关系. 2. 掌握直线方程的几种常用形式，特别是点斜式和斜截式方程的运用. 【考点1 距离公式】 1．数轴上A，B两点的距离 数轴上点A的坐标为，点B的坐标为，则A，B两点间的距离：． 2．两点间的距离公式 在平面直角坐标系中，两点，之间的距离公式为：. 3．线段的中点坐标公式 若点A，B的坐标分别为，，线段AB的中点M的坐标为：. 【即时训练】 1．已知两点、，则（   ） A． B． C．3 D．5 2．若，两点间的距离为7，则的值可以是（   ） A．11 B．9 C． D． 3．已知线段的端点及中点，则点的坐标（     ） A． B． C． D． 4．点关于点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是（     ） A.2 B.3 C. D. 6．已知的顶点分别为，，，则AB边上的中线长为 ． 7．已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为 ． 8．已知点，线段的中点为，则 ． 【考点2 直线的方程】 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为． (2)斜率：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即．当直线平行于x轴或者与x轴重合时k＝0；当直线的倾斜角为锐角时k>0；当直线的倾斜角为钝角时k<0；倾斜角为90°的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．　 (3)经过两点，()的直线的斜率公式为． 2．直线方程的几种形式 (1)截距：直线l与x轴交点(a，0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距，直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距（注：截距不是距离）． (2)直线方程的四种形式： 名称 方程 适用范围 点斜式 存在 斜截式 存在 截距式 且 一般式 (A，B不同时为0) 平面直角坐标系内的所有直线 【即时训练】 1．过点和的直线斜率为（    ） A． B．1 C．2 D． 2．直线的斜率为（    ） A． B． C． D．不存在 3．直线在轴上的截距为（    ） A． B． C．3 D．4 4．直线l经过点，倾斜角为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 5．过点且斜率为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．经过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 7．已知直线过点，且与轴平行，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 8．直线l过原点，斜率是直线的斜率的2倍，则直线l的方程为（   ）． A． B． C． D． 9．已知直线的方程为，则直线的斜率和在轴上的截距分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 10．直线经过的定点（   ） A． B． C． D． 11．分别求出过点且满足下列条件的直线方程： （1）斜率； （2）与轴平行； （3）与轴垂直. 12．根据下列条件写出直线方程，并化为一般式： (1)斜率是且经过点； (2)经过两点； (3)在轴上的截距分别为，. 1．（2024年·河南对口升学高考第20题）直线方程先向下平移2个单位，再向右平移1个单位与y轴交于点P，最后以P点为中心顺时针旋转，求变化后最终的直线方程． 2．（2023年·河南对口升学高考第7题）已知直线l经过点且与直线垂直，则直线l的方程是（ ） A. B. C. D. 3．（2022年·河南对口升学高考第7题）已知直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，则（ ） A. B. C. D. 4．（2022年·河南对口升学高考第21题）已知直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程. 5．（2020年·河南对口升学高考第7题）直线经过点，且与轴垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6．（2019年·河南对口升学高考第15题）直线在轴上的截距为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $