专题17 对数及对数函数（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题17 对数及对数函数 【复习目标】 1. 理解对数的概念，掌握指数和对数的互化. 2. 能够熟练运用对数的运算法则进行对数的计算. 3.掌握对数函数的概念，会画对数函数的图像. 4.熟练掌握对数函数的图像和性质，并会用来解决问题. 【考点1 对数】 1．对数的概念 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．两类重要的对数 （1）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lgN； （2）自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记作lnN． 注：(i)无理数e＝2.718 28…；(ii)负数和零没有对数；(iii)loga1＝0，logaa＝1. （3）对数与指数之间的关系 当a＞0，a≠1时，ax＝N ⇔ x＝logaN. 3．对数的运算公式 (1)对数运算的性质 ： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM； 一般地，＝ logaM； (2)换底公式及对数恒等式： ①对数恒等式：＝N； ②换底公式：logab＝ (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)． 特别地，logab＝. 【即时训练】 1．下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 2．以下对数式中，与指数式等价的是（ ） A． B． C． D． 3．的值是（    ） A． B． C． D． 4．方程的解是（ ） A．1 B．2 C．e D．3 5．有以下四个结论，其中正确的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 6．（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．设，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 8．下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 9．计算： ． 10．已知，求x的值． 【考点2 对数函数】 1．对数函数的图象及性质 定义 一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0) 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 【即时训练】 1．下列函数在其定义域内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数是对数函数的是（ ） A． B． C． D． 3．在同一坐标系中，函数与的大致图象是（ ） A． B． C． D． 4．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 5．若，则函数与的图像是（   ） A．B．C． D． 6．已知指数函数（且）的图象过点，则（ ） A． B． C． D．1 7．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 8．函数的定义域为 . 9．已知对数函数，则 . 10．已知函数，求函数的定义域，并判断其奇偶性. 1． 2．（2025年·河南对口升学高考第4题）计算（ ） A. 0 B. C. 1 D. 3．（2025年·河南对口升学高考第24题）已知函数. （1）判断是否存在实数a使得函数为偶函数，如果存在，求出a的值和函数的值域，如果不存在，请说明理由. （2）若函数的定义域为，求的取值范围. 4．（2024年·河南对口升学高考第4题） 的值为（ ） A. B. C. D. 5．（2023年·河南对口升学高考第3题）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6．（2023年·河南对口升学高考第4题）（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题17 对数及对数函数 【复习目标】 1. 理解对数的概念，掌握指数和对数的互化. 2. 能够熟练运用对数的运算法则进行对数的计算. 3.掌握对数函数的概念，会画对数函数的图像. 4.熟练掌握对数函数的图像和性质，并会用来解决问题. 【考点1 对数】 1．对数的概念 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．两类重要的对数 （1）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lgN； （2）自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记作lnN． 注：(i)无理数e＝2.718 28…；(ii)负数和零没有对数；(iii)loga1＝0，logaa＝1. （3）对数与指数之间的关系 当a＞0，a≠1时，ax＝N ⇔ x＝logaN. 3．对数的运算公式 (1)对数运算的性质 ： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM； 一般地，＝ logaM； (2)换底公式及对数恒等式： ①对数恒等式：＝N； ②换底公式：logab＝ (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)． 特别地，logab＝. 【即时训练】 1．下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的运算性质逐项判断即可得解. 【详解】A，，故A错误； B，，故B错误； C，，故C错误； D，由换底公式，可知，故D正确. 故选：D. 2．以下对数式中，与指数式等价的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据指数式和对数式的关系，等价于， 故选：A． 3．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积商幂对数公式即可得解. 【详解】， 故选：. 4．方程的解是（ ） A．1 B．2 C．e D．3 【答案】D 【分析】利用指数与对数的转化即可得到结果. 【解析】∵，∴，∴. 故选：D. 5．有以下四个结论，其中正确的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】利用对数的性质判断AB；利用指数式与对数式的互化判断CD. 【解析】对于A，由于，而0和负数没有对数，则无意义，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，由，得，D错误. 故选：B. 6．（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】， 故选：. 7．设，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数式与对数式的互化，及换底公式，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 8．下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂函数、指数函数、和对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为幂函数是增函数，且，所以，故A错误； 因为指数函数是减函数，且，所以，故B错误； 因为指数函数是增函数，且，所以，故C正确； 因为对数函数在上单调递减，且，所以，故D错误． 故选：C. 9．计算： ． 【答案】/ 【分析】根据指数幂和对数的运算性质，即可求解. 【详解】 . 故答案为： 10．已知，求x的值． 【答案】64 【解析】解：因为， 所以， 所以， 则. 【考点2 对数函数】 1．对数函数的图象及性质 定义 一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0) 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 【即时训练】 1．下列函数在其定义域内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数，对数函数，二次函数的单调性逐项判断即可. 【详解】A选项：是对数函数，底数，在其定义域内单调递减； B选项：是指数函数，底数，在其定义域内单调递增； C选项：是指数函数，底数，在其定义域内单调递减； D选项：是二次函数，在其定义域内不单调. 故选：B. 2．下列函数是对数函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由对数函数定义可知，只有选项C满足条件， 故选：C． 3．在同一坐标系中，函数与的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合对数函数与指数函数的性质，即可得出结果. 【解析】由指数函数与对数函数的单调性知： 在上单调递增，在上单调递增，只有B满足. 故选：B. 4．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 故， 故的值域为， 故选：D. 5．若，则函数与的图像是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断即可. 【详解】若，则，则函数在上单调递减， 且图像在轴上方，过定点，故排除AC选项， 又时在上单调递增， 且图像在轴右方，过定点，排除D选项， 故选：B. 6．已知指数函数（且）的图象过点，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先代入点的坐标求出，再利用对数运算求答案. 【解析】由题意，解得，所以. 故选：C. 7．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性比较大小可得答案. 【解析】因为， ， 所以. 故选：D. 8．函数的定义域为 . 【答案】 【分析】利用对数函数真数大于零，解不等式即可求得结果. 【解析】由对数函数定义可得，解得或， 所以函数定义域为. 故答案为： 9．已知对数函数，则 . 【答案】2 【解析】由对数函数的定义，可得，解得． 故答案为：2. 10．已知函数，求函数的定义域，并判断其奇偶性. 【答案】；奇函数 【解析】解：由解得或， 所以的定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以为奇函数. 1． 【答案】5 【解析】 故 应为 故答案为：5． 2．（2025年·河南对口升学高考第4题）计算（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】C 【分析】根据对数运算法则以及，即可求解. 【详解】. 故选：C 3．（2025年·河南对口升学高考第24题）已知函数. （1）判断是否存在实数a使得函数为偶函数，如果存在，求出a的值和函数的值域，如果不存在，请说明理由. （2）若函数的定义域为，求的取值范围. 【答案】（1）存在使函数为偶函数，此时函数的值域是 （2） 【分析】（）根据偶函数的定义得出即可得出函数解析式，根据复合型对数函数的性质即可得解. （）根据对数函数的定义域为，可得恒成立，利用判别式即可得解. 【小问1详解】 若函数为偶函数，则恒成立， 即，根据对数函数性质可得， 化简得对任意恒成立，所以， 此时，因为，所以， 所以函数的定义域为，且为增函数， 所以，所以函数值域是. 【小问2详解】 因为函数的定义域为， 所以恒成立， 则二次函数的图像恒在轴上方，即， 展开得，即，因式分解得， 解得， 所以的取值范围. 4．（2024年·河南对口升学高考第4题） 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质直接计算即可. 【解析】 . 故选:B. 5．（2023年·河南对口升学高考第3题）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据分母不为零和对数真数部分大于零列式求解即可. 【解析】由分母不为零可得：，即， 解得，且由对数真数部分大于零可知， 则函数定义域为：. 故选：A. 6．（2023年·河南对口升学高考第4题）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用对数的运算可求解. 【解析】. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $