专题16 指数幂及指数函数（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题16 指数幂及指数函数 【复习目标】 1. 理念幂的有关概念，熟练运用幂的运算法则. 2. 理解幂函数的定义，掌握五种常见幂函数的图像和性质. 3. 理解指数函数的定义. 4. 掌握指数函数的图像和性质，会用指数函数的图像和性质解决问题. 【考点1 指数幂】 1．根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号－表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ． (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|＝. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝1 .这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ①； ②； ③． 3．幂函数 (1)幂函数的概念：一般地，函数称为幂函数，其中为常数. 注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量. (2)幂函数的图像与性质 ①五个常见幂函数的图像 ②五个常见幂函数的性质： 函数性质 y＝x y＝x2 y＝x3 函数图像 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇 非奇非偶 偶 奇 奇 单调性 R上增 上增 (－∞，0)上减 [0，＋∞)上增 R上增 (－∞，0)上减 (0，＋∞)上减 公共点 （1）所有的幂函数在区间上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都过点. （2）如果，幂函数图像过原点，并且在上是增函数 （3）如果，幂函数图像过原点，并且在上是减函数 【即时训练】 1．若，下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算法则逐项判断即可得解. 【详解】，选项成立； ，选项不成立； ，选项成立； ．选项成立； 故选：. 2．将化成分数指数幂为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用根式与分数指数幂的互化公式求解即可 【解析】 故选：A. 3．下列函数在R上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在上单调递减，在上单调递增，故选项A错误； 在R上为增函数，选项B正确； 在上单调递减，故选项C错误； 在单调递减，在单调递减，故选项D错误， 故选：B. 4．有下列四个式子： ① ； ② ； ③ ； ④ 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】① 正确； ② ，② 错误； ③ ，③ 错误； ④ ，若，则，若，则，故④ 错误． 故选：A. 5．下列函数中与函数定义域相同的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的定义域为， 的定义域为， 的定义域为， 的定义域为， 的定义域为， 故选：D. 6．下列幂函数中，既是奇函数又在区间单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A中，函数，由，所以函数为奇函数，根据幂函数的性质，可得函数在区间上为单调递增函数，符合题意； 对于B中，函数，由，所以函数为偶函数，不符合题意； 对于C中，函数的定义域为不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于D中，函数在为单调递减函数，不符合题意， 故选：A. 7． 计算（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂之间的运算即可. 【解析】 故选：D. 8．若幂函数的图象经过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得，解得， 故选：C. 9．已知幂函数的图象过点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是幂函数，所以， 又因为函数的图象过点， 所以，因此， 故选：A. 10．用有理数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0). (1)；(2) 【答案】 (1); (2) 【解析】解：(1)原式＝. (2)原式＝. 【考点2 指数函数】 1．指数函数的概念 (1)定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． (2)注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． 【结构特征】 (1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量；(3)系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 【即时训练】 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的被开方数大于等于零求解即可. 【详解】由可得：， 所以函数的定义域是. 故选：C. 2．在指数函数的图像上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代选项中涉及的自变量的值求出对应函数值即可判断. 【详解】当时，， 所以指数函数过点，故AC不符合题意，B符合题意； 当时，， 所以指数函数过点，故D不符合题意. 故选：B. 3．若指数函数在是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当，即时，该指数函数在是减函数， 故选：B. 4．指数函数的图象经过点，则的值是（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】由题意得，，故， 故选：． 5．已知指数函数在上单调递增，则实数的值为（       ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】由题得或， 当时，在上单调递增，符合题意； 当时，在上单调递减，不符合题意，所以， 故选：D. 6．函数且的图像恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数函数恒过定点问题，令，求出对应的x和的值，即可求解. 【详解】因为且， 令，解得，， 所以函数图像恒过定点. 故选：C. 7．已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】可知函数为减函数，由，可得， 整理得，解得， 所以不等式的解集为． 故选：B. 8．已知，，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出的值即可. 【详解】，，， 则， 故选：A 9．若，则函数与的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和一次函数的图象性质求解. 【解析】因为，所以是增函数，的图象与轴上的交点为 故只有A项正确． 故选：A. 10．已知指数函数，求. 【答案】 【分析】根据指数函数的概念，列出方程求得，得到函数的解析式，即可求解的值. 【解析】解：由题意，函数为指数函数， 可得， 解得或（舍）， 所以， 所以. 1．（2026年·河南对口升学高考第13题）设 则x= . 【答案】-2 【解析】 故 故答案为：-2． 2．（2024年·河南对口升学高考第12题） 当，且时，无论a取何值，函数的图像必过一点是_________． 【答案】## 【分析】令取一个特定的值，使得的值与无关，即可得到图像必过点的坐标. 【解析】当时，. 故，函数的图像必过一点是. 故答案为：. 3．（2022年·河南对口升学高考第12题）将写成分数指数幂的形式为___________. 【答案】 【解析】写成分数指数幂的形式为：， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题16 指数幂及指数函数 【复习目标】 1. 理念幂的有关概念，熟练运用幂的运算法则. 2. 理解幂函数的定义，掌握五种常见幂函数的图像和性质. 3. 理解指数函数的定义. 4. 掌握指数函数的图像和性质，会用指数函数的图像和性质解决问题. 【考点1 指数幂】 1．根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号－表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ． (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|＝. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝1 .这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ①； ②； ③． 3．幂函数 (1)幂函数的概念：一般地，函数称为幂函数，其中为常数. 注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量. (2)幂函数的图像与性质 ①五个常见幂函数的图像 ②五个常见幂函数的性质： 函数性质 y＝x y＝x2 y＝x3 函数图像 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇 非奇非偶 偶 奇 奇 单调性 R上增 上增 (－∞，0)上减 [0，＋∞)上增 R上增 (－∞，0)上减 (0，＋∞)上减 公共点 （1）所有的幂函数在区间上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都过点. （2）如果，幂函数图像过原点，并且在上是增函数 （3）如果，幂函数图像过原点，并且在上是减函数 【即时训练】 1．若，下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．将化成分数指数幂为（ ） A． B． C． D． 3．下列函数在R上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 4．有下列四个式子： ① ； ② ； ③ ； ④ 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 5．下列函数中与函数定义域相同的是（ ） A． B． C． D． 6．下列幂函数中，既是奇函数又在区间单调递增的是（ ） A． B． C． D． 7． 计算（ ） A． B． C． D． 8．若幂函数的图象经过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．已知幂函数的图象过点，则等于（ ） A． B． C． D． 10．用有理数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0). (1)；(2) 【考点2 指数函数】 1．指数函数的概念 (1)定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． (2)注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． 【结构特征】 (1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量；(3)系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 【即时训练】 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．在指数函数的图像上的点是（   ） A． B． C． D． 3．若指数函数在是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4．指数函数的图象经过点，则的值是（ ） A． B． C．2 D．4 5．已知指数函数在上单调递增，则实数的值为（       ） A． B．1 C． D．2 6．函数且的图像恒过定点（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8．已知，，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 9．若，则函数与的图象大致是（ ） A． B． C． D． 10．已知指数函数，求. 1．（2026年·河南对口升学高考第13题）设 则x= . 2．（2024年·河南对口升学高考第12题） 当，且时，无论a取何值，函数的图像必过一点是_________． 3．（2022年·河南对口升学高考第12题）将写成分数指数幂的形式为___________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $