精品解析：四川遂宁市卓同教育集团2025-2026学年高三下学期测试（三）数学试题（4.24A）

卓同教育集团高2023级测试三数学试题 （4.24A） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是两个平面，是两条直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知圆与双曲线的渐近线相切，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，记，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象关于点中心对称 7. 从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于2023的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，若，，，相交于点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3 B. 若随机变量，，则 C. 某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的方差为25 D. 一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为 10. 已知圆经过双曲线的两个焦点，，且P为双曲线C上异于顶点的任意一点，点，则（ ） A. 点M在双曲线C上 B. 当P在圆T上时，的面积为8 C. 点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为3 D. 双曲线C上存在定点Q，使得直线和的斜率之积为定值 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 方程有三个不等实根 B. 是的一个极值点 C. 不等式的解集为 D. 当时，恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前项和为，且，，则______． 13. 在的展开式中，含项的系数是，若，则等于______． 14. 已知正三棱柱的各棱长均为分别为棱的中点，经过作该三棱柱外接球的截面，则截面面积的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 在中，，． （1）求， （2）再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响生活的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据统计表. （百万） 1 2 3 4 5 （千件） 0.5 1 1.5 3 5.5 （1）根据统计表的数据及参考公式计算样本相关系数，推断两个变量的相关程度； （2）根据（1）问的结果判断是否可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系？如果可以，根据最小二乘法，建立销售量关于投入额的经验回归方程；如果不可以，请说明理由. （3）该公司科研团队发现样本数据呈现出明显的非线性相关的特征，得到年销售量关于年投入额的非线性经验回归方程为，并计算出的残差平方和，请根据统计表的数据及参考公式，比较线性经验回归方程和非线性经验回归方程的拟合效果哪种更好？并选择拟合精度更高的方程，预测年投入额为6百万元时，产品的销售量约为多少？（计算结果保留到小数点后两位）. 参考公式及数据：，，，，，，. 17. 已知点与定点的距离和它到定直线的距离之比为． （1）求的轨迹方程； （2）过点的直线与交于两点(其中不共线），记（为坐标原点）的面积为，求的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． （1）求证：平面平面； （2）当F为中点时，平面与平面所成二面角夹角的余弦值为． （i）求的长度； （ii）有系列“二分球族”其中为中点，为中点，……，为中点，平面截三棱锥的外接球的图形为，的面积为，其中，2，……，n，请问数列中是否存在3项成等差数列，请说明理由． 19. 已知． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若有两个实数根，证明：； （3）若方程有实根，设的最大值为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卓同教育集团高2023级测试三数学试题 （4.24A） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】不等式， 解得，即。 绝对值不等式， 化简得或， 即或， 又因为，因此 所以. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题设，故其虚部为. 3. 已知是两个平面，是两条直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】若，则或，A错误； 若，，所以或，B错误； 若，直线只垂直于平面内的一条直线，无法得到，C错误； ，则平面内存在直线l与直线平行，则，可得,D正确. 4. 已知圆与双曲线的渐近线相切，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆与双曲线渐近线相切得出，即可求解椭圆的离心率． 【详解】由圆得，圆心，半径为1， 双曲线的一条渐近线为，即， 因为圆与双曲线的渐近线相切， 所以圆心到渐近线的距离，整理得， 所以椭圆的离心率． 5. 设函数，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，比较自变量的范围和大小，利用函数单调性和奇偶性比较即得. 【详解】因为,所以函数是偶函数，所以. 当时,,此时有，所以函数在单调递增， 又因为 ,所以. 又因为,所以, 由函数的单调性可得即 6. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象关于点中心对称 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据函数周期性分析判断；对于BD：根据正弦函数对称性的性质分析判断；对于C：根据单调性分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为函数的最小正周期， 所以，故A正确； 对于选项B：因为为最大值， 可知是函数的对称轴，所以，故B正确； 对于选项C：因为，令，可得， 所以函数在区间上不单调，故C错误； 对于选项D：因为， 所以函数的图象关于点中心对称，故D正确. 7. 从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于2023的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】当个位数是时，有种； 当个位数是或时，有种， 所以组成的四位数的偶数共有种； 当千位数是时，比大的偶数有种； 当千位数是时，比大的偶数有种； 当千位数是时，个位是且比大的偶数有种， 个位是且比大的偶数有种， 所以比大的偶数共有种， 所以所求概率为. 8. 在中，，，若，，，相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以与为基底表示，再结合向量的数量积运算求解 【详解】因为 又与共线，可设，则， 同理与共线，设，又 所以 又 所以，解得 故 所以 又 故 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3 B. 若随机变量，，则 C. 某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的方差为25 D. 一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，由百分位数的定义进行求解；B选项，利用二项分布的期望和方差公式进行求解；C选项，利用总体方差和样本方差的关系进行求解；D选项，利用超几何分布求解相应的概率 【详解】A选项，，故从小到大选取第2和第3个数的平均数作为第25百分位数， 即，故数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3.5，A错误； B选项，随机变量，，即，解得， 所以则，B正确； C选项，这15名学生的数学成绩的平均数为， 故这15名学生的数学成绩的方差为，C正确； D选项，2罐中有奖券的概率为，D错误. 10. 已知圆经过双曲线的两个焦点，，且P为双曲线C上异于顶点的任意一点，点，则（ ） A. 点M在双曲线C上 B. 当P在圆T上时，的面积为8 C. 点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为3 D. 双曲线C上存在定点Q，使得直线和的斜率之积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，求出双曲线方程，将点M代入方程验证A选项；联立求出点的横坐标值，根据三角形面积公式求解验证B选项；求出双曲线渐近线，利用点到直线距离验证C选项；利用点差法验证D选项. 【详解】由题知双曲线的焦点在轴， 故，焦点坐标为， 因为圆过焦点，代入得，即，解得， 因此双曲线的方程为：. 对于A：点代入双曲线方程得左边右边， 因此在双曲线上，故A正确； 对于B：联立，消去得，故横坐标可以为 ， 中，，高为， 面积 ，故B正确. 对于C：双曲线渐近线为， 设，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为， 因为在双曲线上，故满足，即， 点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积如下， 为，故C错误； 对于D：设是位于双曲线上，关于原点对称，且异于的两个点， 则， 又①，②，由①②得到， 得到，所以， 综上，只要满足位于双曲线上，关于原点对称， 且异于的两个点均可满足点P与两点连线斜率之积为定值， 故当点坐标为时， 直线和的斜率之积为定值，故D正确. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 方程有三个不等实根 B. 是的一个极值点 C. 不等式的解集为 D. 当时，恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】由于当时，，利用导数研究在的单调性，结合奇函数的性质依次判断A,B,C选项即可，对于D，将问题转化为验证，令​，结合导数研究其单调性以及值域情况即可求解. 【详解】选项A，函数是定义在上的奇函数，所以， 当时， 当时，，则 选项 A，当时， ， 令， 则 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，所以对恒成立，在上单调递增； 因此时，只有一个根， 由奇函数性质可知当时，，所以是一个根， 又，所以的根为共三个不等实根，A 正确； 选项 B，由A可得在上单调递增，没有极值点，B 错误 选项 C， 当时单调递增，且，所以的解集为， 当时，是奇函数，等价于，即， 因为，且对应，即， 所以时，的解集为， 综上，不等式的解集为，C 正确 选项 D，当时，恒成立 即证： 化简得： 即： 令​， ， 令， 则 所以在上单调递增， 由于，， 所以存在，使得，即，即 当时，，单调递减；当时，单调递增， 所以， 令， 则， 由于在上单调递减，则，所以在上单调递减，则， 所以， 则， 即当时，恒成立，故D 正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前项和为，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件易判断出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出其通项公式，再利用，即可求出的通项公式. 【详解】由题意知，由可得，所以， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. 当且时，， 又不满足上式，所以. 13. 在的展开式中，含项的系数是，若，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二项式展开式的通项公式求出的值，再利用赋值法求出. 【详解】的展开式前三项为， 的展开式前三项为， 所以的系数为，. 即， 令，得． 14. 已知正三棱柱的各棱长均为分别为棱的中点，经过作该三棱柱外接球的截面，则截面面积的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】因为已知正三棱柱各棱长，所以可先确定底面正三角形外接圆的圆心，结合正三棱柱的高确定外接球的球心位置，再计算球心到的距离. 因为截面面积最小的情况是截面与球心和截面圆的圆心的连线垂直，此时截面圆的半径最小，所以求出球心到的距离，利用勾股定理计算最小截面圆的半径,即可求得答案. 【详解】正三棱柱的外接球的球心为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接， 设外接球的半径为，为正三角形，其外接圆半径为 则下底面外接圆的半径为， 在中，，则， 在中，，，， 作于，由于，则F为的中点， 则过的平面垂直时截面圆的面积最小， 则，截面圆的半径为， 所以截面圆的面积最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 在中，，． （1）求， （2）再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选条件②或③，存在，周长为. 【解析】 【分析】（1）根据所给的边结合正弦定理，二倍角公式可得； （2）选条件①直接由余弦定理判断三角形不存在；选条件②先同角三角函数关系式可得A，B的正弦值，再由正弦定理和余弦定理求解可得；选条件③：先由面积公式可得，再结合余弦定理可得三角形的周长. 【小问1详解】 因为，，所以， 由正弦定理得，而三角形中有， 所以，再由二倍角公式得，且， 所以. 【小问2详解】 若选条件①：. 因为，由（1）可知，所以由余弦定理可得：， 即，得，， 方程无解，所以a边不存在，故不存在. 若选条件②：. 因为，由（1）可知，所以. 同理，得， 所以在中由正弦定理，得， 再由余弦定理，得， 即，解得或（舍去）. 所以三角形的周长. 若选条件③：的面积为. 因为，由（1）可知，所以, 由三角形面积公式，得. 再由余弦定理，得，即. 所以，所以. 所以三角形的周长. 16. 当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响生活的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据统计表. （百万） 1 2 3 4 5 （千件） 0.5 1 1.5 3 5.5 （1）根据统计表的数据及参考公式计算样本相关系数，推断两个变量的相关程度； （2）根据（1）问的结果判断是否可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系？如果可以，根据最小二乘法，建立销售量关于投入额的经验回归方程；如果不可以，请说明理由. （3）该公司科研团队发现样本数据呈现出明显的非线性相关的特征，得到年销售量关于年投入额的非线性经验回归方程为，并计算出的残差平方和，请根据统计表的数据及参考公式，比较线性经验回归方程和非线性经验回归方程的拟合效果哪种更好？并选择拟合精度更高的方程，预测年投入额为6百万元时，产品的销售量约为多少？（计算结果保留到小数点后两位）. 参考公式及数据：，，，，，，. 【答案】（1），正线性相关，且相关程度很强. （2）可以， （3）非线性经验回归方程的拟合效果更好，9.68千件 【解析】 【分析】（1）根据表中数据，代入相关系数的计算公式求出，再根据相关系数的概念判断求解即可； （2）根据相关系数的概念可知可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系，利用最小二乘法的计算公式求出即可得解； （3）计算线性经验回归方程残差和非线性经验回归方程残差比较可得非线性经验回归方程更好，再由所给方程求出预测值即可. 【小问1详解】 由表得，，， 又因为， 所以， 由于的值接近1，所以可以推断年销售量和年投入额这两个变量正线性相关，且相关程度很强. 【小问2详解】 由（1）得两个变量的线性相关程度很强， 所以可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系， 设年销售量关于年投入额的经验回归方程为， 所以，， 所以年销售量关于年投入额的经验回归方程为. 【小问3详解】 由（2）得，可得如下数据： 1 2 3 4 5 0.5 1 1.5 3 5.5 1.1 2.3 3.5 4.7 所以的残差平方和为， 由于，故非线性经验回归方程拟合效果更好， 当时，(千件)， 故当年投入额为6百万元时，产品的销售量约为9.68千件. 17. 已知点与定点的距离和它到定直线的距离之比为． （1）求的轨迹方程； （2）过点的直线与交于两点(其中不共线），记（为坐标原点）的面积为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设是曲线任意一点，根据题意，得到，进而得到点的轨迹方程； （2）设过的直线方程为，联立方程组，得到和，求得的面积为，令，得到，结合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：设是曲线任意一点， 因为点与定点的距离和它到定直线的距离之比为， 可得，整理得:， 即，即， 所以点的轨迹方程为． 【小问2详解】 解：设过的直线方程为， 联立方程组，整理得， 设，由韦达定理， 所以的面积为 ， 令，则，代入得， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，即的取值范围是. 18. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． （1）求证：平面平面； （2）当F为中点时，平面与平面所成二面角夹角的余弦值为． （i）求的长度； （ii）有系列“二分球族”其中为中点，为中点，……，为中点，平面截三棱锥的外接球的图形为，的面积为，其中，2，……，n，请问数列中是否存在3项成等差数列，请说明理由． 【答案】（1） 证明：平面 平面， ∴平面平面， 又∵平面平面，且， 平面， 又平面，故． 在中，，E为线段的中点，则． 因为平面，平面，，平面． 平面，∴平面平面． （2）（i）； （ii）如图，取中点，作于． 由，所以满足． 则为三棱锥的球心，其中，2，…，n． 因为，则，则平面， 则为三棱锥的外接球与相交的圆的圆心，为半径 由，则， 所以圆的面积， 假设存在m，n，且使得，，成等差数列，则． 即化简可得 因为，，所以为偶数，即（*）式不成立， 所以数列中不存在3项成等差数列． 【解析】 【分析】（1）由平面可以得到平面平面，再由线线垂直得到平面，再由线面垂直得到，由三角形的性质得到，再由线面垂直的判定定理证明平面，由面面垂直的判定定理即可证明. （2）（i）建立空间直角坐标系，求解平面与平面的法向量，代入求解即可. （ii）取中点，作于，证明平面，得到为三棱锥的外接球与相交的圆的圆心，求解圆的面积，假设存在m，n，且使得，，成等差数列，由等差数列的性质求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）易知，，两两垂直，以A为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，， ，， 设为平面的一个法向量． 故即取， 取为平面的一个法向量． ，解得，故． （ii）略 19. 已知． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若有两个实数根，证明：； （3）若方程有实根，设的最大值为，证明：． 【答案】（1） （2）证明：，即， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，要证，即证， 因，在上单调递增， 故只需证，又，即证， 令，， 则， 当时，，所以， 所以在上单调递减，又，故，即， 得证. （3）证明：，即， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，要证，即证， 因，在上单调递增， 故只需证，又，即证， 令，， 则， 当时，，所以， 所以在上单调递减，又，故，即， 得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线斜率即可求切线方程； （2）转化为方程有两个实数根，构造函数， 利用导数得出极值点，可知，要证不等式只需证，再构造函数利用函数的单调性得证； （3）分段讨论去绝对值，利用导数研究函数的单调性及极值，可得函数有最大值，即求出，再由，且即可得证. 【小问1详解】 因为， 所以， 切线方程为：， 即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $