2026年江苏省泰州市中考数学二模模拟卷

2026年江苏省泰州市中考数学二模模拟卷 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．（3分）已知一元二次方程（x+3）（x+k）＝0有一个根是2，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 2．（3分）若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 3．（3分）七位评委的打分是：7.0，7.0，8.8，9.0，9.3，9.4，10，据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行统计去掉一个最高分和一个最低分，统计量一定不发生变化的是（　　） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 4．（3分）如图，在⊙O中，点C为上的点，．若∠ACB＝120°，且AC是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，△DEF的三个顶点D，E，F分别在AC，BC，AB边上，DE＝EF，∠DEF＝90°，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为直线x＝1，给出五个结论：①b＞0；②当x＜1时，y随着x的增大而增大；③a﹣b+c＜0；④4a﹣2b+c＞0；⑤am2+bm﹣a﹣b≤0．其中正确结论是（　　） A．①②⑤ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④ 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 7．（3分）计算：2﹣2﹣3tan30°＝　 　 ． 8．（3分）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠ADE＝ 　 　 ． 9．（3分）如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为　 　 　 ． 10．（3分）已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n，则的值为　 　 ． 11．（3分）如图，某汽车车门的底边长为1m，车门侧开后的最大角度为72°，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是 　 　 m2.（结果保留π） 12．（3分）抛物线y＝x2+2的顶点坐标为　 　 ． 13．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为x＝﹣2，图象与x轴的一个交点为（1，0）．将下列正确的结论填在横线上　 　 （填序号）． ①3b+c＞0； ②； ③方程ax2+bx+c+4＝0有两个不相等的实数解； ④当am2+bm＞a+b时，m的取值范围为m＜﹣5或m＞1． 14．（3分）如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B的坐标分别为（1，1），（﹣1，1），把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分所形成的正八边形的边长为　 　 ． 15．（3分）将二次函数y＝﹣2x2的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是 　 　 ． 16．（3分）在正方形ABCD中，点E为边CD上一点（不与点C、D重合），AF⊥BE于点F，CG⊥BE于点G，若AD＝10，BF＝6，线段FD的长是 　 　 ． 三．解答题（共10小题，满分102分） 17．（8分）解方程： （1）（x+1）2＝2； （2）2（x2﹣2）＝7x． 18．（8分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点C的坐标为（0，2），点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y（k≠0）在第一象限内的图象经过点D，E． （1）求反比例函数的表达式和n的值； （2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点H，G，求线段OG的长． 19．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，以AD为直径的⊙O分别与BC，AC交于点E，F．连接DE，AE，且AE平分∠BAC． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求证：BE2＝BD•AB； （3）点H为的中点，连接EH交AD于点G，若AC＝6，BC＝8，求GH的长． 20．（10分）某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛、在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一；甲、乙队员的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 n 2.01 乙 8.3 m 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值：m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）比赛中的其他队员的平均成绩均低于8环，你认为推荐谁去更适合．请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 21．（10分）临近元旦节，小雪家从网上购买了4箱“库尔勒”香梨，但开箱验货后，发现其中混入了若干“红酥梨”．统计后发现每箱中最多混入了2个“红酥梨”，具体数据见表： 每箱混入“红酥梨”个数/个 0 1 2 箱数/箱 1 m n 若事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为． （1）求m和n的值； （2）小雪准备将其中两箱送给舅舅，她从4箱中随机挑选了两箱，用列举法求两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率． 22．（8分）用反证法证明：平行于同一条直线的两条线平行． 23．（10分）在陕西周至的国家级自然保护区中，调皮可爱的猴子随处可见．如图，有两只猴子爬到一棵树CD上的点B处（CD⊥AC），且BC＝4m，突然发现远方A处有好吃的食物，其中一只猴子沿BC爬下到C处，再沿CA走到离树8m处的A处（即AC＝8m），另一只猴子沿BD先爬到树顶D处后再沿缆绳（绷直）线段DA滑到A处，已知两只猴子所经过的路程相等，若设BD为xm，则这棵树高有多少米？ 24．（12分）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 25．（12分）【探索发现】 如图1，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【迁移应用】 设直线y＝kx+4（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）如图2，若k＝﹣2，且△ABE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限． ①直接填写：OA＝　 　 ，OB＝　 　 ； ②求点E的坐标． （2）如图3，若k＞0，过点B在y轴左侧作BN⊥AB，且BN＝AB，连结ON，当k变化时，△OBN的面积是否为定值？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，点M在x轴负半轴上，OM＝16，将直线y＝kx+4（k≠0）向下平移10个单位，点P是平移后直线上的动点，Q是y轴上的动点，△MPQ是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若k＝﹣2，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B在x轴的负半轴上，△AOB的面积等于18． （1）求点B的坐标； （2）如图1，点P从点A出发，沿y轴负方向运动，速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为t，试用含t的式子表示S△BOP（S△BOP表示△BOP的面积），并直接写出t的取值范围； （3）如图2，若点P在AO上，点Q在BO上，AQ与BP交于点C，过点B作BH⊥AQ交直线AQ于点H，交y轴于点D，当△BHC的面积等于△OHC的面积时，求点D的坐标． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．（3分）已知一元二次方程（x+3）（x+k）＝0有一个根是2，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【解答】解：∵一元二次方程（x+3）（x+k）＝0有一个根是2， ∴（2+3）（2+k）＝0， ∴5（2+k）＝0， ∴10+5k＝0， ∴5k＝﹣10， ∴k＝﹣2， 故选：B． 2．（3分）若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，、 ∴△ABC与△A′B′C′的面积的比1：4． 故选：B． 3．（3分）七位评委的打分是：7.0，7.0，8.8，9.0，9.3，9.4，10，据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行统计去掉一个最高分和一个最低分，统计量一定不发生变化的是（　　） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选：D． 4．（3分）如图，在⊙O中，点C为上的点，．若∠ACB＝120°，且AC是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【解答】解：如图，连接OC，在优弧上任取异于A，B的一点D，连接AD，BD， ∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形， ∴∠D+∠ACB＝180°， ∵∠ACB＝120°， ∴∠D＝180°﹣120°＝60°， ∴∠AOB＝2∠D＝120°， ∵． ∴∠AOC∠BOC， ∴∠AOC∠AOB＝40°， ∵AC是⊙O的内接正n边形的一边， ∴40°， 解得n＝9． 故选：B． 5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，△DEF的三个顶点D，E，F分别在AC，BC，AB边上，DE＝EF，∠DEF＝90°，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，作FG⊥BE于G， ∴∠EGF＝90°， ∵∠DEF＝∠C＝90°， ∴∠CED+∠GEF＝∠CED+∠CDE＝90°， ∴∠GEF＝∠CDE． 在△CDE和△GEF中， ， ∴△CDE≌△GEF（AAS）， ∴CE＝GF． ∵FG∥AC， ∴，△BFG∽△BAC， ∵AC＝2BC， 不妨设BC＝a，则AC＝2a， 则， ∴， ∴． 故选：A． 6．（3分）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为直线x＝1，给出五个结论：①b＞0；②当x＜1时，y随着x的增大而增大；③a﹣b+c＜0；④4a﹣2b+c＞0；⑤am2+bm﹣a﹣b≤0．其中正确结论是（　　） A．①②⑤ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④ 【解答】解：由图象可知a＜0， ∵二次函数的对称轴为， ∴b＝﹣2a＞0，故结论①正确，符合题意； 由函数图象可知，当x＜1时，y随着x的增大而增大；故结论②正确，符合题意； 图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为直线x＝1， ∴抛物线经过（﹣1，0）， ∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，故结论③错误，不符合题意； ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故结论④错误，不符合题意； 二次函数图象对称轴为直线x＝1， ∴y＝a+b+c是最大值， ∴am2+bm+c≤a+b+c， ∴am2+bm﹣a﹣b≤0，故结论⑤正确，符合题意； 故选：A． 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 7．（3分）计算：2﹣2﹣3tan30°＝　　 ． 【解答】解：2﹣2﹣3tan30°． 故答案为：． 8．（3分）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠ADE＝ 　36°　 ． 【解答】解：如图：连接AO、EO， 在正五边形ABCDE中，， ∴； 故答案为：36°． 9．（3分）如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为　 　（32﹣x）（20﹣x）＝540　 ． 【解答】解：∵道路的宽为x米， ∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形． 依题意得：（32﹣x）（20﹣x）＝540． 故答案为：（32﹣x）（20﹣x）＝540． 10．（3分）已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n，则的值为　　 ． 【解答】解： ∵一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n， ∴m+n＝4，mn＝﹣3， ∴， 故答案为：． 11．（3分）如图，某汽车车门的底边长为1m，车门侧开后的最大角度为72°，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是 　　 m2.（结果保留π） 【解答】解：由题意，这扇车门底边扫过的区域是扇形， 其中扇形的半径为1m，圆心角最大角度为72°， ∴扇形的最大面积为：（m2）． 故答案为：． 12．（3分）抛物线y＝x2+2的顶点坐标为　（0，2）　 ． 【解答】解：抛物线y＝x2+2的顶点坐标为（0，2）， 故答案为：（0，2）． 13．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为x＝﹣2，图象与x轴的一个交点为（1，0）．将下列正确的结论填在横线上　②③　 （填序号）． ①3b+c＞0； ②； ③方程ax2+bx+c+4＝0有两个不相等的实数解； ④当am2+bm＞a+b时，m的取值范围为m＜﹣5或m＞1． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣2， ∴2， ∴b＝4a，ab， 当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0， ∴3b+c＜0，故①错误，不符合题意； 当x＝1时，y＝a+b+c＝0， 即b+b+c＝0， 整理，得：，故②正确，符合题意； 由图象可得，该函数的最大值是正数， ∴ax2+bx+c＝﹣4时，有两个不相等的实数根， 即方程ax2+bx+c+4＝0有两个不相等的实数解，故③正确，符合题意； 由图象可得，该抛物线与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0）， ∴当am2+bm+c＞a+b+c时，m的取值范围为﹣5＜m＜1， 即当am2+bm＞a+b时，m的取值范围为﹣5＜m＜1，故④错误，不符合题意； 故答案为：②③． 14．（3分）如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B的坐标分别为（1，1），（﹣1，1），把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分所形成的正八边形的边长为　22　 ． 【解答】解：如图，由题意得： 正方形ABCD的边长为2， ∴该正方形的对角线长为2， ∴OA′；而OM＝1， ∴A′M1； 由题意得：∠MA′N＝45°，∠A′MN＝90°， ∴∠MNA′＝45°， ∴MN＝A′M； 由勾股定理得：A′N＝2； 同理可求D′M′＝2， ∴NM'＝2﹣（4﹣2）＝22， ∴正八边形的边长为22． 15．（3分）将二次函数y＝﹣2x2的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是 y＝﹣2（x﹣3）2+1　 ． 【解答】解：将二次函数y＝﹣2x2的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是y＝﹣2（x﹣3）2+1， 故答案为：y＝﹣2（x﹣3）2+1． 16．（3分）在正方形ABCD中，点E为边CD上一点（不与点C、D重合），AF⊥BE于点F，CG⊥BE于点G，若AD＝10，BF＝6，线段FD的长是 　　 ． 【解答】解：如图所示，过点F分别作AB，AD的垂线，分 别交AB，AD于点H，N． ∵在正方形ABCD中，∠BAD＝90°， ∴四边形AHFN是矩形． ∵AF⊥BE，AB＝AD＝10，BF＝6， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴线段DF的长是， 故答案为：． 三．解答题（共10小题，满分102分） 17．（8分）解方程： （1）（x+1）2＝2； （2）2（x2﹣2）＝7x． 【解答】解：（1）（x+1）2＝2， ∴， ∴； （2）2x2﹣7x﹣4＝0， a＝2，b＝﹣7，c＝﹣4， Δ＝b2﹣4ac＝81＞0， ∴， ∴． 18．（8分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点C的坐标为（0，2），点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y（k≠0）在第一象限内的图象经过点D，E． （1）求反比例函数的表达式和n的值； （2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点H，G，求线段OG的长． 【解答】解：（1）∵点C坐标为（0，2），点E（4，n）在边AB上， ∴点B的坐标为（4，2）． ∵点D为OB的中点， ∴点D的坐标为（2，1）． ∵点D在y上， ∴1， ∴k＝2， ∴反比例函数为y． ∵点E（4，n）在反比例函数y上， ∴n． （2）连接GF，设点F的坐标为（a，2）． ∵点F（a，2）在反比例函数y上， ∴2， ∴a＝1， ∴F（1，2）， ∴CF＝1． 设OG＝t，则OG＝FG＝t，CG＝2﹣t． 在Rt△CFG中，CF2+CG2＝FG2， ∴t2＝12+（2﹣t）2． 解得t． ∴OG＝t． 19．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，以AD为直径的⊙O分别与BC，AC交于点E，F．连接DE，AE，且AE平分∠BAC． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求证：BE2＝BD•AB； （3）点H为的中点，连接EH交AD于点G，若AC＝6，BC＝8，求GH的长． 【解答】（1）证明：连接OE，如图： ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠BAE， ∵OA＝OE， ∴∠BAE＝∠AEO， ∴∠CAE＝∠AEO， ∴OE∥AC， ∴∠BEO＝∠ACB＝90°， ∴OE⊥BC， ∵OE为⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线； （2）证明：由（1）可知，BC与⊙O相切于点E， ∴∠OED+∠BED＝90°， ∵AD为⊙O的直径， ∴∠AEO+∠OED＝90°， ∴∠AEO＝∠BED． ∵OE＝OA， ∴∠EAB＝∠AEO＝∠BED， ∵∠B＝∠B， ∴△BED∽△BAE， ∴， ∴BE 2＝BD•AB； （3）解：过点E作EM⊥AB于点M，连接OH，如图： 在Rt△ABC中，AB10， ∵AE平分∠BAC， ∴EM＝EC，AM＝AC＝6， ∴BM＝AB﹣AM＝4， 设CE＝x，则EM＝x， ∴BE＝8﹣x， 在Rt△BEM中，EM 2+BM 2＝BE 2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴EM＝EC＝3，BE＝5， Rt△ACE中，AE3， 由（2）可知，△BED∽△BAE， ∴， ∴DE， 在Rt△AED中，AD， ∴DM， ∴OM＝OD﹣DMDM， ∵点H为的中点， ∴∠HOA＝∠HOD＝90°， ∴EM∥OH， ∴△EGM∽△HGO， ∴， 设MG＝a，则OG＝OM﹣MGa， ∴， ∴a＝1，即MG＝1，OG， 在Rt△OHG中，GH． 答：GH的长为． 20．（10分）某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛、在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一；甲、乙队员的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 n 2.01 乙 8.3 m 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值：m＝　8.5　 ，n＝　8　 ； （2）比赛中的其他队员的平均成绩均低于8环，你认为推荐谁去更适合．请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 【解答】解：（1）将乙中数据排序：6，7，7，8，8，9，9，9，10，10， 第5个和第6个数据分别为8和9， ∴； 甲中数据出现次数最多的是8，则众数为8，故n＝8； 故答案为：8.5，8； （2）推荐乙更加合适，因为其他队员的平均成绩均低于8环，甲和乙的平均数一样（均为8.3环），乙的中位数和众数更高，且乙的方差小，成绩更稳定，所以推荐乙更加合适． 21．（10分）临近元旦节，小雪家从网上购买了4箱“库尔勒”香梨，但开箱验货后，发现其中混入了若干“红酥梨”．统计后发现每箱中最多混入了2个“红酥梨”，具体数据见表： 每箱混入“红酥梨”个数/个 0 1 2 箱数/箱 1 m n 若事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为． （1）求m和n的值； （2）小雪准备将其中两箱送给舅舅，她从4箱中随机挑选了两箱，用列举法求两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率． 【解答】解：（1）∵事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为， ∴， ∴m＝2， ∴n＝4﹣1﹣2＝1； （2）把没有“红酥梨”的1箱记为A，混入了1个“红酥梨”的记为B1、B2，混入了2个“红酥梨”的记为C， 共12种等可能的结果，其中两箱中一共混入了1个“红酥梨”的结果有AB1，AB2，共4种， ∴两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率为P． 22．（8分）用反证法证明：平行于同一条直线的两条线平行． 【解答】证明：假设a与b相交于点M， 则过M点有两条直线平行于直线c， 这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾， 所以a∥b． 23．（10分）在陕西周至的国家级自然保护区中，调皮可爱的猴子随处可见．如图，有两只猴子爬到一棵树CD上的点B处（CD⊥AC），且BC＝4m，突然发现远方A处有好吃的食物，其中一只猴子沿BC爬下到C处，再沿CA走到离树8m处的A处（即AC＝8m），另一只猴子沿BD先爬到树顶D处后再沿缆绳（绷直）线段DA滑到A处，已知两只猴子所经过的路程相等，若设BD为xm，则这棵树高有多少米？ 【解答】解：设BD的长度为xm， ∵两只猴子所经过的路程相等， ∴AD+BD＝BC+AC， ∴AD+x＝4+8， ∴AD＝（12﹣x）m； 由题意知∠C＝90°，则在Rt△ACD中， 有AD2＝AC2+CD2， ∴（12﹣x）2＝82+（4+x）2， 解得：x＝2， ∴BD＝2m， ∴CD＝2+4＝6（m）． 答：这棵树高有6米． 24．（12分）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【解答】解：（1）如图，由题意得A（2，1.6）是上边缘抛物线的顶点， 设y＝a（x﹣2）2+1.6， 又∵抛物线过点（0，1.2）， ∴1.2＝4a+1.6， ∴a＝﹣0.1， ∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣0.1（x﹣2）2+1.6，当y＝0时，﹣0.1（x﹣2）2+1.6＝0， 解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去）， ∴喷出水的最大射程OC为6m； （2）解：∵对称轴为直线x＝2， ∴点（0，1.2）的对称点为（4，1.2）， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的， ∴点B的坐标为（2，0）； （3）解：∵EF＝0.5， ∴点F的纵坐标为0.5， ∴0.5＝﹣0.1（x﹣2）2+1.6，解得， ∵x＞0， ∴， 当x＞2时，y随x的增大而减小， ∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5， 则， ∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.2＞0.5， ∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则， ∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB， ∴d的最小值为2， 综上所述，d的取值范围是． 25．（12分）【探索发现】 如图1，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【迁移应用】 设直线y＝kx+4（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）如图2，若k＝﹣2，且△ABE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限． ①直接填写：OA＝　2　 ，OB＝　4　 ； ②求点E的坐标． （2）如图3，若k＞0，过点B在y轴左侧作BN⊥AB，且BN＝AB，连结ON，当k变化时，△OBN的面积是否为定值？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，点M在x轴负半轴上，OM＝16，将直线y＝kx+4（k≠0）向下平移10个单位，点P是平移后直线上的动点，Q是y轴上的动点，△MPQ是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若k＝﹣2，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【解答】解：（1）①OA＝2，OB＝4；理由如下： ∵k＝﹣2，则直线y＝﹣2x+4， 令x＝0时，y＝4， 令y＝0时，x＝2， ∴A（2，0），B（0，4）， 即OA＝2，OB＝4， 故答案为：2；4； ②过点E作ED⊥OB于点D，如图2， ∴∠BDE＝∠AOB＝90°， ∵∠ABO+∠EBD＝90°， ∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠BAO＝∠EBD， 在△BED和△ABO中， ， ∴△BED≌△ABO（AAS）， ∴DE＝OB＝4，BD＝OA＝2， ∴OD＝OB+BD＝6， ∴点E的坐标为（4，6）； （2）当k变化时，△OBN的面积是定值；理由如下： 过点N作NM⊥y轴于点M，如图3， 同理：△BMN≌△AOB（AAS）， ∴MN＝OB＝4， ∴， ∴k变化时，△OBN的面积是定值，且定值为8； （3）点Q的坐标为或Q（0，22）；理由如下： ∵将直线y＝kx+4（k≠0）向下平移10个单位，k＝﹣2， ∴平移后的解析式为y＝﹣2x﹣6， ①当P点在x轴的下方时，过点P作PH⊥y轴于H，如图4， 设P（n，﹣2n﹣6），Q（0，t）， ∵M（﹣16，0）， 同理可得：△QMO≌△PQH， ∴QH＝MO＝16，OQ＝PH＝t＝n， ∴16﹣n＝﹣（﹣2n﹣6）， 解得：， ∴点； ②当点P在x轴上方时，同理过点P作PH⊥y轴于H，如图5， 同理可得：△QMO≌△PQH， ∴QH＝MO＝16，OQ＝PH＝t＝﹣n， ∴16﹣n＝﹣2n﹣6， 解得：n＝﹣22，t＝22， ∴点Q（0，22）， 综上所述，点Q的坐标为或Q（0，22）． 26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B在x轴的负半轴上，△AOB的面积等于18． （1）求点B的坐标； （2）如图1，点P从点A出发，沿y轴负方向运动，速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为t，试用含t的式子表示S△BOP（S△BOP表示△BOP的面积），并直接写出t的取值范围； （3）如图2，若点P在AO上，点Q在BO上，AQ与BP交于点C，过点B作BH⊥AQ交直线AQ于点H，交y轴于点D，当△BHC的面积等于△OHC的面积时，求点D的坐标． 【解答】解：（1）∵A（0，6），△AOB的面积等于18，点B在x轴的负半轴上， ∴OA＝6， ∵， 解得：OB＝6． ∴点B的坐标为（﹣6，0）； （2）当点P在AO上时，； 当点P在AO的延长线上时，， 综上所述，； （3）如图2，BH⊥AQ，过点O作OM⊥AQ于M， ∴， ∵S△BHC＝S△OHC， ∴BH＝OM， 在△BHQ和△OMQ中， ， ∴△BHQ≌△OMQ（AAS）， ∴， ∵∠BHQ＝∠AOQ＝90°，∠BQH＝∠AQO， ∴∠QBH＝∠QAO， 在△AOQ和△BOD中， ， ∴△AOQ≌△BOD（ASA）， ∴OD＝OQ＝3， ∴点D的坐标为（0，﹣3）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $