8.2.3排列组合的应用（教案）高教版（第三版）《数学 拓展模块一下册》【上好课】

高等教育出版社《数学 拓展模块一下册》（第三版） 第八单元 排列组合 8.2.3排列组合的应用 一、教材 高等教育出版社《数学 拓展模块一下册》（第三版） 二、教学时长 1课时 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节是第八单元排列组合核心实操应用课时，前置已经夯实排列、组合核心定义、两类计数原理、核心公式及组合数两大性质，是公式识记转向实景解题的关键衔接课。本节聚焦生产抽检、实景排队、数字组数、几何点位四大贴合中职岗位、生活、学科的实景场景，核心落地捆绑法、插空法、间接补集法、分组分配法四大必考解题技法，衔接后续古典概率基础题型解题逻辑。既是对前文排列组合基础知识点的深度巩固落地，也是中职对口升学、学业水平考试高频核心考点，同时贴合中职实用数学育人定位，对接职场抽样统计、流程排布基础实操场景，实用性、应试性双向兼顾，单元教学承上启下作用极强。 五、学情分析 学生已熟练背诵排列数、组合数全套公式，能完成无限制简单列式计算，但存在三类典型短板：一是极易混淆排列、组合题型边界，不会快速判断题干是否考量顺序；二是面对相邻、不相邻、至少至多、分组分配带限制条件的实景题型，无固定解题思路，无从下手；三是数学建模能力薄弱，不会剥离生活、职场情境，提炼纯数学排列组合模型。同时学生具象思维优于抽象思维，反感纯理论推演，适配情境案例+例题拆解+即时练学练结合模式，适配短时高频、讲练同步的课堂节奏，贴合1课时紧凑授课节奏。 六、教学目标 知识层面 理解排列与组合的区别，掌握捆绑法、插空法、间接法等排列组合常用解题方法 能力层面 能通过分析实际问题特征，选用合适方法解决相邻、不相邻、分组、概率计算等排列组合应用问题 核心素养层面 通过排列组合的应用，培养逻辑推理能力，提升数学建模与数学运算的核心素养 七、教学重点 1.快速区分实景问题中排列有序、组合无序的核心题型判定方法。 2.熟练掌握捆绑法、插空法、间接法三类高频方法，规范解决相邻、不相邻、至少至多类常规应用题型。 八、教学难点 1.复杂实景情境中，精准剥离冗余信息，快速锁定核心限制条件，匹配对应最优解题方法。 2.分组分配类复合型排列组合题型的分步拆解逻辑，规避分组重复计数、漏计数易错误区。 九、教学方法 1.情境导入法：贴合企业抽检、技能合影、数字组数职场生活实景设题，降低抽象知识理解难度，贴合中职学生认知习惯。 2.讲练结合法：精讲典型例题+当堂梯度刷题，边讲边练、即时纠错，适配短时1课时高效提分节奏。 3.示范规范法：板书标准解题步骤，统一答题格式，规避步骤失分，贴合对口升学答题评分标准。 4.归纳口诀法：提炼三步解题口诀，简化记忆难度，方便学生当堂熟记、当堂活用。 5.分层巡查点拨法：课堂巡视分层答疑，兼顾学困生基础补差、优等生拔高拓展，全员适配。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 知识回顾 排列的概念 一般地，从 n 个不同元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。时称为选排列，时称为全排列。 排列数公式 阶乘，用表示。 规定 组合的概念 一般地，从 n 个不同元素中，任取个元素，组成一组，称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。 组合问题与顺序无关。 组合数公式 组合数的性质 1： 组合数的性质 2： 情境 1 某市在一次企业产品质量提升行动中，计划从 4 家大型企业和 96 家中型企业中随机抽取 3 家进行产品质量监督抽查。 1.抽取的 3 家企业 “全部是中型企业” 的不同抽取方法共有多少种？ 2.抽取的 3 家企业中 “恰有 2 家大型企业” 的不同抽取方法共有多少种？ 3.抽取的 3 家企业中 “至少有 1 家大型企业” 的不同抽取方法共有多少种？ 情境 2 某技能大赛领奖典礼后，3 名老师与 4 名获奖学生站成一排合影留念。 1.共有多少种不同的排法？ 2.3 名老师必须站在一起，有多少种不同排法？ 3.3 名老师必须互不相邻，有多少种不同排法？ 情境 3 从数字 1，2，3，4，5 中任取 3 个，组成无重复数字的三位数。 1.求这个三位数是 5 的倍数的概率； 2.求这个三位数是奇数的概率； 3.求这个三位数小于 300 的概率。 情境 4 如图所示，已知 D、E、F 三点分别为等边三角形三边的中点，现从 A、B、C、D、E、F 这 6 个点中任取 3 点 1.求这 3 个点构成三角形的概率； 2.求这 3 个点构成等边三角形的概率。 拓展延伸：鲁班锁的智慧 鲁班锁是由 6 块大小一样、中段有不同镂空的正四棱柱形木块组装成的精致、牢固的木结构，它有约数十万种不同的组合方式。 不用钉连，不用胶合；我中有你，你中有我。阴阳拼插，卯榫成锁；严丝合缝，岂奈我何。 鲁班锁不仅展现了中国古代的科学成就，更是一种创新精神的象征，闪烁着我国劳动人民的智慧光芒。它复杂多样的组合方式，正是我们今天所学的排列组合思想在传统工艺中的生动体现。 快速复盘前置旧知，扫清本节课解题基础障碍，做到人人会用公式；用贴近学生日常、未来职场的实景问题激趣，打破数学枯燥感；依托传统文化素材渗透德育，自然衔接新知，快速收拢课堂注意力，适配课前热身节奏。 新知讲授 情境 1 某市在一次企业产品质量提升行动中，计划从 4 家大型企业和 96 家中型企业中随机抽取 3 家进行产品质量监督抽查。 1.抽取的 3 家企业 “全部是中型企业” 的不同抽取方法共有多少种？ 分析：“全部是中型企业”→从 96 家中直接抽取 3 家 2.抽取的 3 家企业中 “恰有 2 家大型企业” 的不同抽取方法共有多少种？ 分析：“恰有 2 家大型企业”→分步完成 第一步：从 4 家大型企业中取 2 家 第二步：从 96 家中型企业中取 1 家 3.抽取的 3 家企业中 “至少有 1 家大型企业” 的不同抽取方法共有多少种？ 分析：“至少有 1 家大型企业”→反向思考 总数−全部是中型企业 情境 2 某技能大赛领奖典礼后，3 名老师与 4 名获奖学生站成一排合影留念。 1.共有多少种不同的排法？ 分析：7 人站成一排，进行全排列 2.3 名老师必须站在一起，有多少种不同排法？ 分析：使用捆绑法 3 名老师视为一个整体，与 4 名学生排列 对 3 名老师内部进行排列 3.3 名老师必须互不相邻，有多少种不同排法？ 分析：使用插空法 排列 4 名学生，产生 5 个空位 将 3 名老师插入这些空位中排列 情境 3 从数字 1，2，3，4，5 中任取 3 个，组成无重复数字的三位数。 1.求这个三位数是 5 的倍数的概率； 个位只能是 5 2.求这个三位数是奇数的概率； 个位是 1、3、5 3.求这个三位数小于 300 的概率。 百位是 1、2 情境 4 如图所示，已知 D、E、F 三点分别为等边三角形三边的中点，现从 A、B、C、D、E、F 这 6 个点中任取 3 点 1.求这 3 个点构成三角形的概率； 总数−3 个点共线 2.求这 3 个点构成等边三角形的概率。 直接计数法 碎片化拆解重难点，不堆砌抽象理论，让学生先懂思路、再会做题；按题型归类解题方法，搭建“情境—关键词—方法”解题思维链条，精准突破教学重点；提前预判易错点，前置规避误区，弱化教学难点，降低后续例题解题难度。 案例分析 例 1计划从 4 家大型企业和 96 家中型企业中随机抽取 3 家进行产品质量监督抽查。 (1) 抽取的 3 家企业 “全部是中型企业” 的不同抽取方法共有多少种？ (2) 抽取的 3 家企业中 “恰有 2 家大型企业” 的不同抽取方法共有多少种？ (3) 抽取的 3 家企业中 “至少有 1 家大型企业” 的不同抽取方法共有多少种？ 解：(1) 抽取的 3 家企业 “全部是中型企业” 的不同方法有 (2) 根据分步计数原理，抽取的 3 家企业中 “恰有 2 家大型企业” 的不同方法有 (3) 抽取的 3 家企业中 “至少有 1 家大型企业” 的不同抽取方法有 例 2某技能大赛领奖典礼后，3 名老师与 4 名获奖学生站成一排合影留念。 (1) 共有多少种不同的排法？ (2) 3 名老师必须站在一起，有多少种不同排法？ (3) 3 名老师必须互不相邻，有多少种不同排法？ 解：(1) 3 名老师和 4 名学生站成一排的不同排法有 (2) 根据分步计数原理，3 名老师必须站在一起的不同排法有 (3) 根据分步计数原理，3 名老师必须互不相邻的不同排法有 例 3从数字 1，2，3，4，5 中任取 3 个，组成无重复数字的三位数。 (1) 求这个三位数是 5 的倍数的概率； (2) 求这个三位数是奇数的概率； (3) 求这个三位数小于 300 的概率。 解：(1) 这个三位数是 5 的倍数的概率为 (2) 这个三位数是奇数的概率为 (3) 这个三位数小于 300 的概率为 例 4已知 D、E、F 三点分别为等边三角形三边的中点，现从 A、B、C、D、E、F 这 6 个点中任取 3 点。 (1) 求这 3 个点构成三角形的概率； (2) 求这 3 个点构成等边三角形的概率。 解：(1) 三点共线的有 3 种取法 这 3 个点构成三角形的概率为 (2) 这 3 个点可构成 5 个等边三角形，即、、、、 这 3 个点构成等边三角形的概率为 标准化板书答题模板，解决中职学生解题步骤不规范、失分严重的痛点；讲完思路立刻落地实操演算，学练无缝衔接；分层抽查学情，实时掌握全班吸收情况，精准把控课堂进度，贴合1课时紧凑节奏。 学以致用 1.某城市的电话号码是从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中取 7 个数字构成 (允许数字重复)，但 0，1 不能作为电话号码的首位数，则该城市最多可装多少部电话？ 这个问题实际上是一个允许数字重复的排列问题。由于首位不能排 0，1 两个数字，所以首位号码只能从 2，3，…，9 这 8 个数字中任取 1 个，有种取法，因为允许重复，所以第 2 到第 7 个空位都可以分别选择上述 10 个数字。 解： 依分步计数原理，所能排的电话号码共有： 2.从 6 名学生中选出 2 名学生。 (1) 去参加一个调查会，有多少种不同的选法？ (2) 担任两项不同的工作，有多少种不同的选法？ 解：(1) 两个人参加一个调查会，是无序的，属于组合问题 不同的选法有 (2) 两个人担任两项不同的工作，是有序的，属于排列问题 不同的选法有 3.现将 4 名同学分配到 3 个实习基地实习，要求每个实习基地都要有学生，则不同的分配方法有多少种？ 解：先将 4 名学生分为 2，1，1 小组，再全排列到 3 个实习基地 分步计数原理，不同的选法有 4.分别在集合 {1，2，3}，{4，5，6} 中各取一个数组成一个两位数，则组成的两位数的个数为多少个？ 解：先在 {1，2，3} 中选一个数，有种选择 再在 {4，5，6} 中选一个数，有种选择 选出的两个数进行全排列，有种情况 分步计数原理，不同的选法有 梯度刷题分层育人，基础题保全员过关，提升题对接应试考点；限时训练锤炼考场答题速度，即时答疑补差，不留课后知识盲区；贴合中职课堂高效实操授课要求，强化当堂学习效果。 课堂练习 1.某校有 10 名电子商务专业的优秀实习生，其中男生 6 人，女生 4 人。现从中选 3 人参加某商品的网络促销活动。 (1) 从中任意选出 3 人，共有多少种不同选法？ (2) 从中选出的 3 人 “全部是男生” 的选法共有多少种？ (3) 从中选出的 3 人中 “至少有 1 人是女生” 的选法共有多少种？ 解：(1) (2) (3) 间接法：总选法−全是男生的选法 2.将 8 只不同颜色的气球连成一串。 (1) 其中红、黄两种颜色的气球必须连在一起，有多少种方法？ (2) 其中红、黄两种颜色的气球互不相邻，有多少种方法？ 解：(1) 把红、黄 2 只气球看成一个整体，捆绑后一共 7 个元素全排列 (2) 先排其余 6 只不同气球，6 个元素形成 7 个空，从中选 2 个空放入红、黄气球并排列 3.从集合中选取一个数记为 k，从集合中选取一个数记为 b，求函数在定义域上是增函数且函数图像不过第二象限的概率。 解：在定义域上是增函数⇒ 图像不过第二象限⇒ 一次函数不过第二象限需同时满足：， 4.从正四棱锥的 8 条棱中任取两条棱，求两条棱互相平行的概率。 解： 5.某学校计算机 (1) 班有 6 本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： (1) 分给甲、乙、丙三人，每人 2 本； (2) 分为三份，一份 1 本，一份 2 本，一份 3 本。 解：(1) 根据分步计数原理得到：种 (2) 根据分步计数原理得到：种 6.四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？ 解： 根据分步计数原理得到：一共有种方法。 6道对标学业水平考试、对口升学真题题型，覆盖分组分配、平行棱计数、函数联动概率全考点，限时当堂独立完成。教师全场巡视，点对点帮扶学困生纠错，优等生自主核对答案、优化解题步骤，做到当堂做题、当堂纠错、当堂清零薄弱点。 课堂小结 01 定类型：判断有序 (排列)/ 无序 (组合) 02 看限制：相邻 / 不相邻 / 特殊元素 03 选方法：优先法 / 捆绑 / 插空 / 分组 / 间接法 降低记忆负担，快速固化本节课核心解题思维；短时复盘全课重难点，回扣教学目标，强化长效记忆，方便课后自主复习。 作业布置 1. 书面作业：完成《学习指导与练习》中本节相关习题； 2. 查漏补缺：根据课堂练习和课堂小结，结合个人情况，对本节课知识进行复习与回顾，弥补知识漏洞； 3. 拓展作业：预习下一节内容，阅读教材扩展延伸部分。 通过分层作业，既巩固本节课所学知识，又培养学生自主学习和查漏补缺的能力，为后续学习做好铺垫。 板书设计 01 定类型：判断有序 (排列)/ 无序 (组合) 02 看限制：相邻 / 不相邻 / 特殊元素 03 选方法：优先法 / 捆绑 / 插空 / 分组 / 间接法 降低记忆负担，快速固化本节课核心解题思维；短时复盘全课重难点，回扣教学目标，强化长效记忆，方便课后自主复习。 11、 教学反思 本节课情境导入贴合中职学情，讲练衔接紧凑，绝大多数学生能够快速区分排列与组合题型，熟练运用捆绑法、插空法、间接法解决基础应用题型，顺利达成本节课基础教学目标；依托鲁班锁传统文化拓展，有效落实立德树人核心育人要求，课堂互动氛围良好，当堂答题达标率较高 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $